Własności iloczynu kartezjańskiego:

1.A× (B∪C)=(A×B) ∪ (A×C), (B∪C) ×A=(B×A) ∪ (C×A)

2.A× (B∩C)=(A×B) ∩ (A×C), (B∩C) ×A=(B×A) ∩ (C×A)

3.A× (B\C)=(A×B)\(A×C), (B\C) ×A=(B×A)\(C×A)

4.A×B=B×A ⇔ A=B

5.(X×Y)\(A×B)=[(X\A) ×Y] ∪ [X× (Y\B)]

6.A⊂X ∧ B⊂Y ⇒ A×B=(A×Y) ∩ (X×B)

Relacja S⊂X×Y:

Ds.={x∈X: ∨_y∈Y (x,y) ∈S}

@s.={y∈Y: ∨_x∈X (x,y) ∈S}

Własności relacji S⊂X×Y:

1.S niepusta Ds.=X

2.S suriektywna @s=Y

3.S prawostronnie jednoznaczna ∧_x∈X ∧_y1,y2∈Y (x,y1) ∈S(x,y2) ∈S⇒y1=y2

4 S lewostronnie jednoznaczna ∧_y∈Y ∧_x1,x2∈X (x1,y) ∈S(x2,y) ∈S⇒x1=x2

Własności relacj S⊂X×X:

1.S zwrotna ∧_x∈X (x,x) ∈S

2.S symetryczna ∧_x,y∈X (x,y) ∈S⇒ (y,x) ∈S

3.S przechodnia ∧ _x,y,z∈X (x,y)∈S i (y,z)∈S ⇒ (x,z)∈S

4.S symetryczna ∧_x,y∈X (x,y)∈S i (y,x)∈S ⇒ x=y

5.S spójna ∧_x,y∈X (x,y)∈S lub (y,x)∈S

Relacja odwrotna S⊂X×Y S^-1⊂Y×X:

S^-1={(y,x):(x,y) ∈S}

Złożenie relacji (ToS) w XxZ:

ToS={(x,z): x∈X i z∈Z i ∨_y∈Y (x,y)∈S i (y,z)∈T}

Obraz i przeciwobraz; dane: S⊂X×Y A⊂X B⊂Y

S(A)={y:y∈Y _∨x∈A (x,y)∈S}

S^-1(A)={x:x∈X ∨_y∈B (x,y)∈S}

Relacja równoważnościowa: zwrotna, symetryczna, przechodnia.

Relacja częściowego porządku: zwrotna, antysymetryczna, przechodnia.

Relacja porządkująca: jak wyżej + spójna.

Odwzorowania (funkcje; y=f(x)):

iniekcja: f jest lewostronnie jednoznaczna;

suriekcja: f jest suriektywna;

bijekcja: 2 wyższe razem.

Własności działania wewnętrznego:

Dzałanie wewnętrzne:o,ˆ,⊕,*,+.

1.,,o” przemienne ∧_a,b∈A aob=boa;

2.„o” łaczne ∧_a,b,c∈A (aob)oc=ao(boc)l

3. element neutralny e działania „o” istnieje ∧_a∈A aoe=a i eoa=a;

4. jak jest e to element odwrotny do a wynosi a' aoa'=e i a'oa=e;

(5) działanie „ˆ” jest rozdzielne lewostronnie względem „o”

∧_a,b,c∈A aˆ(boc)=(aˆb)o(aˆc);

(5) działanie „ˆ” jest rozdzielne prawostronnie względem „o”

∧_a,b,c∈A (aob)ˆc=(aˆc)o(bˆc);

Działanie zewnętrzne najczęściej „*”

Grupa:

(A,o) grupa gdy

1) ∧_a,b,c∈A (aob)oc=ao(boc);

2) ∨_e∈A ∧_a∈A aoe=eoa=a

3) ∧_a∈A ∨_a'∈A aoa'=a'oa=e

4) ∧_a,b∈A aob=boa (na grupe przemienną).

Ciało:

1.(A,o) jest grupą przemienną.

2.(A\{e_o},ˆ} jest grupą przemienną.

3.Działanie „ˆ” jest rozdzielne lewo i prawostronnie względem „o”.

Przestrzeń wektorowa (V, ⊕,*) nad ciałem (K,o,ˆ)

1.(V, ⊕) jest grupą przemienną.

2. ∧a∈K ∧x,y∈V a*(x⊕y)=(a*x)⊕(a*y).

3. ∧a,b∈K ∧x∈V (aob)*x=(a*x)⊕(b*x).

4.∧a,b∈K ∧x∈V (aˆb)*x=a*(b*x)

5.∧x∈V e_ˆ*x=x.

Morfizm struktur:

1.dwie grupy są homomorficzne istnieje odwzorowanie spełniające warunek:

∧a,b∈A h(aob)=h(a)Θh(b).

2.ciała (A,o,ˆ) (A',*,•) są homomorficzne gdy istnieje odwzorowanie speł. war.:

∧a,b∈A h(aob)=h(a)*h(b).

∧a,b∈A h(aˆb)=h(a)•h(b).

3.dwie przestrzenie wektorowe (V,⊕,*) (V',ˆ,•) są homomorficzne istnieje o.s.w.:

∧x,y∈V h(x⊕y)=h(x) ˆh(y).

∧α∈K ∧a∈V h(α*x)= α•h(x).

4.jeżeli odwzorowanie h jest bijekcją to struktury są izomorficzne

Wektory liniowo zależne:

∨α1α2...αn∈K (α1x1+α2+x2+...αnxn=0 i α1²α2²α3² != 0)

∧α1α2...αn∈K (α1x1+α2+x2+...αnxn=0 => α1=α2=α3=0)

Baza:

1. ∧x∈V ∨x1..xn∈A ∨α1..αn∈K x=α1x1+...αnxn

2. ∧x1..xn∈V (x1..xn∈A => x1..xn są liniowo niezależne

Podprzestrzeń:

1. ∧x,y∈U x+y∈U;

2. ∧a∈K ∧x∈U ax∈U.

Przestrzeń wektorowa euklidesowa:

Iloczyn skalarny „o”:

1. ∧x,y∈V xoy=yox;

2. ∧x,y∈V ∧a∈R (ax)oy=a(xoy);

3. ∧x,y,z∈V (x+y)oz=(xoz)+(yoz);

4. ∧x∈V (xox)≥0 i (xox=0 <=> x=0).

Przestrzeń wektorową V nad ciałem R z określonym w niej iloczynem skalarnym, tzn. strukturę (V,R,+,^.,o) nazywamy przestrzenią euklidesową i oznaczamy symbolem E.

Wektory ortogonalne: xoy=0

Ciąg ortogonalny: xioxj=0

Ciąg ortonormalny: xioxj=(1,i=j i 0,i!=j)

Przekształcenia liniowe (V,K,+,^.)

1. ∧x,y∈V T(x+y)=T(x)+T(y);

2. ∧x∈V ∧a∈K T(ax)=aT(x).

---