Uniwersytet Technologiczno-Przyrodniczy

im. Jana i Jędrzeja Śniadeckich

w Bydgoszczy

Praca kontrolna

Przedmiot: Kinematyka i Dynamika

Temat: Kinematyka i dynamika ruchu

kulistego

Wydział: Mechaniczny

Kierunek: Mechanika i Budowa Maszyn

Studia niestacjonarne inżynierskie

Semestr III

Rok akademicki 2006/2007

Opracował:

Mariusz Domachowski

Data: 2007-01-20

1. Wprowadzenie

Olbrzymie ilości zjawisk, które bada fizyka dzielimy na kilka dziedzin. Każda z nich obejmuje odrębne grupy zjawisk. Jedną z nich jest mechanika, czyli nauka o ruchu ciał. Mechanika dzieli się na następujące części:

• Kinematyka to dział mechaniki zajmujący się opisem ruchu ciał bez wnikania

w przyczyny zmian ruchu. Kinematyka nie formułuje praw rządzących ruchem, nie daje odpowiedzi na pytanie dlaczego ciała poruszają się w taki, a nie inny sposób. Kinematyka dostarcza tylko metod, za pomocą których można obiektywnie i jednoznacznie opisywać obserwacje dotyczące ruchu oraz odnajdować związki między obserwacjami tego samego ruchu dokonywanymi przez różnych obserwatorów.

• Dynamika jest to dział mechaniki badający związki ruchu ciał i oddziaływań między ciałami. Dynamika odpowiada na pytania, dlaczego jedne ciała poruszają się ruchem jednostajnym, a inne zmiennym, kiedy ciało może poruszać się ruchem postępowym, kiedy obrotowym itd. W zależności od tego, jakim modelem mechanicznym dynamika się zajmuje, wyróżniamy dynamikę punktu materialnego, bryły sztywnej, dynamikę płynów.

• Statyka to nauka o zjawiskach równowagi sił. W celu uproszczenia opisu zjawisk

w statyce pomija się odkształcenie ciała czyli zmianę jego wymiarów i kształtu pod wpływem działania sił, wprowadzając pojęcia ciała sztywnego.

Zanim przejdziemy do opisu ruchu kulistego musimy wyjaśnić zjawisko samego ruchu. Zjawisko to polega na zmianie w czasie położenia tego ciała względem pewnego innego ciała, które umownie przyjmujemy jako nieruchome. Zwykle jako ciało nieruchome przyjmujemy milcząco Ziemię i względem niej badamy ruchy innych ciał. Tak na przykład gdy mówimy o ruchu samochodu czy samolotu, rozumiemy pod tym ruch tych obiektów względem Ziemi. Gdy jednakże rozważamy ruch kuli ziemskiej względem Słońca, to w tym przypadku jako ciało nieruchome traktujemy nie Ziemię, lecz Słońce. Z powyższego wynika, że przed przystąpieniem do badania ruchu jakiegoś ciała należy najpierw ustalić, względem jakiego innego ciała ruch ten będziemy badali. Ciało, które przy badaniu ruchu przyjmujemy umownie jako nieruchome nazywamy ciałem odniesienia. Aby móc określić położenie innych ciał w stosunku do obranego ciała odniesienia, z ciałem tym możemy związać sztywno prostokątny układ współrzędnych, który nazywamy układem odniesienia. Położenie w przestrzeni dowolnego punktu określamy wtedy za pomocą trzech jego współrzędnych prostokątnych.

Z powyższych rozważań wynika, że pojęcie ruchu jest pojęciem względnym. Charakter ruchu ciała zależy bowiem od tego, względem jakiego innego ciała ruch ten badamy. Ruch ciała będziemy uważali za znany, jeżeli potrafimy określić ruch dowolnego punktu tego ciała.

Wszystkie ruchy można przede wszystkim podzielić na ruchy jednostajne i ruchy zmienne. Na postawie kształtu toru ruchu, ruchy dzielimy na prostoliniowe i krzywoliniowe. Można także klasyfikować ruchy na podstawie charakteru zależności wektorów położenia, prędkości i przyspieszenia od czasu.

2. Charakterystyka ogólna ruchu kulistego

Uogólnieniem ruchu obrotowego jest ruch kulisty bryły. Istnieją trzy możliwości wirowania ciała sztywnego. Wobec tego, w ruchu kulistym mogą występować dwa lub trzy stopnie swobody. Cechą charakterystyczną badanego ruchu jest jeden nieruchomy punkt ), pokazany na rys.1

Rys.1 Schemat ogólny ruchu kulistego

Analizę kinetyczną zrealizowano w układzie x, y, z i ruchomym ξ, η, ζ. Bryła stożkowa S_t obraca się dookoła osi ζ. Równocześnie wymieniona oś realizuje ruch obrotowy w stosunku do x oraz z. W rzeczywistości obserwuje się pewien wypadkowy ruch obrotowy. Początek 0 i osie ξ, η oraz x, y wyznaczają płaszczyzny π_ξη­, π_xy. Krawędź N przecięcia się płaszczyzn π_ξη­oraz π_xy jest linią węzłów.

Składowe ruchu obrotowego najkorzystniej można przedstawić za pomocą naturalnych kątów Eulera.

Między linią węzłów N i ruchomą osią ξ wyznaczono główny kąt obrotu φ. Położenie krawędzi N w stosunku do osi x określa kąt precesji ψ. Między osią z i ζ położony jest kąt nutacji
.

Podczas obliczeń szczegółowych potrzebna jest znajomość analitycznych zależności geometrycznych. Położenie osi układów określone jest przy pomocy odpowiednich cosinusów kierunkowych.

cos(x, ξ) = k­₁₁

……………..

cos(y,η) = k­₂₁

……………..

cos(z,ζ) = k₃₃

czyli

cos(oś stała, ruchoma) = k_j

i, j = 1, 2, 3

Współrzędne dowolnego punktu A_i rozpatrywanej bryły kształtują się następująco

x_i = k₁₁ ξ_i + k₁₂ η_i + k₁₃ ζ_i

y_i = k₂₁ ξ_i + k₂₂ η_i + k2₃ ζ_i

z_i = k3₁ ξ_i + k₃₂ η_i + k₃₃ ζ_i

Analogicznie zależności obowiązują dla współrzędnych układu ruchomego

ξ₁ = k₁₁ x_i + k₂₁ y_i + k₃₁ z­_i

η₁ = k₁₂ x_i + k₂₂ y_i + k₃₂ z­_i

ζ₁ = k₁₃ x_i + k₂₃ y_i + k₃₃ z­_i

Dla układów o początku przesuniętym w stosunku do nieruchomego punktu 0 współrzędne oblicza się podobnie, dodając lub odejmując współrzędne przesunięcia

Istnieją również zależności analityczne między położeniem osi i wielkością kątów ψ, φ oraz

k₁₁ = cosψ cosφ - sinψ sinφ cos

k₁₂ = - cosψ sinφ - sinψ cosφ cos

k₁₃ = sinψ sinς

k₂₁ = sinψ cosφ + cosψ sinφ cos

k₂₂ = sinψ cosφ + cosψ sinφ cos

k₂₃ = - cosψ sin

k₃₁ = sinφ sin

k₃₂ = cosφ sin

k₃₃ = cos

Ruch kulisty o trzech stopniach swobody jednoznacznie opisuję zmienne kąty Eulera

φ = f₁(t)

ψ = f₂(t)

= f₃(t)

Pierwsze równanie ruchu kulistego dotyczy głownie ruchu obrotowego, a dwa pozostałe opisują ruch osi ζ.

Podczas analizy kinetycznej ruchu kulistego można z każdego położenia (rys.2) przeprowadzić bryłę do innego położenia metodą obrotu skończonego.

Rys.2 Obrót skończony ruchu kulistego

Zgodnie z definicją ruchu kulistego, punkt 0 jest nieruchomy. Zmiany położenia określają razem z 0 punkty A, B. Z położenia A₁B₁ określonego przez punkty bryła obraca się do części przestrzeni określonej przez A₂B₂. Połączono A₁ z A₂ i B₁ z B₂. Symetralne odcinków określone przez A₁A_s = A_sA₂ oraz B₁B_s = B_sB₂ i prostopadłe z punktów A_s, B_s wyznaczają środek 0. W przestrzeni konstrukcja płaszczyzny symetrii odcinków A₁A₂, B₁B₂

z punktem 0. Oś obrotu skończonego zawiera punkt 0. Ruch kulisty jest przestrzenny.

Z konieczności zastosowania na rysunku 2 skróty perspektywiczne. Określając równe odległości CA₁ = CA₂ oraz CB₁ = CB₂ wyznacza się położenie punktu C i osi C0 obrotu skończonego. Granicznym położeniem skończonej osi obrotu jest oś chwilowa obrotu ruchu kulistego.

3. Prędkość w ruchu kulistym

Zagadnienie prędkości jest uogólnieniem odpowiedniej tematyki ruchu obrotowego oraz w pewnym zakresie płaskiego. Bryła w ruchu kulistym (rys.3) wiruje dookoła ruchomej osi w przestrzeni z wypadkową prędkością kątową

=
_x +
_y +
_z

Rys.3 Analiza prędkości ruchu kulistego

Styczna prędkości dowolnego punktu A jest następująca

ν_i = ω_i r_i

o składowych w układzie stałym

ν_ix = ω_y z_i - ω_z y_i

ν_iy = ω_z x_i - ω_x z_i

ν_iz = ω_x y_i - ω_z x_i

Oś jest równocześnie chwilową osią i tym samym składowe są równe zeru, czyli

ω_y z_i - ω_z y_i = 0

ω_z x_i - ω_x z_i = 0

ω_x y_i - ω_z x_i = 0

Po przekształceniu uzyskuje się równanie osi, na której leżą chwilowe środki obrotu

w układzie stałym

(1.1)

Dla i = 1,..., n można zastosować uogólnienie

x_i → x

y_i → y

z_i → z

Zależność (1.1) przekształcono do postaci

(1.2)

(1.3)

Eliminując z (1.2) i (1.3) czas uzyskano równanie stożkowej aksoidy stałej A_s, utworzonej

z centroid C_i, której tworzącą jest chwilowa oś obrotu OC (rys.4)

Rys.4 Centroidy i aksoidy w ruchu kulistym

Analogicznie wprowadzono równanie chwilowej osi obrotu w układzie ruchomym

→

→

→

oraz w układzie rozdzielonym

Po wyeliminowaniu parametru t otrzymano równanie stożkowej aksoidy ruchomej A_r tworzonej z centroid ruchomych C_ri w układzie realizującym ruch kulisty z bryłą

W ruchu kulistym aksoida ruchoma toczy się po stałej beż poślizgu.

4. Przyspieszenie w ruchu kulistym

W ruchu kulistym występują przyspieszenia kątowe, sztywne oraz normalne. Różniczkując względem wzór (1.1) określono zależność czysto kątową

czyli

Często przyspieszenie kątowe jest ściśle związane ze zmianą kierunku wektora prędkości (rys.5).

Rys.5 Przyspieszenie kątowe ruchu kulistego

Przeprowadzono analizę przyspieszenia kątowego stożka kołowego toczącego się bez poślizgu na płaszczyźnie x, y

Wektor
i
obracają się ze stała prędkością
dookoła osi z, czyli

lub

Podczas obliczeń analitycznych (rys.6) nawiązuje się do ogólnej zależności ruchu obrotowego

Rys.6 Prędkość i przyspieszenie

Odpowiednie składowe przedstawiają się dla układu stałego

oraz ruchomego

Pierwsze dwie składowe dotyczą przyspieszenia stycznego, następne specjalnego kulistego, a ostatnia normalnego.

5. Dynamika ruchu kulistego

Podstawową cechą ruchu kulistego jest ruchoma oś wypadkowa ruchu obrotowego bryły sztywnej. Środek lub biegun ruchu kulistego 0 pozostaje w spoczynku (rys.7).

Rys.7 Dynamika ruchu kulistego bryły

Podstawową wielkością dynamiczną jest kręt względem bieguna 0

czyli

(1.4)

W zależności (1.4) występuje podwójny iloczyn wektorowy typu

zatem

(1.5)

Dla układu współrzędnych prostokątnych

(1.6)

Iloczyn skalarny

(1.7)

czyli podstawiając (1.6) i (1.7) do (1.5) otrzymano

Dla zagadnienia przedstawionego na rysunku 7 kręt na osi ξ jest równocześnie wypadkowym krętem bryły względem 0

oraz dla składowych

Rozpatrywano szczegółowo składową wektora krętu dla osi x

Poszczególne części wzoru określają momenty masowe drugiego stopnia

zatem

(1.8)

Analogicznie wyprowadza się wzory określające dalsze składowe krętu kulistego.

Są one również uzależnione od momentów bezwładności i dewiacji

(1.9)

(2.0)

Często momenty bezwładności są głównymi, wówczas

a wzory (1.8)-(2.0) redukuje się do postaci

Podczas analizy dynamicznej ruchu kulistego istotne jest zastąpienie mas momentami bezwładności lub zboczenia. Zamiast sił bezwładności występują oporowe momenty inercji. Ważne jest też zagadnienie bezwładności dotyczącej ruchu osi.

6. Zakończenie

Jak wykazaliśmy w kinematyce, ruch ogólny ciała sztywnego możemy rozpatrywać jak ruch złożony z ruchu postępowego z prędkością dowolnie obranego bieguna i chwilowego ruchu obrotowego osi względem osi chwilowej przechodzącej przez ten biegun.

Bardzo często stosuje się w technice ruch obrotowy. Napęd maszyn i urządzeń mechanicznych jest najczęściej obrotowy. Również działanie przekładni zębatych, łańcuchowych i pasowych łączy się z wirowaniem kół.

Literatura:

1. Leyko J.: Mechanika ogólna. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2002

2. Wernerowski K.: Kinematyka i dynamika. Wydawnictwo Uczelnianie ATR, Bydgoszcz 1999

4

---