Analiza pręta statycznie wyznaczalnego

Przy osiowym rozciąganiu i ściskaniu w przekrojach poprzecznych pręta wystę­pują tylko naprężenia normalne σ. Badania doświadczalne wykazują, że przy ści­skaniu większość materiałów podlega tym samym zależnościom, co przy rozcią­ganiu.

Dla pręta rozciąganego siłą W na podstawie zasady de Saint-Venanta przyjmuje się, że niezależnie od sposobu przyłożenia obciążenia w poszczególnych przekrojach poprzecznych pręta naprężenia normalne są rozłożone równomiernie (σ = const). Stąd

Podczas rozciągania długość początkowa pręta l_o zwiększa się, a wymiary po­przeczne ulegają zmniejszeniu,

Bezwzględne wydlużenie pręta jest równe

W celu obliczenia naprężeń i odkształceń w poszczególnych przekrojach pręta należy wyznaczyć rozkład sił wzdłużnych N. Wartość siły wzdłużnej w do­wolnym przekroju poprzecznym jest równa sumie algebraicznej rzutów na oś pręta wszystkich sił zewnętrznych P_i przyłożonych po jednej stronie rozpatrywanego przekroju

W przypadku gdy rozpatrywany pręt składa się z kilku odcinków o różnych prze­krojach, wydłużenie bezwzględne pręta oblicza się, sumując algebraicznie zmiany odległości poszczególnych jego odcinków

Przykład

Przeprowadzić analizę pryzmatycznego pionowego pręta, obciążonego dwiema siłami P1, P2 i ciężarem własnym. Wyznaczyć wartości sił rozciągających, naprę­żeń normalnych i wydłużeń poszczególnych części pręta. Przyłożenie sił zewnętrznych i geometrię pręta określają wymiary l1 i l2. Przekrój poprzeczny pręta jest równy A, współczynnik sprężystości wzdłużnej wynosi E, a ciężar właściwy materiału pręta jest równy γ.

Rozwiązanie

Reakcję w miejscu zamocowania pręta oblicza się z warunku równowagi sił zewnętrznych

Przy zastosowaniu metody przecięć wyznaczono wartości sił normalnych w przekrojach określonych współrzędnymi xa i xb Wykres sił normalnych przedstawiono na rys. b.

Wartości naprężeń normalnych wynoszą

Rozkład tych naprężeń w poszczególnych przekrojach pokazano na rys. c.

Odkształcenia poszczególnych odcinków pręta obliczono wg wzoru

Stąd całkowite wydłużenie pręta wynosi

Przykład

	Pręt ACE o dwóch różnych średnicach, utwierdzony w punkcie A, jest ob­ciążony w przekrojach B i D siłami 5P= 500 kN i P = 100 kN. Przekrój poprzeczny części pręta AC = 2l= l m jest równy 2A = 4^.10^-3 m^2, a części CE = 21 = l m wynosi A = 2^.10^-3 m^2.
Pręt jest wykonany ze stali konstrukcyjnej węglowej St3S, dla której współczynnik sprężystości wzdłużnej wynosi E = 2,l^.l0^5 MPa i granica plastyczności Re = 220 MPa. Narysować wykresy sił normalnych, naprężeń normalnych i przemieszczeń w funkcji długości pręta. Obliczyć współczyn­nik bezpieczeństwa n odniesiony do granicy plastyczności Re = 220 MPa.

Rozwiązanie Reakcja w miejscu utwierdzenia pręta jest równa Badając równowagę myślowo odciętych części pręta, otrzymuje się Wykres sił normalnych w funkcji długości pręta przedstawiono na rys. b. Biorąc pod uwagę wartości tych sił, obliczono naprężenia normalne Wykres naprężeń normalnych przedstawiono na rys. c. Odkształcenia kolejnych odcinków pręta wynoszą

Przemieszczenia poszczególnych przekrojów pręta (rys. d) są równe

Współczynnik bezpieczeństwa, z jakim pracuje pręt, oblicza się ze wzoru

Konstrukcje statycznie wyznaczalne

Układy statycznie wyznaczalne charakteryzują się tym, że siły wewnętrzne wystę­pujące w poszczególnych elementach tych układów mogą być wyznaczone z rów­nań równowagi. Obliczenia wytrzymałościowe elementu rozciąganego lub ściskanego wy­konuje się w celu sprawdzenia czy są spełnione warunki wytrzymałoś­ciowe

Naprężenie dopuszczalne na ściskanie k_c określa się podobnie jak k_r

gdzie R_c - wytrzymałość na ściskanie.

Spełnienie ww. warunków wytrzymałościowych bardzo często nie wy­starcza do właściwego zaprojektowania konstrukcji. Z tego względu musi być speł­niony warunek sztywności:

Według tego warunku odkształcenie lub przemieszczenie punktów projektowa­nego elementu nie powinno przekroczyć wartości odkształcenia lub przemiesz­czenia, przyjętego dla danej konstrukcji jako dopuszczalne.

Przykład

Obliczyć naprężenia w dwóch prętach o długości l i przekroju poprzecz­nym A, połączonych przegubowo i obciążonych siłą P. Określić przemieszczenie węzła A, jeżeli pręty tworzą kąt  z kierunkiem pionowym.

Rozwiązanie

W prostokątnym układzie współrzędnych Axy otrzymuje się następujące równa­nia równowagi

Po rozwiązaniu otrzymanego układu dwóch równań wartości sił wewnętrznych w prętach

Naprężenia normalne w tych prętach wynoszą

Wydłużenie bezwzględne każdego pręta jest równe

Zatem przemieszczenie węzła A wynosi

Przykład

Doskonale sztywna belka AC = 3l = 5 m jest zamocowana jednym końcem A na stałej podporze przegubowej i cięgnie BD. Cięgno tworzy z osią belki kąt  = 30°. Obciążenie belki stanowi pionowa siła P = 20 kN, przyłożona w punkcie C. Obliczyć przekrój po­przeczny cięgna, jeżeli naprężenie dopuszczalne na rozciąganie wynosi k_r = 100 MPa.

Rozwiązanie

Belka jest obciążona siłą P i reakcjami R_A i N. Niewiadomą reakcję N w cięgnie wyznacza się z równania momentów względem punktu A

Stąd

Naprężenia normalne w cięgnie nie mogą przekroczyć naprężeń dopuszczalnych na roz­ciąganie

Zatem wartość przekroju poprzecznego cięgna wynosi

Konstrukcje statycznie niewyznaczalne

W dotychczas rozpatrywanych przykładach dotyczących rozciągania i ściskania prętów siły wewnętrzne można było wyznaczyć na podstawie równań równowagi. Takie konstrukcje nazywa się statycznie wyznaczalnymi.

Istnieje jednak wiele za­dań, kiedy liczba równań równowagi jest mniejsza od liczby sił wewnętrznych. Konstrukcje takie są nierozwiązywalne przy zastosowaniu równań statyki ciał do­skonale sztywnych i noszą nazwę układów statycznie niewyznaczalnych. Do ob­liczenia niewiadomych sił należy wtedy uwzględnić odkształcenia i przemiesz­czenia prętów. Uzyskane w ten sposób dodatkowe równania współzależności od­kształceń stanowią zależności o charakterze geometrycznym.

W celu połączenia równań równowagi z równaniami geometrycznymi należy posłużyć się związ­kami fizycznymi uzależniającymi wzajemnie siły wewnętrzne i przemieszczenia. W przypadku materiałów liniowo-sprężystych związki te wynikają bezpośrednio z prawa Hooke'a.

Przykład sposobu obliczania konstrukcji statycznie niewyznaczalnych.

	Rozpatrzmy układ składający się ze sztywnej belki AD = 4a zamocowa­nej na stałej podporze przegubowej w punkcie A, zawieszonej na dwóch jednako­wych prętach o sztywności rozciągania EA i długości l, obciążonej w punkcie D pionową siłą P.
	Analizowany układ jest jednokrotnie statycznie niewyznaczalny, gdyż występują dwie siły normalne w prętach N1 i N2 oraz dwie składowe reakcji RAx i RAy, a dysponujemy trzema równaniami równowagi. Brakuje nam więc jednego równania współzależności odkształceń.

Równania równowagi możemy przedstawić następująco

.

Pod działaniem siły P belka AD obróci się o pewien kąt  dookoła stałej podpory przegubowej A.

Wydłużenia bezwzględne prętów wyniosą odpowiednio l₁ i l₂.

Stąd równanie współzależności odkształceń . Po zastosowaniu związków fizycznych otrzymamy Stąd po podstawieniu do równań równowagi znajdujemy .

Przykład

	Stalowy pręt o zmiennej średnicy i długości l = 2 m umieszczono bez luzu i wcisku pomiędzy dwiema prostopadłymi do osi pręta, nieskończenie sztywnymi podporami. Pręt podgrzano równomiernie na całej długości o t = 150 K.
Obliczyć naprężenia w pręcie, je­żeli średnice pręta są równe d = 2,5 cm, D = 3 cm, a współczynnik rozszerzalności cieplnej liniowej  = 1,2^.10^-5 K^-1 i moduł Younga E = 2,1^.10^5 MPa.

Rozwiązanie

Pod wpływem podgrzania pręt wydłużyłby się, gdyby jeden koniec był swobodny, o wartość

Ponieważ nie zmieni się długość pręta, zatem oba jego odcinki ulegną ściśnięciu siłą N o l₁ i l₂

gdzie

.

Stąd

więc

.

Naprężenia normalne w pręcie będą równe

.

Przykład

Tuleję wykonaną z miedzi o module Younga ET=l,1^.10^5 MPa i długości początkowej l1=100 mm nałożono na śrubę stalową i ściśnięto tak, że doznała skrócenia o wartość l=0,05 mm. Obliczyć naprężenia w tulei i rdzeniu śruby, jeżeli przekroje poprzeczne tulei AT=100 mm^2 oraz śruby AS=50 mm^2.

Rozwiązanie

Względne skrócenie tulei wynosi

.

Na podstawie prawa Hooke'a naprężenia w tulei są równe

.

Naprężenia można również wyrazić wzorem

.

Zatem siła normalna N ściskająca tuleję wynosi

Naprężenia normalne w śrubie poddanej rozciąganiu silą N będą równe

.

---