Piotr Wiśniewski 22.III.2002

IMiF

Ćwiczenie nr 1.

Temat: Wyznaczanie gęstości ciał stałych za pomocą piknometru.

1.Tabela pomiarów:

I materiał II materiał

m1	62,15 g
m2	123,7 g
m3	146,49 g
m4	90,59 g
T	293,16 K
dw	0,9977 g/cm^3

II materiał

m1	62,15 g
m2	78,15 g
m3	100,94 g
m4	90,59 g
T	293,16 K
dw	0,9977 g/cm^3

m1 - masa czystego i suchego piknometru z korkiem

m2 - masa piknometru z badanym ciałem

m3 - masa piknometru z badanym ciałem i wodą destylowaną

m4 - masa piknometru z wodą destylowaną (bez badanego ciała)

T - temperatura w Kelwinach

d_w - gęstość wody

2. Teoria

a) Ciała z różnych materiałów, np. drewna, stali o tych samych objętościach różnią się masami i ciężarami. Tę własność ciał określamy za pomocą pojęcia gęstości (masy właściwej) i ciężaru właściwego. Gęstość jest to wielkość fizyczna, charakteryzująca dane ciało. Dla ciała jednorodnego gęstość zdefiniowana jest jako stosunek masy ciała do jego objętości:

Dla ciał niejednorodnych natomiast zapisuje się w postaci:

Gęstość określoną jako stosunek masy do objętości danego ciała nazywamy gęstością bezwzględną. Istnieje również pojęcie gęstości względnej, którą określa się jako stosunek gęstości bezwzględnej jednego ciała do gęstości bezwzględnej drugiego ciała i oznaczoną d_wzgl. Ciało, względem którego określona jest gęstość, nazywa się wzorcowym. Najczęściej jest nim w warunkach laboratoryjnych woda destylowana.

gdy

V₁=V₂,

wówczas

Gęstość danego ciała zależy od temperatury. Gęstość wody w temperaturze +4^o C w układzie CGS jest równa jedności i bliska jedności w temperaturach nieco niższych i wyższych. Ta własność decyduje o tym, że jest ona najczęściej stosowanym ciałem wzorcowym. W celu porównania ciężarów różnych substancji o jednakowej objętości wprowadzono pojęcie ciężaru właściwego. Ciężar właściwy ciała wyraża się stosunkiem ciężaru do jego objętości:

Qwł.=	P
		V

Między ciężarem właściwym, a masą właściwą istnieje związek taki sam, jak między ciężarem, a masą. Ciężar ciała (P) jest to siła, z jaką ciało to jest przyciągane przez kulę ziemską. Z II zasady Newtona zapisanej w postaci:

F=ma,

wynika

P=mg,

gdzie g - przyśpieszenie, jakie uzyska ciało pod działaniem własnego ciężaru.

Równanie to daje ogólną zależność między ciężarem ciała P, a jego masą m. Korzystając z powyższych wzorów możemy ciężar właściwy wyrazić jako:

Qwł.=	P	=	mg	=	m	g,
			V				V		V

czyli

Q = d g;

ciężar właściwy jest więc wielkością zależną od położenia geograficznego i od wysokości nad powierzchnią ziemi.

b) Wyznaczanie gęstości ciał

Wyznaczanie gęstości ciał sprowadza się do określenia masy i objętości danego ciała i skorzystania z definicji gęstości. Masę badanego ciała wyznaczamy ważąc ciało na wadze laboratoryjnej.

Objętość ciał o kształtach regularnych (prostopadłościan, walec) znajdujemy wstawiając do odpowiednich wzorów matematycznych wartości mierzonych wielkości takich, jak szerokości, wysokości, średnicy i tym podobnych. Przy pomiarach tych wielkości należy pamiętać o tym, że każda bryła wykazuje mniejsze lub większe deformacje geometryczne. Dlatego też dokonujemy kilku pomiarów w jednym punkcie, następnie powtarzamy te pomiary w innych punktach. Wartość średnia z wyników wszystkich pomiarów daje nam wartość najbardziej prawdopodobną. Zależnie od żądanej dokładności oraz rozmiarów ciała do pomiarów stosujemy suwmiarkę lub śrubę mikrometryczną.

Jeżeli próbka materiału, którego gęstość mamy wyznaczyć ma kształt nieforemny, to jej objętość wyznaczamy przez pomiar objętości cieczy, wypartej przez próbkę. Do tego celu używamy piknometru.

Piknometrem nazywamy kolbę szklaną, zamkniętą dokładnie oszlifowanym korkiem, w którym znajduje się kapilarny otwór. W nowszych modelach korkiem jest doszlifowany termometr, a kapilara znajduje się z boku. W niektórych piknometrach zaznaczono kreską dokładny poziom, do którego ciecz powinna wypełniać kapilarę. Gdy kreski brak, ciecz musi wypełniać całą kapilarę. Piknometr służy do wyznaczania gęstości względnej.

Gęstość ciał stałych możemy wyznaczyć za pomocą piknometru, ale tylko wówczas, gdy rozporządzamy kawałkami ciała dającymi się włożyć do wnętrza piknometru. Sposobem tym szczególnie łatwo wyznaczać gęstości ciał sypkich, np. piasku ziarnistego, śrutu, sproszkowanych ciał krystalicznych i innych. Stosowane tu postępowanie sprowadza się również do wykonania trzecich ważeń. Bierzemy taką ilość ciała sypkiego aby na oko była ona równa 1/3 do 1/2 objętości piknometru. Biorąc zbyt małą ilość popełnialibyśmy przy ważeniu bardzo duży błąd względny. Ustaloną ilość ciała ważymy wyznaczając jego masę m₁ . Następnie ważymy piknometr napełniony wodą destylowaną, znajdując jego masę m₂. Potem wrzucamy albo wsypujemy do piknometru badane ciało stałe. Oczywistą jest rzeczą, że woda wylewa się w takiej objętości, jaką zajęło dane ciało. Zanim zatkamy piknometr korkiem, usuwamy starannie poprzez wielokrotne wstrząsanie pęcherzyki powietrza, które "przylgnęły" do powierzchni ziaren ciała. Zamknąwszy piknometr korkiem ważymy go wraz z zawartością wyznaczając nową masę m₃ .

Aby wyznaczyć gęstość ciała sypkiego, musimy znać jego masę oraz masę wody w jego objętości. Masę ciała już znamy, m_c = m₁ . Masa wody w objętości ciała jest równa masie wody, która wylała się z piknometru przy wsypywaniu ciała. Suma m₁ + m₂ przedstawia sumę 3 mas: masa ciała + masa piknometru + masa wody w objętości piknometru. Natomiast masa m₃ przedstawia sumę innych 3 mas: masa ciała + masa piknometru + masa wody w objętości zmniejszonej o objętość ciała sypkiego. Jasne jest, że odejmując od sumy pierwszej sumę drugą otrzymamy masę wody w objętości ciała. Można wiec napisać, że masa wody w objętości ciała wynosi:

m_w = m₁+ m₂ - m₃,

stąd objętość ciała

d_t - gęstość wody w temperaturze t.

Ostatecznie gęstość bezwzględna ciała stałego wyrazi się wzorem:

c) Wyznaczanie gęstości ciał stałych rozpuszczalnych w wodzie.

Postępowanie powyższe należy nieco zmienić w odniesieniu do ciał rozpuszczalnych w wodzie. W takim przypadku trzeba znaleźć ciecz, która nie jest rozpuszczalnikiem badanego ciała. jeśli np. chcemy wyznaczyć gęstość soli kuchennej lub cukru krystalicznego, cieczą taką może być nafta. Ciało badane wsypujemy do piknometru napełnionego naftą; dzięki temu wyznaczamy masę nafty w objętości ciała w sposób opisany powyżej.

Aby jednak wyznaczyć objętość zajmowaną przez taką masę nafty, trzeba znać jej gęstość. Zachodzi więc konieczność wykonania pięciu ważeń. Wyznaczamy następujące masy:

• masę pustego piknometru (m₁),

• masę badanego ciała (m₂),

• masę piknometru z wodą (m₃),

• masę piknometru z naftą (m₄),

• masę piknometru z naftą i ciałem badanym w środku (m₅).

Najpierw wyznaczamy wielkość pomocniczą - gęstość nafty. Na podstawie poprzednich rozważań gęstość bezwzględna nafty będzie się wyrażała wzorem

Gęstość ciała badanego

Objętość ciała (V) jest równa masie wypartej przez nie nafty (m₂+ m₄ - m₅) podzielonej przez gęstość nafty d_n. Mamy więc:

oraz

ostatecznie

Dokładność wszystkich opisanych sposobów wyznaczania gęstości ciał za pomocą piknometru zależy od dokładności ważenia.

Warto wspomnieć jeszcze o zmianie gęstości ciał w zależności od temperatury i ciśnienia. Ciało pod wpływem zmiany temperatury zmienia swoją objętość przez co ulega zmianie również jego gęstość, jedyną stałą wielkością pozostaje masa ciała która nie podlega zmianie. Ciało poddane wyższej temperaturze ulega rozprężeniu :

W ten sposób mamy zależność gęstości od temperatury:

Z równania tego widać że im wyższa zmiana temperatury tym mniejsza jest gęstość ciała i odwrotnie.

Inaczej zachowuje się ciało poddane wyższemu ciśnieniu, które powoduje zmniejszenie objętości ciała, przez co wzrasta jego gęstość.

Warunkiem koniecznym otrzymania dobrych wyników jest dokładne oczyszczanie piknometru przed każdorazowym napełnieniem. Każde ważenie powinno się wykonywać jak najszybciej, aby uniknąć strat spowodowanych parowaniem cieczy. Błędy poszczególnych wyników obliczać należy metodą różniczki zupełnej. Błędy poszczególnych pomiarów są równe dokładności ważenia. Poważnym źródłem błędu jest obecność pęcherzyków powietrza wewnątrz piknometru wypełnionego wodą czy też inną cieczą. Należy je starannie usuwać.

Strat, które by mogły powstać wskutek parowania cieczy, możemy uniknąć przez pokrywanie powierzchni cieczy w otworze piknometru odrobinką oleju parafinowego, który w pokojowej temperaturze paruje bardzo słabo.

4.Niepewność pomiaru

Możemy zastąpić m₂-m₁ jako M i m₄-m₃ jako N, czyli

m₂-m₁=M

m₄-m₃=N

Wzór po podstawieniu wygląda tak:

Dla I materiału:

Obliczam niepewność typu B dla N i M korzystając z relacji: (
)

Obliczam niepewność typu B dla d_w korzystając z relacji: (
)

Możemy wyznaczyć pochodną nie dla m₁,m₂,m₃,m₄ ale dla M i N

Ponieważ jest to złożona wielkość fizyczna , a więc standardową niepewność całkowitą obliczamy ze wzoru:

Niepewność rozszerzona dla k=2 i
wynosi :

=2*0,109765638=0,219531276

Na koniec wynik pomiaru , po zaokrągleniu niepewności rozszerzonej U do dwu cyfr znaczących , zapiszemy w postaci:

dla
oraz k = 2

Dla II materiału:

Obliczam niepewność typu B dla N i M korzystając z relacji: (
)

Obliczam niepewność typu B dla d_w korzystając z relacji: (
)

Możemy wyznaczyć pochodną nie dla m₁,m₂,m₃,m₄ ale dla M i N

Ponieważ jest to złożona wielkość fizyczna , a więc standardową niepewność całkowitą obliczamy ze wzoru:

Niepewność rozszerzona dla k=2 i
wynosi :

=2*0,46234978=0,924699563

Na koniec wynik pomiaru , po zaokrągleniu niepewności rozszerzonej U do dwu cyfr znaczących , zapiszemy w postaci:

dla
oraz k = 2

Wyniki dla temperatury pokojowej 24 C = 297,16 K:

dla
oraz k = 2

dla
oraz k = 2

1

- 6 -

---