Przykład 1

Wyznaczanie stóp zerokuponowych metodą bootstrapping

Dane są następujące obligacje o wartości nominalnej = 100 PLN (dla obligacji rocznej k=YTM, bo PV = N):

	Okres do wykupu w latach	Oprocentowanie kuponu p.a.	PV
Obligacja 1	1	9,00%	100,00
Obligacja 2	2	9,00%	98,50
Obligacja 3	3	6,00%	89,21
Obligacja 4	4	12,00%	99,30
Obligacja 5	5	14,00%	106,40
Obligacja 6	6	14,15%	103,20

Z powyższych danych wynika, że roczna stopa zerokuponowa wynosi 9%. Na jej bazie wyznaczymy stopę dwuletnią, a następnie stopy natychmiastowe dla kolejnych okresów. Stopy zerokuponowe dla kolejnych lat wynoszą:

= 9,9%

= 11,7%

= 12,57%

= 12,52%

= 14,12%

Przykład 2

Wyznaczanie przybliżonych stóp terminowych

Rok	Stopa natychmiastowa dla n-letniej inwestycji (% w skali roku)	Stopa terminowa dla n-tego roku (% w skali roku)
1	10,0
2	10,5	11,0
3	10,8	11,4
4	11,0	11,6
5	11,1	11,5
Źródło: J. Hull, Kontrakty terminowe i opcje, Wprowadzenie, WIG PRESS, Warszawa 1997, s. 124.

Przykład 3

Wycena swapu odsetkowego rynku pieniężnego

Przykładowe wyliczenie stałej stopy procentowej transakcji swap dla schematu płatności, w którym Bank A zobowiązał się do płacenia stałej stopy procentowej w ciągu jednego roku co 3M, a Bank B z tą samą częstotliwością zobowiązał się wypłacać 3M WIBOR od wartości 100 mln USD, jest następujące:

t	lt	St	Ft-1,t	X t	Yt
1	91	5,00%	5,00%	0,0123	0,2462
2	183	5,25%	5,43%	0,0133	0,2457
3	275	5,50%	5,84%	0,0141	0,2421
4	365	5,60%	5,67%	0,0133	0,2335
SUMA				0,0530	0,9675

X_t =

Y_t =

S =

Wycena swapu: 5,48%
1/2marży.

Przykład 94

Wycena swapu odsetkowego rynku kapitałowego z uwzględnieniem przybliżonej liczby dni w podokresach

Jest 31 stycznia 2010 roku. Wycenie podlega 3-letnia transakcja swapowa polegająca na zamianie półrocznych przepływów opartych o zmienną stopę procentową na przepływy oparte o stopę stałą, wyznaczane od wartości nominalnej równej 1000 000 PLN, przy zabezpieczeniu się przed wzrostem stóp procentowych. Marża wynosi 15 pb. Do kalkulacji stóp terminowych rynku kapitałowego, wykorzystane zostaną stopy natychmiastowe dla obligacji zerokuponowych, które wyznaczymy metodą bootstraping:

Okres	Lata	PV	Kupon	FV (nominał + odsetki w dniu wykupu)
1	0,5	97,8761	0,00%	100,00
2	1,0	100,0970	4,30%	102,15
3	1,5	100,1151	4,26%	102,13
4	2,0	100,0194	4,10%	102,05
5	2,5	100,0468	4,10%	102,05
6	3,0	99,4401	3,80%	101,90

= 4,20%

=
= 4,18%

=
=

=

=

=

Tak więc, stopy zerokuponowe dla rozpatrywanych obligacji kształtują się jak następuje:

Okres	Lata	PV	Kupon	YTM
1	0,5	97,8761	0,00%	4,34%
2	1,0	100,0970	4,30%	4,20%
3	1,5	100,1151	4,26%	4,18%
4	2,0	100,0194	4,10%	4,09%
5	2,5	100,0468	4,10%	4,08%
6	3,0	99,4401	3,80%	4,00%

Na ich podstawie wyliczymy stopy terminowe F_1,2, F_2,3, F_3,4, F_4,5, F_5,6, ponieważ za F_0,1 przyjmiemy stopę natychmiastową (obliczenia dokonywane są na podstawie wzorów uzależniających stopy terminowe od współczynników dyskontowych):

F_0,1 = 4,34%

F_1,2 =

F_2,3 =

F_3,4 =

F_4,5 =

F_5,6 =

Układ stóp terminowych jest więc następujący:

Stopa terminowa	Kwotowanie
F0,1	4,34%
F1,2	4,06%
F2,3	4,15%
F3,4	3,82%
F4,5	4,04%
F5,6	3,60%

Znając powyższe stopy, możemy przystąpić do wyceny stałej stopy swapu. Uwaga! Wyceny dokonujemy w oparciu o wartości średnie, natomiast przy kwotowaniu ostatecznej ceny trzeba dodatkowo uwzględnić marżę, zarówno przy ustalaniu stawek zmiennych jak i stałych:

Znając powyższe stopy, możemy przystąpić do wyceny stałej stopy swapu. Uwaga! Wyceny dokonujemy w oparciu o wartości średnie, natomiast przy kwotowaniu ostatecznej ceny trzeba dodatkowo uwzględnić marżę, zarówno przy ustalaniu stawek zmiennych jak i stałych:

1	2	3	4	5	6	7	8	9
lata	t	zmienna stopa proc. Ft-1,t	wartość nomin.	stopy natych-miast. St	wsp. dysk. =	Xt = 1/2x3x4x6	Yt = 1/2x4x6	wycena stopy swapu wg odp. wzoru
0,0	0				1,000000			4,01%
0,5	1	4,34%	1000000	4,34%	0,978761	21239,11	489380,44
1,0	2	4,06%	1000000	4,20%	0,959287	19473,53	479643,45
1,5	3	4,15%	1000000	4,18%	0,939832	19501,52	469916,17
2,0	4	3,82%	1000000	4,09%	0,922217	17614,34	461108,45
2,5	5	4,04%	1000000	4,08%	0,903957	18259,93	451978,48
3,0	6	3,60%	1000000	4,00%	0,887971	15983,48	443985,69
SUMA						112071,91	2796012,69

Kwotowanie swapu: 4,01%
1/2marży, czyli [3,9350% - 4,0850%]

Po odwróceniu:

4,1750% - 4,0250%

Przykład 5

Wycena swapu odsetkowego rynku kapitałowego z uwzględnieniem rzeczywistej liczby dni w podokresach

Jest 31 stycznia 2010 roku. Wycenie podlega 2-letnia transakcja swapowa polegająca na zamianie kwartalnych przepływów opartych o zmienną stopę procentową (3M WIBOR) na przepływy oparte o stopę stałą, wyznaczane od wartości nominalnej równej 10 000 000 PLN, przy zabezpieczeniu się przed wzrostem stóp procentowych. Stopy terminowe zostały skalkulowane na podstawie stóp rynku pieniężnego i kształtują się jak następuje:

1	2	3	4
t	data płatności	lt	zmienna stopa proc. Ft-1, t
0	2010-01-31
1	2010-04-30	89	6,47%
2	2010-07-31	92	6,06%
3	2010-10-30	91	5,70%
4	2011-01-31	93	5,46%
5	2011-04-30	89	5,30%
6	2011-07-31	92	5,20%
7	2011-10-30	91	5,10%
8	2012-01-31	93	5,08%

Na podstawie podanych stóp terminowych należy dokonać wyceny stałej stopy swap i podać przykładowe kwotowanie, jeśli bank kwotujący stosuje marżę w wysokości 15 pb.

1	2	3	4	5	6	7	8	9
t	data płatności	lt	zmienna stopa proc. Ft-1, t	wartość nomin.	wsp. dysk. =	Xt = x4x5x6	Yt =	wycena stopy swapu wg odp. wzoru
0	2010-01-31				1
1	2010-04-30	89	6,47%	10 mln	0,98447	155 311,43	2 400 485,70727	5,56%
2	2010-07-31	92	6,06%	10 mln	0,96966	148 110,58	2 444 068,97406
3	2010-10-30	91	5,70%	10 mln	0,95607	135 866,87	2 383 629,34824
4	2011-01-31	93	5,46%	10 mln	0,94295	131 181,55	2 402 592,46664
5	2011-04-30	89	5,30%	10 mln	0,93092	120 305,78	2 269 920,32293
6	2011-07-31	92	5,20%	10 mln	0,91888	120 436,06	2 316 078,00569
7	2011-10-30	91	5,10%	10 mln	0,90734	115 369,14	2 262 139,97997
8	2012-01-31	93	5,08%	10 mln	0,89575	115 941,66	2 282 316,04377
SUMA						1 042 523,05	18 761 230,85

Przykładowe kwotowanie:

5,485% - 5,635%

J. Hull, Kontrakty terminowe i opcje, Wprowadzenie, WIG PRESS, Warszawa 1997, s. 124-125.

Por. Jaworski, s. 849-852

8

---