Materialny do ćwiczeń z Rysunku technicznego

Opracował dr inż. Andrzej Iwaniak

I. Obrazy elementów podstawowych

1.1 Wstęp

Na wykładach studenci poznają konstrukcje trzech rzutni prostopadłych. Konstrukcja rzutu poziomego, pionowego i bocznego jest prosta. Automatyczna jest procedura wyznaczenia na podstawie dwóch znanych rzutów punktu rzutu trzeciego. Ważną i wymagającą ćwiczenia jest umiejętnością wyznaczenia rzutu punktu, prostej czy śladów płaszczyzny na dwie rzutnie. Wyznaczając dwa punkt prostej można wyznaczyć jej rzuty a trzy punkty - obraz płaszczyzny, na której te punkty leżą. Widać z tego, że podstawową umiejętnością jednoznacznego określania elementów podstawowych w przestrzeni jest znalezienie rzutu poziomego i pionowego punktu prostej i płaszczyzny. Obraz rzutu bocznego ma ważne znaczenie poglądowe dla lepszego pokazania elementów przestrzeni których usytuowanie jest szczególne.

1.2 Układ rzutni

Wyznaczając dwa rzuty równoległe punktu jednoznacznie określamy jego położenie w przestrzeni. Posiadając rzut poziomy punktu A - nazywany A` wiemy, że punkt ten leży na prostej rzutującej przechodzącej prze punk A dopiero posiadani obrazu drugiego rzutu jednoznacznie określa jego położenie. Posługiwanie się dwoma rzutami równoległymi jest podstawowa umiejętnością rysunku technicznego. Płaski, dwuwymiarowy układ rysunku otrzymuje się przez odpowiednie rozmieszczenie rzutów po uprzednim złożeniu dodatnich i ujemnych części rzutni poziomej i pionowej. Prezentuje to rysunek 1a i b

Rys 1. Układ rzutni a) przestrzenny układ rzutni poziomej i pionowej z podaniem sposobu składanie rzutnie do okładu płaskiego b) układ płaski rzutni z oznaczeniem części ujemnych i dodatnich.

Przyjmując dwie wzajemnie prostopadłe płaszczyzny
i
i nazywając je kolejno rzutnia pozioma i pionowa otrzymujemy prostą x =
*
i układ odniesienia oznaczany (
,
). Prostą nazywamy osią rzutowania. Prosta dzieli obie rzutnie na części dodatnie i ujemne. Układ odniesienia (
,
) dzieli przestrzeń na cztery części zwane ćwiartkami przestrzeni oznaczanymi cyframi rzymskimi I, II, III i IV. Zgodnie z zasada składania rzutni do układu płaskiego ćwiartki I i II znajdujące się nad rzutnią
a w układzie płaskim rysujemy nad osią rzutowania. Ćwiartki III i IV po rzutnią
i pod osią rzutowania. Przyjmując za odniesieni płaszczyznę
ćwiartki I i IV znajdują się przed rzutnią pionową a II i III za rzutnią pionowa
. Po sprowadzeniu do układu płaskiego ćwiartka I znajdzie się nad osią rzutowania a IV pod.

1.3. Obraz punktu

Proste rzutujące wyznaczające kierunki rzutowania k


- prosta poziomo-rzutująca i k


- prosta pionowo- rzutująca. Rzuty punktu A` i A`` (odczytujemy A z kreską i A z dwiema) są odpowiednio rzutami poziomym i pionowym punktu A. Oba rzuty jednoznacznie określają położenie punktu A w przestrzeni. Konstrukcję przestrzenną i sprowadzoną do układu płaskiego wyjaśnia rysunek 2.

Rys. 2. Konstrukcję przestrzenną i sprowadzoną do układu płaskiego rzutów punktu A

Rzutowany punkt znajduje się w I ćwiartce i jak każdy punkt tej ćwiartki posiada dodatnią głębokość i dodatnią wysokość. W przypadku punktów znajdujących się w innych ćwiartkach niż I konstrukcje są analogiczne.

Rys. 4. Różne położenia punktów w przestrzeni a) obraz przestrzenny b) obraz sprowadzony do płaszczyzny rysunku

Szczególne położenie punktów to punkty leżące na rzutni lub osi rzutowania. Obrazy tych punktów znajdują się na rys. 5.

Rys. 5. Szczególne położenia punktu w przestrzeni a) obraz przestrzenny b) obraz sprowadzony do płaszczyzny rysunku

Wnioski

Dwa rzuty prostokątne A` i A`` pewnego punktu A określają jednoznacznie jego położenie w przestrzeni, stanowią więc jego obraz.

Dwa rzuty prostokątne A` i A`` pewnego punktu A muszą znajdować się na prostej odnośnej A`A``
lub być zjednoczone w jednym punkcie A`=A`` aby stanowić obraz punktu A warunek ten decyduje o poprawności rzutów punktu A.

Rzuty punków w położeniu szczególnym posiadają co najmniej jeden z wymiarów : wysokość lub głębokość zerowy.

Pytania i ćwiczenia

1. Kiedy rzuty A` i A`` przyporządkowane sobie w przestrzeni są rzutami jednego punktu A?

2. Ile punktów w przestrzeni określają dwa rzuty prostokątne A` i A`` jeżeli prosta A`A`` jest
   x ?

3. Co można powiedzieć o punkcie A, którego a) rzut A` leży na osi , b) rzut A`` leży na osi , c) obydwa rzuty leża na osi , d) rzuty A` i A`` jednoczą się powyżej osi , e) rzuty A` i A`` jednoczą się poniżej osi , f) rzuty A` i A` znajdują się po tej samej stronie osi , g) rzuty A` i A` znajdują się w równej odległości od osi ?

4. Wykreślić w rzutach prostokątnych obraz punktów:

A, jeżeli w= 30 mm i g = 15 mm

B, jeżeli w=-20 mm i g = - 25 mm

C, jeżeli w= - 50 mm i g = 20 mm

D, jeżeli w=-30 mm i g= - 30mm

5. Zmierzyć i wypisać głębokości i wysokości punktów których obrazy przedstawia rys. 6.

Rys. 6.

6. Dane są dwa rzuty punktu A (rys. 7). Wykreślić rzuty punktu B, symetrycznego do punktu A względem rzutni poziomej
.

Rys. 7 Rys. 8 Rys. 9

7. Dane są dwa rzuty punktu A (rys. 7). Wykreślić rzuty punktu B, symetrycznego do punktu A względem rzutni pionowej
.

8. Dane są dwa rzuty punktu A (rys. 7). Wykreślić rzuty punktu B, symetrycznego do punktu A względem osi rzutowania .

1.4. Obraz prostej

Obraz przestrzenny prostej oraz sprowadzony do płaszczyzny rysunku prezentuje rys. 10.

Rys. 10.

Dwa punkty obrane dowolni na prostej m można zrzutować zgodnie z wcześniej poznanymi zasadami. Rzuty prostej jednoznacznie określają jej miejsce w przestrzeni. Podobnie rzuty dwóch różnych (nie zjednoczonych) punktów A i B dają możliwość odtworzenia tylko jednej prostej przechodzącej przez te punkty. Mówimy wówczas, że prostą można podać za pomocą rzutów lub dwóch nie jednoczących się punktów (rys. 11). Punkty są różne jeżeli odpowiednie rzuty mają różne.

Rys. 11

Wyjątek stanowi prosta leżąca w tzw. płaszczyźnie podwójnie rzutującej
(rys. 12 a,b). Prosta m=AB posiada rzuty które niejednoznacznie określają jej miejsce w przestrzeni. Można narysować nieskończenie wiele prostych posiadających rzuty m` i m`` jeżeli prosta m leży w płaszczyźnie podwójnie rzutującej
. Płaszczyzna ta jest prostopadła do obu rzutni. Aby jednoznacznie określić ta prostą w przestrzeni należy do rzutów m` i m`` podać rzuty punktu A leżącego na tej prostej lub podać jedynie rzutu dwóch punktów A i B należących do prostej m (rys. 12 c,d).

Wnioski

Jeżeli prosta m nie jest prostopadła do osi rzutów x to ich obydwa rzuty prostokątne m` i m`` określają jej obraz tzn. jednoznacznie określają położenie prostej w przestrzeni.

Warunkiem koniecznym i wystarczającym aby punkt A przynależał do prostej m (nieprostopadłej do osi x) jest aby odpowiednie rzuty punktu A leżały na odpowiednich rzutach prostej m.

Punkt przebicia prostej z rzutnią (punkt wspólny prostej i rzutni) nazywamy śladem prostej.
- to ślad poziomy prostej m (h - bo horyzontalny),
- to ślad pionowy prostej m (V - bo wertykalny). Należy pamiętać, że ślad poziomy prostej oprócz tego, że jest zawsze punktem leżącym na rzutni poziomej leży zawsze na rzucie poziomym prostej. Poszukując śladu poziomego należy analizować punkty o wysokości zerowej gdy rzut poziomy punktu (śladu) leży na rzucie poziomym prostej ( rys. 13). Anlogicznie postępujemy ze śladem pionowym

Rys. 13. Znajdowanie śladów prostej

Ślady są punktami leżącymi na rzutniach stąd
i
są zjednoczone z osią rzutowania x.

Wniosek

Para śladów
i
nie jednoczących się w jednym punkcie
=
leżącym na osi rzutowania określa dokładnie jedną prostą w przestrzeni.

Prostą można zatem podać za pomocą rzutów, rzutów punktów leżących na prostej lub za pomocą śladów. W przypadku prostej leżącej na płaszczyźnie prostopadłej do osi rzutowania x -podwójnie-rzutującej (rys. 14) podanie jej śladami nie wymaga dodatkowych punktów prostej jak w poprzednim przypadku (str. 7) podania jej za pomocą rzutów. Znalezienie dodatkowego potrzebnego w niektórych przypadkach punktu tej prostej jest wygodne po zastosowaniu trzeciej rzutni
lub po zastosowaniu zasady proporcjonalnych odległości rzutów punktu do śladów tj. stosunek nowego punktu jej taki sam jak stosunek głębokości do wysokości odpowiednich śladach. Na podstawie śladów można wyznaczyć rzuty prostych.

Rys. 14. Proste m podana śladami i jej rzuty

Znane są liczne proste w położeniu szczególnym. Znajomość ich własności jest niezwykle pomocna przy rozwiązywaniu zagadnień geometrycznych i ułatwię poszukiwanie rozwiązań większości konstrukcji.

Proste w położeniu szczególnym.

Jeżeli prosta leży na rzutni to jeden z jej rzutów jednoczy się z osią rzutowania. Oba rzuty jednoczą się z osią rzutowanie jedynie w przypadku prostej pokrywającej się z osią rzutowania. w innym przypadku żaden z rzutów nie jednoczy się z osią rzutowania. prosta może natomiast mieć punkt wspólny z osią rzutowania co uwidacznia się zjednoczeniem jej śladów na osi x. Przypadki te opisują rysunki 15 i 16.

Rys. 15 Rys. 16

Prosta pionowa - jest prosta poziomo- rzutującą (obraz rzutu poziomego tej prostej jednoczy się w jednym punkcie - stad nazwa poziomo-rzutująca). Prosta pionowa jest prostopadła do rzutni poziomej co skutkuje obrazem rzutu pionowego prostopadłego do osi rzutowania. Prosta nie posiada śladu pionowego (rys. 17)

Rys. 17. Prosta pionowa a) obraz przestrzenny, b) obraz sprowadzony do płaszczyzny rysunkowej.

Prosta celowa - odpowiednikiem prostej pionowej
do
jest prosta celowa prostopadła do rzutni pionowej
. Analogicznie do poprzedniego przypadku prosta ta może być nazwana pionowo-rzutującą, posiada rzut poziomy
do osi rzutowania i nie ma śladu poziomego (rys. 18).

Rys. 18. Prosta celowa a) obraz przestrzenny, b) obraz sprowadzony do płaszczyzny rysunkowej.

Prosta pozioma - jest równoległa do rzutni poziomej Charakterystyczną cechą obrazu rzutów tej prostej jest równoległy do osi rzutowania rzut pionowy prostej. pozostałe cech łatwo rozpoznać na rys. 19.

Rys. 18. Prosta pozioma a) obraz przestrzenny, b) obraz sprowadzony do płaszczyzny rysunkowej.

Prosta czołowa - jest prostą równoległą do rzutni pionowej. Charakterystycznym obrazem jest równoległy do osi rzutowania poziomy rzut prostej (rys. 19).

Rys. 19. Prosta czołowa a) obraz przestrzenny, b) obraz sprowadzony do płaszczyzny rysunkowej.

Prosta równoległa do osi rzutowania - jest prostą nie posiadającą śladów a oba rzuty ma równoległe do osi rzutowania (rys. 20).

Proste dwusieczne - są to proste przechodzące przez oś rzutowania i leżące w płaszczyźnie dwusiecznej. Proste te mają wszystkie punkty równo oddalone od obu rzutni. Można wyznaczyć dwie takie proste pierwsza przechodzi przez ćwiartki I i III (rys 20); druga przez ćwiartki II i IV (rys. 21). Proste te posiadają jednoczące się na osi x ślady oraz obrazy obu rzutów pod tymi samymi kątami.

Rys. 20 Rys. 21

Przykład 1.

Prosta dowolna m dana jest za pomocą rzutów m` i m``. Wyznaczyć ślady prostej oraz określić przez które ćwiartki przechodzi.

Rys. 22. Wyznaczanie śladów prostej

Wykonanie tej konstrukcji wymaga znalezienie dwóch rzutów śladów
i
, które zawsze znajdują się na osi rzutowania oraz na przeciwnym rzucie prostej tj. rzut poziomy śladu pionowego na rzucie poziomym prostej a rzut pionowy śladu poziomego na rzucie pionowym prostej. Po otrzymaniu tych charakterystycznych punktów na odnośnej i rzucie poziomym prostej wyznaczamy ślad poziomy a na pionowym ślad pionowy. Należy pamiętać, że ślad jest punktem leżącym na rzutni więc odpowiednio wysokość lub głębokość będzie miał zerową. Po wyznaczeniu śladów oznaczamy je
- ślad poziomy oraz
- ślad pionowy.

Ćwiczenia

1. Wyznaczyć rzuty i ślady prostej w płaszczyźnie rysunkowej na podstawie podanej przestrzennie na rys. 23.

Rys. 23 do ćwiczenia 1

2. Wyznaczyć ślady prostych podanych rzutami na rys. 24. Sprawdzić przez jakie ćwiartki przechodzą te proste.

Rys. 24. do ćwiczenia 2

3. Narysować na płaszczyźnie rysunku prostą m przechodząca przez ćwiartki I i III, której punkty są równo oddalone od obu rzutni.

4. Narysować rzuty prostej poziomej o wysokości w=10 i prostej pionowej o głębokości g=-15.

Wzajemne położenie prostych

Możliwe są trzy wzajemny położenia dwóch prostych. Mogą przecinać się, być równoległe lub skośne. Rozważa się też niekiedy dwie proste prostopadłe lub prostopadłe skośne (skośne prostopadle i nie przecinające się) te przypadki nie zostaną omówione gdyż są szczególnymi przypadkami prostych skośnych i przecinających się co zostanie przedstawione szczegółowo.

Dwie proste przecinające się

Dwie proste przecinające się posiadają jeden punkt wspólny, którego rzut poziomy R` leży na rzutach poziomych prostych a rzut pionowy R`` na rzutach pionowych prostych - wyznaczany w punkcie przecięcia rzutów. Oba rzuty punktu muszą znajdować się na prostej prostopadłej do osi rzutowania

Rys. 25. Obraz prostych m i n przecinających się w punkcie R.

Można napisać :
oraz

Ćwiczenie 5. Sprawdzić czy proste przecinają się w punkcie R należącym do obu prostych

Rys. 26 do ćwiczenia 5.

Dwie proste równoległe

Dwie proste m i n są równoległe, jeżeli nie leża w płaszczyźnie rzutującej i posiadają odpowiednie rzuty równoległe :
n` oraz
.

Rys. 27. Obraz prostych równoległych

Twierdzenie jest odwracalne za wyjątkiem następującego przypadku

Rys. 28. Szczególny przypadek braku równoległości mimo równoległości rzutów

Odpowiednie rzuty są równoległe ale proste leżące w płaszczyźnie rzutującej nie są równoległe (zagadnienie to należy tłumaczyć poglądowo w oparciu o model przestrzenny lub trzecią rzutnię boczną.

Dwie proste skośne

Jeżeli dwie proste nie przecinają się i nie są równoległe - to z pewnością są skośne. Przykłady prostych skośnych pokazuje rys. 29.

Rys. 29. Obrazy prostych skośnych

Pytania i ćwiczenia

1. jaki warunki powinny spełniać dwie pary rzutów aby określić: proste przecinające się, równoległe , skośne?

2. W jakim przypadku na podstawie dwóch par rzutów nie można jednoznacznie opisać położenia prostej w przestrzeni.

3. Narysować rzuty prostych m i n przecinających się jeżeli proste zajmują położenie szczególne : a)
   ,
   , b)
   ,
   .

4. Narysować rzuty dwóch prostych skośnych m i n a następnie wyznaczyć prosta poziomą p przecinającą obie proste.

Obraz płaszczyzny

Płaszczyznę można określić na podstawie odwzorowujących ją elementów na pięć sposobów:

1. za pomocą trzech punktów - zapisujemy
   

2. prostej i punktu nie leżącego na prostej - zapisujemy
   

3. dwóch prostych przecinających się - zapisujemy
   

4. dwóch prostych równoległych - zapisujemy
   

5. za pomocą śladów (części wspólnych z rzutniami) - zapisujemy
   

Rys. 30. Sposoby odwzorowania płaszczyzny

Odwzorowanie za pomocą śladów przedstawia rys. 31.

Rys. 31. Ślady płaszczyzny a) obraz przestrzenny b i c) obraz sprowadzony do płaszczyzny rysunku.

Krawędź
- nazywamy śladem poziomym płaszczyzny
, krawędź
śladem pionowym płaszczyzny
. Zgodnie z oznaczeniami na rys. 31 ślady łączą się na osi x w punkcie
zwanym węzłem płaszczyzny
. Jeżeli płaszczyzna jest równoległa do osi rzutowania - węzła nie posiada. płaszczyznę podana za pomocą śladów zapisujemy
.

Szczególne położenie płaszczyzn w przestrzeni

1. Płaszczyzna pozioma

Rys. 32. Obraz płaszczyzny poziomej a) przestrzenny, b) sprowadzony do płaszczyzny rysunku.

Płaszczyzna pozioma
jest równoległa do rzutni poziomej
i przecina rzutnię pionową
wzdłuż śladu pionowego
, który jest równoległy do osi rzutowania x. Każdy punkt leżący na tej płaszczyźnie ma rzut pionowy zjednoczony ze śladem pionowym płaszczyzny jak na rys. 32. Płaszczyzna nie posiada śladu poziomego

2. Płaszczyzna czołowa

Rys. 33. Obraz płaszczyzny czołowej a) przestrzenny, b) sprowadzony do płaszczyzny rysunku.

Płaszczyzna czołowa
jest równoległa do rzutni pionowej
i przecina rzutnię poziomą
wzdłuż śladu poziomego
, który jest równoległy do osi rzutowania x. Każdy punkt leżący na tej płaszczyźnie ma rzut poziomy zjednoczony ze śladem poziomym płaszczyzny jak na rys. 33. Płaszczyzna nie posiada śladu pionowego.

3. Płaszczyzna poziomo-rzutująca

Rys. 34. Obraz płaszczyzny poziomo-rzutującej a) przestrzenny, b) sprowadzony do płaszczyzny rysunku.

Płaszczyzna poziomo-rzutująca
jest płaszczyzną prostopadłą do rzutni poziomej
. Nazwę swą zawdzięcza takiej właściwości, że wszystkie punkty i proste leżące na tej płaszczyźnie posiadają rzuty poziome zjednoczone ze śladem poziomym
płaszczyzny jak na rys. 34. płaszczyzna ta posiada oba ślady przy czym ślad pionowy
jest zawsze prostopadły do osi rzutowania x.

4. Płaszczyzna pionowo-rzutująca -
jest płaszczyzną prostopadłą do rzutni pionowej
.

Rys. 35. Obraz płaszczyzny pionowo-rzutującej a) przestrzenny, b) sprowadzony do płaszczyzny rysunku.

Nazwę swą zawdzięcza takiej właściwości, że wszystkie punkty i proste leżące na tej płaszczyźnie posiadają rzuty pionowe zjednoczone ze śladem pionowym
płaszczyzny jak na rys. 35. płaszczyzna ta posiada oba ślady przy czym ślad poziomy
jest zawsze prostopadły do osi rzutowania x.

5. Płaszczyzna podwójnie-rzutująca - jest płaszczyzną prostopadła do obu rzutni.

Rys. 36. Płaszczyzna podwójnie-rzutująca a) przestrzenny, b) sprowadzony do płaszczyzny rysunku.

Charakterystycznym obrazem tej płaszczyzny w rzutach prostokątnych sprowadzonych do płaszczyzny rysunku (rys. 36b) jest obraz dwóch śladów jednoczących się w prostą prostopadłą do osi rzutowania. Każdy punkt leżące na tej prostej posiada rzuty leżące na śladach płaszczyzny. łatwo. Jest to płaszczyzna przechodząca przez wszystkie ćwiartki przestrzeni a wyznaczenie w której ćwiartce jest punkt zależy od wartości (dodatniej lub ujemnej) głębokości i wysokości.

6. Płaszczyzna równoległa do osi rzutowania (ale nieprostopadła do żadnej z rzutni)

Rys. 37. Płaszczyzna równoległa do osi rzutowania a) przestrzenny, b) sprowadzony do płaszczyzny rysunku.

Płaszczyzna ta przecina obie rzutnie wzdłuż śladów równoległych do osi rzutowania

7. Płaszczyzna przechodząca przez oś rzutowania.

Rys. 38. Płaszczyzna przechodząca przez oś rzutowania a) przestrzenny, b) sprowadzony do płaszczyzny rysunku.

Płaszczyzna ta posiada ślady jednoczące się z osią rzutowania. Ślady tej płaszczyzny niejednoznacznie określają obraz płaszczyzny w przestrzeni. Aby na podstawie śladów wyznaczyć obraz płaszczyzny niezbędne jest podanie dodatkowej informacji np. punkt płaszczyzny A. Każda prosta leżąca na tej płaszczyźnie posiada ślady jednoczące się ze śladami płaszczyzny na osi rzutowania. Innymi słowy obraz rzutu poziomego i pionowego prostej leżącej na płaszczyźnie jednoczy się na osi rzutowania.

Wnioski

Ślady płaszczyzny mogą jednoznacznie określać położenie płaszczyzny w przestrzeni o ile płaszczyzna nie przechodzi przez oś rzutowania.

Płaszczyzna pozioma (czołowa) ma tylko jeden ślad
(
) równoległy do osi rzutowania.

Każda para prostych

nie jednoczących się z osią rzutowania x jest obrazem jednej i tylko jednej płaszczyzny
w przestrzeni.

Pytania i ćwiczenia

1. W jaki sposób można określić położenie płaszczyzny w przestrzeni?

2. Jaki jest obraz śladów płaszczyzny?

3. Jak określa się jednoznaczne położenie płaszczyzny w przestrzeni jeżeli płaszczyzna przechodzi przez oś rzutowania.

4. Narysować rzuty trzech punktów A, B i C, które wyznaczają płaszczyznę a)pionową, b) poziomą, c) pionowo-rzutującą, d) poziomo-rzutującą e) czołową. Wyznaczyć ślady tych płaszczyzn.

5. Narysować ślady płaszczyzn równoległych do osi rzutowania i przechodzących przez ćwiartki: a) I, II, III, b) II, III i IV, c) I, II i IV.

23

---