Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych	Wtorek 11.03.2003 godz. 17.00-20.00		Nr zespołu : 4
Małgorzata Alboszta Katarzyna Anuszkiewicz Anna Sokolik	TEMAT
		Nr	Drgania harmoniczne i anharmoniczne wahadła matematycznego
		6

1. PODSTAWY FIZYCZNE

Wahadłem matematycznym płaskim nazywamy punkt materialny poruszający się po łuku w polu grawitacyjnym.

Zależność okresu drgań T wahadła matematycznego można opisać wzorem:

Wynika stąd, że okres drgań wahadła rośnie wraz ze wzrostem maksymalnego wychylenia. Można przyjąć (dla kątów α<π/2), że powyższy wzór ma następującą postać:

Ponieważ dla większych n, wyrażenia sumy są bliskie zeru i możemy je pominąć.

Gdy będziemy zmniejszać wartość kąta, to w końcu przy α→ 0 okres przestanie zależeć od wychylenia i otrzymamy :

gdzie

- odległość środka ciężkości od zera miarki wysokości

x - wysokość względna odczytana z podziałki.

Niech

Wtedy:

Przyśpieszenie ziemskie możemy wyznaczyć również innym sposobem. Pomiar długości wahadła matematycznego l jest niewygodny (trudność w ustaleniu położenia środka masy soczewki wahadła) i zazwyczaj obarczony dużym błędem. W przypadku wahadła różnicowego pozbywamy się tej trudności dokonując, po prostu, pomiaru zmiany długości wahadła d_i - stąd nazwa wahadła.

d_i = l₀ - l_i , gdzie l₀ - początkowa długość wahadła różnicowego, l_i - długość wahadła różnicowego w przypadku i-tej zmiany jego długości. Pomiar wartości d_i może być, w warunkach przeprowadzanego eksperymentu, znacznie bardziej dokładny.

Dla wahadła różnicowego:

Przy czym T₀ i T_i są zmierzonymi okresami drgań wahadła o długościach odpowiednio l₀ i l_i.

f(α_m) =

Podnosząc do kwadratu i odejmując stronami powyższe równania otrzymujemy:

Badanie tej zależności przy warunku i >> 1 jest podstawą do wyznaczenia przyspieszenia ziemskiego g metodą wahadła różnicowego.

Wahadło wykonuje wahania pod wpływem własnej siły ciężkości mg, a dokładniej pod wpływem składowej tej siły - prostopadłej do osi wahań wahadła: F = mg sinφ . Druga składowa siły ciężkości N = mg cosφ , równoważona jest przez siłę naprężenia nici N`.

Rys. Siły działające na wahadło matematyczne

Dla małych wychyleń wahadła sinα ≈ α , zatem drgania wahadła dla małych α są drganiami harmonicznymi.

Dla małych drgań sinα ≈ α, gdzie sinα =

Otrzymujemy równanie różniczkowe:

,

Rozwiązanie ogólne:

gdzie δ-przesunięcie fazowe

x jest funkcją okresową o okresie podstawowym T x(t+T)=x(t)

,czyli

2. CEL ĆWICZENIA

W ćwiczeniu wyodrębnia się dwa, po części niezależne cele. Jeden związany jest z badaniem zjawiska anharmoniczności drgań wahadła, to znaczy z badaniem zależności okresu T od kąta maksymalnego wychylenia φ_m.

Drugi cel dotyczy wahadła różnicowego i poświęcony jest jak najdokładniejszemu, w danych warunkach, wyznaczeniu wartości przyspieszenia ziemskiego g

3. WYNIKI POMIARÓW

Badanie zależności okresu drgań wahadła od kąta wychylenia

Odchylamy soczewkę wahadła o pewien kąt od położenia równowagi i puszczamy ją tak, aby wahadło poruszało się w "jednej płaszczyźnie".

Wielokrotnie powtarzamy pomiar półokresu dla danego kąta φ_m, następnie obliczamy średni półokres i po zsumowaniu otrzymujemy okres T.

Pomiary takie wykonujemy dla wzrastających φ_m.

Tabela 1.

Lp.	kąt	Lewy półokres			Prawy półokres
				1-szy	2-gi	3-ci	1-szy	2-gi	3-ci
1	5	0,6411	0,6993	0,6797	0,676	0,4604	0,5595
2	10	0,6992	0,6796	0,6796	0,6598	0,5995	0,5996
3	15	0,6596	0,6794	0,6723	0,6598	0,6219	0,6211
4	20	0,6599	0,6709	0,6710	0,6760	0,6309	0,6309
5	25	0,6599	0,6712	0,6715	0,6599	0,6369	0,6379
6	30	0,6784	0,6737	0,6738	0,6600	0,6445	0,6443
7	35	0,6603	0,6769	0,6765	0,6799	0,6506	0,6508
8	40	0,6894	0,6811	0,6801	0,6597	0,6552	0,6558
9	45	0,6991	0,6799	0,7001	0,6677	0,6793	0,6792
10	50	0,7003	0,7000	0,6994	0,6603	0,6800	0,6799
11	55	0,6999	0,6969	0,7127	0,6789	0,6798	0,6823
12	60	0,7136	0,7107	0,7128	0,6898	0,6898	0,6900
13	65	0,7198	0,7234	0,7238	0,6996	0,6992	0,6993
14	70	0,7189	0,7191	0,7185	0,6990	0,6989	0,6992
15	75	0,7190	0,7390	0,7389	0,6991	0,7190	0,7189
16	80	0,7389	0,7389	0,7190	0,7192	0,719	0,7180
17	85	0,7389	0,7391	0,7593	0,7192	0,7194	0,7393

Dokładność podziałki kątowej pozwoliła określić φ_m z dokładnością do Δφ_m = 2,5°.

Elektroniczny zegar, którym mierzyłyśmy czas półokresu ma dokładność 5ms, a więc bezwzględna niepewność pomiarowa ΔT = 1⋅10^-4 s.

Tabela 2.

φm[°]		średni lewy półokres		średni prawy półokres		T[s]
5	0,6734		0,5653		1,2387
10	0,6861		0,6196		1,3058
15	0,6704		0,6343		1,3047
20	0,6673		0,6459		1,3132
25	0,6675		0,6449		1,3124
30	0,6753		0,6496		1,3249
35	0,6712		0,6604		1,3317
40	0,6835		0,6569		1,3404
45	0,6930		0,6754		1,3684
50	0,6999		0,6734		1,3733
55	0,7032		0,6803		1,3835
60	0,7124		0,6899		1,4022
65	0,7223		0,6994		1,4217
70	0,7188		0,6990		1,4179
75	0,7323		0,7123		1,4446
80	0,7323		0,7187		1,4510
85	0,7458		0,7260		1,4717

Z teorii wiadomo, że T = T₀{1 + F(Φ_m)}

Gdzie F(Φ_m) =

Szukamy funkcji T(x), gdzie x= F(Φ_m). Chcemy by zależność była liniowa o współczynnikach równych sobie.

W naszym wypadku otrzymałyśmy następującą tabele i wykres:

Tabela 3.

	Kąt w radianach				T
2,5000	0,0436	0,0005	0,0000	0,0000	1,2387
5,0000	0,0873	0,0019	0,0000	0,0000	1,3058
7,5000	0,1309	0,0043	0,0000	0,0000	1,3047
10,0000	0,1745	0,0075	0,0001	0,0000	1,3132
12,5000	0,2182	0,0117	0,0003	0,0000	1,3124
15,0000	0,2618	0,0167	0,0006	0,0000	1,3249
17,5000	0,3054	0,0226	0,0011	0,0001	1,3317
20,0000	0,3491	0,0292	0,0019	0,0002	1,3404
22,5000	0,3927	0,0366	0,0030	0,0003	1,3684
25,0000	0,4363	0,0447	0,0045	0,0006	1,3733
27,5000	0,4800	0,0533	0,0064	0,0009	1,3835
30,0000	0,5236	0,0625	0,0088	0,0015	1,4022
32,5000	0,5672	0,0722	0,0117	0,0023	1,4217
35,0000	0,6109	0,0822	0,0152	0,0035	1,4179
37,5000	0,6545	0,0926	0,0193	0,0050	1,4446
40,0000	0,6981	0,1033	0,0240	0,0069	1,4510
42,5000	0,7418	0,1141	0,0293	0,0093	1,4717

Wykres 1

Wykres danej zależności odbiega trochę od prostej. Pierwszy pomiar leży dużo poniżej w stosunku do pozostałych. Zresztą już analizując tabelę samych pomiarów rzuca się w oczy odbiegający od reszty wynik pomiaru dla 5 stopni prawego półokresu wynoszący 0,4604s. Być może został on źle odczytany lub zapisany, przez nas. Możliwe też, że zegar w tym momencie nie zarejestrował poprawnie przelotu krążka. Przyczyn może być wiele, ale ewidentnie jest to błąd gruby, a ponieważ pomiarów mamy bardzo dużo to możemy odrzucić ten pierwszy.

Metodą najmniejszych kwadratów wyznaczamy współczynniki liniowe naszej

zależności (dla 16 punktów).

a = 1,14348751300611

Δa = 0,0482393958652098

b = 1.30776227136778

Δb = 0.00357167794307724

Po zaokrągleniu:

a = 1,143
0,049 bł.wzgl. = 4%

b = 1,3078
0,0036 bł.wzgl. = 0,3%

Współczynnik korelacji liniowej wynosi R = 0.9878.

Współczynniki a i b powinny być obydwa równe T₀ .W naszym doświadczeniu niestety nie pokrywają się, więc nie możemy jednoznacznie wyznaczyć T₀.

Badanie zależności okresu drgań wahadła od zmian długości

Wykonujemy pomiary okresów T₀ i T_i dla kilku różnych długości wahadła l_i, dla takiego samego kąta wychylenia początkowego α_m.

Aby sprowadzić do minimum błąd systematyczny związany z traktowaniem używanego wahadła jako wahadło matematyczne, należy w trakcie wykonywania pomiarów dbać o to, żeby długość wahadła l_i była odpowiednio duża. Natomiast, aby sprowadzić do minimum wpływ innych źródeł błędu takich jak: drgania uchwytu nici i statywu, zmiana płaszczyzny wahań, zmiana długości nici, itd., należy dbać o to, żeby wychylenie α_m było dostatecznie małe.

Przyjmujemy α_m = 10°.

Błędy pomiarowe są takie same jak w poprzednim przypadku.

Dodatkowo zmianę długości wahadła w stosunku do początkowej długości l₀, można określić z dokładnością do Δ d = 10^-3 m.

Wyniki pomiarów i obliczenia.

Pomiar półokresów z obu stron wahadła dla wychylenia α=10°, przy różnych długościach wahadła:

Tabela 4.

Lp.	Wysokość x [cm]	Lewy półokres			Prawy półokres
				1-szy	2-gi	3-ci	1-szy	2-gi	3-ci
1	3	0,5604	0,548	0,5603	0,4202	0,4139	0,4203
2	6	0,5806	0,5784	0,5748	0,4565	0,4601	0,4628
3	9	0,6019	0,6031	0,6006	0,4925	0,495	0,4949
4	12	0,6272	0,6279	0,6279	0,5178	0,5182	0,5292
5	15	0,6476	0,6471	0,6466	0,5509	0,5542	0,554
6	18	0,6712	0,6704	0,6707	0,5774	0,5756	0,5778
7	21	0,6961	0,6966	0,6966	0,5959	0,5963	0,5949
8	24	0,7193	0,7195	0,719	0,6189	0,6202	0,6199
9	27	0,7404	0,7395	0,7398	0,6436	0,6506	0,6493
10	30	0,7541	0,7517	0,7604	0,6705	0,6705	0,6701
11	33	0,77804	0,7804	0,7803	0,6907	0,6906	0,6916
12	36	0,7992	0,8004	0,7983	0,7207	0,7124	0,7118
13	39	0,8168	0,8184	0,8196	0,7325	0,7405	0,7309
14	42	0,8405	0,8405	0,8406	0,7583	0,7406	0,7405
15	45	0,8597	0,858	0,8603	0,7769	0,7801	0,7601

Aby wyznaczyć przyśpieszenie grawitacyjne g oraz długość początkową l₀ znajdziemy metodą najmniejszych kwadratów współczynniki liniowe w zależności:

Prawą stronę oznaczmy przez y(x), wtedy lewa strona jest funkcja liniową zmiennej x: ax +b

gdzie
,

Uśredniając wyniki pomiarów otrzymujemy tabelkę:

Tabela 5.

Wysokość x [m]	średni lewy półokres	średni prawy półokres	T[s]	[s^2]
3	0,5562	0,4181	0,9744	0,0240
6	0,5779	0,4598	1,0377	0,0273
9	0,6019	0,4941	1,0960	0,0304
12	0,6277	0,5217	1,1494	0,0335
15	0,6471	0,5530	1,2001	0,0365
18	0,6708	0,5769	1,2477	0,0394
21	0,6964	0,5957	1,2921	0,0423
24	0,7193	0,6197	1,3389	0,0454
27	0,7399	0,6478	1,3877	0,0488
30	0,7554	0,6704	1,4258	0,0515
33	0,7804	0,6910	1,4713	0,0548
36	0,7993	0,7150	1,5143	0,0581
39	0,8183	0,7346	1,5529	0,0611
42	0,8405	0,7465	1,5870	0,0638
45	0,8593	0,7724	1,6317	0,0674

Dla danych wyników otrzymałyśmy następujący wykres:

Wykres 2.

Metodą najmniejszych kwadratów wyliczyłyśmy współczynniki zależności liniowej:

a = 0,102416666666667

Δa = 0,000379676779190971

b = 0,02104

Δb = 0,000103562018014657

Po zaokrągleniu:

a = 0,10242
0,00038 bł.wzgl.=0,37%

b = 0,02104
- 0,00011 bł.wzgl.=0,49%

Współczynnik korelacji liniowej wynosi R = 0,9999, zatem jest to prawie idealna zależność.

Przyspieszenie ziemskie wyznaczamy z wzoru
, czyli u nas g = 9,763718024

Błąd wyznaczamy metodą różniczki zupełnej:

Δg =
Δa

Δg = 0,036225472

Po zaokrągleniu otrzymujemy:

g = 9,764
0,036

Błąd względny:
0,039

Wynik jest bliski teoretycznemu (g = 9,81..).

Długość l₀ wyliczamy z zależności:

l₀ = bg = 0,20543456

Błąd wyliczamy jak wyżej:

Δl₀ = Δb g + bΔg

Δl₀ = 0,00183148

A więc po zaokrągleniu: l₀ = 0,2054
0,0018

Błąd bezwzględny:
0,088

4.Wnioski

Małgorzata Alboszta:

W pierwszej części doświadczenia badałyśmy zależność okresu T od kąta maksymalnego wychylenia. Tak jak się spodziewałyśmy, otrzymałyśmy funkcję rosnącą. Nie wyszła nam zależność dokładnie liniowa (choć współczynnik korelacji jest bardzo dobry- 0,9878). Jest to na pewno spowodowane błędami, wynikającymi z niedokładności przyrządów - nasze wahadło było krążkiem dość dużych rozmiarów zawieszonym na lince, która nie była zbyt sztywna ( w czasie pomiarów zmuszone byłyśmy ja podciągnąć, gdyż się rozciągnęła..). Ponadto puszczając krążek, nie zawsze udawało się nadać mu ruch w jednej płaszczyźnie, dlatego by zminimalizować błąd, odczytywałyśmy dopiero 3 pomiar zegara.

W drugiej części doświadczenia celem naszym było wyznaczenie wartości przyspieszenia ziemskiego g oraz wartości l₀ - różnicy między prawdziwą długością wahadła a naszym mierzonym x -em.

Wartość przyspieszenia ziemskiego wyszła nam równa g = 9,764
0,036, czyli ciut niższa niż realna. Błędy najprawdopodobniej są tego samego pochodzenia co w pierwszym doświadczeniu. Niskie stosunkowo błędy bezwzględne mogą świadczyć o tym, że uniknęłyśmy raczej błędów grubych, poza jednym, którego nie uwzględniłyśmy w późniejszych obliczeniach.

Katarzyna Anuszkiewicz:

Otrzymana w drugim doświadczeniu wartość przyspieszenia ziemskiego jest bliska rzeczywistej. Błąd może wynikać z niestabilności statywu, rozciągania się nici oraz poruszania się w różnych płaszczyznach krążka.

Wyznaczając zależność okresu od kąta współczynniki liniowe wyszły różne od siebie, nie możemy więc wyznaczyć okresu T₀. Może to być spowodowane tymi samymi czynnikami co powyżej wymienione.

Anna Sokolik:

Celem pierwszej części ćwiczenia było badanie zależności okresu drgań wahadła od kąta wychylenia. Otrzymane wyniki i kształt sporządzonego na ich podstawie wykresu potwierdzają, że okres drgań rośnie wraz ze wzrostem maksymalnego wychylenia wahadła.
Dla otrzymania jak najbardziej wiarygodnej wartości okresu T dla danego kąta dokonałyśmy kilku jego pomiarów i wynik uśredniłyśmy. Przyjęłyśmy niepewność pomiarową D T = 1× 10-4 s.

Wyniki drugiej części ćwiczenia, w której dokonujemy pomiarów zależności okresu od zmiany długości wahadła, pozwalają nam na wyznaczenie przyśpieszenia grawitacyjnego g
i początkowej długość wahadła .
Otrzymałyśmy przyspieszenie g równe 9,763718024. Po wyliczeniu błędu metodą różniczki zupełnej można stwierdzić ostatecznie, że nasz wynik mieści się w przedziale < 9,799 ; 9,7275 >. Jak wiadomo g = 9,81. Wskazuje to na dość dużą, lecz nie doskonałą skuteczność metody. Na wynik pomiaru mogły wpłynąć: rozciągliwość nitki, niestabilność wahadła.

1

11

---