Wykład 5- 05.05.2014 r.

Modele wyrównania (wygładzania) wykładniczego:

-model Browna

-model Holta

-model Wintersa

Model wyrównania wykładniczego Browna

Założenie: występują wahania trendowe i przypadkowe, nie ma zmian o charakterze cyklicznymi.

Ocena trendu m_t:

m_t = αy_t + (1 − α)m_t − 1

Gdzie:

α- parametr wygładzania, przyjmuje wartości z przedziału <0,1>

-gdy α bliskie jedności, tzn. że większe znaczenie przypisujemy nowszym informacjom oraz przypuszczamy, że wystąpią głębokie załamania (wahania, zmiany)

-gdy α bliskie 0 powtarzają się prawidłowości z przeszłości, większe znaczenie przypisujemy informacjom wcześniejszym, a mniejsze teraźniejszym

α musi być dobrane metodą prób i błędów lub za pomocą optymalizacji.

α=0,3

yt	mt
1,2	1,2
1,4	0,3*1,4+(1-0,3)*1,2
0,9
1,1
1,5

Ogólne równanie trendu:

$$m_{t} = \sum_{i = 1}^{\infty}{{(1 - \alpha)}^{i}y_{t - i} + {(1 - \alpha)}^{i + 1}m_{t - i - 1}}$$

Nazwa wyrównania wykładniczego wynika z tego, że parametry maleją wykładniczo, tzn. wagi wskazują, że informacje wcześniejsze będą miały mniejsze znaczenie niż późniejsze.

Jak prognozować na okres n+h? (h- horyzont prognozy)

y_TP = m_t + (m_t−m_t − 1)h = m_t + m_th

Obliczamy mierniki dokładności ex post (ex ante się nie da)

1.$\ \mu = \frac{1}{h}\sum_{}^{}{(y_{T} - y_{\text{TP}}) \approx 0}$ - bo predykcja ma nieokreślony charakter

2. $\text{Sp}^{2} = \frac{1}{h}\sum_{}^{}{(y_{T} - y_{\text{TP}})\hat{}2}$ wariancja prognozy

Można sprawdzić dokładność prognozowania w okresie próby. Kryterium wyboru α, µ jak najbliższe 0 i Sp² jak najmniejsze.

$$\text{kryteria}\ \text{optymalizacji}\ \text{modelu}\left\{ \begin{matrix} \mu \rightarrow 0 \\ \text{Sp}^{2} \rightarrow \min \\ \end{matrix} \right.\ $$

Model Holta

Można stosować, gdy występują zmiany w trendzie i wahania przypadkowe.

Wyznacza się:

-m_t- ocenę trendu

-d_t- ocenę przyrostów trendu.

Ocena trendu:

m_t = αy_t + (1−α)(m_t − 1 + d_t − 1)

Za m₁ można przyjąć y_1.

Ocena przyrostów trendu:

d_t = β(m_t−m_t − 1) + (1 − β)d_t − 1

Za d₁ można przyjąć y₂-y₁

Wyznaczanie prognozy:

y_TP = m_n + hd_n

Model Wintersa

W modelu tym wyznacza się:

-ocenę trendu m_t

-ocenę składnika losowego S_t

-ocenę przerostów trendu d_t

Dopuszcza się możliwość zmian w trendzie i wahaniach sezonowych

Y_t = P_t + S_t + ε_t

Ocena trendu:

m_t = α(y_t−S_t − l) + (1−α)(m_t − 1+d_t − 1)

Ocena składnika losowego:

$$S_{t} = \gamma\left( y_{t} - m_{t} \right) + (1 - \gamma)S_{\begin{matrix} t - l \\ \\ \end{matrix}}$$

Ocena przyrostów trendu:

d_t = β(m_t−m_t − 1) + (1 − β)d_t − 1

Gdzie:

S_t-l- ocena składnika sezonowego sprzed l okresów (odnosimy się do analogicznego okresu roku poprzedniego)

α, β, γ- parametry modelu o wartościach z przedziału <0,1>, znajdowane metodą prób i błędów

α, β, γ- bliskie 1 oznacza, ze model będzie wrażliwy na wahania przypadkowe

α, β, γ- bliskie 0, tzn. że jest ryzyko że model będzie zbyt wolno reagować na zmiany przypadkowe

Wyznaczanie prognozy

-równanie prognozy na okres n+h

y_TP = m_n + hd_n + S_{t − l + h}

Gdzie:

Y_TP- prognoza wyznaczana na okres t

l- nr okresu wcześniejszego

S_t-l+h- ocena składnika sezonowego z okresu wcześniejszego o 1

Wykorzystuje się tu zasadę, że przyrosty są względnie stałe.

Modele wygładzania wykładniczego stosowane są do prognozowania na okresy krótkie.

Można policzyć tylko błędy ex post.

Wyrównywanie szeregu za pomocą trendu pełzającego i prognozowanie za pomocą wag harmonicznych

-stosujemy wtedy gdy obserwujemy gwałtowny skok do innego poziomu stałego

-stosujemy odcinki trendów dla podrób, problem wyboru długości odcinka

-może być stała

-można przyjąć minimalną liczebność próby i przesuwać o jedną obserwację

Będziemy szacować kolejne odcinki trendu liniowego dla tych podrób

y₁, y₂, …y_t

y₂, y₃, …, y_t + 1

.

.

.

y_{n − l + 1}, y_{n − l + 2}, …y_n

Dla każdej z tych podrób szacuje się modele trendu liniowego.

Modele trendów

${\hat{y}}_{t} = \alpha_{1}t + b_{1}$ t=1,2…l

${\hat{y}}_{t} = \alpha_{2}t + b_{2}$ t=2,3…l+1

${\hat{y}}_{t} = \alpha_{n - l + 1}t + b_{n - l + 1}$ t=n-l+1, n-l+2….n

Mając oszacowane modele dla podrób można obliczyć wartości wyrównane ${\hat{y}}_{t}$, a następnie wygładzone wartości całego szeregu (w przybliżeniu oceny trendu_

Oceny trendu pełzającego (wartości wygładzone) są to średnie z wartości teoretycznych

$${\overset{\overline{}}{y}}_{t} = \frac{1}{m_{i}}\sum_{i = 1}^{m_{i}}{\hat{y}}_{i}$$

Mając wygładzone wartości szeregu mogę stosować prognozowanie metodą wag harmonicznych

1. Etap obliczania przyrostów trendu wygładzonego

$\omega = {\overset{\overline{}}{y}}_{t} - {\overset{\overline{}}{y}}_{t - 1}$ t=1,…u

1. Etap obliczania średniej przyrostów

$${\overset{\overline{}}{\omega}}_{t} = \sum_{t = 1}^{n}{c_{t}\omega_{t}}$$

c_t- wagi harmoniczne, które przyjmują wartości (0,1); suma tych wag=1

Sposób doboru wag spełnia postulat postarzania informacji.

Wagi harmoniczne wyznacza się w następujący sposób:

$c_{t} = \frac{1}{n - 1}\sum_{i = 1}^{n}\frac{1}{n - 1}$ dla t=1,…n-1

Wagi wyznacza się dla każdego n

Odchylenie standardowe przyrostu trendu pełzającego

$$S_{\omega} = \sqrt{\sum_{t = 1}^{n}{{(\omega_{t} - {\overset{\overline{}}{\omega}}_{t})}^{2}c_{t}}}$$

Prognozę wyznacza się w ten sposób, że dodajemy prostą o nachyleniu równym przyrostowi trendu, zatem:

$$y_{\text{TP}} = {\overset{\overline{}}{y}}_{n} + \overset{\overline{}}{\omega}h = {\overset{\overline{}}{y}}_{n} + (\sum_{}^{}{\omega_{t}c_{t})h}$$

Gdzie ${\overset{\overline{}}{y}}_{n}$- ostatnia ocena trendu pełzającego.

Trafność metody wag harmonicznych ocenione jest ex post, po realizacji informacji rzeczywistych.

Prognozowanie na podstawie modelu wielorównaniowego

Zapis modelu wielorównaniowego (postać strukturalna)

AY+BX=η

Y- wektor gx1 zmiennych endogenicznych modelu

X- wektor mx1 zmiennych objaśniających

1. macierz gxg parametrów stojących przy nieopóźnionych zmiennych endogenicznych

2. macierz gik parametrów stojących przy zmiennych objaśniających

η- wektor składników losowych o wymiarach gx1

Ze względu na rodzaj powiązań pomiędzy nieopóźnionymi zmiennymi endogenicznymi wyróżniamy modele wielorównaniowe:

-modele proste (KMNK)

-modele rekurencyjne (KMNK w odpowiedniej kolejności)

-modele o równaniach współzależnych (2MNK i inne sposoby)

Postać strukturalna modelu przedstawia strukturę teorii ekonomicznej, na której została oparta specyfikacja równań modelu.

Prognozowanie na podstawie modeli wielorównaniowych:

• model prosty- prognozuje się na podstawie postaci strukturalnej modelu, każde równanie oddzielnie

• model rekurencyjny- jak wyżej; wg kolejności występowania zmiennych endogenicznych

• model o równaniach współzależnych- prognozuje się na podstawie postaci zredukowanej modelu (na 1 okres wprzód) lub na podstawie postaci końcowej (na dłuższe okresy). Czasami wyjątkowo prognozuje się na podstawie postaci strukturalnej, ale pomija się współzależność (tylko na krótkie okresy)

Inny zapis modelu wielorównaniowego:

y_t = Ay_t + By_t − 1 + CX_t + u_t

Przykład(*)

$$\left\{ \begin{matrix} \text{KONS}_{T} = a_{1}\text{DNW}_{t} + b_{1}\text{KONS}_{t - 1} + c_{1} + u_{t} \\ \text{DNW}_{t} = \text{KONS}_{t} + \text{INW}_{t} \\ \end{matrix} \right.\ $$

Równanie pierwsze jest równaniem stochastycznym, drugie zaś tożsamością. Potraktowaie tego jako systemu daje:

$$y_{t} = \begin{bmatrix} \text{KONS}_{t} \\ \text{DNW}_{t} \\ \end{bmatrix}$$

$$A = \begin{bmatrix} 0 & a_{1} \\ 1 & 0 \\ \end{bmatrix}$$

$$y_{t - 1} = \begin{bmatrix} \text{KONS}_{t - 1} \\ \text{DNW}_{t - 1} \\ \end{bmatrix}$$

$$B = \begin{bmatrix} b_{1} & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{bmatrix}$$

$$x_{t} = \begin{bmatrix} \text{INW}_{t} \\ 1 \\ \end{bmatrix}$$

$$C = \begin{bmatrix} 0 & c_{1} \\ 1 & 0 \\ \end{bmatrix}$$

$$u_{t} = \begin{bmatrix} u_{t} \\ 0 \\ \end{bmatrix}$$

Postać zredukowaną otrzymamy po eliminacji jednoczesnych związków miedzy zmiennymi endogenicznymi (Ay_t)

y_t − A_yt = By_t − 1 + Cx_t + u_t

(I−A)y_t = By_t − 1 + Cx_t + u_t

1. macierz jednostkowa

Mnożąc przez macierz odwrotną (I-A)^-1 otrzymamy:

y_t = (I − A)⁻¹By_t − 1 + (I − A)⁻¹Cx_t + (I − A)⁻¹u_t

Dokonując odpowiednich podstawień otrzymujemy:

y_t = P₂y_t − 1 + P₁x_t + P₀u_t − postac zredukowana

Jako zmienne objaśniające nie występują nieopóźnione zmienne endogeniczne (współzależne)

Macierz P₂ charakteryzuje bezwładność systemy, a jej elementy mówią o tym jaka część jednostkowej zmiany wartości zmiennej endogenicznej jest przez system przenoszona na zmienne endogeniczne w okresie następnym. Im mniejsze elementy macierzy P₂ tym słabiej zmienna endogeniczna reaguje na to co działo się w przeszłości. Skrajny przypadek: elementy macierzy=0, co znaczy, że zmiany systemu endogenicznego nie zależą od swojej przeszłości tylko reagują na bieżące zmiany wartości zmiennej egzogenicznej.

Macierz P₁- charakteryzuje siłę reakcji zmiennej endogenicznej na zmiany zmiennej egzogenicznej. Jej elementy nazywa się mnożnikami bezpośrednimi systemu.

Macierz P₀- macierz charakteryzuje siłę z jaką jednostkowe zakłócenia wybranego równania zmieniają (po przebiegnięciu przez cały system) wartość zmiennej endogenicznej. Jej elementy nazywa się mnożnikami względem zakłóceń. Informują one o stopniu współzależności danej zmiennej endogenicznej z pozostałymi zmiennymi endogenicznymi.

Jednostkowy impuls ze strony zakłócenia= odchylenie standardowe reszt ±Su_i