SPRAWOZDANIE

Nr ćwiczenia 101	Data 10.11.1999	Imię i nazwisko ŁUKASZ WALOTKA		Wydział BM Mechatronika	Semestr I		Grupa MC -2 nr lab.
Prowadzący dr hab. M. KOZIELSKA			Przygotowanie	Wykonanie		Ocena

WYZNACZANIE PRZYSPIESZENIA ZIEMSKIEGO ZA POMOCĄ WAHADŁA REWERSYJNEGO I MATEMATYCZNEGO

1.Podstawy teoretyczne:

Przyspieszenie ziemskie - przyspieszenie jakie uzyskuje spadające swobodnie ciało poddane wyłącznie działaniu siły ciężkości (G). Przyspieszenie ziemskie oznaczamy literą g i wynosi ono 9,807 m/s². Między siłą ciężkości, a przyspieszeniem ziemskim zachodzi zależność:

(1)

Do wykonania doświadczenia posłużę się wahadłem matematycznym i wahadłem rewersyjnym oraz urządzeniem czasowo - zliczającym:

1. Wahadło matematyczne - jest punktem materialnym o masie m zawieszonym na nieważkiej i nierozciągliwej nici długości l.

Wahadło wychylone z położenia równowagi o kąt α , rozpoczyna ruch drgający* pod wpływem siły ciężkości G. Jest ona składową dwu sił G_|| działającej równolegle do kierunku nici i siły G_⊥ do niej prostopadłej. Siła G_|| jest równoważona oporem nici. Z tego wynika , że ruch wahadła odbywa się dzięki sile G_⊥=G⋅sinα.

Można to zapisać następującym równaniem ruchu:

(2)

zakładając , że kąt wychylenia α jest mały ,wtedy sinα ≈ tgα . wahadło będzie poruszało się ruchem harmonicznym**. Ponieważ tgα =
równanie ruchu (2) przyjmie postać:

(3)

oraz z definicji:
(4)

Dla ruchu harmonicznego prawdziwe jest równanie różniczkowe:

(5)

Porównując równania (3) ; (4) ; (5) , oraz wiedząc , że
otrzymamy wzór na okres drgań wahadła matematycznego:

(6)

(*ruch drgający - ruch okresowy , w którym wszystkie punkty drgającego układu po upływie stałego odstępu czasu wracają w sposób powtarzalny do stanu wyjściowego. Ten odstęp czasu nazywamy okresem drgań i oznaczamy literą T.

**ruch harmoniczny - ruch , w którym przyspieszenie jest proporcjonalne do współrzędnej (wychylenia) ,lecz przeciwnie skierowane.)

przebieg doświadczenia:

• kulkę wahadła matematycznego wprowadzamy w szczelinę czujnika fotoelektrycznego

• regulujemy jego długość tak, aby kreska na kulce pokrywała się z kreską na czujniku

• odczytujemy długość wahadła i oznaczamy ją jako l

• wychylamy wahadło o niewielki kąt i wprawiamy w ruch

• mierzymy czas 10-ciu wahnięć

• obliczamy okres T wahań wahadła matematycznego

• pomiary powtarzamy dla trzech długości wahadła matematycznego

• obliczamy wartość przyspieszenia ziemskiego g znając okres T i długość wahadła matematycznego korzystając z wzoru (6) przekształconego do postaci:

(7)

2) Wahadło fizyczne - każde ciało sztywne mogące się wahać wokół osi poziomej. Od wahadła matematycznego różni się tym , że ma dowolny rozkład masy. w zakresie małych amplitud ruch wahadła fizycznego podobnie jak matematycznego jest ruchem harmonicznym.

Przy wychyleniu ciała o kąt ϕ działa na wahadło moment ciężkości uczepiony w środku ciężkości wahadła i równy:

(8)

(gdzie L - odległość między punktem zaczepienia wahadła , a środkiem ciężkości wahadła)

Wiemy również, że:

(9)

Dodając stronami wzory (7) i (8) oraz wiedząc, że dla małych wychyleń sinϕ ≈ ϕ otrzymujemy wyrażenie:

(10)

podstawiając za:

(11)

oraz wiedząc, że:

(12)

Po odpowiednich przekształceniach otrzymujemy wzór na okres drgań wahadła fizycznego:

(13)

Mając wahadło fizyczne można dobrać wahadło matematyczne o takiej długości (l_r), że okresy ich drgań będą jednakowe. Długość tą nazywamy długością zredukowaną wahadła fizycznego.

Porównując wzory (6) i (12) otrzymamy wzór na wartość długości zredukowanej:

(14)

Aby wyznaczyć długość l_r korzystamy z własności wahadła fizycznego: wahadło zawieszone w punkcie A , a następnie w punkcie B ma taki sam okres, jeżeli odległość między punktami zawieszenia jest długością zredukowaną. Znając l_r możemy obliczyć okres drgań wahadła fizycznego ze wzoru (6).

Aby ułatwić sobie wyznaczenie l_r można użyć tzw. wahadła rewersyjnego

Wahadło rewersyjne - (odmiana wahadła fizycznego) pręt mogący się wahać względem dwu stałych osi przechodzących przez punkty A i B (ostrza) odległe od siebie o l. Na pręcie są umocowane przesuwnie dwa ciężarki (soczewki), jeden między A i B, a drugi na zewnątrz punktu A. Ciężarki przesuwa się tak długo, aż okresy drgań przy zawieszeniu w punktach A i B będą równe. Wtedy l jest długością zredukowaną wahadła.

Przebieg doświadczenia:

• mocujemy ostrza A i B w pobliżu końców wahadła

• soczewkę pierwszą umieszczamy między ostrzami w pobliżu ostrza B, a drugą na zewnątrz ostrzy w pobliżu ostrza B

• mierzymy czas 10-ciu wahnięć wahadła zawieszonego w punkcie A, a następnie w punkcie B

• obliczamy odpowiednie okresy t_a i t_b

• zmieniamy położenie pierwszej soczewki między ostrzami A i B co 5 - 10 cm, powtarzając pomiary okresów t_a i t_b

• wykonujemy wykres okresów t_a i t_b w funkcji położenia soczewki pierwszej. Punkt przecięcia się krzywych wyznacza położenie soczewki, dla którego okres T jest jednakowy dla obu zawieszeń

• w takim przypadku odległość między ostrzami jest długością zredukowaną l_r

• przyspieszenie ziemskie g obliczamy z wzoru (7) gdzie l = l_r

(15)

2. wyniki pomiarów:

TABELA 1: Wyniki pomiarów okresu wahadła matematycznego w zależności od jego

długości

Długość l wahadła matematycznego [m]	Czas 10-ciu wahnięć [s]	Okres T wahadła matematycznego [s]
0,3	11,036	1,1036
0,25	10,046	1,0046
0,22	9,415	0,9415
0,19	8,786	0,8786

TABELA 2: Wyniki pomiarów okresu wahadła rewersyjnego w zależności od jego

długości i punktu zawieszenia

Długość wahadła fizycznego [cm]	Odległość soczewki od ostrza B [cm]	Punkt zawieszenia	Czas 10-ciu wahnięć [s]	Okres T [s]
97	10	A	19,597	1,9597
				B	17,629	1,7629
			20	A	19,282	1,9282
				B	16,625	1,6625
			30	A	19,031	1,9031
				B	16,360	1,6360
			40	A	18,856	1,8856
				B	16,538	1,6538
			50	A	18,781	1,8781
				B	16,976	1,6976
			60	A	18,819	1,8819
				B	17,574	1,7574
			70	A	18,983	1,8983
				B	18,252	1,8252
			80	A	19,310	1,9310
				B	19,001	1,9001
			90	A	19,801	1,9801
				B	19,905	1,9905

3. Obliczenia:

TABELA 3: Obliczanie przyspieszenia ziemskiego g wyznaczonego doświadczalnie przy

użyciu wahadła matematycznego

Długość l wahadła matematycznego [m]	Okres T wahadła matematycznego [s]	Przyspieszenie ziemskie g obliczane ze wzoru (7) [m/s^2]
0,3	1,1036	9,724
0,25	1,0046	9,779
0,22	0,9415	9,798
0,19	0,8786	9,717

(7)

Arytmetyczną wartość średnią przyspieszenia ziemskiego dla wykonanych wyżej pomiarów obliczymy ze wzoru:

Średnia arytmetyczna przyspieszenia ziemskiego na podstawie danych z tabeli 3 [m/s^2]

9,7545

Aby dokonać obliczeń przyspieszenia ziemskiego dla doświadczenia wykonywanego za pomocą wahadła fizycznego musimy znać jego długość zredukowaną l_r . w tym celu na podstawie danych z tabeli 2 wykonujemy wykres zależności okresów t_a i t_b w funkcji położenia soczewki 1.

Punkt przecięcia się krzywych t_a i t_b wskaże położenie soczewki 1 dla, którego długość wahadła jest jego długością zredukowaną l_r

TABELA 4: Obliczanie przyspieszenia ziemskiego g wyznaczonego doświadczalnie przy

użyciu wahadła fizycznego

Długość zredukowana wahadła fizycznego lr [m]	Okres T, drgań wahadła fizycznego [s]	Przyspieszenie ziemskie g obliczane ze wzoru (15) [m/s^2]
0,97	1,9739	9,828

(15)

4. Dyskusja błędów:

podczas wykonywania doświadczenia nie można uniknąć błędów. Pojawiają się tzw. błędy pomiaru wynikające najczęściej z niedokładności przyrządów pomiarowych. Przy wykonywaniu serii pomiarów jak to było w przypadku wahała matematycznego oblicza się tzw. błąd średni kwadratowy korzystając ze wzoru:

podstawiając za x_i wartości przyspieszenia ziemskiego z tabeli 3, a za n serię 4 doświadczeń otrzymujemy:

σ = ± 0,0401

Seria doświadczeń była mała więc otrzymany wynik musimy pomnożyć przez tzw. współczynnik studenta - Fishera (t_n), który dla serii 4 doświadczeń wynosi t_n =1,3. Ostatecznie więc:

σ = 0,0401⋅ 1,3 = ± 0,052

Przy wykonywaniu doświadczenia za pomocą wahadła rewersyjnego błąd maksymalny obliczamy za pomocą metody różniczki zupełnej określonej wzorem:

gdzie: Δz - błąd maksymalny

Δx₁;Δx₂ - błędy pomiaru

dla wahadła rewersyjnego przyjmuje ona postać:

Δl_r = ± 0,001 m

ΔT = ± 0,001 s

Podstawiając do wzoru wartości liczbowe z tabeli 4 otrzymujemy:

TABELA 5: Zestawienie wartości przyspieszenia ziemskiego otrzymanych doświadczalnie z

tablicowym

Przyspieszenie ziemskie [m/s^2] [tablice fizyczne]	Przyspieszenie ziemskie [m/s^2] [wyznaczone za pomocą wahadła matematycznego]	Przyspieszenie ziemskie [m/s^2] [wyznaczone za pomocą wahadła rewersyjnego]
9,81	9,75 ± 0,06	9,82 ± 0,02

5. Wnioski:

opisane powyżej doświadczenia pozwalają na wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego z dość dużą dokładnością, którą można jeszcze zwiększyć wykonując większą serię doświadczeń dla wahadła matematycznego lub wykonując pomiary dla kilku długości wahadła w przypadku wahadła rewersyjnego.

9

G

G

G

m

x

l

∝

1

B

A

2

l

---