Dynamika punktu materialnego

Podstawą dynamiki punktu materialnego jest drugie prawo Newtona

gdzie:
- jest siłą działająca na punkt w danej chwili,

- jest przyspieszeniem tego punktu w tejże chwili względem inercjalnego układu odniesienia,

a
- jest masą tego punktu, o której zakładamy, że jest niezmienną względem czasu.

Inercjalny układ odniesienia

Inercjalny układ odniesienia? Mając na uwadze względność przyspieszenia punktu nie można się spodziewać, że tak sformułowane drugie prawo Newtona będzie spełnione w każdym układzie odniesienia. Wybór układu odniesienia zależy od rodzaju rozpatrywanego zagadnienia. W zagadnieniach dynamiki w otoczeniu Ziemi, jako układ inercjalny przyjmujemy dowolny nieruchomy względem Ziemi. W zagadnieniach podróży międzyplanetarnych jako układ odniesienia przyjmujemy dowolny nieruchomy względem Słońca, itd.

Zasada zachowania pędu punktu materialnego

Pędem punktu materialnego w danej chwili nazywamy wyrażenie

gdzie
- jest prędkością rozpatrywanego punktu materialnego w tejże chwili.

Wyrażenie
bywa nazywanie popędem siły
w przedziale czasowym
.

Zasada zachowania krętu punktu materialnego

Krętem (momentem pędu) punktu materialnego względem nieruchomego punktu A w danej chwili nazywamy wyrażenie

gdzie
- jest wektorem położenia rozpatrywanego punktu materialnego względem punktu A w tejże chwili.

Zasada zachowania energii kinetycznej punktu materialnego

Energią kinetyczną punktu materialnego nazywamy wyrażenie

Prawa strona
jest nazywana pracą siły
w przedziale
.

jest nazywana mocą siły
w danej chwili.

Zasada zachowania energii potencjalnej punktu materialnego

Jeżeli punkt materialny porusza się pod działaniem potencjalnego pola sił, tzn. siła
spełnia warunek
dla potencjału j zależnego wyłącznie od położenia punktu, to energia potencjalna tego puntku materialnego
jest stała względem czasu.

Siła jako znana funkcja czasu

Zakładając, że
zależy od czasu w zadany sposób. Wtedy równanie ruchu punktu materialnego

Zatem rozwiązanie równań ruchu w rozpatrywanym przypadku ma postać.

Widać, że do rozwiązania potrzebujemy warunków początkowych na położenie
oraz prędkość
.

Rzut ukośny

W przypadku szczególnym ruchu punktu w jednorodnym polu grawitacyjnym Ziemi zakładamy, że

gdzie
jest wektorem przyśpieszenia ziemskiego. Wtedy rozwiązanie równań ruchu punktu przyjmuje postać

,

Rzut ukośny z uwzględnieniem oporu powietrza

Dla małych prędkości ruchu dobrym przybliżeniem zagadnienia jest założenie liniowości oporu powietrza względem prędkości. Wtedy przyjmujemy następujące wyrażenie dla siły działającej na punkt

Drgania własne punktu materialnego

Załóżmy, że siła działajaca na punkt jest potencjalna i zależy liniowo od wychylenia punktu z położenia równowagi. Wtedy dobierając odpowiednio układ współrzędnych mamy

,
,

gdzie
,
i
są parametrami sprężystości podparcia punktu materialnego.

Dla składowej x wychylenia punktu mamy nastepujące równanie ruchu

.

Drgania własne tłumione punktu materialnego

Załóżmy, że dodatkowo na punkt działa siła proporcjonalna do prędkości wychylenia z położenia równowagi. Wtedy dobierając odpowiednio układ współrzędnych mamy

gdzie
jest parametrem tłumieniem. Druga zasada dynamiki ma zatem postać

Rozróżniamy trzy przypadki tłumienia: Małe, Duże i Krytyczne w których mamy do czynienia ze zmianą współczynnika oraz ilości i typów pierwiastków równania charakterystycznego.

Drgania wymuszone punktu materialnego

Załóżmy, że dodatkowo na punkt działa harmoniczna siła wymuszająca o amplitudzie
i częstości
. Wtedy dobierając odpowiednio układ współrzędnych mamy

gdzie
jest parametrem tłumieniem. Druga zasada dynamiki ma zatem postać

Rozróżniamy trzy przypadki tłumienia: Małe, Duże, Krytyczne, Brak tłumienia oraz Niezrezonansowane wymuszenie

w których mamy do czynienia ze zmianą współczynnika oraz ilości i typów pierwiastków równania charakterystycznego.

Punkt materialny w polu sił centralnych

W centalnym polu sił moment siły wzgledem środka pola jest zawsze równy zero, a kręt punktu materialnego względem środka pola jest stały względem czasu.

Rozwiązanie równania toru zależy od budowy potencjału rozpatrywanego pola sił.

Punkt materialny w polu grawitacyjnym

Załózmy dodatkowo, że siła działająca na punkt jest dana wzorem

gdzie k jest stałą grawitacyjną, a M jest dużą masą wytwarzającą rozpatrywane pole grawitacyjne. Wówczas równanie toru przyjmuje postać

Dynamika punktu materialnego z więzami

Dla różnych typów więzów rozróżniamy kilka równań ruchu punktu :

• 
  dla więzów dwustronnych

• 
  dla więzów jednostronnych

• 
  nie zależy explicite (wyraźnie) od czasu - więzy stacjonarne

Wiezy ograniczające położenie nazywamy geometrycznymi.

W przypadku dynamiki punktu materialnego z więzami drugie prawo dynamiki przyjmuje postać

gdzie
jest reakcją więzu w chwili t.

Więzy nazywamy idealnymi, gdy praca reakcji więzu
jest zerowa.

Punkt poruszający się po powierzchni z tarciem Coulomba

Powierzchni dana równaniem:

.

Niech
i
oznacza odpowiednio składowe normalną i styczną reakcji więzu. Zatem

;

Prawo tarcia sformułujemy w postaci

zatem siła tarcia ma kierunek prędkości, zwrot przeciwny, a co do wartości bezwzględnej jest równa
,

Dynamika układu punktów materialnych

Rozpatrujemy zagadnienie dynamiki układu wzajemnie oddziałujących N punktów materialnych o masach
. Wprowadzimy następujące oznaczenia

- wektor przyśpieszenia punktu i w chwili t.

- siła z jaką punkty oddziałują na siebie

- jest tzw. siłą zewnętrzną działająca na punkt i w danej chwili.

Drugie prawo Newtona dla i-tego punktu materialnego przyjmujemy w postaci

Zasada zachowania pędu układu punktów materialnych

Pędem układu punktów materialnych w danej chwili nazywamy wyrażenie

.

Zasada zachowania krętu układu punktów materialnych

Krętem (momentem pędu) układu punktów materialnych względem początku układu współrzędnych w danej chwili nazywamy wyrażenie

Zasada zachowania energii układu punktów materialnych

Energią układu punktów materialnych nazywamy wyrażenie

.

Zasada zachowania energii potencjalnej układu punktów materialnych

Jeżeli założyć, że każda z sił zewnętrznych
ma potencjał
, tzn.
, to energia potencjalna układu puntków

Jest stała względem czasu.

Środek masy układu punktów materialnych

Środkiem masy układu punktów materialnych nazywamy punkt
dany wektorem położenia

gdzie
jest łączną masą rozpatrywanego układu

Widzimy więc, że pęd układu jest równy pędowi środka masy, a sam środek masy zachowuje się jak zwykły punkt materialny o masie M pod działaniem łącznej siły zewnętrznej.

BRYŁA

Zakładamy, że bryła tworzy dostatecznie regularny obszar w 3 wymiarowej przestrzeni Euklidesa.

Środek masy bryły

Założymy, że gęstość masy bryły
jest funkcją całkowalną.

Procedura przejścia granicznego daje następujące wyniki

gdzie
jest łączną masą rozpatrywanej bryły.

Pęd bryły

Założymy, że gęstość masy bryły
jest funkcją całkowalną.

Procedura przejścia granicznego daje następujące wyniki

- pęd bryły,

- zasada zachowania pędu bryły

Środek masy zachowuje się jak zwykły punkt materialny o masie M pod działaniem łącznej siły zewnętrznej.

Energia kinetyczna bryły

Jeżeli A jest punktem bryły to

gdzie
jest wektorem prędkości kątowej bryły a

Jest nazywane momentem bezwładności bryły względem osi równoległej do
i przechodzącej przez punkt A.

Tensor momentów bezwładności bryły

Niech
będzie lokalnym układem współrzędnych zaczepionym w punkcie
. Składowe tensora momentów bezwładności bryły w rozpatrywanym układzie współrzędnych zdefiniujemy w postaci następującej macierzy

Elementy na głównej przekątnej nazywamy momentami osiowymi a pozostałe dewiacyjnymi.

Wzory Steinera

Wzory Steinera: Niech
będzie układem centralnym a
dowolnym do niego równoległym. Wtedy

,
,

,
,

,
.

Głównymi momentami bezwładności bryły (względem punktu
) nazywamy pierwiastki tzw. równania charakterystycznego tensora momentów bezwładności

.

Promieniami bezwładności nazywamy wyrażenia

.

Oś przechodzącą przez punkt
i równoległą do niezerowego wektora
spełniającego warunek
nazywamy główną osią bezwładności odpowiadającą momentowi głównemu
.

Kręt bryły

Jeżeli A jest punktem bryły to kręt bryły względem zera globalnego układu współrzędnych wynosi

gdzie
jest wektorem prędkości kątowej bryły a
tensorem momentów bezwładności bryły względem punktu A.

Kręt bryły w ruchu kulistym

Jeżeli A jest środkiem ruchu kulistego bryły to kręt bryły względem A wynosi

gdzie
jest wektorem prędkości kątowej bryły a
tensorem momentów bezwładności bryły względem punktu A.

Energia kinetyczna bryły w ruchu kulistym

Jeżeli A jest środkiem ruchu kulistego bryły to

gdzie
jest wektorem prędkości kątowej bryły a

Jest nazywane momentem bezwładności bryły względem osi równoległej do
i przechodzącej przez punkt A.

---