wykład 4 - 7.04.2014 r.

ARMA - prognozy na okresy krótkie

1) ARIMA (1,0,1) = ARMA (1,1)

Prognoza:

(na 1 okres wprzód)

Prognozy maleją geometrycznie począwszy od drugiej wartości.

2) ARIMA (0,1,1)

Na każdym etapie oblicza się warunkowe wartości oczekiwane.

Prognoza:

Dla dowolnych h prognozy te będą przyjmowały wartości stałe (równoległe do osi czasu).

PROGNOZOWANIE NA PODSTAWIE DYNAMICZNEGO MODELU ZGODNEGO

Dynamiczny model zgodny może dotyczyć ekonometrycznego modelowania zależności przyczynowych pomiędzy ekonomicznymi procesami stochastycznymi jak również modelowania jednowymiarowych i wielowymiarowych szeregów czasowych.

Modelem zgodnym nazywamy taki model, w którym proces endogeniczny
jest wyjaśniony przez procesy egzogeniczne wraz z ich całą strukturą dynamiczną, przy czym proces resztowy pozostaje białym szumem.

Przez wewnętrzną strukturę dynamiczną będziemy rozumieć zarówno składowe stacjonarne jak i niestacjonarne (na przykład trend, sezonowość, autoregresję) występujące z różnym nasileniem w każdym z analizowanych procesów.

Założenie: 2 procesy autoregresyjne

model klasyczny (niezgodny)

to
oraz
- reszta zawierałaby w sobie autokorelację, gdyż wartości opóźnione y_t, x_t zostałyby do niej włączone.

Idea modelu zgodnego (Z. Zieliński)

równanie uzgadniające strukturę:

model zgodny:

BADANIE WEWNĘTRZNEJ STRUKTURY PROCESÓW ORAZ KONSTRUKCJE MODELU EMPIRYCZNEGO

Specyfikacja zmiennych objaśniających przebiega dla każdego równania na podstawie badania istotności zależności i własności reszt.

Dynamiczny liniowy model zgodny o zmiennych wartościach średniej dotyczy zarówno procesów stacjonarnych jak i niestacjonarnych, dlatego w modelu uwzględnia się wartość średnią
, która może zawierać trend (
), składnik sezonowy (
) lub jednocześnie oba te czynniki (
).

Liniowy model zgodny można zapisać w postaci:

gdzie:

- wartość średnia procesu, która może przybierać postać:

- proces endogeniczny w czasie bieżącym (t) i w czasie opóźnionym (t-s)

- proces egzogeniczny w czasie bieżącym (t) i w czasie opóźnionym (t-s)

- składnik losowy, biały szum

ETAPY SPECYFIKACJI DYNAMICZNEGO LINIOWEGO MODELU ZGODNEGO DLA PROCESÓW NIESTACJONARNYCH W WARTOŚCI ŚREDNIEJ

1. Badanie struktury wewnętrznej procesów:

1. wyodrębnienie trendu

2. wyodrębnienie składnika sezonowego

3. ustalenie rzędu opóźnień poszczególnych procesów

2. Sformułowanie ogólnego modelu zawierającego maksymalny stopień wielomianu trendu, sezonowość oraz maksymalny rząd autoregresji dla każdego procesu.

	trend	AR (p)
	1	2
	2	2

Stopień wielomianu trendu: max (1,2) = 2


Zapis modelu zgodnego:




szacujemy KMNK


3. Oszacowanie postaci pierwotnej modelu zgodnego uwzględniającej wszystkie wyspecyfikowane składniki.

4. Weryfikacja modelu na podstawie badania istotności zmiennych oraz własności reszt.

5. Interpretacje ocen parametrów strukturalnych oraz ocena dopasowania modelu.

Prognozowanie:

• Stosuje się założenie predykcji ekonometrycznej.

• Wykorzystuje się zasady prognozowania omówione dla modeli trendu, sezonowości i autoregresji.

• Wartości zmiennych objaśniających w okresie prognozowanym:

• jeżeli nie ma innych zaleceń - wylicza się na podstawie jednowymiarowych modeli tych zmiennych, zawierających trend, sezonowość oraz opóźnienia autoregresyjne.

• Można wyznaczyć błędy prognoz ex ante i ex post.

Prognozowanie za pomocą metod adaptacyjnych

Mają zastosowanie kiedy przebieg zjawiska w czasie jest nieregularny lub nawet skokowy, dochodzi do załamania dotychczas obserwowanych trendów.
Zjawiska o charakterze skokowym prowadzą do dezaktualizacji modelu ekonometrycznego co osłabia założenie predykcji.

Cechy metody adaptacyjnej:

• w metodzie adaptacyjnej nie ustala się postaci analitycznej trendu, a jedynie wyznacza się ocenę trendu jako pewną średnią z wartości ocen dokonywanych w okresach wcześniejszych i pewnej liczby najnowszych realizacji zmiennej prognozowanej

• podobnie jak modele tendencji rozwojowej nie prowadzą do wyjaśnienia przyczyn zjawiska, tylko do ustalenia pewnej krzywej opisującej przebieg zjawiska w sposób najbardziej spokojny (giętki)

• prognozowanie na okres krótki

Prognozowanie na podstawie średnich ruchomych

Poszczególnym wartościom szeregu przypisuje się średnią arytmetyczną określonej liczby wyrazów. Im średnia ruchoma jest dłuższa (liczona z większej liczby wyrazów), tym następuje większe wygładzenie badanego szeregu.

Oznaczamy kolejne wartości szeregu czasowego

y₁, y₂, y₃, … , y_n-2, y_n-1, y_n

Średnie ruchome wyznaczamy różnie w zależności od ich długości (k).

→ Gdy k jest nieparzyste (np. k = 3) to średnie ruchome wyznacza się następująco:







itd. aż do przedostatniego okresu




Zauważmy, że przy k=3 straciliśmy jedną informację na początku i jedną na końcu szeregu czasowego (1+1 = 2 straty).

Przy k=5 straty wyniosą już 2 + 2 = 4, a przy k=7 wyniosą aż 3 + 3 = 6.

REGUŁA: Im dłuższa średnia ruchoma (im większe k) tym większe straty na informacji, ale za to lepsze wygładzenie i możliwość zaobserwowania tendencji rozwojowej badanego zjawiska.


→ Gdy k jest parzyste, (np. k=4) to średnie ruchome wyznacza się następująco (tzw. średnia scentrowana):







itd. aż do:




Zakłada się, ze poziom zmiennej prognozowanej nie ulega gwałtowanym zmianom, a ewentualne wahania są niewielkie.

Metodę te stosuje się przy prognozowaniu na krótkie okresy.

Prognozowanie:

- przyjmuje się, że wartości zmiennej prognozowanej w następnym okresie będzie równe średniej arytmetycznej z k ostatnich wartości zmiennej




gdzie:
k jest długością średniej ruchomej i jednocześnie jest stałą wygładzania,


- kolejne obserwacje szeregu czasowego

W powyższym wzorze wagi są jednakowe dla nowszych i starszych informacji.

Średnia ruchoma ważona, np. 3wyrazowa:




Przy czym:


Przykład:




y₃ - najnowsze informacje będą preferowane; postulat postarzania informacji

1

---