Przykład 1

Wyznaczanie stóp forward rynku pieniężnego

Bank A przyjął na okres 12M depozyt w kwocie 100 000 000 PLN, oprocentowany 6M stopą WIBOR - 0,5 pkt marży. W momencie zawarcia umowy, 6M stopy WIBOR kształtują się na poziomie 4,35%. Aby zabezpieczyć się przed przewidywanym wzrostem kosztu oprocentowania depozytu, Bank A kupuje kontrakt FRA 6x12, co oznacza zobowiązanie Banku A do zapłacenia za 6M określonej stopy terminowej i przyjęcia obowiązującej w dniu rozliczenia kontraktu stawki referencyjnej. W tym kontrakcie nasz Bank A jest stroną inicjującą transakcję, tak więc kalkulacja stopy terminowej należy do banku kwotującego (Bank B). W oparciu o aktualne stawki rynkowe, możliwe do wynegocjowania przy domykaniu pozycji:

rodzaj stopy procentowej	kwotowanie dla depozytów 6M	kwotowanie dla depozytów 12M
BID	4,15%	4,45%
OFFER	4,35%	4,65%

Bank B ustala pełne kwotowanie stopy terminowej w kontrakcie 6x12:

d₁^BID =

d₁^OFF =

Przykład 2:

Wykorzystanie kontraktów FRA do zabezpieczenia stopy depozytu

Bank A przyjął na okres 12M depozyt w kwocie 100 000 000 PLN, oprocentowany 6M stopą WIBOR - 0,5 pkt marży. W momencie zawarcia umowy, 6M stopy WIBOR kształtują się na poziomie 4,35%. Aby zabezpieczyć się przed przewidywanym wzrostem kosztu oprocentowania depozytu, Bank A kupuje kontrakt FRA 6x12, co oznacza zobowiązanie Banku A do zapłacenia za 6M określonej stopy terminowej i przyjęcia obowiązującej w dniu rozliczenia kontraktu stawki referencyjnej. W tym kontrakcie nasz Bank A jest stroną inicjującą transakcję, tak więc kalkulacja stopy terminowej należy do banku kwotującego (Bank B). W oparciu o aktualne stawki rynkowe, możliwe do wynegocjowania przy domykaniu pozycji:

rodzaj stopy procentowej	kwotowanie dla depozytów 6M	kwotowanie dla depozytów 12M
BID	4,15%	4,45%
OFFER	4,35%	4,65%

Bank B ustala pełne kwotowanie stopy terminowej w kontrakcie 6x12:

d₁^BID =

d₁^OFF =

Jeśli po 6 miesiącach od daty zawarcia transakcji, 6M stopy rynkowe rzeczywiście wzrosną o 100 punktów bazowych (do poziomu 5,15% - 5,35%), wówczas w dniu rozliczenia Bank B zapłaci Bankowi A kwotę kompensacyjną w wysokości:

K_k =

(gdyż jako stawki rozliczeniowe przyjęto stopy OFFER; rodzaj stawki rozliczeniowej musi odpowiadać rodzajowi stopy, w której została otwarta pozycja długa lub krótka).

Należy zwrócić uwagę, że jeśli stopy spadłyby o 100 punktów bazowych (do poziomu
3,15% - 3,35%), wówczas to Bank A musiałby zapłacić Bankowi B kwotę rozliczenia, o wartości:

K_k =

Efektywne oprocentowanie depozytu po wzroście stóp procentowych wyniosło:

d_ef =
= 5,04% - 0,5 pkt marży

Analogicznie, przy spadku stóp procentowych efektywne oprocentowanie depozytu wyniosłoby:

d_ef =
= 5,04% - 0,5 pkt marży

Przykład 3

Wykorzystanie kontraktów FRA do zabezpieczenia stopy kredytu

Bank A udzielił rocznego kredytu o zmiennym oprocentowaniu, w wysokości 50 000 000 PLN, który będzie kwartalnie przeszacowywany według stopy 3M WIBOR + 1,5 pkt marży. Aby wyeliminować ryzyko spadku stóp procentowych, Bank A musi zająć krótkie pozycje w trzech kontraktach FRA (sprzedać trzy kontrakty FRA): 3x6, 6x9, 9x12. W oparciu o aktualne stawki rynkowe, możliwe do osiągnięcia przy domykaniu pozycji:

rodzaj stopy procentowej	depozyty 3M	depozyty 6M	depozyty 9M	depozyty 12M
BID	4,02%	4,15%	4,31%	4,45%
OFFER	4,21%	4,35%	4,51%	4,65%

Bank kwotujący B ustalił następujące stopy procentowe:

kontrakt 3x6:

d₁^BID =

d₁^OFF =

kontrakt 6x9:

d₁^BID =

d₁^OFF =

kontrakt 9x12:

d₁^BID =

d₁^OFF =

Kwota kompensacyjna wypłacana przez Bank B Bankowi A po spadku stóp o 1 pkt:

K_k =

Efektywne oprocentowanie kredytu w pierwszym okresie odsetkowym wyniesie więc:

d_ef =
= 4,63% +1,5 pkt marży

a w dwóch kolejnych okresach odsetkowych wyniesie odpowiednio:

za 6M: 5,12% + 1,5 pkt marży,

za 9M: 5,50% + 1,5 pkt marży.

Przykład 4

Wyznaczanie fair value kontraktu forward

Jeśli:

2M (61 dniowy)	WIBOR:	5,8125%	WIBID:	5,6875%
6M (183 dniowy)	WIBOR:	6,625%	WIBID:	6,5000%

(stopy 2M wyznaczono metodą ekstrapolacji liniowej)

wówczas fair value wyznaczona odpowiednio:

metodą 1

fair value OFF=
= 6,96%

fair value BID =
= 6,84%

metodą 2

61 dniowy WIMEAN (średnia) =

183 dniowy WIMEAN (średnia) =

122 dniowy mid-point rate =

fair value OFF/BID = 6,90% ±
= [6,96% - 6,84%]

Konwencja to kwotowanie malejące: 6,84% - 6,96%

metodą 3

dla podanych wyżej stóp rynku spot kwotowanie stóp forward wynosi:

6,778%-7,027%

122-dniowy forward-forward mid point rate (średnia ze stop terminowych) =

fair value OFF/BID = 6,90% ±
= [6,96% - 6,84%]

Konwencja to kwotowanie malejące: 6,84% - 6,96%

PROSZĘ WYZNACZYĆ EFEKTYWNE OPROCENTOWANIE DEPOZYTU

I KREDYTU Z ZADAŃ 2 I 3 WYKORZYSTUJĄC DO ZABEZPIECZENIA

FAIR VALUE STÓP TERMINOWYCH

Przykład 5

Pełne kwotowanie na bazie średnich stóp terminowych

Kwotowania rynkowe kształtują się jak następuje:

Rodzaj kwotowania:	3M = 91 dni	9M = 272 dni
BID	4,01%	4,23%
ASK	4,19%	4,43%

W oparciu o dane zawarte w powyższej tabeli, należy wyznaczyć średnie kwotowanie stopy terminowej BID/ASK, pomniejszone/powiększone o spread:

Rodzaj kwotowania:	3M	9M
Średnie stopy procentowe BID/ASK	4,10%	4,33%
Średnia stopa terminowa 3x9:	4,40%
Przykładowe pełne kwotowanie, gdy spread wynosi 20 pb:	4,30%-4,50%

Kwotowanie to delaer ustawi jednak zawsze w zależności od rynku i własnej pozycji (spread na polskim rynku to około 20 pb). Rzeczywiste stopy terminowe dla poszczególnych okresów i walut mogą być także ustalane na podstawie omówionej wyżej zerokuponowej krzywej dochodowści biorącej pod uwagę nie tylko odpowiednie stopy BID-OFFER rynku pieniężnego, ale również stopy FRA, ceny giełdowych kontraktów futures i standardowych kontraktów swaps, wykorzystywanych do zabezpieczenia przez bank kwotujący swojej pozycji płynności (może się np. zdarzyć, że zabezpieczenie pozycji płynności w kontrakcie 9x12 to 2 kontrakty natychmiastowe, np. na 3 i 12 m-cy oraz 2 kontrakty futures na 3 m-ce za 3 m-ce oraz na 3 m-ce za 6 m-cy). Nie dla wszystkich walut wszystkie instrumenty istnieją lub są wystarczająco płynne, dlatego też, w zależności od możliwości, stosuje się tu różne kombinacje. Po wyznaczeniu przebiegu krzywej zerokuponowej, osoba zajmująca się wyceną FRA (FRA trader) tworzy spread BID-OFFER dla stopy terminowej, wynikający z płynności kontraktów w odpowiedniej walucie. W zależności od przewidywań co do zachowania się stopy procentowej, trader może przesunąć notowanie w prawą lub lewą stronę (oczekując wzrostów przesuwa notowania w górę, oczekując spadków - w dół, zachowując jednak marże, która zasadniczo jest wzorcowo ustalona dla każdej waluty). Zasadniczo można przyjąć, że tworząc krzywą zerokuponową dla krótkiego okresu, wystarczy wykorzystać stawki rynku międzybankowego (stąd przyjęte uproszczenie przy konstrukcji stopy terminowej w kontraktachh FRA). W średnim okresie korzysta się z cen kontraktów futures lub stóp kontraktów forward (ze względu na płynność, w sytuacji, gdy dla danej waluty istnieje zarówno rynek kontraktów FRA jak i futures, korzysta się raczej ze stóp procentowych wyliczonych na podstawie cen giełdowych kontraktów futures). Przy wykańczaniu krzywej zwrotu instrumentów o zerowym kuponie odsetkowym, dla dłuższych okresów korzysta się z najbardziej płynnych, standardowych swapów procentowych, które z reguły opiewają na 2, 3, 4, 5, 7 i 10 lat.

Przykład 6

Wyznaczanie stóp zerokuponowych metodą bootstraping

Dane są następujące obligacje (dla obligacji zerokuponowej podana jest dochodowość do wykupu):

	Okres do wykupu w latach	Oprocentowanie kuponu p.a.	PV
Obligacja 1	1	9,00%	100,00
Obligacja 2	2	9,00%	98,50
Obligacja 3	3	6,00%	89,21
Obligacja 4	4	12,00%	99,30
Obligacja 5	5	14,00%	106,40
Obligacja 6	6	14,15%	103,20

Z powyższych danych wynika, że roczna stopa zerokuponowa wynosi 9%. Na jej bazie wyznaczymy stopę dwuletnią, a następnie stopy natychmiastowe dla kolejnych okresów. Stopy zerokuponowe dla kolejnych lat wynoszą:

= 9,9%

= 11,7%

= 12,57%

= 12,52%

= 14,12%

Przykład 7

Wyznaczanie przybliżonych stóp terminowych

Rok	Stopa natychmiastowa dla n-letniej inwestycji (% w skali roku)	Stopa terminowa dla n-tego roku (% w skali roku)
1	10,0
2	10,5	11,0
3	10,8	11,4
4	11,0	11,6
5	11,1	11,5
Źródło: J. Hull, Kontrakty terminowe i opcje, Wprowadzenie, WIG PRESS, Warszawa 1997, s. 124.

Przykład 8

Wycena swapu odsetkowego rynku pieniężnego

Przykładowe wyliczenie stałej stopy procentowej transakcji swap dla schematu płatności, w którym Bank A zobowiązał się do płacenia stałej stopy procentowej w ciągu jednego roku co 3M, a Bank B z tą samą częstotliwością zobowiązał się wypłacać 3M WIBOR od wartości 100 mln USD, jest następujące:

t	lt	St	Ft-1,t	X t	Yt
1	91	5,00%	5,00%	0,0123	0,2462
2	183	5,25%	5,43%	0,0133	0,2457
3	275	5,50%	5,84%	0,0141	0,2421
4	365	5,60%	5,67%	0,0133	0,2335
SUMA				0,0530	0,9675

X_t =

Y_t =

S =

Wycena swapu: 5,48%
1/2marży.

Przykład 9

Wycena swapu odsetkowego rynku kapitałowego z uwzględnieniem przybliżonej liczby dni w podokresach

Jest 31 stycznia 2010 roku. Wycenie podlega 3-letnia transakcja swapowa polegająca na zamianie półrocznych przepływów opartych o zmienną stopę procentową na przepływy oparte o stopę stałą, wyznaczane od wartości nominalnej równej 1000 000 PLN, przy zabezpieczeniu się przed wzrostem stóp procentowych. Marża wynosi 15 pb. Do kalkulacji stóp terminowych rynku kapitałowego, wykorzystane zostaną stopy natychmiastowe dla obligacji zerokuponowych, które wyznaczymy metodą bootstraping:

Okres	Lata	PV	Kupon	FV (nominał + odsetki w dniu wykupu)
1	0,5	97,8761	0,00%	100,00
2	1,0	100,0970	4,30%	102,15
3	1,5	100,1151	4,26%	102,13
4	2,0	100,0194	4,10%	102,05
5	2,5	100,0468	4,10%	102,05
6	3,0	99,4401	3,80%	101,90

= 4,20%

=
= 4,18%

=
=

=

=

=

Tak więc, stopy zerokuponowe dla rozpatrywanych obligacji kształtują się jak następuje:

Okres	Lata	PV	Kupon	YTM
1	0,5	97,8761	0,00%	4,34%
2	1,0	100,0970	4,30%	4,20%
3	1,5	100,1151	4,26%	4,18%
4	2,0	100,0194	4,10%	4,09%
5	2,5	100,0468	4,10%	4,08%
6	3,0	99,4401	3,80%	4,00%

Na ich podstawie wyliczymy stopy terminowe F_1,2, F_2,3, F_3,4, F_4,5, F_5,6, ponieważ za F_0,1 przyjmiemy stopę natychmiastową (obliczenia dokonywane są na podstawie wzorów uzależniających stopy terminowe od współczynników dyskontowych):

F_0,1 = 4,34%

F_1,2 =

F_2,3 =

F_3,4 =

F_4,5 =

F_5,6 =

Układ stóp terminowych jest więc następujący:

Stopa terminowa	Kwotowanie
F0,1	4,34%
F1,2	4,06%
F2,3	4,15%
F3,4	3,82%
F4,5	4,04%
F5,6	3,60%

Znając powyższe stopy, możemy przystąpić do wyceny stałej stopy swapu. Uwaga! Wyceny dokonujemy w oparciu o wartości średnie, natomiast przy kwotowaniu ostatecznej ceny trzeba dodatkowo uwzględnić marżę, zarówno przy ustalaniu stawek zmiennych jak i stałych:

Znając powyższe stopy, możemy przystąpić do wyceny stałej stopy swapu. Uwaga! Wyceny dokonujemy w oparciu o wartości średnie, natomiast przy kwotowaniu ostatecznej ceny trzeba dodatkowo uwzględnić marżę, zarówno przy ustalaniu stawek zmiennych jak i stałych:

1	2	3	4	5	6	7	8	9
lata	t	zmienna stopa proc. Ft-1,t	wartość nomin.	stopy natych-miast. St	wsp. dysk. =	Xt = 1/2x3x4x6	Yt = 1/2x4x6	wycena stopy swapu wg odp. wzoru
0,0	0				1,000000			4,01%
0,5	1	4,34%	1000000	4,34%	0,978761	21239,11	489380,44
1,0	2	4,06%	1000000	4,20%	0,959287	19473,53	479643,45
1,5	3	4,15%	1000000	4,18%	0,939832	19501,52	469916,17
2,0	4	3,82%	1000000	4,09%	0,922217	17614,34	461108,45
2,5	5	4,04%	1000000	4,08%	0,903957	18259,93	451978,48
3,0	6	3,60%	1000000	4,00%	0,887971	15983,48	443985,69
SUMA						112071,91	2796012,69

Kwotowanie swapu: 4,01%
1/2marży, czyli [4,0250% - 4,1750%]

Po odwróceniu:

4,1750% - 4,0250%

Przykład 10

Wycena swapu odsetkowego rynku kapitałowego z uwzględnieniem rzeczywistej liczby dni w podokresach

Jest 31 stycznia 2010 roku. Wycenie podlega 2-letnia transakcja swapowa polegająca na zamianie kwartalnych przepływów opartych o zmienną stopę procentową (3M WIBOR) na przepływy oparte o stopę stałą, wyznaczane od wartości nominalnej równej 10 000 000 PLN, przy zabezpieczeniu się przed wzrostem stóp procentowych. Stopy terminowe zostały skalkulowane na podstawie stóp rynku pieniężnego i kształtują się jak następuje:

1	2	3	4
t	data płatności	lt	zmienna stopa proc. Ft-1, t
0	2010-01-31
1	2010-04-30	89	6,47%
2	2010-07-31	92	6,06%
3	2010-10-30	91	5,70%
4	2011-01-31	93	5,46%
5	2011-04-30	89	5,30%
6	2011-07-31	92	5,20%
7	2011-10-30	91	5,10%
8	2012-01-31	93	5,08%

Na podstawie podanych stóp terminowych należy dokonać wyceny stałej stopy swap i podać przykładowe kwotowanie, jeśli bank kwotujący stosuje marżę w wysokości 15 pb.

1	2	3	4	5	6	7	8	9
t	data płatności	lt	zmienna stopa proc. Ft-1, t	wartość nomin.	wsp. dysk. =	Xt = x4x5x6	Yt =	wycena stopy swapu wg odp. wzoru
0	2010-01-31				1
1	2010-04-30	89	6,47%	10 mln	0,98447	155 311,43	2 400 485,70727	5,56%
2	2010-07-31	92	6,06%	10 mln	0,96966	148 110,58	2 444 068,97406
3	2010-10-30	91	5,70%	10 mln	0,95607	135 866,87	2 383 629,34824
4	2011-01-31	93	5,46%	10 mln	0,94295	131 181,55	2 402 592,46664
5	2011-04-30	89	5,30%	10 mln	0,93092	120 305,78	2 269 920,32293
6	2011-07-31	92	5,20%	10 mln	0,91888	120 436,06	2 316 078,00569
7	2011-10-30	91	5,10%	10 mln	0,90734	115 369,14	2 262 139,97997
8	2012-01-31	93	5,08%	10 mln	0,89575	115 941,66	2 282 316,04377
SUMA						1 042 523,05	18 761 230,85

Przykładowe kwotowanie:

5,485% - 5,635%

Por. D. Wolniak, Zarządzanie ryzykiem procentowym przy wykorzystaniu instrumentów pochodnych, Biblioteka Menedżera i Bankowca, Warszawa 1997, s. 26-27.

J. Hull, Kontrakty terminowe i opcje, Wprowadzenie, WIG PRESS, Warszawa 1997, s. 124-125.

Por. Jaworski, s. 849-852

14

---