Wprowadzenie – modele szeregow czasowych ze stalym poziomem zmiennej prognozowanej

• Metoda naiwna

• Metoda sredniej ruchomej

• Prosty model wyrównywania wykładniczego

Budując prognozy na podstawie tych metod stosuje się zasade status quo, czyli prognoza odzwierciedla stan istniejacy w chwili jej budowy.

Metoda naiwna

Prognoza y_t+1 =y_t

• Stosowana przy niewielkich wahaniach przypadkowych

• Prognozy krotkoterminowe

• Zaklada się, ze wartość składnika losowego w okresie nastepnym będzie = wartości sredniej czyli = O.

Model sredniej ruchomej

$$y_{\text{Tp}} = \frac{1}{k}\ *\sum_{t = n - k + 1}^{n}w_{t\text{\ \ }}*\ y_{t}$$

gdzie:

$$\sum_{t = 1}^{k}w_{t} = 1,\ \ O < w_{t} < 1$$

1. Prosty model wyrównywania wykładniczego, PMWW, prognoza zmiennej Y_t.

S_t + 1 =   ∝ y_t +  (1 − ∝)S_t

S_t - ocena wartości zmiennej Yt w okresie t.

Yt – aktualna wartość zmiennej prognozowanej Yt w okresie t.

∝ - stała wygładzana

O < ∝ < 1

Prognoza może być zapisana:

S_t + 1 =   ∝ y_t + S_t −  ∝S_t =  S_t +   ∝ (y_t − S_t)

gdzie: e_t =  (y_t − S_t) to błąd prognozy w okresie t.

zasada „WW” – prognoza na okres nastepny to prognoza z okresu poprzedniego + poprawka proporcjonalna na bledu prognozy popełnionego w okresie poprzednim.

Blad prognozy jest używany do modyfikowania prognoz na okresy nastepne.

S_t −   jest srednia wazona wszystkich wartosci zmiennej prognozowanej o wagach malejacych wykladniczo.

Model liniowy Brown’a

Podwojne wyrównywanie wykładnicze.

Jeżeli w szeregach czasowych wystepuje trend liniowy oblicza się następujące wartości:

S_t¹ - wyrównane pojedynczo

S_t² - wyrównane podwojnie

S_t¹ =   ∝ y_t +  (1+∝) *  S_t − 1¹

S_t² =   ∝ S_t¹ +  (1+∝) *  S_t − 1²

Założenia początkowe:

S_t¹ =  S_t² =  y₁

PROGNOZA:

$${\hat{}y}_{t + T} = \ a_{t} + b_{t}*T$$

T – odległość okresu prognozowanego od t.

PARAMETRY MODELU:

a_t =  2S_t¹ −  2S_t²

$$b_{t} = \ \frac{\propto}{1 - \propto}({2S}_{t}^{1} - {2S}_{t}^{2})$$

Kwadratowy model Brown’a

Potrojne wyrównywanie wykładnicze.

Jeżeli w szeregu czasowym wystepuje trend nieliniowy np. kwadratowy

y_t =   ∝   + β * t +  γ* t²

kwadratowy model Brown’a

S_t¹ =   ∝ y_t +  (1+∝) *  S_{t − 1′}¹

S_t² =   ∝ S_t¹ +  (1+∝) *  S_t − 1²

………

ZAŁOZENIA POCZĄTKOWE:

S_t¹ =  S_t² =  S_t³ =  y₁

$$S_{t}^{1} = \ S_{t}^{2} = \ S_{t}^{3} = \ \frac{1}{2}(y_{1 +}y_{2})$$

PROGNOZA:

$${\hat{}y}_{t + T} = \ a_{t} + \ b_{t}*T + \frac{1}{2}c_{t}*\ T^{2}$$

T – odległość okresu prognozowanego od t.

Liniowy model Holta

Wyrównywanie dwuparametrowe.

Model stosowany w warunkach trendu liniowego, bardziej elastyczny od modelu liniowego Brown’a.

S_t^h =   ∝ y_t +  (1 − ∝)(S_t − 1^h + C_t − 1) (1)

C_t =  β(S_t^h− S_t − 1^h) +  (1 − β)C_t − 1 (2)

Rownanie 1 – uwzglednia wyraz wolny

Rownanie 2 – reprezentuje trend, wspolczynnik kierunkowy

Najczęściej przyjmujemy:

S_t^h = y₁

$$C_{1} = \left( y_{2} - y_{1} \right)\text{\ lub\ }C_{1} = \frac{y_{2} - y_{1}}{2} + \ \frac{y_{4} - y_{3}}{2}\ $$

PROGNOZA:

$${\hat{}y}_{t + T} = \ S_{t}^{h} + C_{k}*T$$