Transformacja Galileusza (TG) :

W przyrodzie występują cztery oddziaływania elementarne :

1. Grawitacyjne (natężenie 2 * 10 ^-39).

2. Elektromagnetyczne (7,3 * 10 ^-9)

3. Silne (jądrowe) (1).

4. Słabe (10 ^-5).

Prawa ruchu Newtona :

I)a = 0 ⇒ F = 0

II)F = ma = m * (d²r / dt²) ; F ≠ 0

III)F_2-1 = - F_1-2

W działaniach w skali atomowej zasada akcji i reakcji nie zawsze jest słuszna. Istnieją naturalne granice stosowania III prawa Newtona. W makroświecie jesteśmy przekonani, że wszystkie siły i sygnały rozchodzą się z jednakową prędkością, więc możemy przyjąć, że siły F_2-1 i F_1-2 są mierzone w tym samym momencie. Jest to jednak sprzeczne z faktem, że cząstka dopiero po skończonym czasie odczuwa działanie siły drugiej cząstki.

Układy współrzędne, w których rozważane są zjawiska dynamiczne, i dla których spełnione są ZDN nazywamy inercjalnymi.

Każde ciało na Ziemi uczestniczy zawsze w dwóch ruchach obrotowych :

1. Ziemi wokół własnej osi (na równiku 3,4 [cm/s²]),

2. Ziemi wokół Słońca (0,6 [cm/s²]).

Założenia mechaniki klasycznej :

1. Przestrzeń jest Euklidesowa.

2. Przestrzeń jest izotropowa (tzn. własności fizyczne jednakowe we wszystkich kierunkach).

["m" w "F = ma" nie zależy od kierunku wektora "a".

3. Prawa dynamiki Newtona są słuszne w układzie inercjalnym, określonym dla obserwatora w spoczynku na Ziemi przy założeniu, że uwzględnione jest tylko przyspieszenie Ziemi w ruchu obrotowym wokół własnej osi i dookoła Słońca.

4. Prawo powszechnego ciążenia (Prawo Grawitacji).

Siła działająca między każdymi dwoma punktami materialnymi "m₁" i "m₂", znajdującymi się w odległości "r", jest siłą przyciągającą, skierowaną wzdłuż prostej łączącej te punkty, i ma wartość

F = G m₁ m₂ / r²

gdzie "G" jest stałą uniwersalną, mającą tę samą wartość dla wszystkich par punktów materialnych.

Względność klasyczna TG :

Stan ruchu jakiegoś obserwatora nie może zmienić praw przyrody, czyli wszystkie prawa przyrody muszą być takie same dla wszystkich obserwatorów poruszających się względem siebie ruchem jednostajnym prostoliniowym.

Układ S₁ jest w spoczynku, a układ S₂ porusza się względem układu S₁ :

r₁ = O₁O₂ + r₂

x₂ = x₁ - vt

x₁ = x₂ + vt

y₁ = y₂

z₁ = z₂

Grupa TG :Transformacja opisująca przemieszczenia wzdłuż osi x, y, z, obroty oraz odbicia względem początku układu we wszystkich kierunkach.

Odwzorowania:

Transformacje odpowiadające liniowym przemieszczeniom ze stałym wektorem V = const. : V = (dr / dt)

(dx₁ / dt) = (dx₂ / dt) + V

(dy₁ / dt) = (dy₂ / dt)

(dz₁ / dt) = (dz₂ / dt)

V_X1 = V_X2 + V a_X1 = a_X2

V_Y1 = V_Y2 a_Y1 = a_Y2

V_Z1 = V_Z2 a_Z1 = a_Z2

Przyspieszenie punktu "M" w układzie S₂ równa się przyspieszeniu punktu w układzie S₁. Czyli TG przeprowadza układ inercjalny w układ inercjalny.

Transformacja Lorentza (TL) :

1887 doświadczenie Michelson'a - Morley'a, z którego wynika, że prędkość światła jest NIEZMIENNICZA tzn., że prędkość światła jest taka sama niezależnie od tego, czy jest ona zmierzona przez obserwatora w układzie stacjonarnym, czy też znajdującego się w układzie poruszającym się ze stałą prędkością względem źródła światła. Wnioski te stały się podstawą teorii względności Einsteina.

Transformacja Lorentza będzie spełniała założenia :

1. Będzie prosta ze względu na "y" i "z",

y₁ → y₂ i z₁ → z₂, czyli nie zaburza y₁ = y₂ i z₁ = z₂.

2. Liniowa ze względu na "x" i "t", gdyż zmierzamy do uzyskania kulistej powierzchni falowej, która rozszerza się ze stałą prędkością.

3. Z wyrażenia wynika, że T typu t = t musi ulec. Więc:

x₂ = (x₁ -Vt₁) / √(1 - V² / c²)

y₂ = y₁ z₂ = z₁

t₂ = t₁ - (V / c²) x₁ / √(1 - V² / c²)

Istnieje pewna standardowa forma zapisu β = V / c - beta

χ = 1 / √(1 - β²) - gamma

transformacje przybiera postać :

x₂ = χ (x₁ - βct₁)

y₂ = y₁ z₂ = z₁

t₂ = χ (t₁ - βx₁ / c) (4b)

Konsekwencje TL :

Kontrakcja przestrzeni (skrócenie długości).

Wynik pomiaru grubości pręta nie zależy od prędkości tego pręta, gdy porusza się on prostopadle do swojej długości (S₂ związany z prętem).

Rozważmy długość pręta, który leży równolegle i wtedy długość :

L₀ = x₂⁽¹⁾ - x₁⁽¹⁾

Długość pręta w S₂ poruszającego się względem S₁ V (V, 0, 0) mierzona w tym samym czasie t₂ wynosi :

L = x₂⁽²⁾ - x₁⁽²⁾

Wykorzystując TL dostajemy :

x₂⁽¹⁾ = x₂⁽²⁾ + Vt₂ / √(1 - β²)

x₁⁽¹⁾ = x₁⁽²⁾ + Vt₂ / √(1 - β²)

x₂⁽¹⁾ - x₁⁽¹⁾ = (x₂⁽²⁾ - x₁⁽²⁾) / √(1 - β²)

L₀ = L / √(1 - β²)

L₀ > L

Następuje kontrakcja przestrzeni w układzie poruszającym się (skrócenie długości).

Dylatacja - wydłużenie odstępów czasu mierzonych przez zegar będący w ruchu, przyjmujemy, że zegar, który jest w spoczynku w S₁ daje wynik pomiaru czasu "τ" i ten odstęp czasu nazywamy czasem własnym (dla każdej cząstki elementarnej czas jest określony przez jej czas własny wyznaczony w układzie związanym z tą cząstką, czyli w układzie, w którym ta cząstka jest w spoczynku. Szukając czasu "t" wyznaczonego w S₂ korzystamy z TL :

t₂ = χ (t₁ - βx₁/c) ; x₁ = 0, t₁ = τ

t₂ = χτ ⇒ t₂ = τ / √(1 - β²) ⇒ t₂ > τ

Oznacza to, że w układzie S₂ czas "biegnie wolniej".

Lorentzowskie dodawanie prędkości

x₂ = (x₁ - Vt₁) / √ (1 - β²)

y₂ = y₁ z₂ = z₁

t₂ = [t₁ - (V / c²) x₁] / (1 - β²)

V = dr / dt

dx₂ = (dx₁ - dt₁V) / (1 - β²) = dt₁ (V_1X - V) / (1 - β²)

dy₂ = dy₁ dz₂ = dz₁

dt₂ = [dt₁ - dx₁(V / c²)] / (1 - β²) = [dt₁ (1 - (V / c²) V_1X)] / (1 - β²)

V_2X = (V_1X - V) / [1 - (V / c²) V_1X]

V_2Y = [V_1Y √ (1 - β²)] / [1 - (V / c²) V_1X]

V_2Z = [V_1Z √ (1 - β²)] / [1 - (V / c²) V_1X]

V_1X = (V_2X + V) / [1 + (V / c²) V_2X]

V_1Y = [V_2Y √ (1 - β²)] / [1 + (V / c²) V_2X]

V_1Z = [V_2Z √ (1 - β²)] / [1 + (V / c²) V_2X]

Mimo, że ruch układu S₂ odbywał się wzdłuż osi "x" to TLP (prędkości) składowe "y" i "z" prędkości w układzie S₂ zależą od "x" składowej w układzie S₁.

Pęd.

p := m V ; m = const. - nie relatywistyczna definicja pędu.

Rozważając szczególny przykład zderzenia można wykazać, że pęd Newtonowski nie jest zachowany przy zderzeniach cząstek mających prędkości bliskie "c".

W S₂ pęd nie relatywistyczny p _Y nie jest taki sam przed i po zderzeniu :

2m V_Y Kuli 2. ≠ 2m V_Y Kuli 1.

Wniosek :Określenie pędu, jako wielkości proporcjonalnej do prędkości nie pozwala na spełnienie zasady zachowania pędu we wszystkich układach odniesienia. Należy znaleźć definicję pędu, która spełnia zasadę zachowania pędu dla układów poruszających się względem siebie ruchem jednostajnie prostoliniowym. W nowej definicji p := m₀V / √[1 - (V / c) ²]

Tak zdefiniowany pęd prowadzi do zasady zachowania pędu, która będzie słuszna w dowolnym układzie odniesienia, który różni się od będącego w spoczynku o stałą prędkość poruszania się V skierowaną wzdłuż osi "x -ów".

Pęd relatywistyczny.

p = m₀V / √[1 - (V / c) ²]

Od prędkości (V / c) ≥ 0,2 masę należy traktować relatywistycznie, tzn. uznać, że zależy ona od prędkości. Relatywistyczny wzrost masy potwierdzono eksperymentalnie (przyspieszenie elektronu w synchrotronie).

2.) Siła relatywistyczna.

F = χ³ m₀ a

3.) Energia kinetyczna (E_K).

E _K = ∫_(0,r) F dr = ∫_(0,r) F dr

Po scałkowaniu :

E _K = m ₀ c² / √[1 - (V / c) ²] - m ₀ c² (5a);

m = m ₀ / √[1 - (V / c) ²]

E _K = m c² - m ₀ c² (6)

4.) Energia całkowita (E_C).

E_C = E₀ + E_K = m₀c² + mc² - m₀c²

E_C = mc²

Ten wzór zawiera informację o równoważności masy i energii.

W mechanice relatywistycznej nie rozważa się osobno zasady zachowania masy i zasady zachowania energii, istnieje zasada zachowania masy-energii.

E_C² = E₀² + p²c²

V → c , m₀ → 0 , m → ∞

E₀ = m₀c² → 0

E_C = p c

Dla V → c masa spoczynkowa m₀ → 0, gdyż inaczej masa relatywistyczna m → ∞.

Cząstki o dużych prędkościach, dla których energia całkowita "E_C = p c" nazywamy cząstkami skrajnie relatywistycznymi inaczej ultra relatywistycznymi.

PRACA

Różniczkowa praca siły jest zdefiniowana jako praca wykonana przez siłę F na odcinku dr, jeżeli siła działa na odcinku AB

W_AB := ∫_(A,B) F ° dr (1)

W_AB := ∫_(A,B) F cos∠(F, dr) dr (1a)

We wzorze (1) siła F jest wypadkową wszystkich sił działających na daną cząstkę.

W_AB = ∫_(A,B) m (dV / dt) ° dr (2)

dr = V dt

W_AB = (1 / 2) m (V_B² - V_A²)

Jest to różnica energii kinetycznej jaką osiągnie cząstka przemieszczając się od punktu A do B.

Praca wykonana nad cząstką swobodną (nie posiadającej energii potencjalnej) jest równa zmianie energii kinetycznej tej cząstki.

Siły zachowawcze - energia potencjalna.

W_AB = ∫_(ACB) F_C ° dr = ∫_(ADB) F_C ° dr

Czyli praca niezależna jest od toru łączącego punkty A i B : W = ∫_(ADBCA) F_C ° dr = 0

Energię potencjalną definiujemy jako pracę wykonaną przez siły zachowawcze (nie zależną od toru) :

U _AB= ∫_(A,B) F_C ° dr = U_B - U_A

Skalarna funkcja U(x, y, z) jest to energia potencjalna związana z siłą zachowawczą F_C. Wielkości U_B i U_A są to wartości tej funkcji skalarnej wyznaczone w końcowych punktach toru.

Przyjmuje się, że punkt B jest w nieskończoności i wówczas

U_B → 0

U _AB= ∫_(A,∞) F_C ° dr = - ∫_(∞,A) F_C ° dr = U_A

d U_A / dr = - F_C lub F_C = - grad U(x, y, z)

lub F_C = - ∇U(x, y, z)-operator Nabla działający na skalarną funkcję U

Operator Nabla jest następująco zdefiniowany w układzie kartezjańskim jako operator wektorowy :

∇ := ^i (d / dx)+ ^j (d / dy)+ ^k (d / dz)

Pole zachowawcze posiada potencjał skalarny.

Gradient (grad) oznacza operator gradientu, który we współrzędnych kartezjańskich jest zdefiniowany przez ∇.

Gradient ze skalara jest wektorem, który ma kierunek najszybszego wzrostu skalara, a jego wartość liczbowa jest równa pochodnej kierunkowej tego skalara.

Definicja stanu równowagi:

F = - grad U

- Δx = dU / dx < 0 ⇒ F > 0

+Δx = dU / dx > 0 ⇒ F < 0

x₁ i x₂ - nie są stanami równowagi trwałej

x₀ - jest stanem równowagi trwałej.

Bryła sztywna

Bryłą sztywną nazywamy takie ciało, w którym wszystkie punkty mają zawsze stałe odległości:

r_i - r_j = r_ij

Wynika stąd, że podczas ruchu układ punktów materialnych, który tworzy tą bryłę sztywną, porusza się jako całość o nie zmieniającej się postaci i objętości.

Bryła sztywna w ruchu swobodnym (żadnych ograniczeń) posiada 6 stopni swobody.

Ruch postępowy.

Jeżeli dowolna prosta przeprowadzona przez bryłę sztywną porusza się równolegle do siebie samej to wówczas wektory prędkości wszystkich punktów ciała są w danej chwili jednakowe i ruch taki rozumiemy przez ruch postępowy bryły sztywnej.

Ruch obrotowy.

Wszystkie punkty bryły sztywnej poruszają się po okręgach, których środki leżą na jednej prostej, prosta ta nazywa się chwilową osią obrotu, gdy oś ma stałe położenie w czasie to wówczas mówimy o stałej osi obrotu.

Relacja prędkości liniowej "n -tego" punktu bryły sztywnej :

V _n = ω × r _n

Dla każdej bryły sztywnej, niezależnie od jej kształtu, istnieją 3 ortogonalne kierunki, dla których moment pędu L jest równoległy do osi obrotu (L || ω). Gdy bryła sztywna posiada jakąś symetrię to te osie symetrii są osiami głównymi.

M = dL / dt moment pędu

ω jest chwilową osią obrotu i zarazem prędkością kątową ciała w ruchu obrotowym względem osi przechodzącej przez początek układu współrzędnych.

Twierdzenie Steinera.

I_XX = I_XX^O + a² Σ_(n) m _n

Moment bezwładności (I_XX) dowolnego ciała wirującego dookoła osi równoległej do osi "x -ów" oddalonej o "a" od środka masy (np. wzdłuż osi "y -ów") jest równy momentowi bezwładności względem osi przechodzącej przez środek masy (I_XX^O) zwiększony o iloczyn całkowitej masy i kwadratu odległości osi obrotu od środka masy.

Energia kinetyczna bryły sztywnej

E_K = (1/2) mV²

Korzystając z definicji energii kinetycznej zapisujemy dla bryły sztywnej :

E_K = (1/2) Σ_(n) m_n V_n² = (1/2) m_n Σ_(n)(ω×r_n)² = (1/2) Σ_(n) m_n (ω×r_n) (ω×r_n)

Równanie Eulera

M = dL / dt - dla punktu materialnego

Składowa prędkości kątowej prostopadłej do osi symetrii "z" wirującego bąka obraca się z prędkością kątową Ω, czyli ω wiruje jednostajnie z prędkością kątową Ω dookoła osi bąka "z".

Bąk symetryczny, wirujący dookoła swojej osi z prędkością kątową ω₃ w wolnej od działania sił zewnętrznych przestrzeni wiruje kołysząc się jednostajnie z częstością Ω.

Oddziaływanie elektryczne:

Siła Couloba.

F=kq₁q₂/r² * ^r (1);k = 8,9874 * 10⁹ [Nm²/C²]

to definicja jednostki ładunku Columb, jest to ładunek, który na równy sobie umieszczony w odległości 1 [m] działa siłą k [N].

k=1/4Πε₀ ;ε₀ = 8,857 * 10 ^-12 [C²/Nm²] - przenikalność elektryczna próżni

F=q₁q₂/4Πε₀r² (1a)

Pole elektryczne E

Obszar, w którym na ładunek elektryczny działa siła (Coulomb'owska) nazywamy polem elektrycznym, siła ta wynika z obecności w przestrzeni różnych ładunków elektrycznych. Pole elektryczne jest równe sile działającej na ładunek jednostkowy (E = F; q = 1)

E=F/q

Dla ładunku punktowego rozkład pola elektrycznego jest radialny i pole elektryczne wytworzone przez Q

E=Qμ_r/4Πε₀

Strumień pola elektrycznego.

Pojęcie strumienia Φ dla dowolnego pola wektorowego V

φ_v=_Σcałka pow.Vds ; ds ⊥ Σφ_E=_Σcałka pow.Eds

φ_E = -dS₁E + dS₂E + dS₃E

φ_E = 0

Prawo Gaussa.

prawo Gaussa stosuje się do dowolnej powierzchni (powierzchni Gaussa) i daje ono związek między Φ_E przechodzącym przez tą powierzchnię i całkowitym ładunkiem zamkniętym w jej wnętrzu.

ε₀ φ_E = q_całkowity

Potencjał pola elektrycznego.

Potencjał pola wiąże się z natężeniem pola elektrycznego E podobnie jak energia potencjalna z siłą.

F= -grad U(x,y,z)

E = F/q

Dla ładunku jednostkowego E = F czyli E = -grad U(x,y,z)

_Σcałka pow.Eds=Qε₀ - postać całkowa prawa Gaussa

div E=ρ/ε₀ - postać różniczkowa

Jeżeli spełnione jest (1) przez analogię do mechaniki to z drugich pochodnych pól wektorowych wynika

rotE= 0

a z twierdzenia Stoksa wynika

_Γcałka pow Edl= 0

pole E jest polem źródłowym, tzn., że zawsze można wskazać w którym punkcie przestrzeni zaczynają się linie pola elektrycznego

jest polem bezwirowym

divE=ρ/ε₀ => ∇(-∇)ϕ = ρ/ε₀ => ∇²ϕ = -ρ/ε₀

Δϕ =ρ/ε₀ - równanie Poissona

Równanie Poissona służy do wyliczenia potencjałów, gdy znana jest gęstość ładunku lub rozkład gęstości ładunku. Dla ρ = 0 czyli Δϕ = 0 jest to równanie La Plasa. Obydwa te równania służą do obliczania potencjału pola elektrycznego w dowolnym elemencie objętości. Znając potencjał możemy przedstawić go w relacji całkowej z natężeniem pola elektrycznego.

ϕ(p)= -całka Edr

Potencjał w punkcie P pochodzący od ładunku punktowego

ϕ(p)= -całka (Q/4Πε₀r²)dr=Q/4Πε₀r

Dipol elektryczny. Potencjał i natężenie pola od ładunku dipolowego.

Potencjał pola elektrycznego od ładunku dipolowego.

Potencjał punkcie P

ϕ(x,y,z)=1/4Πε₀*(q/[(z-d/2)²+x²+y²]+ -q/[(z+d/2)²+x²+y²]

Założenia: Ładunki "+q" i "-q" są położone blisko siebie. Wyliczamy potencjał w punkcie P w odległości r>>d.

Moment dipolowy jest wektorem skierowanym zgodnie z osią dipola o kierunku "-q" do "+q"

Natężenie pola elektrycznego od ładunku dipolowego.

E=-gradϕ(r) (5)

Liczymy składową pola E wzdłuż osi dipola

W przyrodzie dipol elektryczny występuje w skali mikroskopowej, szczególnie to jest uwidocznione w zjawiskach związanych z polaryzacją materii.

POLE MAGNETYCZNE

F=q(v x B) (1)

|c|=ab sin ∠(a,b)

Wzór (1) służy również do definicji jednostki natężenia pola magnetycznego

[B] = [F] \ [q] [v] = Ns\Cm = T

SIŁA POLA MAGNETYCZNEGO DZIAŁAJĄCA NA PRĄD ELEKTRYCZNY

Rozważamy kawałek prostoliniowego przewodnika w którym przemieszczają się naładowane cząstki o ład. q z pręd. V z gęstością obj. n. Gęstość prądu jest wielkością, która określa liczbę naład. cząstek przemieszczających się przez jednostkową objętość w jednostce czasu.

l = V S = |V|

V(jedn.) = V S = |V|

j = n V q (2)

j - gęstość prądu

Wektor j jest wielkością charakterystyczną dla punktu wewnątrz przewodnika (jest to wielkość mikroskopowa).

Umieszczamy przewodnik z prądem w polu magnetycznym B.

Siła z jaką pole B działa na jednostkę tego przewodnika :

f = nq (v x B)

Siła z jaką pole B działa na element objętości dV:

dF = nq (v x B)dv

Dla całej obj. przewodnika:

F = całka pow. (j x B)dv

1. dV = Sdl

2. j = u_T j

1 i 2 ⇒ (4b)

F = całka pow. (j S) ( u_T x B)dl

F = I _Lcałka pow. (u_T x B)dl

Wzór (5) jest ważny dla przewodnika, w którym I = const. i j = const w całej objętości.

Dla przewodnika prostoliniowego o L umieszczonego w stałym polu jednorodnym dla którego v_T i B są stałe:

F = I (u_T x B) całka pow. dl

F = I L (u_T x B)

F = I L B sin (u_T, B)

F = B I L sin θ

POLE MAGNETYCZNE WYTWORZONE PRZEZ OBWÓD Z PRĄDEM:

Prawo Ampera - Laplace'a zapisana w oparciu o doświadczenia. Z doświadczenia wynika, że prąd elektryczny wytwarza pole magnetyczne w przestrzeni otaczającej przewodnik.

Pole B wytworzone przez przewodnik z prądem o I w odl. r od przewodnika jest równe:

B = (μ₀\4Π ) I całka (u_T x u_R) \ r² dl (6)

μ₀ - przenikalność magnetyczna ośrodka

u_T - wektor jednostkowy ośrodka do j

u_R - wektor jednostkowy ośrodka do r

FORMUŁA BIOTA - SAVARTA:

B = (μ₀ I \ 2ΠR) u₀

dl = -Rd(ctgθ) = - Rd(cosθ\sinθ) = Rd[(sin²θ + cos²θ) \ sin²θ] = (R \ sin²θ )dθ

dl = R\sin²θ dθ (9)

l = [-∞; +∞] ⇒ θ[0;Π]

B = (μ₀\2Π) (I\R) (10)

B = (μ₀\2Π) (I\R) u_θ (10a) - FORMUŁA BIOTA - SAVARTA

Linie sił pola magnetycznego tworzą współkoncentryczne okręgi o środku w miejscu gdzie jest przewodnik.

SIŁA DZIAŁAJĄCA MIĘDZY DWOMA PRZEWODNIKAMI Z PRĄDEM

F siła z jaką pole B (wytworzone przez przewodnik I) działa na przewodnik z prądem I':

F = I'całka -u_R B dl' (2)

u_T x B = - u_RB

F = (μ₀I\2ΠR) (z prawa B-S)

Wykorzystując regułę B-S dostajemy

F = -(μ₀I'\2ΠR)u_R całka dl'

F = -(μ₀I'\2ΠR)u_R (3)

Z równania (3) wynika, że takie dwa przewodniki, w których płyną prądy równoległe się przyciągają, tzn. że przewodnik z prądem I przyciąga przewodnik I'.

2 przewodniki w których prądy płyną antyrównolegle odpychają się.

Wzór (3) służy jako definicja Ampera.

μ₀\4Π = km = 10^-7

F = -10^-7 (2I I'\R)L

W przewodnikach płyną prądy o natężeniu 1A jeżeli te dwa przewodniki równoległe będące w odległości 1m od siebie działają siłą równą 2 x 10^-7 N (przyciągającą albo odpychającą) na każdy metr długości przewodnika.

POLE MAGNETYCZNE PORUSZAJĄCEGO SIĘ ŁADUNKU:

Prąd elektryczny wytwarza pole magnetyczne (prawo A-L). Zatem pojedynczy ładunek q powinien być również źródłem pola magnetycznego.

B = (μ₀\4Π) I całka [(u_T x u_R)r² dl (1)

B = (μ₀\4Π) całka I [(u_T x u_R)r² dl (2)

dv = Sdl

j = ju_T

j = nqv

Idlu_T = (jS)dl u_T, gdzie Sdl = dV

B = (μ₀\4Π) całka [(qv x u_R)r² (ndV) (3)

Wzór (3) jest polem magnetycznym wytworzonym przez całkowitą liczbę cząstek o ładunku q. Jedna cząstka daje pole magnetyczne:

B = (μ₀\4Π) q (v x u_R)r²

Pole B wytworzone przez poruszającą się cząstkę o ładunku q ma wartość max.:

B = B_MAX ⇔ v prostopadłe u_R B = 0 ⇔ v || u_R

B = (μ₀\4Π­) v x (q\r²) μ_R (1)

E = (1\4Πε₀) q\r² μ_R

Szukamy związku między B i E wytworzonym przez ładunek Q w punkcie odległym od niego o r.

(2) ⇒ (1)

q\r² μ_R = 4Πε₀E

B = (μ₀ε₀4Π\4Π) v x E (3)

c = 1\pierwiastek μ₀ε₀

B = 1\c² (v x E) (3a)

Ze wzoru (3a) wynika, że pole magnetyczne wytworzone przez ładunek q jest ≈ c² razy mniejsze, niż pole elektryczne.

SIŁA ELEKTROMOTORYCZNA I SIŁA MAGNETOMOTORYCZNA:

1) całka pow. E dl = 0 E = F\q

całka pow. E dl ≠ 0 ⇒ muszą być przyłożone zewnętrzne siły elektromotorycznej

całka pow. E dl = V_E

B = (μ₀I\2Πr) μ₀

całka pow. B dl = całka B dl = całka pow. (μ₀I\2Πr) dl = μ₀I

całka pow. B dl = μ₀I = λ_B (2) siła magnetomotoryczna

Krążenie wektora B nie zależy od r od źródła. Jest to siła magnetomotoryczna

Związek (2) jest słuszny dla dowolnego konturu.

To oznacza, że pole B jest polem wirowym. Korzystając ze związku między gęstością prądu i natężenia prądu:

λ_B = μ_{0 Σ} całka pow. j ds = _Γ całka pow.B dl PRAWO AMPERA

POLE STATYCZNE - PODSUMOWANIE

Pole E i B traktowane oddzielnie ⇒ równania pozwalające wyliczyć E i B, gdzie znane są ładunki i prądy.

PRAWO FORMA CAŁKOWA & RÓŻNICZKOWA

Tw. Gaussa dla całka pow. E u_R ds = q\ε₀ div E = q\ε₀

pola elektrycznego

Tw. Gaussa dla całka pow. B u_R ds = 0 div B = 0

pola magnetycznego

Krążenie pola całka pow. E dl = 0 rot E = 0

elektrycznego

Krążenie pola całka pow. B dl = μ₀I rot B =μ₀^j

magnetycznego

POLA ELEKTROMAGNETYCZNE ZALEŻNE OD CZASU:

PRAWO FARADAY'A: gdy w obszarze działania pola B znajduje się przewodnik zamknięty i nastąpi zmiana w czasie strumienia pola B przechodzącego przez obwód, to w obwodzie tym powstaje siła elektromotoryczna proporcjonalna do szybkości zmian strumienia pola magnetycznego

B = B(t)

V_E = - dφ_B\dt

Korzystając z definicji siły elektromotorycznej w krzywej gamma:

_Γcałka pow.E dl = -d\dt _Σ całka pow. B ds

Korzystając z twierdzenia Stokes'a można zapisać:

całka rot E ds = -d\dt _Σ całka pow. B ds

rot E = - dB\dt

rot E = -δB\δt

Są to postacie całkowe i różniczkowe prawa Faradaya.

ZASADA ZACHOWANIA ŁADUNKU:

Całkowity ładunek jest zawsze zachowany. ZASADA ZACHOWANIA ŁADUNKU DLA PRZYPADKU DYNAMICZNEGO

Należy się spodziewać, że ze wzgl. na symetrię, która występuje w przyrodzie, zmienny w czasie strumień pola E powinien emitować pole magnetyczne. Korzystamy z krążenia pola E

_Γ całka pow.B dl = μ₀I = μ₀ całka pow. j ds (7)

Dla dynamicznego przypadku całka pow. j ds ≠ 0 korzystamy z zasady zachowania ładkunku. Do równania (7) wstawiamy związek (6).

_Γ całka pow.B dl = μ₀ całka pow. j ds + μ₀ ε₀ d\dt całka pow. E ds (8)

Korzystając z tw. Stokes'a mamy:

_Σ całka pow. rot B ds = μ_{0 Σ} całka pow. j ds + μ₀ ε₀ d\dt _Σ całka pow. E ds (9)

Prawo (8) nosi nazwę prawa Ampera-Maxwella.

W tym prawie uwzględnia się wpływ dynamicznego zachowania ładunku na pole B.

rot B = μ₀ j + μ₀ε₀ d\dt E (10) - POSTAĆ RÓŻNICZKOWA PRAWA AMPERA-MAXWELLA

Dla pól statycznych otrzymujemy prawo Ampera rot B = μ₀ j

Dla pól dynamicznych otrzymujemy prawo Anpera-Maxwella.

Gdy I = 0 j = 0, to całkowa postać prawa A-M. (8)

_Γ całka pow. B dl = μ₀ε₀ d\dt _Σ całka pow. E ds (11)

λ_B = μ₀ε₀ dθ_E\dt (12)

RÓWNANIA MAXWELLA

Teoria elektromagnetyczna zapisana jest w 4 prawach Maxwella:

PRAWO FORMA CAŁKOWA & RÓŻNICZKOWA

Tw. Gaussa (E) _Σ całka pow. E u_N ds = q\ε₀ div E = ρ\ε₀, gdzie ρ = q\V

Tw. Gaussa (B) _Σ całka pow. B u_N ds = 0 div B = 0

Tw. Faraday'a _L całka pow. E dl = - d\dt _Σ całka pow. B u_N ds rot E = -δB\δt

Tw. Ampera-Maxwella _L całka pow. B dl = rot B = μ₀ j + μ₀ε₀ δ\δt E

= μ_{0 Σ} całka pow. j u_N ds +

+ ε₀μ₀ d\dt całka pow. E u_N ds

Prawa te są niezmiennicze wzgl. T.L.

Nie stosują się do cząstek elementarnych.

∂^∂r²=^ (∂^∂t²)- równanie fali

Fale elektromagnetyczne

- zaburzenie dowolne

gęstość gazu- fala akustyczna;

odkształcenie- fala sprężysta

E- fala elektromagnetyczna

jest to równanie fali stosowane do różnego rodzaju zaburzeń. Podstawowym założeniem jest że są one małe i znikają gdy przestaje działać siła zewnętrzna (układ wraca do stanu równowagi).

XIX w. Hert udowodnił że pole elektromagnetyczne rozchodzi się w próżni z V =C, dalsze badania fal elektromagnetycznych pozwoliły opisać ich własności tzn. wytwarzanie, przemieszczanie się i absorpcją (pochłanianie) Maxwell w swoich równaniach przewiduje występowanie fal elektromagnetycznych

wektor E jest || do y B ||do z ; E (0,E,0) B(0,0,B)

zakładamy również że pola te są funkcją czasu korzystamy kolejno z 4 równań Maxwella

a) tw. Gaussa (E)

divE=0=>dE/dy=0

∂∂y=0

b) tw. Gaussa (B)

divB=0=>dB/dz=0

∂∂z=0

c) prawo Faraday'a - Henriego

rotE=∂∂t

^i(∂_z∂y-∂_y∂z)=^i ∂_x∂t

^j(∂_x∂z-∂_z∂x)=^j ∂_y∂t

^k(∂_y∂x-∂_x∂y)=^k ∂_z∂t

Fala elektromagnetyczna

Wektory Poytinga

S=(E x B)/ (

Wektor Poytinga jest to wektor opisujący transport (przekaz) energii

<s_x>=₀całka^TS_xdt/T-średnia wartość wektora Poytinga

<s_x>=1/2*sqrt(E₀²_y

Średnia wartość wektora Poytinga w optyce nosi nazwę natężenia promieniowania, a amplituda pol E odgrywa rolę amplitudy fal.

Polaryzacja fal

E=E₀e ^i(k*r-t); E=E₀e ^i(kz-t)

B=B₀e ^i(k*r-t); B=B₀e ^i(kz-t)

Jeżeli E₀ i B₀ = const. wtedy fala jest spolaryzowana liniowo E₀ równoległe do B₀ i w optyce przyjmuje się, że kierunek polaryzacji to jest kierunek wektora E. Pole E i B są liniowo spolaryzowane. W naturalnym przypadku tzw. fali niespolaryzowanej polaryzacja fluktuuje w sposób przypadkowy

Dichroizm polega na tym że występuje w danym ośrodku anizotropowa absorpcja optyczna

Wszystkie te urządzenia mają dobrze zdefiniowaną oś transmisji tj. kierunek w polaryzatorze wzdłuż którego wektory pola E jest transmitowany bez lub z małymi startami (dla innych kierunków następuje silne tłumienie). Każdy polaryzator jest przeźroczysty dla światła spolaryzowanego w kierunku osi transmisji natomiast całkowicie nieprzeźroczysty dla światła spolaryzowanego prostopadle do osi transmisji

dla światła niespolaryzowanego wszystkie kierunki Q są równie prawdopodobne

czynnik transmisji (dla idealnego liniowego polaryzatora) światła niespolaryzowanego jest średnią wartością cos²Q i wynosi 1/2

Polaryzacja częściowa

Światło częściowo spolaryzowane to mieszanina światła spolaryzowanego i niespolaryzowanego. Stopień polaryzacji jest zdefiniowany jako część całkowitej intensywności światła które jest spolaryzowane

P=I_pol/(I_pol+I_niepol)

Polaryzacja kołowa i eliptyczna

rozważamy przypadek dwóch spolaryzowanych fal o tej samej amplitudzie E₀ z różnicą faz pi/2

w dwóch kierunkach wzajemnie prostopadłych światło ulega polaryzacji liniowej

Po rozproszeniu na molekule dostajemy dwie liniowo spolaryzowane wzajemnie prostopadłe wiązki fali elektromagnetycznej

E_x=E₀cos(kz-t)

E_y=E₀sin(kz-t)

E=^iE_x+^jE_y

uzyskamy wówczas falę spolaryzowaną kołowo

Polaryzacja eliptyczna

E_x=E₀cos(kz-t)

E_y=E₀'sin(kz-t)

E₀E'₀

w wyniku takiej polaryzacji pole E w danym punkcie przestrzeni rotuje i zmienia również swój moduł tak że koniec wektora zatacza elipsę

miana wektorów E i B na granicy dwóch ośrodków

zakładamy że płaszczyzna A jest płaszczyzną ośrodka o _,_ z ośrodkiem i badamy zachowania się wektorów E i B po przejściu przez A korzystamy z równań Maxwella dla przestrzeni o I=0 i j=0 (nie ma jonów ani ładunków)

1. twierdzenie Gaussa

_całka( E*ds)=0

dowolne wektory E₁ i E₂ rozkładamy na składowe E₁(E_1 E_1|| ) E₂ (E_2 E_2

te rozważania będą się odnosiły do składowej prostopadłej, gdyż wpływ od składowej równoległej będzie =0. Również część pod całką odniesiona do relacji składowej prostopadłej i składowej ds na pobocznicy walca będzie równa 0 wobec tego otrzymamy

E_1 E_2__

z powyższego równania wynika że E_ pola E ulega zmianie przy przejściu przez granice rozdziału dwóch ośrodków

2) Tw. Gaussa

_całka(B*ds)=0

-B_1ds₁+B_2ds₁=0

B_1= B_2

składowa prostopadła pola B nie ulega zmianie przy przejściu przez granicę rozdziału dwóch ośrodków

3) _całka(E*dl)=0

-E_1||dl₁+E_2||dl₂=0=>E_1||=E_2||

z powyższego równania wynika że E_|| wektora E nie zmienia się przy przejściu przez A

 _całka[(1/B*ds]=0

B_1||dl₁/B2_||dl₂/_

B_1||/ B_2||=__

składowa równoległa wektora B ulega zmianie przy przejściu przez granicę rozdziału dwóch ośrodków

Pole elektryczne kondensatora

do okładek kondensatora przykładamy jednorodne ale zmienne w czasie pole E i zgodnie z równaniami Maxwella to pole powinno być równe

E=E₀e^it

_Lcałka(B*dl)=__d/dt*_całka(E*ds)

2rB=__d/dt(Er²)

2B= __ dEr/dt

B=irE₀e^ir/2c²= irE/2c²

znaczenie pola B które powstaje również między okładkami kondensatora jest tym istotniejsze im większą częstotliwość posiada E kondensatora z równania tego -> również że B jest zmienne w czasie i zależy od r

B=B(t,r)

z równań Maxwella wynika że gdy istnieje zmienne w czasie pole B to krążenie pola E jest różne od zera wobec tego należy uwzględnić poprawkę do pola E ze zmiennym w czasie polem B

E₁=E₀e^ir

E=E₁+E₂

_Lcałka(E*dl)=-∂_∂t

_Lcałka(E₁+E₂)dl=-∂∂t*_całka(B*ds)

_Lcałka(E₂*dl)=-E₂(r)h

_h całka(B(r)dr)

_h*całka(ir/2c²*Edr)

_hir²/4c²*E₀e^ir

-∂_∂t=h^r²₀e^ir/4c²

-E₂(r)h=h^r²E₀e^ir/4c²

E₂(r)=-^r²E₀e^ir/4c²

można byłoby liczyć kolejne poprawki pola E i B i w efekcie pole E jakie powstaje w kondensatorze przy dużej częstotliwości jest zapisane w postaci szeregu który z dokładnością do 4 wyrazów ma następującą postać

E=E₀e^ir[1-(r/c)²+1/2!²*(r/c)⁴-1/3!²*(r/c)⁶+...]

współczynniki wyrażenia na E są tak zapisane żeby było widać jak należy konstruować ten szereg. Szereg ten zawiera zmienną r/c. Jeżeli przyjmiemy że

x=r/c

to szereg ten można przedstawić za pomocą funkcji specjalnej J₀(x) która występuje przy rozwiązaniach fal o symetrii cylindrycznej i pełni taką samą funkcję jak cos lub sin dla fal rozchodzących się w jednym wymiarze

J₀=1-(x/2)²+1/2²*(x/2)⁴-...

funkcja J₀(x) nosi nazwę funkcji Bessela i jej charakter jest następujący

pole sprzęgające we wnęce rezonansowej

E=E₀e^irJ₀(r/c)

charakter zmienności natężenia pola elektrycznego funkcji r/c wskazuje że istnieje takie r dla którego funkcja Bessela przyjmuje wartość zerową

Kondensator zaprojektowany dla małych częstotliwości nie będzie dobrze pracował dla częstotliwości dużych, gdyż dla dużych częstotliwości będzie on miał właściwości kondensatora i cewki indukcyjnej czyli sam kondensator zachowywał się będzie jak obwód rezonansowy. Można więc zbudować urządzenie zwane wnęką rezonansową wprowadzając między okładki kondensatora „pobocznicę walca” o takim promieniu i dla którego J₀ a tym samym E będzie równe 0. Taki zabieg nie wprowadzi istotnych zmian w kondensatorze. Zbudowana została puszka cylindryczna zwana wnęką rezonansową wewnątrz której zawarte zostały pola E i B podtrzymujące się wzajemnie bez żadnych połączeń elektrycznych. Tak by było dla idealnego przypadku natomiast w rzeczywistym przykładzie takiej wnęki rezonansowej zawsze zachodzą straty en. i dlatego wewn. pole elektromagn. należy podtrzymywać za pomocą pętli sprzęgającej.

Polaryzacja materii

zjawisko polaryzacji materii związane jest z wpływem pola elektrycznego na subst. która pierwotnie nie koniecznie musiała posiadać dipolowy moment elektryczny. W substancji tej pod wpływem pola E zachodzi zjawisko polaryzacji elektrycznej i wyidukowane dipolowe momenty elektryczne ustawiają się zgodnie z liniami sił pola elektrycznego. Ośrodek taki nazywa się dielektrykiem. Proces polaryzacji powoduje makroskopowe ładowanie się próbki subst. taką charakteryzujemy przez: P moment dipolowy jedn. objętości spolaryzowanej subst. p moment dipolowy wyidukowany w atomie lub molekule

Przemieszczenie elektryczne

-δ_sw odp (+P)

δ_sw odp (-P)

δ_c= δ_sw-P- całkowity ładunek na dodatniej okładce kondensatora

z tw. Gaussa wiadomo że dla płaskiej powierzchni o gęstości pow. σ natężenie pola elektrycznego wynosi E= δ_

E=δ_(δ_sw-P)/_

-> δ_sw= _ E +P

i te ładunki swobodne z gęstością pow. δ_sw noszą nazwę przemieszczenia elektrycznego D zdefiniowanego następująco

D=_E+P

ogólnie składowa wektora D wzdłuż normalnej do pow. przewodnika otoczonego dielektrykiem daje wartość powierzchniowej gęstości ładunku swobodnego

δ_sw=D+u_n

składowa normalna

_E+u_n=δ

daje gęstość pow. ładunku całkowitego (efektywnego)

δ_sw=D+u_n

δ=_E+u_n

całkowity ładunek swobodny na pow. przewodnika

q_sw= _całka(δ_sw *ds)

korzystając ze powyższych wzorów mamy

q_sw= _całka(D*u_n*ds)

całkowity ładunek swobodny jest równy strumieniowi pola wektorowego D

q_sw=_D

P~E

D=_E+P

P=_(_E

w ten sposób znajdujemy def. przenikalności elektrycznej ośrodka zdefiniowaną następująco

=D/E=_(_

względna przenikalność dielektryczna

_r_(_

[]=C²s²/kg m³

D=E

korzystając z powyższych wzorów

q_sw=_ całka(E*u_nds)

q_sw=_E

podatność elektryczną _ wiążemy z tzw. parametrami polaryzowalności  Jest to parametr który odpowiada za spolaryzowanie atomów w zewnętrznym polu elektrycznym. W polu elektrycznym wyidukowany moment dipolu

p=_E

p=p_n

p= _nE

_n

parametr mikroskopowy związany z procesami zachodzącymi wewnątrz atomu _ - parametr makroskopowy

wyliczenie _ sprowadza się do wyznaczenia 

polaryzacja substancji jest efektem 2 efektów

a) efekt dystorsji

jeżeli molekuły lub atomy nie posiadają stałego momentu dipolowego to polaryzacja subst. pochodzi od efektu dystorsji (odkształcenia) orbit elektronowych. Indukuje się więc dipolowy moment elektryczny. Jest on zawsze || do linii sił zewn. pola elektrycznego. Każdy atom lub molekuła charakteryzuje się pewnym spektrum częstości własnej. Jeżeli przyłożymy zewn. pole elektryczne to wówczas nie uwzględniając zjawiska tłumienia podatność elektryczna _n wyraża się wzorem

_ne²/_m_e* f/(^_i-^

e - ładunek el. m_e masa el. f_i czynnik proporcjonalności  częstotliwość pola elektrycznego _i składowa częstotliwości własnej

_r=1+_

w rzeczywistym materiale występuje zawsze tłumienie dlatego _r nie ucieka do nieskończoności gdy  zbliża się do _. tłumienie to związane jest z emisją promieniowana elektromagn. przez przyśpieszone elektrony

z powyższego wzoru wynika że

e²/_m_e*_i f/(^_i-^

i zależy od rodzaju subst. oraz od wartości tłumienia

podstawiając wartości otrzymujemy

_,n f/(^_i-^

przyjmując wybraną _i równą 5*10 ¹⁵ Hz i przyjmując że dla ciał stałych n = 10 ²⁸ /m³ a dla gazów przy ciśnieniu normalnym n= 10 ²⁵/m³ otrzymujemy _ =1 dla ciał stałych _ =10^-4 dla gazów

Podatność elektryczna subst. które posiadają własny moment dipolowy

istnieją subst. w których molekuły posiadają własny moment dipolowy, z tym że dla E=0 te momenty dipolowe są równie prawdopodobnie skierowane we wszystkich kierunkach przestrzeni dlatego makroskopowy moment dipolowy=0

w tej klasie materiałów mamy subst. w których nie występuje oddziaływanie między dipolami i wówczas momenty dipolowe tych subst. w zewnętrznym polu elektrycznym różnym od 0 układają się || do linii sił pola elektrycznego. Są również takie subst. gdzie molekuły oddziaływają między sobą i wówczas pod wpływem pola elektrycznego ustawiają się one w kierunku który jest wypadkowym, zależnym od oddziaływania momentu dipolowego z polem E i wzajemnego oddziaływania między dipolami. W każdym z tych dwóch przypadków pole E dąży do uporządkowania momentów dipolowych || do sił pola E. Jednakże zderzenia między molekułami psują ten porządek i wówczas w danej temp T średni moment dipolowy zgodny z kierunkiem pola E wynosi

p_śr=p₀²E/3k_bT; k_b- stała Boltzmana

p₀²/3k_bT

_np₀²/3k_bT- prawo Curie

prawo Curie mówi o zależności podatności elektrycznej od temp. elektryczna polaryzacja materii związana z orientacją molekuł o momencie dipolowym jest odwrotnie proporcjonalna do temp. natomiast polaryzowalnośc elektronowa nie zależy od temp.

_całk.=A+B/T- prawo Curie

całkowita podatność elektryczna jest więc sumą członu niezależnego od temp. i członu zależnego od temp. (jeżeli w tej subst. naturalnie występuje dipolowy moment elektryczny). Istnieje grupa subst. nazywanych ferroelektrykami które bez obecności zewn. pola E posiadają makroskopową polaryzację w materiałach tych podobnie jak w ferromagn. występuje naturalna tendencja do porządkowania momentów dipolowych w pewnym obszarze zwanym domeną ferroelektryczną. uporządkowanie takie w skali jednej domeny jest wynikiem wzajemnego oddziaływania między molekułami które są źródłem silnego pola elektrycznego

Fale

__sin(t-kx)

__sin('t-k'x)

Założenia: ' jest mała; k-k' jest mała

=₁+__sin[(')t/2-(k-k')x/2)]cos[(')t/2-(k-k')x/2)]

=_cos[(')t/2-(k-k')x/2)] sin(t-kx)

v_f=/k; k=2- v_f - v falowa

v_gr=(')/(k-k')=d/dk v_gr- v grupowa

1) v_g>v_f dla dv_f/dt>0

2) v_g<v_f dla dv_f/dt<0

w pierwszym przypadku mamy do czynienia z dyspersją anomalną, w drugim przypadku mamy do czynienia z dyspersją normalną

Interferencja

interferencja następuje gdy mamy koegzystencję 2 lub więcej ruchów oscylacyjnych w czasie i przestrzeni

__sin(t-kx)- fala padająca

__sin(t-kx)- fala odbita

rys

__sin(_t-kr₁)

__sin(_t-kr₂)

zał __ r₁ różne od r₂ w związku z tym różnica faz w P bierze się z różnicy dróg

δ_p=kr₁-kr₂=2(r₁-r₂)

_sqrt(_^_^__cos(_,_

dla δn _max__  max interferencyjne

dla δ(n+1) _mix__ min interferencyjne

 =max => jest to interferencja konstruktywna

 =min => interferencja destruktywna

różnica faz obu fal nie zależy od czasu

takie dwa źródła dla których _ _ zaś δ nie zależy od czasu to źródła koherentne (spójne synchroniczne)

między każdymi min jest jedno max zatem istnieją N-2 max dodatkowe między max głównymi. Ich natężenie jest małe zwłaszcza gdy N jest duże. Dla N -> do nieskończoności istnieje takie  dla którego asin, , ,

już dla niewielkiego otoczenia  natężenie spada do zera jest to model anteny kierunkowej

Zjawisko dyfrakcji opisujemy wykorzystując zasadę Huygensa (ugięcia) która to zasada mówi że w przypadku procesów falowych każdy punkt szczeliny przeszkody jest źródłem elementarnej fali kulistej zwanej elementarną falą dyfrakcyjną. Dlatego szczelinę taką należy traktować jako źródło nieskończonej ilości elementarnych fal synchronicznych wobec czego zjawisko dyfrakcji możemy opisać wykorzystując sposób do opisu interferencji fal nieskończonej ilości źródeł synchronicznych

dla wybranego punktu C szczeliny wyliczamy Przesunięcie fazowe między wiązką A i C dla wybranego  korzystając z def. przesunięcia fazowego

δxsin

z wzoru tego wynika że δ jest funkcją x

δδ(x)

(x)- punkt bieżący szczeliny x należy od 0 do b; δmax jest osiągnięta dla promieni skrajnych A i B

δ_max=bsin(AiB)

żeby opisać zjawisko dyfrakcji musimy znaleźć wypadkową amplitudę będącą wynikiem interferencji elementarnych fal dyfrakcyjnych. Korzystamy z pomocniczej konstrukcji, która jest analogiczna do konstrukcji pomocniczej przy opisie zjawiska interferencji z tym że elementarne amplitudy d ₀ będą się sumowały wektorowo układając się w łuk

wypadkowa amplituda

A=2QP

A=2sinρ(

ρ znajdujemy z relacji między długością łuku a promieniem tego łuku

A₀=ρ>ρ A₀/

A=2A₀sin(/

A=A₀sin(bsin(bsin

I=I₀sin(bsin(bsin^

I=I₀(sin

bsin

zera natężenia występują dla  =n , n=1,2,3,...;opuszczamy n=0 gdyż wtedy mamy główne max dyfrakcji

bsinn

min dostajemy gdy

bsinn

dla kąta  = + b mamy pierwsze minima symetryczne wokół głównego max

b

Zdolność rozdzielcza Reyleigha

taka analiza obrazu dyfrakcyjnego pozwoliła wprowadzić zdolność rozdzielczą zwaną zdolnością rozdzielczą R., która określa min między dwoma niezależnymi kierunkami fal padających na przeszkodę dla których obraz będzie dobrze rozdzielony.

Dwie wiązki tworzące  są dobrze rozdzielone gdy główne max S₁= pierwsze min S₂ i główne max S₂= pierwsze min S₁

Dyfrakcja Frauhenhofera (dwie szczeliny)

wypadkową amplitudę znajdujemy:

a) wyliczając poszczególne amplitudy fali na szczelinie 1 i 2

b) sumując te amplitudy tak jak przy interferencji (dwa źródła synchroniczne)

zera dyfrakcji występują gdy bsin =1,2,3,... max interferencyjne uzyskujemy dla asin 0,1,2,...

LASERY

laser - Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation

W 1917 Einstein w swojej teorii przewidział występowanie procesów laserowych. Pierwszy laser został zrobiony w 1960 w USA z syntetycznego rubinu. Był źródłem światła widzialnego i podczerwonego. Einstein wprowadził koncepcje stymulowanej lub indukowanej emisji przez układ atomów. Rozważmy układ atomów ściśle określonych poziomach energetycznych 1,2,3 ,...,n E₁,E₂,E₃,...,E_n. Stan obsadzenia jest to liczba atomów na jednostkę objętości znajdujących się w odpowiednim stanie energetycznym

N₁,N₂,N₃,...,N_n ilość atomów w poszczególnych stanach

Taki układ atomów gdy zajmuje się w stanie równowagi termodynamicznej w temp. T , to wówczas względna populacja jakichkolwiek dwóch poziomów energetycznych jest rozkładem Boltzmana

Jeżeli atom z E₂ przechodzi do E₁ to emituje foton. Jeżeli przyjąć że A₂₁ jest prawdopodobieństwem przejścia w jednostce czasu ze spontaniczną emisją związaną z przejściem z poz 2 na 1, to wówczas liczba takich przejść wynosi N₂A₂₁ Dodatkowo do tych spontanicznych przejść występują przejścia indukowane lub stymulowane i zgodnie z teorią Einstaina te przejścia są proporcjonalne do gęstości u_ promieniowania o gęstości  równej

(E₂-E₁)/h (h- stała Plancka)

Przyjmijmy że B₂₁ i B₁₂ są stałymi związanymi z prawdopodobieństwem stymulowanych przejść odpowiednio z 2 na 1 (emisja) i z 1 na 2 (absorpcja). Wówczas liczba stymulowanych przejść z 2 na 1 w jwdn. czasu wynosi

N₂B₂₁u_ natomiast liczba przejść z 1 na 2 wynosi N₁B₁₂u_ stałe A i B noszą nazwę stałych Einsteina. W stanie równowagi całkowita liczba przejść z poz. E₂ na E₁ musi równać się przejściom odwrotnym.

Wykorzystując wzory na emisję spontaniczną i stymulowaną otrzymujemy wzór

N₂A₂₁+N₂B₂₁u_=N₁B₁₂u_

Z wyrażenia wyżej dostajemy związek na gęstość energii prom.

u___(____

Korzystając z rozkładu Boltzmana

N₁/N₂=e^h/kbT (6)

u_=(A₂₁/B₂₁)_*(1/(N₁/N_{2 *} B₁₂/B₂₁-1)) (7)

Zgodnie z zasadą Plancka dot. zjawiska promieniowania muszą być spełnione następujące warunki

B₁₂=B₂₁

A₂₁/B₂₁=8h^c³

Wykorzystując 6 i 7 mamy:

stym.emisja/spont.emisja=N₂B₂₁u_/N₂A₂₁

Emisja stymulowana jest mniejsza od emisji spontanicznej jeżeli spełniony jest rozkład Bolzmanowski (E₁ <E₂) => N₂ <N₁

Aby uzyskać rozkład anty Bolzmanowski musimy pracować na układzie atomów nie w stanie równowagi

Zjawisko wzmocnienia są to pewne procesy w układzie atomów en. stymulowana> en. spontanicznej

medium optyczne - substancja w której propaguje promieniowanie. Należy w takie medium zwiększyć populacje stanów o en. E₂ w stosunku do populacji stanów o en. E₁, czyli należy doprowadzić do osiągnięcia rozkładu antybolzmanowskiego. Gdy się go osiągnie, to można uzyskać zwiększenie intensywności wiązki emitowanej przez medium optyczne w stosunku do pierwotnej wiązki pobudzającej oznacza to że nastąpiło wzmocnienie indukowane emisji, która przewyższa straty związane z absorpcją. Taki układ laserowy charakteryzuje się następującymi własnościami:

1. emisja (promieniowanie) indukowana jest w tym samym kierunku co wiązka pierwotna

2. wiązka ta ma dobrze określone stałe w czasie przesunięcie fazowe, czyli jest wiązką spójną, i to spójną z pierwotną wiązką padającą

3. z praw elektrodynamiki wynika że w trakcie stymulowanych emisji wypromieniowany jest foton o takiej samej częstotliwości jaka była częstotliwość wiązki wymuszającej

Metody inwersyjnego obsadzania stanów energetycznych (uzyskiwania rozkładu antybolzmanowskiego)

1. pompowanie optyczne (laser rubinowy)

Naświetlamy układ atomów wiązką o E=h powodując przejście ze stanu E₀ do E₂. Powrót z E₂ do E₁ to emisja laserowa. Zewnętrzne źródło światła jest wykorzystane do uzyskania inwersyjnego obsadzenia poz E₂ w stosunku do E₁ czyli zachodzi tzw. selektywna optyczna absorpcja

2. bezpośrednie pobudzanie elektronów

np. wyładowania w gazach (laser argonowy)

3. nieelastyczne zderzenia atomów

np.: wyładowania w gazach (kombinacje A i B muszą być takie gazy, które posiadają identyczne stany wzbudzania) laser helowo- neonowy

Wzbudzenie układy atomów do poziomu laserowego odbywa się droga pośrednią poprzez wyższy stan energetyczny E₃ (układ trójpoziomowy) lub E₄ (układ czteropoziomowy).

- układ energetyczny trójpoziomowy

- układ energetyczny czteropoziomowy

Układ trójpoziomowy lasera rubinowego

laser rubinowy

laser neodymowy

Liczba odkrytych przejść laserowych w neonie wynosi ok. 140. Taki laser neonowy może być źródłem spójnej fali elektronowej o zakresie długości od 0.58-133 m.

Zjawisko laserowe zachodzi zazwyczaj w układzie rezonatora. Ośrodek optycznie czynny, czyli ośrodek lasera w kształcie walca umieszcza się w rezonatorze, który jest zbudowany z dwóch zwierciadeł płaskich lub sferycznych. Taki układ zwierciadeł powoduje, że promieniowanie zapoczątkowane w ośrodku optycznie czynnym rozchodzi się w nim wzdłuż osi walca wielokrotnie tam i z powrotem powodując wzmocnienie natężenia. Jedno ze zwierciadeł ma współczynnik odbicia R=100%, drugie R=80% (czyli współczynnik transmisji 15%). Pozwala to przepuścić na zewnątrz 5% promieniowania. Rezonator musi być tak dostrojony do długości fali wiązki wzmocnionej, żeby w obszarze L zawierała się całkowita liczba połówek długości fali, czyli 2L/=n, n należy do C. Zazwyczaj L wynosi kilkadziesiąt centymetrów,  jest ułamkiem mikrometra, wówczas n~=10⁸.

Holografia

Zasada typowego odwzorowania holograficznego:

Oko ludzkie i inne przyrządy fotograficzne rejestrują obraz w wyniku zaburzenia padającej na nie fali elektromagnetycznej. Zaburzenia te są emitowane w określonych kierunkach, posiadają określony skład, a składowe fale mają określone polaryzację, amplitudę i fazę. Stan fizyczny rozproszonej wiązki światła charakteryzuje się różnym rozkładem natężenia jeżeli taka rozproszoną wiązkę zarejestrujemy na kliszy fotograficznej lub materiale światłoczułym, to wyszukujemy informacje przede wszystkim na rozkładzie natężenia i barwy. Zostaje natomiast nieuchwycona informacja związana z zaburzeniem fazy (różnica dróg optycznych), oraz stan polaryzacji fali świetlnej. Tym samym traci się efekty trójwymiarowości obiektu ze wszystkimi jej atrybutami:

a) głębią; b) perspektywą; c) paralaksą, czyli zapisany w ten sposób obraz nie jest pod względem optycznym równoważnym z przedmiotem, czyli przedmiot nie został zapisany w całości. Metody holograficzne pozwalają odtworzyć również atrybuty trójwymiarowości przedmiotu.

Paralaksa: widzenie przedmiotu ze wzgl. na kąt patrzenia na niego.

W ogólności holografię należy traktować jako metodę rejestracji i rekonstrukcji pól falowych:

a) pól świetlnych;

b) mikrofal;

c) fal akustycznych;

d) elektronowych.

Proces tworzenia obrazu holograficznego składa się z dwóch etapów:

1-etap rejestracji pola świetlnego utworzony przez przedmiot. Rejestruje się zazwyczaj na płycie fotograficznej o dużej zdolności rozdzielczej. Naświetlona i wywołana płyta holograficzna stanowi hologram.

2-odtworzenie obrazu

a) spójna wiązka światła jest emitowana z lasera, np. helowo-neonowego.

b) wiązka jest rozszczepiana przez układ kolimatora S₁,S₂

c) w jednej połówce wiązki ustawiony jest przedmiot (przezroczysty)

d) w drugiej połówce wiązki ustawiony jest ? promieniowania, który odchyla cześć promieniowania i skierowuje go do przecięcia się z promieniowaniem przechodzącym przez przedmiot P

e) promieniowanie WO nie jest zaburzone przez przedmiot

f) promieniowanie WP przechodzi przez holografowany przedmiot

g) w miejscu przecięcia się obu wiązek powstają na płycie fotograficznej prążki interferencyjne (gdy nie ma przedmiotu to prążki interf. mają kształt równoległych linii na przemian ciemnych i jasnych, co wynika z procesu interferencji). Wstawienie przedmiotu P do wiązki WP powoduje, że faza i amplituda tej wiązki w jej poprzecznym przekroju są modulowane odpowiednio do występujących w przedmiocie różnic dróg optycznych. W rezultacie tej modulacji fazowej i amplitudowej WP przez przedmiot przezroczysty otrzymujemy na płycie fotograficznej poprzeczne prążki bardziej lub mniej zniekształcone (modulacja fazy) i o różnej intensywności (modulacja amplitudy). Taka płyta fotograficzna stanowi hologram, z którego można zrekonstruować obraz przedmiotu P.

Rekonstrukcja obrazu holograficznego

P_u- obraz urojony

P_R- obraz rzeczywisty

WO- wiązka odniesienia

W celu zrekonstruowania obrazu holograficznego wykorzystujemy taki układ jak poprzednio umieszczając hologram H w jego wiązce WO w strukturze prążkowej hologramu. Istotne znaczenie w powstawaniu obrazu P_u i P_R ma +1 i -1 rząd obrazu dyfrakcyjnego. Rząd zerowy, najbardziej intensywny, nie zawiera informacji o hologramie. Obrazy dyfrakcyjne są tworzone przez wiązki obu pierwszych rzędów dyfrakcyjnych, przy czym jeden z nich tworzy obraz urojony P_u, a drugi obraz rzeczywist P_R. Najbardziej dogodny do obserwacji jest obraz urojony P_U.

Układ holograficzny do holografowania przedmiotu nieprzeźroczystego

Zapis hologramu przedmiotu nieprzeźroczystego odbijającego światło w sposób rozproszony

Wiązka w_o jest wyodrębniona z rozszerzonej wiązki laserowej

Wiązka w_p nie przechodzi przez przedmiot tylko ulega rozproszeniu

Tworząc skomplikowany, niemal idealnie chaotyczny deseń interferencji na kliszy kolorowej. Wynika stąd że pkt. Q1,Q2,Q3... przed p reemitują fale sferyczne rozchodzące się we wszystkich kierunkach. W efekcie na każdy pkt. kliszy PF pada promieniowanie ugięte wszystkich punktów przedmiotu widziane przez płytę. W wyniku takiego procesu w każdym miejscu płyty holograficznej jest zapisana cała informacja o przedmiocie. W efekcie można obraz przedmiotu zrekonstruować nawet z małego kawałka hologramu.

W przypadku holografowania przedmiotu można również uzyskać takie same efekty jak w tym przypadku poprzez umieszczenie w biegu wiązki lasera zwierciadła przed holografowaniem przedmiotem przeźroczystym odpowiedniego dyfuzora.

Akustyka

Propagacja zaburzenia (dowolne fale)

(x,Ef(x+vt)- jeżeli zaburzenie propagujące w przestrzeni można zapisać taką funkcją, to dowolne zaburzenie  spełnia równanie fali (przypadek jedno wymiarowy)

x²/∂t²=^∂^∂x²

Fala akustyczna

zmiana ciśnienia w kolumnie gazu- propagacja gazu

El. objętości Adx zostaje poddany działaniu ciśnienia p*p' (kompresja) w efekcie powierzchnia A przesunie się o odcinek  a A' o '

Element objętości ulega deformacji w wyniku której el. dx zmieni się w dx + d gdzie d  '  

udowadniamy, że są to procesy falowe

1. korzystamy z zasady zach. masy

ρA(dx_*d)=ρ_Adx

ρ gęstość gazu w stanie zaburzonym, po przekształceniu wzoru uzyskujemy

ρρ_(∂∂x)

przyjmujemy że zaburzenie jest nieskończenie małe i wówczas

dla ∂∂x<<1 : (∂∂x)^-11(∂∂x)

czyli:

ρρ_ρ_∂∂x

w ogólnym przypadku:

p=p(ρ

dla niedużych kompresji ciśnienie p w stanie po wprowadzeniu zaburzenia rozwijamy w szereg Taylora wokół ρ_

p=p₀+(ρρ_∂p∂ρ(ρρ_^∂^p/∂ρ^  ρρ_

własności gazu są scharakteryzowane przez parametr ściśliwości ρ_(dp/dρ  ρρ_

p=p₀+(ρρ_ρ_

wykorzystując powyższe równania otrzymujemy:

p=p₀ - (∂∂x)

jest to efektem rozpatrywania procesów zaburzeń zachodzących w gazie doskonałym pod wpływem fluktuacji ciśnienia zewnętrznego. w następnej kolejności należy rozpatrywać działania pól zewnętrznych będących źródłem propagacji fali akustycznej

F=(p-p')A

korzystając z 2 zas, dyn. siła F

F=-dpA

-dpA=ρ_Adx_*∂^/∂t^

z powyższego wzoru wynika

∂p/∂ρ_∂^∂t^

natomiast wzór p=p₀ - (∂∂x) można przekształcić w ∂^/∂t^(ρ_(∂^∂x²)

Zgodnie z ogólnym równaniem na propagację zaburzenia współczynnik przy ∂^∂x² jest równy V² a z tego wynika że V = sqrt(ρ_)

Akustyka dot. słuchu

1. człowiek jest zdolny przyjmować w postaci dźwięku fale sprężyste od 16-20000 Hz

2. czułość ludzkiego ucha nie jest jednakowa dla wszystkich częstotliwości

3. częstość ludzkiego ucha jest max dla fal sprężystych o częstotliwościach 1,5-3 kHz

fale o  <16 Hz nazywamy infradźwiękami (poddźwiękami)

fale o  >20 Hz nazywamy ultradźwiękami (naddźwiękami)

fale ultradźwiękowe rzędu 10⁹ Hz to hiperdźwięki

Akustyczne zjawiska liniowe - zjawiska związane z rozchodzeniem się fal sprężystych w ośrodkach ciągłych są liniowe gdy zaburzenia są małe w porównaniu z wielkościami określającymi stan równowagi. Wielkości charakteryzujące pole akustyczne są do siebie wzajemnie proporcjonalne. Własności ośrodka są opisane przez współczynniki stałe i niezależne od wielkości zaburzenia.

Amplitudy przesunięcia cząstki akustycznej w powietrzu w zakresie dźwięków słyszalnych są małe: od 10 ^-2 mm dla subiektywnie dużych dźwięków do 10 ^-9 mm dla natężeń ledwo słyszalnych.

Akustyczny ośrodek liniowy jest to ośrodek w którym przyjmujemy że zmiana gęstości ρ zachodzi pod wpływem p

ρρ_δρ

pp₀+δρ

Zasada liniowej superpozycji oznacza że 2 fale akustyczne gdy spotykają się mogą ze sobą interferować zgodnie z zasadą interferencji( jest to tzw. holografia akustyczna)

Liniowe źródła akustyczne: źródła są liniowe jeśli procesy w nich zachodzące nie zalezą od amplitudy drgań sygnałów przenoszonych

Fala akustyczna cechuje się podst. parametrami:

1. natężenie lub siła dźwięku które jest równe modułowej średniej wartości => gęstość strumienia energii fali akustycznej

2. głośność dźwięku jest to wielkość subiektywna zależna od oceny siły wrażenia słuchowego wywołanego falą akustyczną

3. głośność zależy od średniej kwadratowej ciśnienia p_e oraz od czułości ucha, gdy ciśnienie akustyczne p < p₀ (próg słyszalności) to dźwięk nie będzie słyszalny.

Próg słyszalności p₀ zależy od częstości dźwięku i ma wartość 2*10 ^-5 N/m² dla 1,5-3 kHz, silne dźwięki wywołują uczucie bólu i min p₀ przy której odczuwa się ból nazywa się progiem bólu. Próg bólu zależy od częstości dźwięku i jest największy dla 500-1000Hz i wynosi 200N/m²

obszar dźwięków słyszalnych

L=2k log(p_e/p₀) dla k = 1 L w belach dla k =10 L w decybelach

W celu porównania dźwięków o tej samej częstotliwości wprowadza się wielkość L zwaną poziomem ciśnienia akustycznego.

Poziom ciśnienia akustycznego =0 dla p_e=p₀, czyli dla poziomu słyszalności.

Rodzaje dźwięków

1.dźwięki tonalne lub muzyczne posiadają liniowe widmo częstotliwości

2. szumy czyli dźwięki posiadające złożone widmo częstotliwości

Zjawisko Dopplera

zjawisko jest związane z częstotliwością fali akustycznej jeżeli źródło dźwięku lub obserwator poruszają się

 częstotliwość fali rejestrowanej _ częstotliwość fali emitowanej

jeżeli obserwator i źródło są w spoczynku to  _ w innych przypadkach  różne od _

W czasie T₀ źródło przesunie się o odległość v₁ T₀. Wówczas odległość między dwoma sąsiednimi zagęszczeniami fali akustycznej liczone wzdłuż kierunku rozchodzenia się tej fali będzie wynosiła

_v_v__

_v/_v/_(v-v₁)/_

_ v_ v/(v-v₁)_

__ v/(v-v₁)

dla źródła z zbliżającego się do obserwatora v₁>0 czyli częstotliwość rejestrowana > od częstotliwości emisji, gdy źródło oddala się to odwrotnie, gdy obserwator porusza się w stronę źródła z v₂ to liczba  zagęszczeń fali akustycznej rejestrowana przez obserwatora jest równa

_

gdzie  jest dodatkową liczbą zagęszczeń rejestrowaną przez obserwatora w skutek przemieszczenia się w ciągu 1 s

 v₂_ v₂ _/v

_ v₂ _/v

ostatecznie mamy:

_(v₂/v)/(1- v₁/v)]

Pole magnetyczne materii

pole magnetyczne jest wytwarzane:

- przewodnik z prądem

- przez substancje zwane magnesami trwałymi i które w sposób naturalny są źródłami pola magn. mimo iż nie przepuszczamy przez nie prądu

Wszystkie substancje można podzielić na 3 rodzaje magnetyków: dia-,para-,ferro-magnetyki. ten podział jest związany z zachowaniem subst. w zewnętrznym polu magn. czyli w jaki sposób te subst. modyfikują zewnętrzne pole magn.

- diamagnetyk (bizmut, Cu, szkło) powoduje zmniejszenie zewn. pola magn. o czynnik około 10 ^-4

- paramagnetyki (Al., wolfram) powoduje zwiększenie zewn. pola magn. o czynnik około 10 ^-4

- ferromagnetyki (Fe, kobalt) mogą spowodować zwiększenie zewn. pola magn. o około 10 ²

diamagnetyki

do opisu zjawiska diamagnetycznego może być wykorzystany opis atomu Bohra - wyniki są taki same jak wyniki obliczeń mechaniczno- magn.

bez zewn. pola magn. równanie ruch elektronów wokół jądra zapisujemy następująco

m d²r/dt²=F_E

F_E- siła oddziaływania Culombowskiego między protonem i elektronem

F_E=1/4_Ze²/r²

F_E=1/4_Ze²/r²^r

Z - kolejne liczba pierw. w układzie okresowym. F_E - jest siłą dośrodkową utrzymującą elektron w ruchu dookoła jądra

F_E=Ze²/4_r²=m_^r

_ częstotliwość ruchu własnego elektronów wokół jądra

_sqtr(Ze²/4_r²)

przykładamy zewn. pole magn. B prostopadłe do orbity elektronu czyli || do _ Wówczas elektron będzie poruszał się pod wpływem wypadkowej 2 sił i równanie ruchu będzie następujące

m d²r/dt²=F_E+F_B

F_B=-e(v x B)

F_B=-eB x ( x r)

F_B=e  (r)-er(B

F_B=-er(B -eBr

z ostatniego wzoru wynika że F_B z jaką pole magn. działa na elektron jest równy siłą dośrodkową w efekcie otrzymujemy:

m^r=Ze²/4_r²+eBr

^-eBm - Ze²/4_r²=0

^-(eBm) - _^

jest to równanie na V kątową w ruchu el. wokół jądra pod wpływem efektywnej siły dośr.

Przyjmujemy że pod wpływem zewnętrznego pola magn. promień orbity nie ulega zmianie zmienia się tylko prędkość kątowa i wynosi

eBm+sqrt[_^(eBm)²]

dla B =0 ₀ dla el. swobodnego tzn. gdy r->  _^>  i wówczas eBm=_c, wielkość ta to częstość cyklotronowa i opisuje ruch obrotowy swobodnego el. wokół zewn. pola B. Częstość cyklotronowa zależy od wartości pola B

_c/2+sqrt(_^ _C²/4)

szacowanie wart. _c i _

przyjmując typowy promień orbity r =10^-8 cm _sqrt(Z)*1,5*10^-16 _c=B*1,8*10¹¹ to dla bardzo silnych pól magn. wytworzonych w laboratoriach _c_ dla konwencjonalnych pól możemy przyjąć że _c_ i wówczas

__C/2

_c/2=_L- jest to tzw. częstotliwość Larmora

__L

efektywnie widać iż pod wpływem zewn. pola magn. B przy założeniu niezmienności promienia orbity el. następuje nieznaczne zwiększenie V kątowej ruchu el. o wielkość zwaną częstotliwością Larmora

dla B antyrównoległego do _

__L

powyższe dwa równ. obowiązują dla dowolnego kierunku pola B w stosunku do płaszczyzny orbity el. Widać że gdy dział zewn. pole B to każdy el., w atomie uzyskuje dodatkowy moment pędu

L=m_Lr²

L=(er²B)/2

zgodnie z mach. kwantową można znaleźć związek między momentem pędu el. a jego momentem magn. , traktując el. w ruchu po orbicie jako elementarny, jednostkowy obwód elektryczny krążący po orbicie

p_m=eL/2m

wykorzystując wyliczony poprzednio moment pędu el. związany z działaniem pola B możemy wyliczyć wyidukowany przez pole magn. moment magn. el.

(p_m)_ind.=e²r²B/4m

dla każdego dowolnego el. w atomie _L jest identyczne. Zależy tylko od B. Nie zależy od promienia orbity oraz ułożenia płaszczyzny w stosunku do pola B

wprowadza się wektor namagnesowania J zdefiniowany jako całkowity moment magn. jedn. subst.

J=1/ V_Vp_m

J=nZ<p_m>

gdzie n jest liczbą atomów w jedn. objętości, Z - liczbą el. w atomie. Średnia wartość p_m liczymy po wszystkich el. atomu i po wszystkich atomach w rozważanym el. objętości

<p_m>=-e²<r²>B/6m

w susbstancji diamagnetycznej pod wpływem zewn. pola magn. indukuje się w jedn. objętości moment magn. =

J=-nZe²<r²>B/6m

jest to wielkość przeciwnie skierowana do wartości pola B czyli powoduje zmniejszenie natężenia pola magn. efektywny moment diamagnetyczny zależy tylko od konfiguracji, rodzaju pierw., natomiast nie zależy od temp. diamagnetyzm jest związany z atomem

Paramagnetyzm

Istnieją substancje, w których atomy, względnie cząstki posiadają różny od 0 magnetyczny moment wynikający z wektorowej sumy orbitalnego i spinowego momentu magnetycznego elektronu. Gdy zewnętrzne pol B=0 to w substancjach tych mikroskopowe momenty magnetyczne są różnie prawdopodobnie rozłożone w przestrzeni => mikroskopowy moment magnetyczny = 0

J(B=0)=0

W substancji paramagnetycznej nie występuje wzajemne oddziaływanie między momentami magnetycznymi cząstek. Porządkujący wpływ ma tylko zewn. pole magnetyczne, z tym, że porządkowanie to jest zaburzone przez ruch termiczny atomów lub cząstek któremu odpowiada

_B=k_bT

czyli energia termiczna

Wg. klasycznej teorii Langevina średni rzut momentu magnetycznego atomu na kierunek pola magnetycznego jest opisany wzorem:

<p_m>=p_m²B/2k_bT; k_b- stała Boltzmana

Atomy lub cząstki paramagnetyczne uzyskują w zewn. polu magnetycznym B indukowany moment magnetyczny (diamagnetyzm) oraz posiadają swój własny moment magnetyczny wynikający z odpowiedniej konfiguracji liczb kwantowych, wobec czego moment magnetyczny przypadający na jednostkę objętości będzie superpozycją tych dwóch elementów.

J=n(p_m²/3k_bT - Ze²<r²>/6m)B

Dla diamagnetyka moment magnetyczny J nie zależał od temperatury, a zależy od rozmiarów atomu. Dla paramagnetyków zależy on od temperatury (odwrotnie proporcjonalnie).

Wektor H

Magnetyk znajdujący się w zewn. polu magn. B₀ wytwarza również własne pole magnetyczne B_M pochodzące od momentów magnetycznych atomów i cząstek, np.: solenoid będzie wytwarzał pole magnetyczne B₀ wskutek przepływu prądu i możemy je wyznaczyć z prawa Biota-Savarta. Jeżeli w solenoidzie jest magnetyk, to należy również uwzględnić pole B_M wytworzone przez magnetyk przy czym Bm jest funkcją j. Wprowadza się pojęcie wektora H który jest zdefiniowany w oparciu o prądy swobodne tzn. prądy płynące w przewodniku w tym polu nie uwzględniamy prądów magnesowania czyli efektów związanych z magnetyzmem materii. Wobec czego mamy 3 wektory H B i J

n=N/L

|B₀|=n_I=ni

W solenoidzie płynie prąd o natężeniu I solenoid składa się z n zwojów na jedn. dł. Solenoid traktujemy jako bardzo długi tym samym zaniedbujemy efekty

brzegowe solenoidu tzn. wpływ niejednorodnego pola magn. solenoidu. jeżeli do solenoidu włożymy magn. to B₀ zwiększy się o pole Bm opisany dla paramagnetyka wzorem

B_M=_J

A więc całkowite pole :

B=B₀+B_M=_i+_J=_(iu_T+J)

B=_(nI+J)

Definiujemy wielkość H =

H=B/_-J=nI

która jest właśnie polem magn. związanym tylko z prądem płynącym w solenoidzie

H=B/_-J

wiadomo iż J jest ~ do B ogólnie można zapisać

J=_B/_

gdzie  bezwymiarowy parametr charakteryzujący dany magnetyk zaś J jest to moment magn. wyidukowany w magnetyku, związany z polem zewn. (B), z ośrodkiem w którym znajduje się ten magnetyk (_) oraz z rodzajem paramagnetyka ()

historycznie przyjęto że

J=H

powyższe wzory określają zależność między J i H oraz J i B. Parametr  nosi nazwę podatności magn. opisuje on odpowiedź subst. magn. na działanie zewn. pola magn. po dalszych przekształceniach otrzymujemy

B=_(H+J)

B=_(H+J)

oraz

B=_(H+H)

B=_H(1+)

wprowadzamy wielkość



wówczas

B=_

gdzie  nosi nazwę względnej przenikalności elektrycznej danego ośrodka

dla próżni =0=1więc B=₀H=B₀

Korzystając ze wzoru H=B/_-J oraz wykorzystując wzór J=_B/_ możemy zapisać:

H=(B__

_(_

_ ((_

istnieje związek między podatnością magn.  a współczynnikiem _b ponieważ z eksp. wiadomo że _b jest małe (10^-3) to wówczas z dobrym przybliżeniem można przyjąć że _b

Ferromagnetyzm

związany jest z własnościami budowy sieci krystalicznej a nie z własnościami atomów i cząstek. Istnieje pewna krytyczna temp. Curie Tc i powyżej tej temp. wszystkie ferromagn. stają się paramagn. Tc zależy od rodzaju ferromagn. Model ferromagnetyzmu jest opisany rachunkiem wynikającym z mach. kwantowej występują momenty magn. związane z atomami, ale ferromagnetyzm związany jest z wzajemnym oddziaływaniem sąsiednich atomów zachodzącym poprzez wymianę el. o spinach || dlatego pojedynczy swobodny atom pierw. ferromagn. nie posiada własności ferromagn. jest tylko paramagn.

Wektory J H i B nie są w stosunku do siebie jednoznacznie określone. Przenikalność magn.  w ferromagn. nie jest funkcją jednoznaczną zewn. pola magn. H Jest to związane ze zjawiskiem histerezy. Histereza występuje tutaj gdyż z wyników eksperymentalnych wynika że J zależy od histerezji próbki tzn. od kierunku przyłożenia zewn. pola magn. Ferromagnetyk jest charakteryzowany krzywą namagnesowania. Oznacza to że dla każdej wartości B i H można ustalić przenikalność  która jest funkcją H =

(_

wzgl. przenikalność magn. która dla pewnego pola H osiąga pewną wartość i ta wartość jest bardzo często traktowana jako podst. parametr charakteryzujący podst. własności ferromagn. Dla niektórych stopów może osiągnąć wartość 10⁶

Dla dalszego wzrostu H  od H ulega zmniejszeniu i w obszarze namagnesowania nasycenia osiągnąć może wartość jedności czyli tak dla paramagnetyka

proces magn. ferromagnetyka

Jr- pozostałość magn.

H= H_k wówczas B=J=0 nazywa się polem koercji lub natężeniem powściągającym

dla ferromagn. w ogólnym przypadku przebieg pętli histerezy (co do wartości pola H_k oraz pola powierzchni zawartej wewn. pętli histerezy) zależy od kierunku przyłożenia zewn. pola magn. w stosunku do pewnych wyróżnionych osi wewn. kryształu. Mogą być to osie związane z kierunkami krystalicznymi (dla monokryształów) lub tzw. osie łatwego lub trudnego magnesowania ferromagn. czyli które mogą być wyidukowane w procesie wytwarzania subst ferromagn. W ogólnym przypadku własności magn. feromagnetyka są anizotropowe namagnesowanie nasycenia odpowiada całkowitemu uporządkowaniu momentów magn. atomów próbki i jest funkcją temp oraz zależy od rodzaju materiału

a) przy magnesowaniu ze stanu B =H=0 do nasycenia gęstość en. pola magn. jest liczbowo = zakreskowanej pow.

b) przy rozmagnesowaniu zostanie zwrócona część en. - pow. zakreskowana

c) zmagazynowana w próbce en. = pow. zakreskowanej

przy pełnym obiegu pętli histerezy jej pow. dana całką całka pow. z HdB= en. wydzielonej przy tym obiegu w jedn. objętości (en. wydziela się w postaci ciepła )

Badanie pętli histerezy jest metodą na wyznaczanie podst. parametrów ferromagn. : J_nas czyli J nasycenia, pola koercji H i Jr czyli remanencji

w każdej subst. ferromagn. istnieje jakiś obszar w którym w skutek oddziaływania wymiennego wszystkie momenty magn. są do siebie || taki obszar nazywa się domeną ferromagn. i dwa sąsiednie uporządkowane obszary (nie w tym samym kierunku) - dwie sąsiednie domeny- przedzielone są tzw. ścianką domenową jest to obszar w którym zachodzi proces porzemagnesowania od kierunków w jednej domenie do kierunków sąsiednich. Cała en. zewn. pola magn. w procesie magn. ferromagn. jest wykorzystana na porządkowanie kierunków w domenach zgodnie z kierunkami zewn. pola magn.

Zjawiska galwanomagnetyczne i termomagnetyczne czyli efekty związane z działaniem pola B na naładowaną cząstkę.

Schemat zjawiska Halla

dla q>0 I jest wzdłuż osi +x i F_B jest wzdłuż -y

Mamy płytkę płasko równoległą, naładowaną (q<0) w której płynie prąd o nat. I. Płytkę ta umieszczamy w zewn. polu magn. B prostopadłym do płaszczyzny próbki. Okazuje się, że między krawędziami próbki prostopadłymi do kierunku przepływu prądu oraz wektora B pojawia się różnica potencjałów. jest to tzw. zjawisko Halla (odkryte w 1879r.). Ten efekt jest wynikiem działania pola B na ładunek w ruchu. korzystamy ze wzoru:

F_B=q(v x B)

Założenia: v=(v_x,0,0); B=(0,0,B_Z)

F_B=^iq(v_yB_Z-v_zB_y)+^jq(v_zB_x- v_xB_z)+^kq(v_xB_y- v_yB_x)=>F_B=v_xB_zq=qBv

F_B=qv_xB_z

Ładunki ujemne gromadzą się po jednej stronie płytki, wobec czego po drugiej stronie płytki ładuje się ona dodatnio.

Między 2 ściankami wzdłuż L_y powstaje pole elektryczne, które przeciwdziała dalszemu gromadzeniu się ładunków wskutek działania pola B, czyli w stanie równowagi zostanie ustalona różnica potencjałów, która jest cecha charakterystyczną rodzaju materiału przy zadanej wartości pola B. W stanie równowagi wypadkowa siła równa

F= F_B= F_E=0 jest równa 0.

E^y=v_xB_z

równanie to daje relację między wartościami pól elektrycznych i magn. w stanie równowagi, gęstość prądu wzdłuż osi x

j_x=nqv_xv_x=j_x/nq

=>E^y= j_xB_z/nq

1/nq=R_H - stała Poola

stała Poola zależy od gęstości ładunku n dlatego R_h jest tzw. stałą materiałową i jest równe

R_H=E^y/j_xB_z

dla el.Rh <0 bo q<0

wymiar Rh = Vm/AT

wprowadza się Uh zwane napięciem Hoolowskim

U_H=E^yL_y

podstawiając stałą Hoola

U_H=R_HL_yj_xB_z

j_x=I/S

U_H=R_HB_ZI/L_Z

wzór ten może być wykorzystany do skalowania źródła pola magn. B jeżeli znamy stałą Hoola próbki metalicznej wykorzystanej do cechowania pola, wyznaczymy sobie napięcie Hoolowskie Uh zadamy natężenie I i znamy grubość próbki. Takie urządzenie do cechowania pola magn. nosi nazwę halotronu w ogólnym przypadku należy w zapisie na wektor gęstości prądu j uwzględnić pewien rozkład wektora gęstości prądu v wektorów prądu związany z ruchami termicznymi czyli z rozproszeniem nośników prądu w związku z tym stała Hoola Rh = A/nq , gdzie A zależy od zjawiska rozproszenia nośników prądu w materiale. Z dobrym przybliżeniem można przyjąć że A=1 dla metali natomiast A>1 dla półprzewodników z tym że istnieją półprzewodniki dla których A=1 zależy to od struktury en. tych przewodników

R_H=1/nq

U_H=R_HIB_Z/L_Z

Jeżeli znamy wartość stałej Hoolowskiej to możemy wyznaczyć gęstość nośników prądu w danym materiale. Wielkości n i q występujące w def . stałej Hoolowskiej można wykorzystać do wyznaczenia ruchliwości nośników prądu

u=v/E

ρ

δnq

gdzie ρ opór właściwy  przewodność właściwa

ruchliwość jest cechą próbki i jest parametrem bardzo istotnym, który determinuje własności oraz przydatność półprzewodników (tranzystorów i tym podobnych) w odpowiednich zastosowaniach

poza efektem Hoola występują jeszcze inne efekty galwanomagnetyczne zw. z działaniem zawn. pola magn. na nośniki prądu

1. zjawisko Righiego- Leduca (1887) rys

wzdłuż płytki prostopadle do pola B płynie strumień ciepła; na krawędzi płytki prostopadle do B i j pojawia się różnica temp.

T₁<T₂ (np. dla Fe) to jest dodatnie zjawisko R-L

T₁>T₂ (np. dla bizmutu) to jest to ujemne zjawisko R-L

Wyjaśnienie tego efektu R-L jest oparte na modelu propagacji strumienia ciepła

2. Zjawisko Nersta (1886) rys

wzdłuż płytki prostopadle do pola B płynie strumień ciepła; na krawędzi płytki prostopadle do B i j pojawia się różnica potencjałów

V1<V2 (np. dla bizmutu) to jest to dodatnie zjawisko N

V1>V2 (np. dla Fe) to jest to ujemne zjawisko N

3. zjawisko Ettinghausena (1887) rys.

na brzegach pojawia się różnica temp o grad prostopadłym do B i j

T₁<T₂ (np. dla bizmutu) to jest dodatnie zjawisko E

T₁>T₂ (np. dla Fe) to jest to ujemne zjawisko E

zjawisko E towarzyszy zawsze zjawisku Hoola

---