Statystyka - zestaw 1
1. W każdej partii 1000 sztuk wyrobów czekoladowych produkowanych przez spółkę „Słodycz” znajduje się 668 szt. wyrobu I gat., 270 szt. wyrobu II gat., 50 szt. wyrobu II gat. oraz 12 szt. poza gatunkowe. Wybieramy losowo jeden produkt z partii. Jakie jest prawdopodobieństwo, że będzie to
a) wyrób I gatunku?
b) wyrób poniżej I gat.?
Odp. a) 0.668 b) 0.062
2. Dokonujemy trzech rzutów monetą. Obliczyć prawdopodobieństwo:
a) zdarzenia A, polegającego na tym, że orzeł pojawi się dwa razy,
b) zdarzenia B, polegającego na tym, że orzeł pojawi się co najmniej dwa razy,
c) zdarzenia C, polegającego na tym, że orzeł pojawi się co najwyżej dwa razy.
Odp. a) 3/8 b) 4/8 c) 7/8
3. Student wykonuje pewną pracę w ciągu 4, 5 lub 6 godzin i może popełnić przy tym 0, 1, lub 2 błędy. Zakładając jednakowe prawdopodobieństwo dla każdego z 9 zdarzeń jednoelementowych, znaleźć prawdopodobieństwa następujących zdarzeń:
a) praca zostanie wykonana w ciągu 4 godzin (zdarzenie A),
b) praca zostanie wykonana bezbłędnie w czasie 6 godzin (zdarzenie B),
c) praca zostanie wykonana w czasie 5 godzin najwyżej z jednym błędem (zdarzenie C)
d) praca zostanie wykonana z co najwyżej jednym błędem (zdarzenie D).
Przestrzeń zdarzeń elementarnych: Ω = {(4,0), (4,1), (4,2), (5,0), (5,1), (5,2), (6,0), (6,1), (6,2)}
Odp. a) 3/9 b) 1/9 c) 2/9 d) 6/9
4. Rzucamy dwiema kostkami. Niech zdarzenie A polega na tym, że suma oczek jest liczbą nieparzystą Zdarzenie B - na otrzymaniu jedynki co najmniej na jednej kostce. Opisać zdarzenia A∩B, A∪B. Obliczyć ich prawdopodobieństwa, zakładając, że wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo możliwe. Zdarzenie A∩B polega na otrzymaniu z obu kostek nieparzystej sumy oczek i otrzymaniu jedynki wyłącznie na jednej kostce. Zdarzenie A∪B polega na tym, że suma oczek jest nieparzysta lub że chociaż na jednej kostce pojawia się jedynka.
Odp. P(A∩B) = 1/6 P(A∪B) = 2/3
5. Rzucamy kostką do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że liczba otrzymanych oczek będzie mniejsza od trzech?
Odp. 2/6
6. Pobieramy z całej przemieszanej masy towarowej 3 sztuki, zwracając je po każdym pobraniu i stwierdzeniu gatunku. Obliczyć prawdopodobieństwo, że dwie sztuki będą drugiego gatunku. Prawdopodobieństwo wylosowania jednej sztuki II gatunku wynosi 0,56.
Odp. 0.414
7. Badano zawartość tłuszczu metodą Soxhleta w wybranej próbie lodów śmietankowych. Prawdopodobieństwo wylosowania loda śmietankowego, który ma zawartość tłuszczu poniżej ustalonej normy, wynosi 0,06. Pobieramy z całej próby 10 sztuk, zwracając je po każdym pobraniu i stwierdzeniu zawartości tłuszczu. Obliczyć prawdopodobieństwo, że siedem wylosowanych lodów będzie miało zawartość tłuszczu powyżej ustalonej normy.
Odp. 120⋅0.947⋅0.063
8. Dokonujemy trzech rzutów monetą. Niech X oznacza liczbę orłów w pojedynczej serii. Zakładając, że prawdopodobieństwo wypadnięcia orła i reszki jest identyczne, wyznaczyć dla zmiennej losowej X funkcję prawdopodobieństwa. Korzystając z funkcji prawdopodobieństwa, wyznaczyć prawdopodobieństwa: P(X = 2), P(X <2), P(X ≤ 2), P(X > 2).
Odp.
Xi |
0 |
1 |
2 |
3 |
pi |
1/8 |
3/8 |
3/8 |
1/8 |
a) 3/8 b) 4/8 c) 7/8 d) 1/8
9. Dziesięciu szczurom chorym na pewną chorobę podawano nowy lek. Prawdopodobieństwo, że szczur, któremu podawano nowy lek, wyzdrowieje wynosi 0,8. Niech X oznacza liczbę szczurów, które wyzdrowiały. Wyznaczyć prawdopodobieństwa: P(X <9), P(X ≥ 9), P(X = 3), P(3 ≤ X ≤ 8).
Odp.
Xi |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
pi |
0 |
0 |
0 |
0.002 |
0.006 |
0.026 |
0.088 |
0.201 |
0.302 |
0.268 |
0.107 |
10. W grupie studenckiej przeprowadzono sprawdzian. Niech X oznacza ocenę losowo wybranego studenta. Zakładając, że stosunek ocen bardzo dobrych, dobrych, dostatecznych, niedostatecznych ma się jak 1:3:4:2, wyznaczyć dla zmiennej losowej X funkcję prawdopodobieństwa. Korzystając z funkcji prawdopodobieństwa, wyznaczyć prawdopodobieństwa: P(X <3), P(X ≥ 3), P(3<X≤4), P(3≤X≤4).
Odp.
Xi |
bdb |
db |
dst |
ndst |
pi |
0.1 |
0.3 |
0.4 |
0.2 |
Rachunek prawdopodobieństwa
BK