1. Narysować wykres rozciągania dla stali niskowęglowej i zdefiniować granice wytrzymałości

Granica wytrzymałości (pkt. K, R_m, σ_wytrz) jest to największe naprężenie jakie może przenieść badana próbka stali niskowęglowej (do 0,3%C). granica wytrzymałości inaczej zwana wytrzymałością na rozciąganie jest ilorazem maksymalnej siły rozciągającej F_max uzyskanej podczas rozciągania próbki przez pole S₀ przekroju początkowego próbki.

+ wykres

2. Narysować wykres rozciągania bez wyraźnej granicy plastyczności i wyjaśnić jak określa się umowna granicę plastyczności

Dla materiałów plastycznych bez wyraźnej granicy plastyczności R_e wprowadzono umowną granicę plastyczności R_0,2.

Umowną granicą plastyczności nazywamy takie naprężenie, które wywołuje w próbce odkształcenie trwałe (plastyczne) wynoszące ε=0,2% (0,002).

Gdzie:
F_0,2- siła rozciągająca wywołująca w próbce odkształcenie plastyczne równe 0,2%

S₀- pole przekroju poprzecznego próbki

wyznaczone przed badaniem

Na wykresie przedstawiono krzywą rozciągania bez wyraźnej granicy plastyczności oraz sposób określania umownej granicy plastyczności.

3. Prawo Hooke'a dla jednoosiowego rozciągania.

Robert Hooke stwierdził, że wydłużenie l pręta pryzmatycznego jest wprost proporcjonalne do siły rozciągającej P i do długości początkowej l pręta, a odwrotnie proporcjonalne do pola A przekroju poprzecznego pręta.

E - moduł sprężystości przy rozciąganiu, moduł Younga

A - pole przekroju poprzecznego

l - wydłużenie pręta

l - długość początkowa pręta

P - siła rozciągająca

σ - naprężenie rozciągające w pręcie

 - odkształcenie względne

Dla większości materiałów stosowanych w budowie maszyn prawo Hooke'a można stosować zarówno przypadku rozciągania, jak i ściskania, przy czym naprężenia rozciągające zaznaczamy znakiem plus (+), a ściskające znakiem minus (-).

4. Prawo Hooke'a dla ścinania.

Jeżeli rozpatrzymy kostkę sześcienną w stanie czystego ścinania, to pod wpływem naprężeń tnących stwierdzimy przejście sześcianu w równoległościan. Ściany sześcianu pozostaną w dalszym ciągu płaskie, a kąty proste ulegną odkształceniu o kąt γ

Ponieważ kąt γ jest mały, przez to należy twierdzić, że krawędzie nie ulegną wydłużeniu, ani skróceniu i objętość kostki nie ulegnie zmianie, a nastąpi jedynie zmiana postaci. Dla materiału kostki podlegającego prawu Hooke'a kąt odkształcenia postaciowego γ jest proporcjonalny do naprężeń ścinających  .

γ - kąt odkształcenia postaciowego

 - naprężenia ścinające

G - moduł sprężystości postaciowej

*Dodatkowo:

Współczynnik proporcjonalności G nosi nazwę modułu sprężystości postaciowej (ścinania, skręcania, Kirchhoffa). Wartości modułów G dla różnych materiałów podaje się w tabelach.

Wartość modułu sprężystości postaciowej można też wyznaczyć z zależności:

5. Co rozumiemy pod pojęciem naprężenia dopuszczalnego i jak je określamy?

Naprężenie dopuszczalne jest to wartość naprężenia nieprzekraczalna w warunkach normalnej pracy (największe naprężenie, które jest jeszcze bezpieczne dla konstrukcji).

Naprężenie dopuszczalne na rozciąganie k_r wyznacza się ze wzoru:

gdzie:

R_m - wytrzymałość na rozciąganie

n_m - współczynnik bezpieczeństwa w odniesieniu do wytrzymałości na rozciąganie R_m, liczba większa od jedności

W wielu przypadkach należy się zabezpieczyć nie tylko przed zerwaniem danego elementu konstrukcji, lecz również przed powstaniem odkształceń plastycznych. W takich przypadkach naprężenia dopuszczalne k_r wyznacza się jako iloraz granicy plastyczności R_e przez współczynnik bezpieczeństwa n_e odniesiony do granicy plastyczności:

Obliczenie wytrzymałościowe elementu rozciąganego sprowadza się do sprawdzenia, czy spełniony jest warunek:

W podobny sposób jak dla rozciągania wyznacza się naprężenia dopuszczalne na:

• ściskanie k_c

• zginanie k_g

• skręcanie k_s

• ścinanie k_t

6. Na czym polega zasada superpozycji, kiedy ja można stosować, a kiedy nie można

Zasada ta polega na rozbiciu danego złożonego układu obciążeń na układy proste tak dobrane, że suma ich tj. nałożenie jednych na drugie, dała rozpatrywany układ wyjściowy.

Gdyby pręt był obciążony tylko siłą P₁, wówczas wydłużenie pręta wynosiłoby:

Gdyby pręt był obciążony tylko siłą P₂, wówczas rozciągany jest tylko odcinek a pręta, dolna część poniżej punktu przyłożenia P₂ uległaby jedynie przemieszczeniu o l''

Wydłużenie całkowite

Metodę tę można stosować gdy w żadnym punkcie układu wyjściowego (zasadniczego) naprężenia nie przekraczają granicę proporcjonalności σ_prop.

Zaś nie można używać gdy działanie jednych sił zmienia charakter działania innych sił. Na skutek działania siły T siła P wywołuje nie tylko ściskanie pręta, lecz również zginanie.

7. Co rozumiemy pod pojęciem układu statycznie niewyznaczalnego i co jest potrzebne do wyznaczania sił i reakcji w takim układzie?

Układ statycznie niewyznaczalny to taki, w którym liczba niewiadomych reakcji jest większa od znanej ze statyki liczby warunków równowagi. Układy takie są nierozwiązalne na gruncie statyki ciał doskonale sztywnych.

Rozwiązać taki układ można dopiero wówczas, gdy uwzględni się odkształcenia ciał wchodzących w skład danego układu. Odkształcenia układu przyjmujemy dowolnie (byleby zgodnie z nałożonymi więzami), natomiast reakcje więzów muszą odpowiadać przyjętym odkształceniom. Jeżeli więc przyjmujemy, że pręt ulega wydłużeniu, to musi w nim występować siła rozciągania (jeżeli skróceniu-siła ściskania).

Inna definicja: „Układy statycznie niewyznaczalne - są to układy, dla których z równań równowagi otrzymuje się nieskończenie wiele rozwiązań na siły reakcji. W takim przypadku liczba reakcji jest większa od liczby niezależnych równań równowagi, oraz liczba stopni swobody układu jest równa zeru.”

8. Wyprowadzić wzór na naprężenia obwodowe w pierścieniu poddanym działaniu ciśnienia wewnętrznego.

Przetnijmy pierścień dwiema płaszczyznami I-I oraz II-II odległymi od siebie o jednostkę długości (np. 1 cm) i rozpatrzmy górną połowę tak wyciętego jednostkowego pierścienia (rys. b). Działa ciśnienie p wywierane przez płyn oraz siły, jakimi ścianki dolnej (odrzuconej) części pierścienia działają na część górną. Równanie równowagi:

.

Naprężenia obwodowe w pierścieniu o średnicy d i grubości g wywoływane działaniem ciśnienia wewnętrznego p wyrażają się wzorem:

Przy czym naprężenia σ₁ są równomiernie rozłożone na całej grubości rury.

9. Co rozumiemy pod pojęciem energii potencjalnej odkształcenia sprężystego i jak ją obliczamy?

Energia potencjalna ciała odkształconego sprężyście jest to energia którą doskonale tłumaczy działanie sprężyny : W celu rozciągnięcia sprężyny trzeba wykonać pracę, z kolei sprężyna kurcząc się będzie nam tę pracę oddawać. Tak więc w rozciągniętej sprężynie jest zgromadzona energia sprężystości (równoważna pracy użytej do jej praca jej rozciągania), zaś uwolnienie tej energii pozwala na odzyskanie włożonej poprzednio pracy. Na tej zasadzie działają m.in. naręczne zegary mechaniczne (nakręcane), zabawki, gumowe proce, a także łuki i kusze.

Energia sprężystości zgromadzona w rozciągniętej sprężynie zależy od:

1)rozciągnięcia x

2)Stałej sprężystości k

Zależności te połączono wzorem:
. Wzór ma zastosowanie przy niezbyt dużych rozciągnięciach x. Wzór powyższy obowiązuje nie tylko dla rozciągania, ale i dla ściskania, odchylania i uginania i ogólnie dla odkształceń od położenia równowagi.

10. Określić rozkład i znaki naprężeń występujących w jednokierunkowym stanie napięcia, na płaszczyznach nachylonych pod kątami alfa, alfa plus dziewięćdziesiąt stopni oraz alfa plus 270 stopni.

Suma rzutów na kierunek 1 sił działających w prętach na rozpatrywaną część pręta - P + F_p_ = 0

Pole F_ ukośnego przekroju abcd wynosi

Dla =0 naprężenia p_ stają się równe naprężeniom rozciągającym

Rozłóżmy p_ na dwa kierunki, a otrzymane składowe oznaczmy σ_ oraz _. Otrzymujemy wówczas: σ_  p_cos oraz _  p_sin. Po wykorzystaniu wcześniejszych zależności i podstawieniu tożsamości sin2  2 sincos

Dodatni kąt  odmierzany jest od kierunku 1do kierunku normalnej (przeciwnie do kierunku ruchu wskazówek zegara).

Dla przekrojów f-g i g-h

Dla przekroju e-f otrzymujemy:

11. Podać wzory na naprężenia normalne i styczne dla dwuosiowego (płaskiego) stanu naprężenia

12. Określić zasady konstruowania koła Mohra dla płaskiego stanu naprężenia (dane σ_ i σ_).

a) liczymy średnią arytmetyczną naprężeń σ₁ i σ₂ równą 0C

b) na osi odciętych odkładamy pkt. C w odległości od środka 0 układu współrzędnych równej 0C

c) jako σ₁ oznaczamy większe z naprężeń

d) obliczamy promień koła r równy połowie różnicy naprężeń σ₁ i σ₂

e) z punktu C zakreślamy koło o takim promieniu r

f) ze środka koła C odmierzamy od osi kąt 2 (zgodnie z kierunkiem trygonometrycznym)i otrzymujemy pkt. N o współrzędnych σ_ i _

 rysunek

13. Narysować rozkład naprężeń i koło Mohra dla płaskiego stanu naprężenia.

+ rysunek

14. Dane są naprężenia σ_x i σ_y oraz . Zastosować koło Mohra w celu wyznaczenia naprężeń głównych σ_ i σ_

 rysunek

15. Co rozumiemy pod pojęciem liczby Poissona (

Współczynnik różny dla różnych substancji określający ich zachowanie podczas rozciągania. Przy rozciąganiu elementarnej kostki sześciennej, w czasie gdy jeden bok ulega wydłużeniu, dwa inne ulegają proporcjonalnemu skracaniu. Jest to bezwymiarowa stała materiałowa, określająca stosunek (bezwzględną wartość stosunku) odkształceń poprzecznych do odkształcenia podłużnego (osi pręta) dla rozciągania; dla realnych materiałów waha się w granicach od 0 do 0.5 (0 korek, 0.5 - guma), stal ok. 0.27, beton ok. 0.16

Wyodrębniamy z pręta kostkę sześcienną o wymiarach 1x1x1cm rozciąganą w kierunku 1 naprężeniami σ_

Jeżeli σ_ nie przekroczą granicy proporcjonalności σ_prop to krawędzie poprzeczne ulegną skróceniu (wydłużenie ujemne), będąc proporcjonalne do wydłużenia _

Wymiary wzdłuż kierunku 1; 2; 3;

objętość klocka się nie zmniejszy

Wzdłużenie względne jest wielkością małą (0,001) wówczas ² i ^ można pominąć

16. Jak określamy odkształcenia w płaskim stanie napięcia

Rozpatrzmy elementarną kostkę sześcienną metodą super pozycji.

Gdyby tylko działało naprężenie σ

Gdyby tylko działało naprężenia σ

Ponieważ działają oba wykorzystujemy metodę superpozycji (np _  '_  ''_):

17. Podać prawo Hooke'a dla dwukierunkowego stanu napięcia

Wyliczamy je z analizy odkształceń w płaskim stanie napięcia

Jest to suma odkształceń kostki rozciąganej naprężeniami σ_ i σ_

18. Uogólnione prawo Hooke'a (czego dotyczy i jakimi wzorami się wyraża)

Opisuje związki między odkształceniami i naprężeniami, w przypadku ciała izotropowego. Elementarną kostkę poddajemy działaniu naprężeń głównych σ, σ, σ. Gdyby działało tylko naprężenie σ, to odkształcenia wynosiłyby:

Gdyby działały tylko naprężenia σ

Odkształcenia względne kostki w trójwymiarowym stanie napięcia wyrażają się więc wzorami będącymi sumą powyższych zależności - metoda superpozycji (np _  '_  ''_  '''_):

Wzory są słuszne, gdy żadne z naprężeń nie przekroczyło granicy proporcjonalności (tj. granicy stosowalności prawa Hooke'a)

19. Co rozumiemy pod pojęciem czystego ścinania? Jak wygląda koło Mohra dla czystego ścinania?

Czyste ścinanie - stan obciążenia w którym na ścianach rozpatrywanego elementu nie występują żadne inne

naprężenia oprócz naprężeń tnących.

Efekt ten można uzyskać wywołując np. rozciąganie i ściskanie takimi samymi co do wartości bezwzględnej

naprężeniami σ działającymi w dwóch wzajemnie prostopadłych kierunkach.

Jeżeli rozpatrywany element przetniemy (w myśli) przekrojem a-b określonym normalną nachyloną do osi głównej

pod kątem /4 to zgodnie ze wzorem σ_  σ_cos^  σ_sin^ naprężenie normalne dla σ_σ oraz σ_σ będzie równe zeru:

Natomiast naprężenie styczne wg wzoru _ = 1/2(σ_  σ_)sin2 wyniesie:

20. Określić zależność pomiędzy modułami sprężystości E i G.

Moduł Kirchhoffa (G) (moduł sprężystości poprzecznej) - współczynnik uzależniający odkształcenie postaciowe materiału od naprężenia, jakie w nim występuje. Jest to wielkość określająca sprężystość materiału.

γ - odkształcenia postaciowe,  - naprężenia ścinające

Moduł Younga (E) (moduł sprężystości podłużnej) (w układzie jednostek SI) - wielkość określająca sprężystość materiału.

ε - względne odkształcenie liniowe, σ - naprężenia

Moduł Kirchhoffa dla materiałów izotropowych bezpośrednio zależy od modułu Younga i współczynnika Poissona:

21. Na czym polegają uproszczone obliczenia na ścinanie?

Gdy mamy przypadek, w którym występują naprężenia styczne (tnące) i normalne, gdzie styczne >> normalne, to warunek bezpieczeństwa sprowadza się do sprawdzenia, czy naprężenia tnące nie przekraczają wartości naprężeń dopuszczalnych na ścinanie k_t.

Sposób omówiony na przykładzie [rys]:

Sworzeń łączący płaskownik środkowy o grubości g, z dwoma jednakowymi płaskownikami (grubość h).

Płaskownik środkowy poddany jest działaniu siły rozciągającej: P, dzięki czemu płaskownik górny i dolny będzie rozciągany siłą 0,5P (przez połączenie sworzniem). Jeśli wartość P będzie zwiększana, to w końcu dojdzie do stanu, w którym sworzeń ulegnie zniszczeniu- przez poślizg/ścięcie (rys 4.4b).

W przekrojach, które ulegną ścięciu działają siły równe T₁ i T₂ (rys 4.4c), które są równe: T₁=T₂=0,5P.

W wyniku działania tych sił, powstają naprężenia tnące _, _ (rys 4.4d).

Rozkład tych naprężeń na przekrojach poprzecznych sworznia nie jest równomierny, ale stosuje się pojęcie średniej wartości naprężenia tnącego równej:,

gdzie:

T- siła tnąca w danym przekroju poprzecznym,

F- pole powierzchni przekroju poprzecznego.

Warunek wytrzymałości elementu ścinanego wyraża się:

Pod działaniem siły P ulegają jednoczesnemu ścinaniu 2 przekroje poprzeczne sworznia, zatem siła tnąca w każdym przekroju jest równa 0,5P, a średnie naprężenie tnące:

Uproszczony sposób obliczeń na ścinanie przeprowadza się zazwyczaj dla połączeń nitowanych, śrubowych, klinowych, spawanych.

22. Na czym polega obliczanie wytrzymałości wału pełnego?

Wały- pręty obracające się w czasie pracy i przenoszące momenty skręcające.

Naprężenia maksymalne występujące w pręcie skręcanym:

Wskaźnik wytrzymałości na skręcanie:

J₀- biegunowy moment bezwładności,

ρ_max- odległość najdalszego włókna od osi pręta.

Aby skręcany pręt mógł pracować bezpiecznie, max naprężenia tnące nie mogą przekroczyć naprężeń dopuszczalnych na skręcanie k_s: (warunek wytrzymałościowy)

zgodnie ze wzorem:
dla wału okrągłego Wo:

Warunek sztywności: wiedząc że

to kąt skręcania przypadający na jednostkę długości wału nie może być większy od dopuszczalnego kąta skręcania

Każdy wał musi jednocześnie spełniać warunek wytrzymałościowy i warunek sztywności.

23. Co rozumiemy pod pojęciem momentu bezwładności figury płaskiej?

Moment bezwładności figury płaskiej względem osi to suma iloczynów nieskończenie małych pól dF przez kwadrat odległości tych pól od tej osi. (Moment statyczny względem osi centralnej =0)

Moment bezwładności to miara bezwładności ciała w ruchu obrotowym względem określonej, ustalonej osi obrotu. Im większy moment, tym trudniej zmienić ruch obrotowy ciała, np. rozkręcić dane ciało lub zmniejszyć jego prędkość kątową. Moment bezwładności ciała zależy od wyboru osi obrotu, od kształtu ciała i od rozmieszczenia masy w ciele. Moment bezwładności ma wymiar
. Zwykle mierzy się go w kg·m². Moment bezwładności punktu materialnego jest iloczynem jego masy i kwadratu odległości od osi obrotu:
, gdzie: m - masa punktu; r - odległość punktu od osi obrotu.

24. Koło Mohra dla momentów bezwładności.

Koło Mohra pozwala w łatwy sposób geometrycznie wyznaczyć maksymalny i minimalny moment bezwładności oraz kierunek osi głównych przy danych momentach I_y, I_z oraz I_yz figury względem dwóch dowolnych prostopadłych do siebie osi. Analogicznie jak dla naprężeń można przedstawić momenty bezwładności w postaci koła Mohra.

Mając policzone momenty bezwładności J_y, J_z, J_yz odkładamy punkt C w odległości

I z punktu C zakreślamy okrąg

Okrąg ten wyznacza na osi odciętych punkty A i B odpowiadające ekstremalnym wartościom momentów bezwładności względem osi. Punkty K oraz L odpowiadają danym momentom bezwładności J_y, J_z oraz J_yz układu osi Oyz.

25. Podać definicje sił normalnych, sił tnących i momentów gnących

Siłę normalną N w danym przekroju poprzecznym belki nazywamy rzut na kierunek normalnej wypadkowej wszystkich sił zewnętrznych działających na część belki odciętej tym przekrojem. N dodatnie jeśli ma zwrot zgodny ze zwrotem normalnej danego przekroju.

Siłą tnącą w danym przekroju poprzecznym belki nazywamy rzut na płaszczyznę tego przekroju wypadkowej wszystkich sił zewnętrznych działających na część belki odciętej tym przekrojem. T dodatnie jeśli wycięty w myśli element belki siłą tą będzie się starać obrócić zgodnie z ruchem wskazówek zegara.

Momentem gnącym w danym przekroju belki nazywamy sumę momentów (względem środka ciężkości tego przekroju) wszystkich sił zewnętrznych działających na część belki odciętej tym przekrojem. M_g dodatni gdy wycięty w myśli element belki wygina się wypukłością do dołu.

26. Co rozumiemy pod pojęciem belki o równomiernej wytrzymałości na zginanie?

Jest to belka zaprojektowana tak, aby w każdym jej przekroju naprężenia maksymalne były równe dopuszczalnym. Dzięki temu w pełni wykorzystujemy materiał belki.

Wskaźnik wytrzymałości na zginanie:

Belki takie składają się z kilku elementów bądź mają nieregularne kształty w miarę przechodzenia do końca belki.

27. Wymienić i określić różnice pomiędzy hipotezami wytrzymałościowymi

W hipoteza przyjmujmy, że wartość natężeń wynosi σ_  σ_, σ_  σ_

Hipoteza największych naprężeń normalnych σ_max o wytężeniu materiały decyduje największe naprężenie normalne, występujące w najbardziej zagrożonym punkcie ciała. W myśl tej hipotezy naprężenia σ_ i σ₃ nie mają żadnego wpływu na stan wytężenia materiału, jeżeli tylko są mniejsze od σ₁. σ_max = σ_pl

Hipoteza największego wydłużenia względnego _max w myśl tej hipotezy w rozpatrywanych dwóch kostkach będzie istniał jednakowy stan wytężenia, gdy największe odkształcenia względne kostek będą jednakowe. Gdy będzie rozciągana σ_pl największe wydłużenie wzgl. wynosi  = σ_pl / E. dla kostki poddanej rozciąganiu naprężeniami s1>s2>s3

W myśl tej hipotezy σ_pl = σ₁ - v(σ_  σ_)

Dla stali v = 0,3 z czego wynika σ_ = 1,43σ_pl

Hipoteza największych naprężeń tnących (_max) w czasie zwykłej próby rozciągania uplastycznienie próbki (równoznaczne ze zniszczeniem) powstaje nie dlatego, że naprężenia rozciągające w próbce osiągnęły wartość σ_pl, lecz dlatego że największe naprężenia styczne _max osiągnęły wartość krytyczną, wynoszącą w przypadku zwykłego rozciągania _max = 1/2σ_pl. Największe naprężenia styczne powstają w przekroju nachylonym pod kątem 45 do kierunków naprężeń σ1 i σ. _max = (σ_  σ_)/2 z czego wynika, że σ_pl = |σ_  σ_|. Dla rozpatrywanej kostki σ_ = 1,5σ_pl

Hipoteza Hubera o zniszczeniu próbki decyduje nie ta część energii, która idzie na odkształcenie objętościowe, lecz jedynie ta część, która idzie na odkształcenie postaci.

Dla naszego przykładu otrzymujemy σ₁ = 1,73σ_pl

28. Które hipotezy należy stosować w przypadku materiałów kruchych, a które w przypadku materiałów plastycznych?

W przypadku materiałów kruchych:

- hipotezę największych naprężeń normalnych σ_max

- hipotezę _max największego wydłużenia względnego

W przypadku plastycznych materiałów:

- hipotezę największych naprężeń tnących _max

- hipotezę Hubera

29. Co rozumiemy pod pojęciem naprężenia zredukowanego i jak je liczymy według hipotezy Hubera?

σ_red to umowne naprężenie po zastosowaniu przyjętej hipotezy wytrzymałościowej dla danego trójkierunkowego stanu naprężeń, które jest równoważne z naprężeniami przy zwykłym rozciąganiu.

30. Kiedy stosujemy hipotezę Mohra?

Stosujemy dla materiałów wykazujących inne własności wytrzymałościowe na rozciąganie, a inne na ściskanie. Dla naprężeń głównych uszeregowanych w kolejności σ_>σ_>σ_ muszą być równocześnie spełnione dwa warunki:

---