4. Elementy teorii powierzchni. Odwzorowanie powierzchni na powierzchnię.

4.1. Powierzchnie

Powierzchnią (w/g geometrii różniczkowej) nazywamy zbiór punktów przestrzeni, których położenie określa w sposób jednoznaczny ciągła i dwukrotnie różniczkowalna w pewnym obszarze (D) funkcja wektorowa dwóch niezależnych od siebie parametrów u i v

Równanie:

(1)

nazywamy wektorowym równaniem powierzchni.

W układzie ortokartezjańskim równanie powierzchni ma postać:

(2)

lub inaczej

(3)

Równanie wektorowe jest równoważne układowi trzech równań skalarnych:

(4)

które nazywamy równaniem parametrycznym powierzchni.

Krzywe na powierzchni określone równaniem postaci:

(5)

nazywamy liniami parametru stałego lub odpowiednio liniami współrzędnych u i v danego przedstawienia parametrycznego powierzchni. Linie te tworzą na powierzchni tzw. siatkę Gaussa (rys. 2) lub siatkę współrzędnych Gaussa.

4.2 Pierwsza forma kwadratowa powierzchni

Weźmy powierzchnię daną równaniem wektorowym
. Na tej powierzchni przez punkt P prowadzimy linie parametryczne u=const., v=const. Parametrom u i v (liniom parametrycznym) nadajemy różniczki du i dv. W wyniku tego otrzymujemy nowe linie parametryczne przecinające się w punkcie P₁ (rys. 3). Punkty P i P₁ łączymy łukiem o długości ds.

Szukamy długości elementarnej - ds.:

Wyznaczymy w tym celu różniczkę
wektora
:

(6)

Przyjmuje się, że:

(7)

Wygodniej jest posłużyć się wyrażeniem ds.²

(8)

Wstawiając wyrażenie (6) do wzoru (8) otrzymujemy

(9)

- I forma kwadratowa powierzchni (10)

gdzie:
,
,

Wyrażenie (10) nosi nazwę pierwszej formy kwadratowej powierzchni, zaś wyrażenia E, F, G są jej współczynnikami.

Do pierwszej formy kwadratowej możemy również dojść korzystając z zależności:

(11)

4.3 Kąt między krzywymi na powierzchni

Niech na powierzchni będą dane dwie krzywe: l₁, l₂. Kat miedzy krzywymi jest kątem między stycznymi do krzywych w punkcie przecięcia.

(12)

Z definicji iloczynu skalarnego mamy (Rys. 4)

(13)

Po wstawieniu do (13) wzorów (10) otrzymujemy

(14)

Jako szczególny przypadek wyznaczymy kąt między liniami parametrycznymi:

Wtedy dla l₁ (linii parametrycznej v=const) mamy

dla l₂ (linii parametrycznej u=const) mamy

Po wstawieniu do (14) otrzymujemy

(15)

Stąd wniosek, że siatka linii parametrycznych jest ortogonalna gdy F=0.

Wyznaczmy kąt między dowolną krzywą a linią parametryczną.

Założymy, że linie parametryczne są ortogonalne czyli, że F=0.

Najpierw wyznaczymy kąt α (rys.5):

dla l₁ (dowolnej linii) mamy:

dla l₂ (linii parametrycznej u=const) mamy

po wstawieniu do (14) otrzymujemy

(16)

Teraz obliczymy kąt β:

co w wyniku daje nam wzór

(17)

Ponieważ wiemy, że
to
,

Możemy podać teraz inny wzór na kąt β

(18)

gdzie wyrażenie
nazywamy kierunkiem k.

Kąt na powierzchni zależy od współczynników I formy kwadratowej i od kierunku.

4.4 Odwzorowanie powierzchni

Rozpatrzymy dwie powierzchnie dane równaniami:

Jeżeli znajdziemy związki między parametrami

lub
(19)

czyli funkcje odwzorowawcze to możemy powiedzieć, że odwzorowanie jest określone. Wtedy będziemy mieć dwie powierzchnie odniesione do tych samych parametrów.

Zapiszemy to krótko:

,
(20)

Def. odwzorowania

Odwzorowaniem wzajemnie jednoznaczne (homeomorficzne) jednej powierzchni na drugą nazywamy każdą jednoznaczną i wzajemną odpowiedniość punktową między powierzchnią, którą przyjmujemy za powierzchnię oryginału a powierzchnią, którą przyjmujemy za powierzchnię obrazu.

Ponadto funkcje (19) jako odwzorowanie homeomorficzne (jednojednoznaczne) powinny spełniać warunki:

- każdej parze wartości parametrów u, v przyporządkowują jedną i tylko jedną parę wartości parametrów U, V,

- powinny być klasy C² (dwukrotnie różniczkowalne i ciągłe),

- jakobian (J) odwzorowania musi być różny od zera (funkcje: U i V są wtedy niezależne):

(21)

W odwzorowaniach regularnych: obrazem punktu jest punkt, obrazem krzywej jest krzywa, koła jest koło, obszaru jest obszar.

4.5 Pierwsze twierdzenie Tissota

Weźmy odwzorowanie dwóch powierzchni:

Dla danego odwzorowania poszukujemy pary (linii) kierunków prostopadłych, które odwzorowują się również jako para linii prostopadłych. Na podstawie (14) dla powierzchni S₁ napiszemy :

(22)

podobnie dla powierzchni S₂:

(23)

Jeśli kierunki są prostopadłe to mamy:

co prowadzi do równań:

(24)

Rozwiązując układ równań (24) otrzymujemy wzory:

(25)

(26)

(27)

(wyróżnik I formy) (28)

I twierdzenie Tissota

W dowolnym regularnym odwzorowaniu jednej powierzchni na drugą istnieją dwa kierunki prostopadłe, które odwzorowują się również jako kierunki prostopadłe. Kierunki te nazywamy kierunkami głównymi

Przy odwzorowaniu wiernokątnym każda para kierunków prostopadłych odwzorowuje się jako para kierunków prostopadłych. Kierunki główne nie są określone, gdy odwzorowanie jest równokątne.

Twierdzenie to posiada ogólniejszą postać:

W dowolnym regularnym odwzorowaniu jednej powierzchni na drugą istnieje (co najmniej jedna) siatka ortogonalna, która odwzorowuje się na siatkę ortogonalną. Siatka ta nazywa się siatką główną.

4.6 Skala odwzorowania

Na obu powierzchniach przyjmiemy siatkę linii parametrycznych pokrywających się z siatką główną (kierunki główne pokrywają się z kierunkami linii parametrycznych).

Skalę odwzorowania definiujemy w sposób następujący:

- elementarna skala długości (29)

Wygodniej jest nam posłużyć się kwadratem skali:

(30)

Jeżeli przyjmiemy, że na obu powierzchniach siatka linii parametrycznych jest siatką główną to skale w kierunkach głównych będą równe skalom w kierunkach linii parametrycznych.

Dla linii v=const. (dv=0):
(31)

Dla linii u=const. (du=0):
(32)

Skale w kierunkach głównych nazywamy skalami głównymi (a,b)

Weźmy następnie skalę w dowolnym kierunku

następnie podstawimy

,

i wykorzystując wzory (31) i (32) otrzymamy

(33)

gdzie a,b skale główne.

Przyjmując następnie:

otrzymamy

Jest to równanie elipsy Tissota lub wskaźnicy Tissota.

II twierdzenie Tissota

Obrazem graficznym zniekształceń długości we wszystkich kierunkach wychodzących z jednego punktu powierzchni jest elipsa, której półosie są równe zniekształceniom w kierunkach głównych, (z wyjątkiem odwzorowań równokątnych).

4.7 Zniekształcenia kątów

Na powierzchni S₁ weźmy kąt β₁ i odpowiadający mu kąt β₂ na powierzchni S₂.

,
,

Zniekształcenie kąta definiujemy jako różnicę kątów

Do obliczenia tej różnicy wykorzystamy wzór (18) a następnie wzory (31) i (32):

,

(34)

Przekształcając dalej otrzymamy:

→
→

→

czyli

(35)

Maksymalna wartość różnicy
będzie wtedy, gdy

(36)

(37)

Maksymalne zniekształcenie ω jest równe podwójnej wartości (β₁-β₂)_max. Wynika to z faktu, że kąt β₁ jest kątem pomiędzy linia parametryczną a dowolną linią. Jeżeli po drugiej stronie linii parametrycznej weźmiemy taki sam kąt to kat całkowity między dowolnymi liniami będący sumą dwu kątów będzie miał zniekształcenie dwa razy większe 2(β₁-β₂)_max.

Jeżeli a=b to wg wzoru (37) zniekształcenie kąta jest równe zeru, czyli odwzorowanie jest wiernokątne (równokątne, konforemne)

4.8 Zniekształcenie pola

(38)

Jest to wzór na elementarne pole.

Na powierzchni S₁ bierzemy element pola dP₁ i odpowiadający mu na powierzchni S₂ element dP₂.

Skalę pola i zniekształcenie pola definiujemy w sposób następujący:

- skala pola,
- zniekształcenie pola

(39)

Przyjmujemy dodatkowo, że mamy siatkę główną czyli, że
i otrzymujemy

(40)

Jeżeli f = 1, to odwzorowanie nazywamy wiernopolowym (równopolowym).

4.9 Płaszczyzna jako powierzchnia obrazu w odwzorowaniu powierzchni kuli

Gdyby powierzchnia kuli była powierzchnią rozwijalną to wówczas wystarczyłoby rozciąć kulę wzdłuż jakiejś linii i wyprostować na płaszczyźnie. Dla kuli jest to jednak niemożliwe, ponieważ kula nie jest rozwijalna na płaszczyznę. Dlatego też bierzemy powierzchnie, którą łatwo możemy rozwinąć. Gdy stycznie do kuli przykładamy płaszczyznę to mamy odwzorowanie płaszczyznowe zwane również odwzorowaniem azymutalnym.

Gdy weźmiemy walec styczny do kuli wzdłuż dowolnego koła wielkiego, zrzutujemy punkty z powierzchni kuli na pobocznicę walca a następnie rozetniemy ją wzdłuż tworzącej to otrzymamy odwzorowanie walcowe.

Można także użyć jako powierzchnie obrazu pobocznicę walca położoną stycznie do powierzchni kuli wzdłuż dowolnego koła małego a następnie rozciąć ją wzdłuż tworzącej. Będziemy mieli wtedy odwzorowanie stożkowe.

Kartografia matematyczna. Elementy teorii powierzchni. Odwzorowanie powierzchni na powierzchnię.

4

y

x

z

M

S

Rys. 1

Rys. 2

Rys. 9

P

Rys. 5

P

Rys. 4

l₂

l₁

Rys. 3

P

P₁

(S₂)

(S₁)

P₁

P₂

Q₁

Q₂

u

v

Rys. 7

S₁

Rys. 6

S₂

S₂

S₂

Rys. 8

S₁

Rys. 10

S₁

x

y

a

b

---