Materiały pomocnicze do wykładu:

Podstawy Automatyki

Opracował:

doc. dr inż. Marek Żelazny

Wprowadzenie

Niniejsze materiały pomocnicze nie stanowią samodzielnego tekstu zastępującego wykład.

Opracowano je, by ułatwić studentom słuchanie wykładów, by uwolnić ich od przenoszenia do własnych notatek większości rysunków i tablic prezentowanych podczas wykładu.

Materiały te stanowić będą istotną pomoc w przygotowaniu słuchaczy do ćwiczeń, laboratoriów i egzaminu, jeżeli uzupełnione zostaną własnymi notatkami i komentarzami podczas wykładów. Należy bowiem pamiętać, że wykład zawiera wiele dodatkowych elementów i tylko jego wysłuchanie, połączone z możliwością dyskusji i wyjaśnienia wątpliwości, daje gwarancję dobrego opanowania przedmiotu PODSTAWY AUTOMATYKI.

Spis Treści:

0 POJĘCIA PODSTAWOWE…………………………….………………………..….. - 5 -

0. POJĘCIA PODSTAWOWE

Szeroki zakres zastosowań automatyki zmusza do używania bardzo ogólnych pojęć podstawowych i reprezentacji graficznej w postaci schematów blokowych, które to pojęcia i schematy mogą być stosowane zarówno przy omawianiu zagadnień teoretycznych jak i aplikacji przemysłowych, medycznych, wojskowych lub w dowolnej innej - automatyzowanej - dziedzinie działalności człowieka.

Kilka zasadniczych pojęć:

Sygnał - wielkość fizyczna występująca w procesie sterowania będąca nośnikiem informacji.

Informacja - wartość lub kształt przebiegu sygnału.

Element automatyki (człon) - podzespół, zespół, przyrząd lub urządzenie. w którym można wyróżnić sygnał wejściowy i sygnał wyjściowy - rys. a, lub sygnały wejściowe i wyjściowe - rys. b.

Układ automatyki - zespół wzajemnie powiązanych elementów biorących udział w sterowaniu automatycznym danego procesu (uporządkowany zgodnie z kierunkiem przekazywania sygnałów)

Sterowanie automatyczne - oddziaływanie na proces, którego zamierzony przebieg chcemy uzyskać bez udziału człowieka, za pomocą urządzeń nazywanych ogólnie aparaturą automatyki.

Wyróżnia się:

• sterowanie w układzie otwartym

• sterowanie w układzie zamkniętym

Ogólny schemat otwartego układu sterowania przedstawiono niżej:

Nomenklatura:

w - wartość zadana wielkości sterowanej

u - sygnał sterujący

y - wielkość sterowana

z - sygnały zakłócające (zakłócenia)

U.S. - urządzenie sterujące

O - obiekt (proces) podlegający sterowaniu

Zamknięty układ sterowania, nazywany często układem ze sprzężeniem zwrotnym, ma następujący schemat blokowy:

gdzie: e - odchyłka (uchyb) sterowania

Tor główny wskazuje zawsze zasadniczą wielkość wejściową układu (w tym przypadku w) i wielkość wyjściową y. Tor ten ilustruje zwykle przepływ głównego strumienia materiału lub energii w układzie.

Tor sprzężenia zwrotnego służy do przekazywania informacji. Zapotrzebowanie energetyczne tego toru jest zwykle pomijanie małe.

Ze względu na zadanie realizowane przez układ wyróżnia się:

1. układy stabilizujące

2. układy programowe

3. układy nadążne

4. inne

Te grupy zamkniętych układów sterowania, zwłaszcza dwie pierwsze, nazywa się często układami regulacji automatycznej. Pociąga to za sobą zmianę nazewnictwa:

y - wielkość regulowana

w - wartość zadana wielkości regulowanej

e - odchyłka regulacji

R - regulator (zamiast urządzenia sterującego)

O - obiekt regulacji (proces regulowany)

A. Układy stabilizujące (układy regulacji stałowartościowej), w=const.

Zadaniem układu jest utrzymanie możliwie stałej, pożądanej wartości wielkości wyjściowej oraz minimalizacja wpływu zakłóceń na tę wielkość.

Często główne zakłócenia wchodzą wraz ze strumieniem materiału lub energii na obiekt, tworząc tor główny od z₁ do y.

Przykłady: regulacja ciśnienia, poziomu cieczy, natężenia przepływu, pH itd.

B. Układy programowe (regulacji programowej, sterowania programowego), w=w(t).

Zadaniem układu jest uzyskanie przewidzianych określonym programem czasowym zmian wielkości regulowanej (sterowanej).

Dla powolnych zmian w(t), np. regulacja temperatury w budynku, schemat blokowy ma postać jak dla p. „A”_, dla szybkich zmian w(t) - jak dla p. ,.C'”.

Inne przykłady: programowa regulacja temperatury w piecu hartowniczym, w autoklawie, programowa regulacja jednej lub kilku wielkości w procesie rozruchu (stopniowe dochodzenie do nominalnego stanu pracy).

C. Układy nadążne (serwomechanizmy), w=w[ϕ(t)].

Zadaniem układu jest nadążanie wielkości wyjściowej y za zmieniającą się w nieznany nam sposób wartością zadaną w.

Schemat blokowy podstawowy:

Przykłady: sterowanie położeniem y dział przeciwlotniczych wg wskazań radaru określającego położenie w samolotu; sterowanie położeniem y pisaka rejestratora wg aktualnej wartości w mierzonej i rejestrowanej wielkości fizycznej.

4. Inne

W punktach a,b,c wymieniono najczęściej realizowane zadania układów automatyki o działaniu ciągłym, omawianych w przedmiocie PODSTAWY AUTOMATYKI.

Pełna lista zadań jest bardzo szeroka, stale uzupełniana i obejmuje m.in. optymalizację przebiegu procesów (np. minimalizację zużycia energii, minimalizację kosztów lub maksymalizację zysku przy założonych ograniczeniach), realizację procesów dyskretnych (sekwencyjnych, np. montażu) oraz wiele innych.

• OPIS MATEMATYCZNY UKŁADÓW LINIOWYCH

Układy rzeczywiste zwykle są nieliniowe, ale dla uproszczenia opisu matematycznego przeprowadza się ich linearyzację, co pozwala na sformułowanie przybliżonego opisu liniowego, ważnego w otoczeniu wybranego punktu pracy na charakterystyce statycznej (punkt ten odpowiada najczęściej nominalnym lub uśrednionym warunkom pracy układu).

Po linearyzacji układy opisywane są za pomocą liniowych równań różniczkowych o stałych współczynnikach a_i i b_i.

Ogólna postać równania różniczkowego układu liniowego:

( 1.1)

Początek układu współrzędnych oznacza nominalny punkt pracy a u i y są odchyłkami sygnałów od tego punktu.

Opis własności układów:

Charakterystyka statyczna układu liniowego lub zlinearyzowanego w otoczeniu nominalnego punktu pracy (u,y są odchyłkami od tego punktu) ma postać:

Początek układu współrzędnych oznacza nominalny punkt pracy, a u i y są odchyłkami sygnałów od tego punktu.

Właściwości dynamiczne ilustruje się zwykle wyznaczając przebieg wielkości wyjściowej y(t) po wprowadzeniu na wejście jednego z typowych wymuszeń u(t).

Wykresy u(t) i y(t) można rysować łącznie w następującym układzie współrzędnych:

Typowe wymuszenia:

Wyznaczanie y(t)

1. metoda klasyczna

2. metoda operatorowa
   ,
   

Metoda operatorowa pozwala zastąpić równanie różniczkowe tzw. transmitancją operatorową.

Transmitancja operatorowa:

( 1.2)

Wyznaczenie G(s) z równania różniczkowego (1.1):

	( 1.3)
	( 1.4)

Opis elementów na schematach blokowych:

(pozostałe wejścia i warunki początkowe są równe zeru)

Wyznaczenie charakterystyki statycznej z transmitancji operatorowej

Dla
otrzymujemy:

( 1.5)

Końcowe równanie charakterystyki statycznej dla układów o jednym wejściu i jednym wyjściu:

TABLICA TRANSFORMAT

L.p.	Transformata F(s)	Oryginał f(t)	L.p.	Transformata F(s)	Oryginał f(t)
	1
		1(t)
	s

Opis układów z użyciem współrzędnych stanu:

W ogólnym opisie układów wielowymiarowych poszczególne wielkości określone są w postaci wektorów i oznaczają:

- wektor wejść, którego składowymi są wielkości wejściowe u₁(t), … , u_n(t)

- wektor stanu, którego składowymi są współrzędne stanu x₁(t), … , x_k(t)

- wektor wyjść, którego składowymi są wielkości wyjściowe y₁(t), … , y_l(t)

Zbiór wszystkich możliwych wartości wektora stanu X(t) w chwilach t tworzy przestrzeń stanów układu (przestrzeń fazową). Zbiór wartości wektora stanu układu w kolejnych chwilach czasu tworzy w tej przestrzeni krzywą, zwaną trajektorią stanu układu (trajektorią fazową).

Równanie stanu układu opisuje się zwykle w postaci:

( 1.6)

z n warunkami początkowymi

( 1.7)

Równanie (1.6) jest zawsze równaniem różniczkowym pierwszego rzędu, w ogólnym przypadku nieliniowym i zależnym jawnie od czasu, a F jest n-elementową funkcją wektorową. Równania (1.6) i (1.7) można więc rozpisać szczegółowo:

( 1.8)

Równanie wyjścia układu ma postać:

( 1.9)

przy czym G jest l-elemetową funkcją wektorową. Nie jest to równanie różniczkowe gdyż cała dynamika układu opisana jest równaniem stanu, jest natomiast zależne od czasu. Rozpisując szczegółowo równanie (1.9) otrzymamy:

( 1.10)

Równania (1.8) i (1.10) mogą być linearyzowane w otoczeniu wybranego stanu ustalonego (nominalnego punktu pracy), przyjmują wówczas postać:

( 1.11)

i tak dalej, natomiast

( 1.12)

i tak dalej.

Równania (1.11) i (1.12) zapisuje się zwykle skrótowo w postaci macierzowej:

	( 1.13)
	( 1.14)

przy czym: A(t) - macierz układu stopnia n×n

B(t) - macierz wejść stopnia n×k

C(t) - macierz wyjść stopnia l×n

D(t) - macierz transmisyjna układu stopnia l×k

Poszczególne elementy macierzy A,B,C,D odpowiadają pochodnym cząstkowym występującym w równaniach (1.11) i (1.12).

W przypadku szczególnym, gdy układ jest liniowy stacjonarny (o parametrach niezależnych od czasu), pochodne cząstkowe względem zmiennych x₁,…,x_n,…,u₁,…,u_k nie zawierają czasu i pochodne cząstkowe względem czasu są równe zeru. Elementy macierzy są wówczas stałe i równania (1.13) i (1.14) można zapisać w postaci:

( 1.15)

• PODSTAWOWE ELEMENTY LINIOWE

1. Założenia upraszczające

Wiele elementów automatyki można traktować jako liniowe, jeżeli ogra­niczy się zakres ich pracy i przyjmie następujące założenia upraszczające:

1. w odniesieniu do elementów mechanicznych

• występuje jedynie tarcie lepkie (wiskotyczne), a nie tarcie suche (Coulomba); siła tarcia jest proporcjonalna do prędkości;

• sztywności elementów sprężystych są stale, a pozostałych elementów oraz ich połączeń i zamocowań nieskończenie wielkie;

w odniesieniu do elementów płynowych (hydraulicznych i pneuma­tycznych)

• opór przepływu jest stały, tzn. natężenie przepływu płynu jest pro­porcjonalne do różnicy ciśnień;

• moduł sprężystości objętościowej płynu (odwrotność” współczynnika ściśliwości) jest stały;

• w odniesieniu do elementów elektrycznych

• rezystancje, indukcyjności i pojemności są stałe, niezależne od prądu i napięcia.

Prócz tych założeń natury ogólnej, w poszczególnych przypadkach robić będziemy jeszcze założenia szczególne, np. idealna szczelność elementów hydrau­licznych lub pomijalna masa niektórych części ruchomych. Należy więc pa­miętać, że równania i charakterystyki elementów liniowych są uproszczone i często można je stosować tylko do obliczeń wstępnych.

Elementy liniowe klasyfikuje się najczęściej ze względu na ich własności dynamiczne. Wyróżnimy sześć grup elementów podstawowych:

1. bezinercyjne (proporcjonalne),

2. inercyjne,

3. całkujące,

4. różniczkujące,

5. oscylacyjne,

6. opóźniające.

Własności statyczne wszystkich elementów określać będziemy podając równanie i wykres charakterystyki statycznej y = f (u), a własności dyna­miczne podając równanie różniczkowe i odpowiadającą mu transmitancję ope­ratorowa oraz wykres odpowiedzi y(t) na wymuszenie skokowe.

Każdą grupę elementów ilustruje kilka przykładów, przy czyni w ramach danej grupy są to przykłady urządzeń konstrukcyjnie odmiennych, aby pod­kreślić, że podział ze względu na własności dynamiczne nie jest zależny od natury fizycznej elementów i że np. elementem inercyjnym może być zarówno urządzenie mechaniczno, jak i hydrauliczne, pneumatyczne lub elektryczne.

Przyjęto następujący system oznaczeń:

1. Wartości absolutne sygnałów wejściowych i wyjściowych oznaczać bę­dziemy indeksem „O”, np. u₀, y₀. Potrzeba wyróżniania wartości absolutnych zachodzi przy analizie stanów ustalonych, gdyż często nie wystarcza znajomość równania charakterystyki statycznej y=f(u) w otoczeniu wybranego punktu pracy, lecz trzeba znać również równanie (lub wykres) charakterystyki sta­tycznej y₀=f(u₀) w całym zakresie zmienności sygnałów.

2. Odchyłki sygnałów wejściowych i wyjściowych od początkowego stanu ustalonego oznaczać będziemy nie dodając żadnych indeksów, np. u, y. Od­chyłkami operujemy zawsze przy zapisie stanów nieustalonych oraz przy za­pisie ogólnym.

1. Elementy bezinercyjne (proporcjonalne)

Ogólna postać równania elementu bezinercyjnego jest następująca;

y=ku

gdzie: y — wielkość wyjściowa, u — wielkość wejściowa, k — współczynnik pro­porcjonalności (współczynnik wzmocnienia).

Transmitancja elementu bezinercyjnego jest równa współczynnikowi pro­porcjonalności:




Równanie charakterystyki statycznej będzie:

y=ku

lub

y₀=ku₀+C

gdzie: C jest stałą, określającą przesunięcie charakterystyki w stosunku do początku układu współrzędnych.

Odpowiedź na wymuszenie skokowe: u(t)=1(t)u_st będzie:

y(t)= 1(t)ku_st

Przykłady kilku elementów traktowanych często jako bezinercyjne przedstawiono na rys. 2.1

Rysunek 2.1 Przykłady elementów bezinercyjnych (proporcjonalnych): a, b) dźwignia, c) dzielnik napięcia, d) przekładnia cierna, e) przekładnia zębata, f) siłownik pneumatyczny, g) mechanizm krzywkowy

2. Elementy inercyjne pierwszego rzędu

Ogólna postać równania różniczkowego elementu inercyjnego pierwszego rzędu jest następująca:




skąd wynika transmitancja




gdzie: k - współczynnik proporcjonalności

T - stała czasowa (ma wymiar czasu)

Równanie charakterystyki statycznej będzie




Odpowiedź na wymuszenie skokowe u(t)=1(t)u_st wynosi:




















Rysunek 2.2 Odpowiedź elementu inercyjnego pierwszego rzędu na wymuszenie skokowe.

Wykres y(t) przedstawiono na rys.2.2. Stałą czasową T można określić wystawiając styczną w dowolnym punkcie krzywej wykładniczej y(t) i wyznaczając odcinek podstycznej na asymptocie:




Stałą czasową T można również określić jako czas od chwili t=0 do chwili, kiedy y(t) osiąga 63,2% swej końcowej wartości ustalonej ku_st. Podstawiając t=T otrzymujemy bowiem:




Przykład procesu, który po linearyzacji opisywany jest równaniem elementu inercyjnego I rzędu przedstawiony jest na rys. 2.3. Sygnałami wejściowymi są Q₁ - natężenie przepływu cieczy oraz f - przekrój przepływowy zaworu. Sygnałem wyjściowym jest h - poziom cieczy w zbiorniku.

Warunkiem stanu ustalonego jest:





Rysunek 2.3 Zbiornik z wypływem swobodnym cieczy

Układamy równanie Bernoulliego dla przekrojów 1-1 i 2-2




Przyjmując prędkość v₁=0 oraz p₁=p₂ (ciśnienie atmosferyczne) otrzymamy




Na podstawie równania ciągłości
otrzymujemy




Otrzymujemy zatem równanie charakterystyki statycznej:




Wykres charakterystyki statycznej dla f₀=const przedstawiono na rys. 2.4a, a dla Q₁₀=const na rys. 2.4b





Rysunek 2.4 Charakterystyki statyczne procesu gromadzenia cieczy w zbiorniku z wypływem swobodnym

W stanach nieustalonych zmiany poziomu cieczy w zbiorniku można opisać za pomocą równania:




gdzie A jest powierzchnią przekroju poprzecznego zbiornika (w m²).

Ponieważ charakterystyki statyczne są krzywoliniowe, aby opisać element za pomocą liniowego równania różniczkowego, należy przeprowadzić linearyzację. Współrzędne nominalnego punktu pracy oznaczamy h_n, Q_1n, f_n. W otoczeniu tego punktu rzeczywiste przyrosty zmiennych h oraz Q₂ zastąpimy przyrostami przybliżonymi, które wystąpiłyby w przypadku liniowej charakterystyki statycznej o nachyleniu pokazanym na rys.2.4. Dla odróżnienia zapisu wszystkie przyrosty oznaczymy teraz dodając symbol „Δ”. Otrzymamy więc:




Przyrost
Q₂ zastępujemy różniczką zupełną




Zatem otrzymamy:




gdzie:
,
,


W dalszym ciągu często opuszczać będziemy znaki „Δ”, pamiętając jednak zawsze, że w równaniu występują przyrosty poszczególnych wielkości. Napiszemy wówczas




W przypadkach szczególnych, kiedy f₀=const (f=0),


,

a kiedy Q₁₀=const (Q₁=0),




3. Elementy całkujące

Ogólna postać równania różniczkującego elementu całkującego jest następująca:




lub po scałkowaniu, przy zerowych warunkach początkowych,




stąd wynika transmitancja




Równanie charakterystyki statycznej ma postać




a jej wykres podano na rys. 2.5




Rysunek 2.5 Charakterystyka statyczna elementu całkującego: a) współrzędne odchyłek, b) wspoł®zędne wartości absolutnych

Odpowiedź na wymuszenie skokowe u(t)=1(t)u_st wyznaczamy:







Wykres y(t) podano na rys. 2.6a.

W przypadku szczególnym, kiedy wejście i wyjście są sygnałami jednoimiennymi, współczynnik k ma wymiar odwrotności czasu. Wówczas ogólna postać równania różniczkowego elementu całkującego ma postać:




której odpowiada transmitancja




gdzie T jest stałą czasową akcji całkującej lub krócej - stałą całkowania.

Stałą tę można odszukać na wykresie odpowiedzi skokowej zgodnie z rys. 2.6b.




Rysunek 2.6 Odpowiedzi skokowe elementu całkującego: a) G(s)=k/s, b) G(s)=1/Ts

Przykład elementu całkującego: zespół rozdzielacz - siłownik hydrauliczny

Schemat zespołu przedstawiono na rys. 2.7. Wielkością wejściową jest przesunięcie u tłoczków rozdzielacza, wielkością wyjściową jest przesunięcie y tłoczyska siłownika.

Założenia:

1. 
   ,
   

2. obciążenie siłownika ma wartość zerową

3. prędkość przepływu oleju przez szczeliny rozdzielacza
   (wynika to z założeń a i b).

Stan ustalony
zachodzi dla
. Charakterystyka statyczna ma kształt podany na rys. 2.6a.

Stan dynamiczny:




gdzie: Q - natężenie przepływu oleju przez szczeliny rozdzielacza

A - powierzchnia efektywna tłoka siłownika

Uwzględniając równanie ciągłości




(ub jest przekrojem szczeliny przepływowej) otrzymamy




gdzie


Transmitancja elementu







Rysunek 2.7 Zespół rozdzielacz-siłownik hydrauliczny

1. Elementy różniczkujące

1. Idealny element różniczkujący

Równanie idealnego elementu różniczkującego jest następujące:




skąd wynika transmitancja




Współczynnik k definiuje się jako




W stanie ustalonym y=0 (y₀=const) dla wszystkich u. Wykresy charakterystyki statycznej podano na rys.2.8.




Rysunek 2.8 Charakterystyka statyczna elementu różniczkującego: a) współrzędne odchyłek, b) współrzędne wartości absolutnych

Odpowiedź na wymuszenie skokowe jest funkcją Diraca pomnożoną przez k oraz przez amplitudę skoku u_st. Mamy bowiem










W przypadku szczególnym, kiedy wejście i wyjście są sygnałami jednoimiennymi, równanie idealnego elementu różniczkującego zapisuje się w postaci




której odpowiada transmitancja




gdzie T jest stałą czasową akcji różniczkującej lub krócej - stałą różniczkowania.

Odpowiedź na wymuszenie skokowe jest w tym przypadku funkcją Diraca pomnożoną przez Tu_st.

Idealnego elementu różniczkującego nie można zrealizować praktycznie, ale poznanie jego własności jest celowe z tego względu, że często w elementach złożonych wyodrębnia jako jeden ze składników idealne działanie różniczkujące. Ponadto, idealny element różniczkujący traktuje się niekiedy jako pierwsze przybliżenie rzeczywistego elementu różniczkującego.

2. Rzeczywiste elementy różniczkujące

Ogólna postać równania rzeczywistego elementu różniczkującego jest następująca:




skąd wynika transmitancja




gdzie k współczynnikiem proporcjonalności, a T stałą czasową elementu.

Jeżeli wejście i wyjście są sygnałami jednoimiennymi, równanie różniczkowe zapisuje się w postaci:




której odpowiada transmitancja




Charakterystyka statyczna będzie oczywiście identyczna z podaną na rys. 2.8, natomiast odpowiedź na wymuszenie skokowe wyznaczamy (z ogólnej postaci transmitancji)







Wyznaczając tę odpowiedź z transmitancji gdzie wejście i wyjście są sygnałami jednoimiennymi otrzymamy:




Wykres y(t) przedstawiono na rys. 2.9.




Rysunek 2.9 Odpowiedź rzeczywistego elementu różniczkującego na wymuszenie skokowe

2. Elementy oscylacyjne

Ogólna postać równania różniczkowego elementu oscylacyjnego jest następująca:


(*)

przy czym
. Równaniu (*) odpowiada transmitancja:


(**)

gdzie k jest współczynnikiem proporcjonalności, T₁ i T₂ są stałymi czasowymi elementu.

Należy podkreślić, że to nie postać równania (*) lub (**) decyduje o tym, że element jest oscylacyjny (taka sama może być postać równań elementu inercyjnego drugiego rzędu, w którym żadne oscylacje odpowiedzi skokowej nie występują), ale warunek
.

Często spotyka się również następującą postać równania różniczkowego, która ułatwia interpretację przebiegów przejściowych elementu oscylacyjnego:




przy czym
. Wówczas transmitancja




gdzie: k - współczynnik proporcjonalności


- pulsacja oscylacji własnych elementu


- zredukowany (względny) współczynnik tłumienia

Równanie charakterystyki statycznej we współrzędnych odchyłek będzie




a we współrzędnych wartości absolutnych




gdzie C jest stałą wynikającą z warunków początkowych.

Wykresy charakterystyki statycznej podano na rys. 2.10.





Rysunek 2.10 Charakterystyka statyczna elementu oscylacyjnego: a) współrzędne odchyłek b) współrzędne wartości absolutnych

Odpowiedź na wymuszenie skokowe u(t)=1(t)u_st obliczamy według wzoru:




Pierwiastkami wielomianu N(s) są:




lub dla oznaczeń:


oraz





Odpowiedź na wymuszenie skokowe będzie mieć charakter oscylacyjny, jeżeli spełniony jest podany na wstępie warunek:




lub, co jest jednoznaczne:




Pierwiastki s₁ i s₂ zapiszemy wówczas w postaci:




lub




otrzymujemy




Stosując wzory Eulera^*) oraz wcześniej przyjęte oznaczenia, można przedstawić y(t) w postaci:




gdzie:





Rysunek 2.11 Odpowiedź elementu oscylacyjnego na wymuszenie skokowe 1(t)u_st

Wykres y(t) przedstawiono na rys. 2.11. Składowa ustalona przebiegu wynosi ku_st, a składowa przejściowa jest gasnącą sinusoidą, której okres jest stały i wynosi:




W przypadku szczególnym, kiedy ζ=0 (tzn. T₂=0), występują drgania zachowawcze (nie tłumione) o pulsacji ω₀. Wówczas:




Przykład elementu oscylacyjnego

Schemat elementu podano na rys. 2.12. Sygnałem wejściowym jest siła F, sygnałem wyjściowym jest przesunięcie y.




Rysunek 2.12 Zespół masa-tłumik-sprężyna

W stanie ustalonym siła F oraz ciężar mg są równoważone siłą wywieraną przez ugiętą sprężynę. We współrzędnych wartości absolutnych warunek ten zapiszemy




skąd




natomiast we współrzędnych odchyłek (przyrostów)




Wykresy charakterystyki statycznej są przedstawione na rys. 2.13.

W stanach nieustalonych, uwzględniając założenia upraszczające, podane w p. 2.1, otrzymamy następujące równanie równowagi:




skąd




gdzie


,
,


Przedstawionemu równaniu odpowiada transmitancja:








Rysunek 2.13 Charakterystyka statyczna elementu przedstawionego na rys. 2.12: a) współrzędne odchyłek, b) współrzędne wartości absolutnych

3. Elementy opóźniające

Równanie elementu opóźniającego ma postać




skąd wynika transmitancja







Rysunek 2.14 Wymuszenie u(t)=1(t)u_st i odpowiedź y(t)=1(t-τ)u_st elementu opóźniającego

Z podanych równań wynika, że element opóźniający nie zniekształca sygnału wejściowego, lecz jedynie przesuwa go w czasie. Charakterystyka statyczna będzie zatem


lub


a odpowiedź na wymuszenie skokowe będzie takim samym sygnałem skokowym przesuniętym w czasie o wielkość opóźnienia τ. Wykresy wymuszenia i odpowiedzi skokowej pokazano na rys. 2.14.

Elementami opóźniającymi są w szczególności urządzenia służące do przemieszczania (transportu) substancji, jeżeli miejsce wprowadzania sygnału wejściowego u i miejsce odbioru sygnału wyjściowego y znajdują się w pewnej odległości od siebie.

Przykład 1. Podajnik taśmowy.

Schemat elementu przedstawiono na rys. 2.15. Sygnałem wejściowym jest grubość u warstwy na początku podajnika, a sygnałem wyjściowym grubość y warstwy na końcu podajnika.

Opóźnienie τ wynosi:


gdzie: l - odległość [m]

v - prędkość taśmy [m/s]

Transmitancja podajnika


,




Rysunek 2.15 Schemat podajnika taśmowego

Przykład 2. Odcinek rurociągu.

Schemat elementu podano na rysunku poniżej. Sygnałem wejściowym jest stężenie substancji γ w przekroju A, sygnałem wyjściowym - stężenie tej substancji w przekroju B rurociągu.




Przy założeniu, że następuje dokładne wymieszanie substancji i w danym przekroju jej stężenie jest jednakowe, otrzymamy




gdzie: C_A - stężenie substancji γ w przekroju A,

C_B - stężenie substancji γ w przekroju B,

τ=l/v - opóźnienie

• Układanie schematów blokowych

1. Zasady budowy schematów blokowych

Schematy blokowe, nazywane również strukturalnymi, przedstawiają wzajemne powiązania pomiędzy poszczególnymi zespołami analizowanego elementu lub układu, tzn. podają kierunki przepływu sygnałów oraz związki między sygnałami wejściowymi i wyjściowymi wszystkich zespołów. Znajomość schematu blokowego ułatwia wyznaczenie opisu matematycznego (najczęściej transmitancji) układu i analizę jego własności.

Sporządzanie schematów blokowych elementów lub układów automatyki na podstawie ich schematów konstrukcyjnych sprawia zwykle początkowo wiele trudności. Przyczyną tego jest konieczność dokładnego zrozumienia działania rozpatrywanego urządzenia, rozróżnienia wejść i wyjść, a zatem „kolejności” oddziaływania jednych zespołów na drugie, wzięcia pod uwagą natury fizycznej występujących sygnałów itd.

Proste elementy reprezentowane są na schematach blokowych przez jeden „blok” - prostokąt, wewnątrz którego wpisuje się transmitancję (rzadziej równanie różniczkowe) lub wrysowuje się charakterystykę danego elementu, najczęściej odpowiedź skokową dla elementów liniowych lub charakterystykę statyczną dla elementów nieliniowych.

Złożone elementy mają własne schematy blokowe, w których poszczególne bloki reprezentują z reguły kolejne zespoły (elementy podstawowe) wchodzące w skład elementu złożonego.

Schematy blokowe układów, zwłaszcza zawierających elementy złożone mogą być dosyć rozbudowane. Dla zwiększenia ich czytelności przekształcamy często schemat elementów złożonych do postaci pojedynczego bloku i dopiero wówczas wstawiamy je do schematu całego układu.

Kierunek przepływu sygnałów jest jednoznaczny , ponieważ w każdym układzie występuje co najmniej jeden element skierowany, tzn. element o działaniu jednokierunkowym.

2. Węzły informacyjne i sumacyjne

Węzły informacyjne (zaczepowe) reprezentują na schematach blokowych urządzenia, które pozwalają pobierać tę samą informację do kilku gałęzi układu. Symbol graficzny podstawowego węzła informacyjnego, w którym pobiera się informację do dwóch gałęzi układu, jest następujący:




Przykłady urządzeń spełniających rolę węzłów informacyjnych podano na rys. 3.1





Rysunek 3.1

Pierwszy przykład pokazuje zbiornik ciśnieniowy, w którym znajduje się medium o ciśnieniu p, odprowadzane rurociągiem do dalszych części instalacji oraz działające na czujnik przetwornika pomiarowego lub miernika M tego ciśnienia. Jeżeli założymy, że w całym zbiorniku i wychodzących z niego przewodach panuje to samo ciśnienie p, to otrzymany typowy przypadek węzła informacyjnego, z którego wychodzi tyle gałęzi o sygnałach p, ile jest wyprowadzeń tego ciśnienia ze zbiornika.

Drugi przykład pokazuj tłoczysko siłownika hydraulicznego, na którym zainstalowana jest krzywka. Przesunięcie u jest zatem zarówno przesunięciem tłoczyska i związanego z nim końca dźwigni, jak i przesunięciem krzywki.

Węzły sumacyjne reprezentują na schematach blokowych urządzenia, w których zachodzi algebraiczne (z uwzględnieniem znaków) sumowanie sygnałów. Symbol graficzny podstawowego węzła sumacyjnego, w którym zachodzi sumowanie dwóch sygnałów, jest następujący:




W urządzeniu reprezentowanym przez ten węzeł realizowana jest zależność z=u-y.

Kilka przykładów urządzeń spełniających rolę węzłów sumacyjnych przedstawiono na rys. 3.2.










Rysunek 3.2 1) czujnik mieszkowy różnicy ciśnień, 2) dźwignia, 3) mechanizm różnicowy

Przedstawione na rys. 3.2 schematy blokowe stanowią graficzne odzwierciedlenie równań opisujących własności tych urządzeń.

1. Równanie sił działających na mieszek sprężysty




skąd

( 3.1)

Gdzie: p₁,p₂ - sygnały wejściowe (ciśnienia)

y - sygnał wyjściowy (przesunięcie)

A - powierzchnia efektywna mieszka sprężystego

C - sztywność mieszka

Schematy blokowe a) oraz b) odpowiadają równaniu (3.1) i każdy z nich jest poprawny

2. Przy niewielkich przemieszczeniach końców dźwigni można napisać, zgodnie z zasadą superpozycji:

( 3.2)

Gdzie: u₁, u₂ - sygnały wejściowe (przesunięcia)

y - sygnał wyjściowy (przesunięcia)

ε₁,ε₂ - składowe przesunięcia y

a, b - ramiona dźwigni

3. Mechanizm różnicowy opiszemy za pomocą równań prędkości poszczególnych punktów koła różnicowego:




Dodając stronami otrzymamy

( 3.3)

Gdzie: ω_1,ω₂ - sygnały wejściowe (prędkości kątowe)

ω₃ - sygnał wyjściowy

r - promienie podziałowe wszystkich kół zębatych.

Jeżeli sygnałami wejściowymi i wyjściowymi będą kąty obrotu kół zębatych, otrzymamy

( 3.4)

Budowa schematu blokowego pozostanie więc identyczna, jedynie zamiast „ω” należy wszędzie wpisać „α”.

Zmianie kierunku prędkości kątowej (lub kąta) odpowiada zmiana znaku na wejściu węzła sumacyjnego.

3. Przekształcanie schematów blokowych

Pierwotna postać schematu blokowego jest niekiedy dosyć uwikłana i nie można bezpośrednio zastosować do niej żadnego ze wzorów określających transmitancje połączeń podstawowych. W pierwszej kolejności należy więc przekształcić schemat blokowy do takiej postaci, aby występowały w niej tylko połączenia szeregowe, równoległe i ze sprzężeniem zwrotnym. Postacie ogólne transmitancji tych połączeń dla elementów o jednym wejściu i wyjściu (jednowymiarowych) są następujące:

1. połączenie szeregowe

( 3.5)

2. połączenie równoległe

( 3.6)

3. połączenie ze sprzężeniem zwrotnym

( 3.7)

Gdzie:
- symbol iloczynu


- symbol sumy


- transmitancje elementów składowych


- transmitancja toru głównego


- transmitancja toru sprzężenia zwrotnego

„+” - obowiązuje dla ujemnego sprzężenia zwrotnego

„−” - obowiązuje dla dodatniego sprzężenia zwrotnego

Dla elementów o wielu wejściach i wyjściach (wielowymiarowych) odpowiednie zależności mają identyczną postać, jedynie zamiast transmitancji G(s) występują wszędzie macierze transmitancji G(s). W iloczynie (3.5) nie wolno zmieniać kolejności macierzy.

Przekształcenia sprowadzające schemat blokowy do postaci pozwalającej na zastosowanie wzorów (3.5) i (3.7) polegają na przesunięciach węzłów informacyjnych i (lub) sumacyjnych. W każdym przypadku przekształcania schematu blokowego musi być spełniony warunek, że w części układu nie podlegającej przekształceniu żadna wielkość nie ulega zmianie (oznacza to, że wejścia i wyjścia przekształconej części schematu muszą pozostać nie zmienione)

Kilka najczęściej stosowanych przekształceń schematów blokowych (lub ich części) zawierających wyłącznie elementy liniowe zestawiono w tab. 3.1.

Przekształcenia nr 1÷4 polegają na przesunięciach węzłów informacyjnych lub sumacyjnych w przód lub w tył, tzn. z wejścia bloku o transmitancji G(s) na jego wyjście lub odwrotnie. Przekształcenia te pozostają ważne również dla elementów o wielu wejściach i wyjściach, z tym zastrzeżeniem, że przekształcenia nr 2 i 4 są wykonalne tylko dla macierzy kwadratowych nieosobliwych (o wyznaczniku różnym od zera), gdyż tylko wówczas istnieje macierz odwrotna [G(s)]^-1.

Przekształcenia nr 5 i 6 pokazują, że można zmieniać kolejność węzłów jednego rodzaju (informacyjnych lub sumacyjnych), a nr 7 i 8 podają zasady zmiany kolejności węzłów różnego rodzaju, tzn. przesuwania węzła informacyjnego przed sumacyjny lub odwrotnie.

Niżej podane zostaną dwa przykłady wyznaczania transmitancji złożonych układów na podstawie ich schematów blokowych. Wybrano takie przypadki, w których konieczne są obydwa etapy postępowania, tzn. najpierw doprowadzenie schematu za pomocą przekształceń podanych w tabl. 3.1 do postaci połączeń podstawowych, a następnie zwijanie tych połączeń za pomocą zależności (3.5) do (3.7) ,aż do postaci pozwalającej na wyznaczenie transmitancji całego układu.




Przesunięcia węzłów informacyjnych i sumacyjnych
L.p.	Schemat pierwotny	Schemat równoważny	L.p.	Schemat pierwotny	Schemat równoważny
1			5
2			6
3			7
4			8

tablica 3.1




Przykład 1.







Rysunek 3.3

Przykład 2.







Rysunek 3.4

1. Przykłady układania (tworzenia) schematów blokowych

1. Schemat kopiału hydraulicznego




Ułożenie schematu blokowego:







gdzie:
,


Wyznaczenie odpowiedzi na wymuszenie u(t)=wt:





2. Przykład układu regulacji poziomu cieczy w zbiorniku




Schemat blokowy:




Transmitancja układu:




Wyznaczenie charakterystyki statycznej:




• Charakterystyki częstotliwościowe

1. Transmitancja widmowa. Rodzaje charakterystyk częstotliwościowych.

Jeżeli na wejście elementu lub układu liniowego stabilnego wprowadzone zostanie wymuszenie sinusoidalne o stałej częstotliwości, to na wyjściu, po zaniknięciu przebiegu przejściowego, ustali się odpowiedź sinusoidalna o tej samej częstotliwości, ale w ogólnym przypadku, o innej amplitudzie i fazie niż wymuszenie. Na rysunku przedstawiono przypadek, gdy odpowiedź jest przesunięta w kierunku ujemnym względem wymuszenia, tzn.
.




Rysunek 4.1 Przechodzenie sygnału sinusoidalnego przez element liniowy

Charakterystyki częstotliwościowe określają zachowanie się elementu lub układu przy wszystkich częstotliwościach wymuszenia, podając stosunek amplitud odpowiedzi do wymuszenia oraz przesunięcie fazowe między odpo­wiedzią a wymuszeniem jako funkcje częstotliwości.

Teoretyczną podstawę charakterystyk częstotliwościowych stanowi transmitancja widmowa, którą można uważać za szczególny przypadek transmitancji operatorowej:

( 4.1)

i którą definiuje się często:

( 4.2)

gdzie y jest wartością zespoloną składowej ustalonej odpowiedzi układu wywo­łanej wymuszeniem sinusoidalnym, a x wartością zespoloną tego wymuszenia. Podstawiając za x i y parę odpowiadających sobie funkcji harmonicznych zapisanych w postaci wykładniczej ^*):


,
,

otrzymamy:

( 4.3)

gdzie:
jest modułem charakterystyki częstotliwościowej (stosunkiem amplitud odpowiedzi do wymuszenia).

Wykres
nazywa się charakterystyką amplitudowo-fazową lub zespoloną charakterystyką częstotliwościową, lub wykresem transmitancji widmowej. Wykres ten jest miejscem geometrycznym końców wektorów, których długość reprezentuje stosunek amplitud odpowiedzi do wymuszenia, a kąt - prze­sunięcie fazowe między odpowiedzią a wymuszeniem. Zamiast wykresu
można podać oddzielne wykresy jego współrzędnych biegunowych
i
. Nazywają się one:


- amplitudowa charakterystyka częstotliwościowa (wykres

modułu charakterystyki częstotliwościowej),


- fazowa charakterystyka częstotliwościowa (wykres argu­mentu charakterystyki częstotliwościowej).

Ponieważ
jest funkcją zespoloną, można rozłożyć ją na część rzeczy­wistą i część urojoną [współrzędne prostokątne
]:

( 4.4)

gdzie


- część rzeczywista



- część urojona


Z rysunku 4.2 wynikają następujące związki, bardzo istotne przy anali­tycznym wyznaczaniu charakterystyk częstotliwościowych:

	( 4.5)
	( 4.6)




Rysunek 4.2 Charakterystyki częstotliwościowe: a) charakterystyka amplitudowo-fazowa (zespo­lona charakterystyka częstotliwościowa), bl) charakterystyka amplitudowa, b2) charakterystyka fazowa

Charakterystyki amplitudowa i fazowa są przedstawiane zwykle we współ­rzędnych logarytmicznych i nazywają się wówczas:


— logarytmiczna charakterystyka amplitudowa


— logarytmiczna charakterystyka fazowa.




Rysunek 4.3 Współrzędne logarytmicznych charakterystyk amplitudowej L(ω) i fazowej ϕ(ω)

Współrzędne tych charakterystyk przedstawiono na rys. 4.3. Podziałka osi ω jest logarytmiczna, dekadowa, tzn. każdej dekadzie ω przyporządkowany jest odcinek o jednakowej długości na osi co. Podziałką osi L(ω) jest liniowa, skalo­wana w decybelach (dB). Często na tej osi odkłada się bezpośrednio stosunek amplitud M(ω). Podziałka osi M(ω) jest wówczas logarytmiczna.

Wartości
obliczamy według wzoru:

( 4.7)

2. Logarytmiczne charakterystyki amplitudowa i fazowa elementu inercyjnego pierwszego rzędu

Transmitancja widmowa elementu inercyjnego pierwszego rzędu jest nastę­pująca:

( 4.8)

Części rzeczywistą i urojoną G(jω) wyznaczamy mnożąc licznik i mianownik transmitancji przez liczbę zespoloną sprzężoną z mianownikiem:




Stąd:

,

( 4.9)

Logarytmiczna charakterystyka amplitudowa:




( 4.10)




Rysunek 4.4 Charakterystyka amplitudowo-fazowa G(jω) elementu inercyjnego pierwszego rzędu

Wykres L(ω) można uprościć, pomijając we wzorze (4.10) dla
składnik
, a dla
składnik
pod pierwiastkiem. Otrzymamy wów­czas tzw. asymptotyczną logarytmiczną charakterystykę amplitudową:

dla



dla



Pulsacja (częstotliwość kątowa)
nazywana jest pulsacją sprzęga­jącą i oznacza się ją symbolem
lub
.




Rysunek 4.5 Logarytmiczna charakterystyka amplitudowa elementu inercyjnego pierwszego rzędu dla k = 10: a — rzeczywista, b — asymptotyczna

Wykresy rzeczywistej i asymptotycznej charakterystyki amplitudowej po­dano na rys. 4.5. Nachylenie opadającego odcinka charakterystyki asympto­tycznej (dla
) określimy obliczając przyrost
na dekadę:

( 4.11)

W tablicy 4.1 zestawiono kilka wartości błędu popełnianego przy operowaniu charakterystyką asymptotyczną, a na rys. 4.6 przedstawiono wykres tego błędu jako funkcję
.

Tablica 4.1
	0,1	0,25	0,4	0,5	1,0	10	2,5	4,0	10,0
	0,04	0,32	0,65	1,0	3,01	1,0	0,65	0,32	0,04




Rysunek 4.6 Wykres błędu


W praktyce, przy obliczeniach wstępnych posługujemy się charakterysty­kami asymptotycznymi, a przy obliczeniach dokładnych charakterystykami rzeczywistymi, które otrzymujemy przez dodanie wykresu przedstawionego na rys. 4.8 (lub poprawek według tablicy 4.1) do charakterystyk asymptotycznych.

Logarytmiczna charakterystyka fazowa:




Wykres
podano na Rysunek 4.7. Na tym samym rysunku liniami kreskowa­nymi zaznaczono stosowane niekiedy aproksymacje trójodcinkowe krzywej
.




Rysunek 4.7 Logarytmiczna charakterystyka fazowa elementu inercyjnego pierwszego rzędu

3. Charakterystyka amplitudowo-fazowa oraz logarytmiczne charakterystyki amplitudowa i fazowa elementu różniczkującego rzeczywistego

Transmitancja widmowa rzeczywistego elementu różniczkującego ma postać:

( 4.12)

Części rzeczywista i urojona
:

,

( 4.13)

Wykres
ma postać półokręgu o średnicy l, ze środkiem w punkcie
(rys. 4.8).

( 4.14)




( 4.15)




Rysunek 4.8 Charakterystyki rzeczywistego elementu różniczkującego: a) charakterystyka amplitudowo-fazowa, b) logarytmiczne charakterystyki amplitudowa i fazowa

Wykresy
i
przedstawiono powyżej. Liniami ciągłymi zazna­czono charakterystyki rzeczywiste, a liniami kreskowanymi charakterystyki asymptotyczne, przy czym asymptotyczną charakterystykę fazową naryso­wano zgodnie z aproksymacją
. Wszystkie uwagi dotyczące dokładności charakterystyk asymptotycznych, a w szczególności wy­kresy błędu podane na rys. 4.6, pozostają ważne.

4. Charakterystyka amplitudowo-fazowa oraz logarytmiczne charakterystyki amplitudowa i fazowa elementu drugiego rzędu

Zbadamy charakterystyki elementu o transmitancji widmowej:

( 4.16)

Gdzie: k — współczynnik proporcjonalności


— pulsacja oscylacji własnych elementu

ζ — zredukowany (względny) współczynnik tłumienia

Element ten omówiono w p. 2.6, zależnie od wartości ζ jego odpowiedzi skokowe mogą być oscylacyjne lub aperiodyczne.

Części rzeczywista i urojona:

,

( 4.17)




Rysunek 4.9 Charakterystyka amplitudowo-fazowa
elementu drugiego rzędu dla różnych wartości ζ

Wykres
przedstawiono na rys. 4.9. Wykres ten rozpoczyna się zawsze w punkcie
, ponieważ:


,


a kończy się w punkcie
, ponieważ:


,


Kształt krzywej zależy od wartości edukowanego współczynnika tłumienia ζ.

Logarytmiczna charakterystyka amplitudowa:

( 4.18)

( 4.19)

Wykresy
dla kilku wartości ζ podano na rys. 4.10. Dla
charakte­rystyka
osiąga maksimum przy
, przy czym wartość tego-maksimum jest tym większa, im mniejszą wartość ma zredukowany współczynnik tłumienia ζ. Dla ζ=0 maksimum występuje przy
i ma war­tość nieskończenie wielką. Wykresy na rys. 4.10 i 4.11 obejmują obszar wartości ζ charakterystyczny dla elementów oscylacyjnych (ζ<1). Wartością graniczną jest ζ=1, kiedy element przestaje być oscylacyjny (odpowiedź skokowa jest wtedy aperiodyczna, jest to przypadek szczególny - przebieg aperiodyczny najkrócej trwający).




Rysunek 4.10 Logarytmiczna charakterystyka amplitudowa elementu oscylacyjnego, dla



Ze względu na nieregularny kształt charakterystyk
aproksymacja za pomocą charakterystyk asymptotycznych jest stosowana tylko przy oblicze­niach wstępnych, dla
(wówczas błąd
jest mniejszy od 6 dB. Asymptotyczną charakterystykę amplitudową oraz wykres błędu
przed­stawiono na rys. 4.11.







Rysunek 4.11 a) asymptotyczna charakterystyka amplitudowa elementu oscylacyjnego (dla
) b) wykres błędu


Logarytmiczna charakterystyka fazowa:

( 4.20)


( 4.21)


Wykresy
podano na rys. poniżej. Przy zmianie ω od 0 ∞ przesunięcie fazowe zmienia wartość od 0 do -180⁰, przy czym dla
wynosi zawsze -90⁰.




Rysunek 4.12 Logarytmiczna charakterystyka fazowa elementu oscylacyjnego

Tablica charakterystyk częstotliwościowych wszystkich elementów podstawowych przedstawiona została na str. 53.




CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE ELEMENTÓW PODSTAWOWYCH
L.p.	Transmitancja operatorowa	Wykres charakterystyki amplitudowo-fazowej (transmitancji widmowej)		Wykresy logarytmicznych charakterystyk amplitudowej i fazowej
1
2
3
4
5
6




5. Logarytmiczne charakterystyki częstotliwościowe szeregowego połączenia elementów

Rozważmy szeregowe połączenie n elementów, których transmitancje widmowe oznaczymy
.




Na podstawie wzoru (4.3) poszczególne transmitancje wyrazimy w postaci:




Transmitancja widmowa szeregowego połączenia elementów równa się iloczynowi transmitancji tych elementów:




gdzie:







Logarytmiczna charakterystyka amplitudowa, na podstawie (4.7)







gdzie
są logarytmicznymi charakterystykami amplitudowymi kolejnych elementów.

Logarytmiczne charakterystyki amplitudową
i fazową
szeregowego połączenia elementów będziemy więc wyznaczać zgodnie ze wzorami, sumując odpowiednie charakterystyki kolejnych elementów.

• UKŁADY LINIOWE DYSKRETNE (IMPULSOWE)

1. Pojęcia podstawowe

Układami dyskretnymi regulacji automatycznej nazywamy układy, w których informacja jest przekazywana za pomocą sygnałów dyskretnych (nieciągłych) w poziomie lub w czasie.

Kwantowaniem sygnału nazywa się przekształcanie sygnału ciągłego w dyskretny. Kwantowanie sygnału w czasie nazywa się próbkowaniem.

Układy z kwantowaniem sygnału w czasie nazywa się układami impulsowymi. W układach tych informacja przekazywana jest tylko w dyskretnych chwilach, tzw. chwilach impulsowania.

W układach impulsowych liniowych wartości sygnałów w dyskretnych chwilach czasu są związane zależnościami liniowymi.

Modulacją impulsów nazywa się przedstawienie funkcji ciągłej w postaci ciągu impulsów, których amplituda, szerokość lub położenie wewnątrz okresu próbkowania - zwanego też okresem impulsowania T_i - zależą od wartości tej funkcji w dyskretnych chwilach czasu t = nT_i (n=0,1,2,...).

Układ z modulacją amplitudy impulsów o liniowej części ciągłej jest układem liniowym, a układ z modulacją szerokości impulsów - nieliniowym. Jeżeli jednak największa szerokość impulsu jest o wiele mniejsza od okresu impulsowania, to układ taki (o liniowej części ciągłej) można w przybliżeniu traktować jak układ liniowy.

Schemat blokowy jednowymiarowego układu impulsowego regulacji automatycznej można przedstawić następująco:




Impulsator idealny jest elementem (nierealizowalnym ściśle fizycznie) przekształcającym

funkcję ciągłą czasu e(t) w ciąg impulsów Diraca

e(0)δ(t), e(T_i)δ(t-T_i), e(2 T_i )δ(t-2 T_i), …

przesuniętych względem siebie o okres impulsowania T_i, o polach impulsów równych wartościom funkcji e(t) w chwilach impulsowania t=nT_i (n=0, l, 2, ...).

Proces modulacji realizowany przez impulsator idealny jest równoważny (matematycznie) pomnożeniu funkcji e(t) przez tzw. funkcję impulsowania S(t)




Biorąc pod uwagę, że e(t)=0 dla t<0, można napisać







Ciąg impulsów prostokątnych (a) lub funkcję schodkową (b) można traktować jako przykładowe odpowiedzi układów zwanych elementami formującymi, na wymuszenia w postaci ciągu impulsów Diraca.





Impuls prostokątny g(t) o amplitudzie jednostkowej i szerokości t można zapisać:







Odpowiedź układu o transmitancji G(s) na wymuszenie w postaci impulsu δ(t) ma postać impulsu prostokątnego g(t), a na wymuszenie w postaci ciągu impulsów Diraca

f₁(0)δ(t), f₁(T_i)δ(t-T_i), f₁(2T_i)δ(t-2T_i)

postać ciągu impulsów prostokątnych f₁(t) - rys. a)

W przypadku szczególnym gdy τ=T_i z ciągu impulsów prostokątnych otrzymujemy funkcję schodkową
f₂(t), a gdy τ→0 - funkcję dyskretną.

Dla zapisu przebiegów występujących w układach impulsowych stosuje się funkcje dyskretne lub funkcje schodkowe. W punktach nieciągłości wartość funkcji schodkowej jest równa jej prawostronnej granicy w tym punkcie.

Dalej rozpatrywać będziemy funkcje dyskretne dla T_i=1

Różnica pierwszego rzędu Δf(m) funkcji dyskretnej f(n) w punkcie n=m jest analogiem pochodnej funkcji ciągłej:

( 5.1)

Różnica k-tego rzędu:




Dla k=2:


Suma ϕ(m) funkcji dyskretnej f(n) jest analogiem całki funkcji ciągłej:

( 5.2)

Liniowe równania różnicowe

Liniowym równaniem różnicowym k-tego rzędu o stałych współczynnikach a_k, a_k-1, … , a₀ nazywamy równanie o postaci:




Gdy f(n)=0 - równanie jednorodne, gdy f(n)≠0 - niejednorodne.

Warunki początkowe:




Wprowadzając nowe zmienne:





możemy podane równanie różnicowe zapisać w postaci układu równań różnicowych pierwszego rzędu: x(n+1)=Ax(n)+Bf(n)

przy czym:






Przekształcenie Z i transmitancja dyskretna

Przekształceniem (transformacją) Z nazywamy przekształcenie określone wzorem:

( 5.3)

przyporządkowujące funkcji dyskretnej f(n) powstałej z dyskretyzacji danej funkcji ciągłej f(t) (f(n)=0 dla n<0) funkcję F(z) zmiennej zespolonej z. Nazwy:

f(t) - oryginał ciągły

f(n) - oryginał dyskretny

F(z) - transformata Z funkcji f(n)

F(z) istnieje jeżeli szereg (5.3) jest zbieżny. Transformaty Z istnieją dla funkcji dyskretnych, które rosną nie szybciej od funkcji wykładniczych.

Np. dla funkcji dyskretnych f(n)=n! oraz
(a≠0) transformaty Z nie istnieją.

Tablicę transformat F(z) kilkunastu częściej występujących funkcji przedstawiono na następnej stronie.

Twierdzenie o wartości początkowej f(0) funkcji dyskretnej f(n):

( 5.4)

Twierdzenie o wartości końcowej f(co) funkcji dyskretnej f(n):

( 5.5)

Wzory (5.4) i (5.5) można również zapisać w postaci:

	( 5.6)
	( 5.7)

Transmitancją dyskretną G(z) układu nazywamy stosunek transformaty Z odpowiedzi Y(z) do transformaty Z wymuszenia U(z) przy założeniu, że warunki początkowe są zerowe.

( 5.8)

Dyskretną charakterystyką (odpowiedzią) impulsową g(n) nazywamy dyskretną odpowiedź układu impulsowego na wymuszenie w postaci funkcji Diraca przy zerowych warunkach początkowych. Pomiędzy dyskretną charakterystyką impulsową g(n) i ciągłą charakterystyką impulsową g(t) układu impulsowego zachodzi zależność:

( 5.9)

Transmitancja dyskretna G(z) jest transformatą Z dyskretnej charakterystyki impulsowej g(n) tego układu

( 5.10)

Dyskretną charakterystyką (odpowiedzią) skokową h(n) nazywamy dyskretną odpowiedź układu impulsowego na wymuszenie l(t) przy zerowych warunkach początkowych

( 5.11)

gdzie h(t) - ciągła charakterystyka skokowa układu impulsowego.

TABLICA TRANSFORMAT
Funkcja ciągła f(t)	Funkcja dyskretna f(n)	Transformata F(z)	Promień zbieżności szeregu
1(t)
A1(t)
t1(t)

• Regulatory przemysłowe

1. Regulator PID

Usytuowanie regulatora w układzie regulacji automatycznej pokazano na poniższym rysunku. Sygnałem wejściowym jest odchylenie regulacji e=y-w, a wyjściowym - sygnał sterujący u.




Podstawowe rodzaje regulatorów o działaniu ciągłym lub quasi-ciągłym realizują funkcje PID (działania: P - proporcjonalne, I - całkujące, D - różniczkujące).

Dla liniowych regulatorów o działaniu ciągłym algorytm PID ma postać:

1. idealny




2. rzeczywisty




gdzie:
- wzmocnienie proporcjonalne


- czas zdwojenia (stała czasowa akcji całkującej)


- czas wyprzedzenia (stała czasowa akcji różniczkującej)


- wzmocnienie dynamiczne (najczęściej 4÷10)

Jeżeli działanie PID realizowane jest na drodze cyfrowej (w regulatorze mikroprocesorowym lub komputerze), to uzyskuje się je za pomocą algorytmu pozycyjnego lub przyrostowego, ale dla operatora efekt końcowy jest taki sam.

Tablica odpowiedzi skokowych regulatorów PID przedstawiona jest na następnej stronie.

W konkretnych rozwiązaniach konstrukcyjnych regulatorów przyrządy te realizują - oprócz algorytmów PID - wiele dodatkowych funkcji. W szczególności w regulatorach wyznaczane są zawsze odchyłki regulacji e=y-w lub e=w-y (działanie proste lub odwrotne) oraz generowany jest wewnętrzny sygnał wartości zadanej w.




Rodzaj regulatora	Transmitancja i równanie charakterystyki skokowej	Charakterystyka skokowa		Rodzaj regulatora	Transmitancja i równanie charakterystyki skokowej	Charakterystyka skokowa
P				PD rzeczywisty
I				PID	gdzie: jest funkcją Diraca
PI				PID rzeczywisty
PD	gdzie: jest funkcją Diraca




1. Regulatory mikroprocesorowe

Są urządzeniami programowalnymi o bardzo szerokich możliwościach funkcjonalnych, o wielu wejściach i wyjściach, z kilkoma blokami PID, z możliwością kształtowania wyjściowych sygnałów sterujących quasi-ciągłych, dwustawnych (2P) lub trójstawnych (3P).

Przykładowa struktura funkcjonalna regulatora mikroprocesorowego EFTRONIK X pokazana została niżej.




W strukturze tej można wyróżnić 6 warstw, w których znajdują się 22 programowalne bloki funkcjonalne (w wersji 4-wejściowej) nazywane także blokami programowalnymi lub krótko blokami.

Oznaczenia: AI - wejścia analogowe (Analog Input)

DI - wejście dyskretne (Digital Input)

AO - wyjście analogowe (Analog Output)

DO - wyjście dyskretne (Digital Output)

H - wartość górna (High)

L - wartość dolna (Low)

Wejścia bloków w warstwie 1 są bezpośrednio połączone z wyjściami przetworników a/c, a wyjścia bloków w warstwie 5 z wejściami przetworników c/a, w związku z czym każdy wejściowy sygnał analogowy musi przechodzić przez warstwę 1, a uzyskanie analogowego sygnału wyjściowego musi odbywać się przez warstwę 5.

Oznaczenia poszczególnych bloków są dwucyfrowe: pierwsza cyfra oznacza numer warstwy, a druga kolejny numer bloku w danej warstwie.

Każdy blok może realizować jeden z algorytmów, wybrany w trakcie programowania, z biblioteki algorytmów dla danej warstwy.

Wewnątrz danej struktury funkcjonalnej wszystkie operacje realizowane są na sygnałach cyfrowych, których znormalizowany zakres zmienności wynosi 0…1.

PRZYKŁADY Z BIBLIOTEKI ALGORYTMÓW EF-X
1	2	3	4
1-1-01	0000 ...0127 [s]	Tf - stała filtracji (stalą czasowa członu inercyjnego 1-go rzędu nastawiana od 0 do 127 s).
2
3*
4*
5**
6**
7**
8**
1-1-02			-999 ... 9999	PV min. - Wartość minimalna wielkości mierzonej w jednostkach fizycznych
2
3*
4*
5**
6**
7**
8**
1-1-03			-999 ... 9999	PV max. - Wartość maksymalna wielkości mierzonej w jednostkach fizycznych
2
3*
4*
5**
6**
7**
8**
1-1-08		Algorytmy funkcji przetwarzania sygnału:
2	0000	-Y=X;
3*	0001	-Y = K1*X+K2;
4*	0002	-Y=K1*(1-X)+K2;
5**	0003	-Y=K1*SQRT(X)+K2;
6**	0004	-Y=Kl*X^2-fK2;
7**	0005	-Y=K1*SQRT(X^3)+K2;
8**	0006	- REZERWA;
	0007	-Y = SQRT(K1*X+K2);
	0008	-Y = K1*100%;
	0009	- linearyzacja charakterystyki termorezystora PT100
3-1-05		Kod algorytmu:
2	0000	-.Y- Xl;
3	0002	- Y = K2+(K1*X1+X2)/(K1+1);
4	0003	- Y = K2+(Kl*Xl-X2+2)/(Kl+l);
5	0004	-Y = K1*X1*X2+K2;
6	0005	-Y = K1*X1/X2+K2 X2>X1;
7	0006	- Y = max (X1,X2) wybierak max ;
	0007	- Y = min (Xl,X2) wybierak min ;
	0008	- Y=K1*Xl+X2+K2;
		- Y = K1*X1-X2+K2;
4-1-08		Algorytmy regulacji:
2	0001	-PID-
3*	0002	- PID RATIO;
4*	0003	-PID AUTO RATIO;
5**	0004	-PID AUTO BLAS;
6**	0005	- P z nastawnym punktem pracy (4 - x - 09);
7**	0006	-PID DDCCM;
	0007	-PID DDC CMA;
	0008	-PID DDCSPC;
	0009...0010	- REZERWA;

2. Wykorzystanie sterowników PLC do regulacji

Większość sterowników, oprócz możliwości realizacji sterowania sekwencyjnego, ma także algorytmy PID w swej bibliotece, co pozwala tworzyć układy automatyki o zróżnicowanych zadaniach sterowania, zawierających m.in. klasyczne obwody regulacji.

3. Regulacja lub sterowanie w trybie „soft-control”

Niektóre firmy proponują już technikę sterowania polegającą na realizacji wszystkich funkcji regulatora lub sterownika przez komputer.

Technika ta ma jeszcze ograniczony zasięg, gdyż w rozwiązaniach przemysłowych najistotniejsza jest niezawodność działania i trzeba dysponować urządzeniami mogącymi przejąć sterowanie w przypadku awarii komputera.

• Wymagania stawiane układom automatyki

1. Stabilność

1. Definicja i warunki stabilności układów liniowych (ciągłych, stacjonarnych)

Stabilność jest cechą układu, polegającą na powracaniu do stanu równowagi stałej po ustaniu działania zakłócenia, które wytrąciło układ z tego stanu.




Rysunek 7.1 Schemat zamkniętego układu regulacji automatycznej: O - obiekt regulacji, R - regulator

Zamknięty układ liniowy (rys 7.1) będziemy więc uważać za stabilny, jeżeli przy każdej skończonej wartości zakłócenia z(t) i wartości zadanej w(t) oraz dla dowolnych warunków początkowych sygnał wyjściowy y(t) dążyć będzie do skończonej wartości ustalonej dla czasu
dążącego do nieskończoności. Niekiedy precyzuje się dodatkowo, że gdy po zaniknięcie zakłócenia układ powraca do tego samego stanu równowagi co zajmowany poprzednio, wówczas jest stabilny asymptotycznie. Przykłady przebiegów y(t) występujących w układach stabilnych i niestabilnych pokazano na rys 7.2.

Jeżeli układ zamknięty opisany jest za pomocą liniowego równania różniczkowego

( 7.1)

lub odpowiadającej mu transmitancji operatorowej:

( 7.2)

to czasowy przebieg sygnału wyjściowego t(y) po dowolnym zakłóceniu o wartości skończonej opisany jest wzorem o następującej postaci ogólnej^*):

( 7.3)

gdzie s_k są pierwiastkami równania charakterystycznego układu zamkniętego (mianownika transmitancji operatorowej równego zeru)

( 7.4)

a z_st jest wartością zakłócenia. Zakłócenie z(t) może być wprowadzone w dowolnym miejscu układu, w szczególności zakłóceniem może być również zmiana wartości zadanej w(t).




Rysunek 7.2 Przebiegi przejściowe: a) w układach stabilnych, b) w układach niestabilnych

Koniecznym i dostatecznym warunkiem stabilności asymptotycznej układu jest, aby pierwiastki równania charakterystycznego układu zamkniętego miały ujemne części rzeczywiste.

( 7.5)

Wówczas

( 7.6)

gdzie A₀ jest współczynnikiem o wartości skończonej i układ jest stabilny w podanym uprzednio sensie. Składowe przejściowe wielkości wyjściowej zanikają wówczas do zera przy t→∞, a pozostaje jedynie składowa ustalona, określona statycznymi własnościami układu.

Przypadki pierwiastków zespolonych oraz wielokrotnych omówione są w [1].

2. Kryterium Hurwitza

Aby wszystkie pierwiastki równania charakterystycznego^*)

( 7.7)

miały części rzeczywiste ujemne, muszą być spełnione następujące warunki:

1. wszystkie współczynniki równania (7.7) istnieją i są większe od zera (jest to warunek konieczny, ale nie dostateczny)




2. podwyznaczniki Δ_i, od i=2 do i=n-1, wyznacznika głównego Δ_n są większe od zera. Wyznacznik Δ_n, utworzony ze współczynników równania (7.7) ,ma n wierszy i n kolumn:




Podwyznaczniki Δ_i mają postać:




Przedstawiono praktyczne sformułowanie kryterium. W oryginalnym sformułowaniu Hurtwitza wymaga się, aby wszystkie podwyznaczniki Δ_i, tzn. Od i=1 do i=n, były większe od zera. Ponieważ jednak zachodzi:




zatem w przypadku spełnienia warunku a.) sprawdzenie dodatniości podwyznacznika Δ₁ i wyznacznika głównego Δ_n jest niecelowe.

3. Kryterium Michajłowa

Kryterium Michajłowa pozwala na wykreślne sprawdzenie stabilności układu regulacji automatycznej. Podane zostanie wyprowadzenie tego kryterium.

Równanie charakterystyczne układu zamkniętego można przedstawić w postaci:

( 7.8)

gdzie s₁, s₂,… s_n są pierwiastkami tego równania.

Jako zmienną niezależną s możemy wybrać m.in. zbiór punktów położonych na osi liczb urojonych, wówczas s = jω i lewa strona równania charakterystycznego przyjmuje następującą postać:

( 7.9)

Każdy z czynników (jω - s_k) można przedstawić graficznie jako różnicę dwóch wektorów, wektora jω oraz wektora s_k przedstawiającego k-ty pierwiastek równania charakterystycznego.

Funkcję N(jω), jako funkcję zmiennej zespolonej, można przedstawić w postaci wykładniczej:




gdzie:

oznacza moduł funkcji N(jω), natomiast

( 7.10)

oznacza argument funkcji N(jω).

Jeżeli przyjmujemy, że spośród n pierwiastków równania charakterystycznego (n-m) pierwiastków znajduje się w lewej półpłaszczyźnie, a m pierwiastków w prawej, to zmiana argumentu N(jω) przy zmianie ω od -∞ do +∞ wyniesie:

( 7.11)

Ponieważ warunkiem stabilności jest, aby wszystkie pierwiastki równania charakterystycznego miały ujemne części rzeczywiste, układ będzie więc stabilny, jeżeli
, tzn. jeżeli

( 7.12)

Warunek ten można uprościć, jeżeli wykażemy, że N(jω) jest krzywą symetryczną względem osi liczb rzeczywistych. Podstawiając w równaniu (7.7) s = jω zapiszemy lewą stronę w postaci:

( 7.13)

Cześć rzeczywista i urojona N(jω) wynoszą:

( 7.14)

Oraz

,

( 7.15)

Wystarczy więc zbadać przebieg jednej z gałęzi krzywej N(jω), dla pulsacji zmieniającej się od 0 do +∞.

Kryterium Michajłowa można sformułować ostatecznie jak następuje: układ regulacji automatycznej jest stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy zmiana argumentu krzywej N(jω) przy zmianie pulsacji od 0 do +∞ wynosi nπ/2, gdzie n oznacza stopień równania charakterystycznego.

( 7.16)

Krzywą N(jω) nazywa się niekiedy krzywą charakterystyczną lub hodografem Michałowa.




Rysunek 7.3 Krzywe charakterystyczne układów: a) stabilnych, b) niestabilnych

4. Kryterium Nyquista

Kryterium Nyquista ma duże znaczenie praktyczne, ponieważ pozwala badać stabilność układu zamkniętego na podstawie przebiegu charakterystyki częstotliwościowej układu otwartego, którą można wyznaczyć zarówno analitycznie, jak i doświadczalnie.

Rozpatrzmy układ liniowy o schemacie blokowym przedstawionym poniżej:




Rysunek 7.4 Schemat blokowy układu

Transmitancja układu otwartego wynosi

( 7.17)

Przedstawiając tę transmitancję w postaci ilorazu wielomianów zmiennej s otrzymamy:

( 7.18)

przy czym

( 7.19)

jest równaniem charakterystycznym układu otwartego; zakładamy, że stopień tego równania równa się n.

Transmitancja układu zamkniętego wynosi

( 7.20)

Równanie charakterystyczne układu zamkniętego

( 7.21)

jest również stopnia n, ponieważ stopień M_O(s) nie jest nigdy większy od stopnia N_O(s).

Zbadamy zmianę argumentu funkcji

( 7.22)

( 7.23)

Przypadek 1. Układ otwarty jest stabilny. Równanie charakterystyczne układu otwartego ma wszystkie pierwiastki w lewej półpłaszczyźnie zmiennej s. Zgodnie z kryterium Michajłowa:




Układ zamknięty będzie stabilny, jeżeli




Warunek stabilności układu zamkniętego można więc zapisać

( 7.24)

Oznacza to, że wykres krzywej
nie może obejmować początku układu współrzędnych (musi się zaczynać i kończyć na jednej prostej wychodzącej z początku układu). Ten sam warunek odniesiony do charakterystyki częstotliwościowej (amplitudowo-fazowej) układu otwartego G_O(jω) będzie sformułowany jak następuje:

Jeżeli otwarty układ regulacji automatycznej jest stabilny i jego charakterystyka amplitudowo-fazowa G_O(jω) dla pulsacji ω od 0 do +∞ nie obejmuje punktu (-1,j0), to wtedy i tylko wtedy po zamknięciu będzie on również stabilny.

Przykładowe wykresy krzywych
oraz G_O(jω) układów stabilnego i niestabilnego (po zamknięciu) zestawiono na rysunku 7.5:




Rysunek 7.5 Charakterystyki układów, które po zamknięciu będą: a) stabilne, b) niestabilne

W przypadku złożonego kształtu krzywych G_O(jω) wygodnie jest posługiwać się wynikającą bezpośrednio z podanego kryterium tzw. „regułą lewej strony”, która mówi, że układ zamknięty jest stabilny wtedy, kiedy punkt (-1,j0) znajduje się w obszarze leżącym po lewej stronie charakterystyki G_O(jω), idąc w stronę rosnących ω. Zastosowanie tej reguły można sprawdzić na przykładzie charakterystyk podanych na rys. 7.6.




Rysunek 7.6 Charakterystyki G_O(jω) układów, które po zamknięciu będą: a) stabilne, b) niestabilne

Przypadek układów astatycznych, których charakterystyki pokazano w dolnej części rys. 7.6, wymaga bliższego wyjaśnienia. Jeżeli układ otwarty zawiera np. jeden element całkujący, to charakterystyka G_O(jω) dla ω = 0 zaczyna się w punkcie o współrzędnej urojonej -j∞ i mogą powstać wątpliwości, czy charakterystyka ta obejmuje punkt (-1,j0), czy nie. Transmitancja operatorowa układu otwartego ma wówczas postać




Transmitancja widmowa G_O(jω) jest odwzorowaniem osi liczb urojonych płaszczyzny zespolonej s za pomocą funkcji G_O(s). W danym przypadku charakterystyka G_O(jω) ma dla pulsacji ω = 0 punkt nieciągłości; amplituda przyjmuje wartość nieskończenie wielką, a faza zmienia się skokowo o 180^o.

Jeżeli zaliczymy biegun zerowy transmitancji G(s) do lewej półpłaszczyzny, to możemy obejść go półokręgiem o nieskończenie małym promieniu r, zgodnie z rys. 7.7a. Dla wartości s bliskich zera mamy wtedy:




przy czym
, a transmitancja G_O(s) przyjmuje postać:




Ponieważ iloraz wielomianów
dla
ma stałą wartość k, zatem:




przy czym R→∞. Jeżeli teraz wektor
zmienia swój argument od 0 do π/2 (interesują nas dodatnie wartości ω), to G_O(s) zmienia argument od 0 do -π/2 po okręgu o promieniu R.




Rysunek 7.7 Odwzorowanie osi jω z wyłączeniem bieguna zerowego dla układu astatycznego o transmitancji


Przypadek 2. Układ otwarty jest niestabilny. Równanie charakterystyczne układu otwartego ma (n-m) pierwiastków w lewej półpłaszczyźnie zmiennej s oraz m pierwiastków w prawej półpłaszczyźnie. Zgodnie z wzorem (7.11):

lub, ponieważ N₀(jω) jest krzywą symetryczną względem osi liczb rzeczywistych,




Układ zamknięty będzie stabilny, jeżeli




Warunek stabilności układu zamkniętego można więc zapisać

( 7.25)

Warunek ten, odniesiony do charakterystyki amplitudowo-fazowej układu otwartego G0(jω), będzie sformułowany jak następuje:

Jeżeli otwarty układ regulacji automatycznej jest niestabilny i ma m pierwiastków swego równania charakterystycznego w prawej półpłaszczyźnie zmiennej s, to po zamknięciu będzie on stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy charakterystyka amplitudowo-fazowa układu otwartego dla pulsacji ω od 0 do +∞ okrąża m/2 razy punkt (-1,j0) w kierunku dodatnim.

Zastosowanie kryterium Nyquista w podanym ostatnio sformułowaniu wymaga więc znajomości liczby pierwiastków równania charakterystycznego układu otwartego z dodatnią częścią rzeczywistą, co bardzo ogranicza jego znaczenie.

Omawiany przypadek jest bardzo rzadki, gdyż układy automatyki spotykane w praktyce są zwykle w stanie otwartym stabilne (m=0).

5. Logarytmiczne kryterium Nyquista

Rozważmy dwa układy otwarte, których charakterystyki amplitudowo-fazowe przedstawiono na rys. 7.8.




Rysunek 7.8 Charakterystyki amplitudowo-fazowe
układów otwartych: a - układ zamknięty stabilny, ΔM - zapas modułu, Δφ - zapas fazy, b- układ zamknięty niestabilny

Układ będzie po zamknięciu stabilny, natomiast układ b niestabilny. Z kryterium Nyquista wynika bezpośrednio następujący warunek stabilności:

( 7.26)

Gdzie ω_x jest pulsacją, dla której

( 7.27)

Równocześnie na wykresie określić można tzw. zapas stabilności układu a, w postaci zapasu modułu ΔM i zapasu fazy Δφ.

Jeżeli charakterystyka częstotliwościowa układu otwartego podana jest w postaci logarytmicznych charakterystyk amplitudowej L(ω) i fazowej φ(ω), to warunek (7.26) można zastąpić równoważnym warunkiem:

( 7.28)

Dla prostych układów automatyki o charakterystykach częstotliwościowych typu przedstawionego na rys. 7.8 kryterium stabilności można sformułować następująco:

Zamknięty układ regulacji automatyczne jest stabilny wtedy, gdy logarytmiczna charakterystyka amplitudowa stabilnego układu otwartego ma wartość ujemną przy pulsacji odpowiadającej przesunięciu fazowemu -180^o.




Rysunek 7.9 Wyznaczanie zapasu modułu ΔM i zapasu fazy Δφ na wykresach charakterystyk logarytmicznych

W przypadkach układów o charakterystykach bardziej złożonych, typu przedstawionego na rysunku poniżej, istnieje kilka pulsacji ω_z, dla których charakterystyka fazowa przyjmuje wartość -180^o.




Rysunek 7.10 Przykłady charakterystyk złożonych układów: a) stabilnych, b) niestabilnych

Każdej z tych pulsacji odpowiada jedna wartość logarytmicznej charakterystyki amplitudowej L(ω). Jeżeli układ otwarty jest stabilny, to układ zamknięty stabilny jest wtedy, gdy liczba wartości dodatnich L(ω_x) jest parzysta, a niestabilny - gdy liczba wartości dodatnich L(ω_x) jest nieparzysta. Warunek ten zilustrowano na rys. 7.11, gdzie przedstawiono charakterystyki L(ω) i φ(ω) odpowiadające charakterystykom G_O(jω) z rys. 7.10.




Rysunek 7.11 Logarytmiczne charakterystyki amplitudowa i fazowa układu otwartego: a - układ zamknięty stabilny; b - układ zamknięty niestabilny

6. Stabilność układów dyskretnych

Transmitancję dyskretną układu impulsowego przestawimy w postaci:

( 7.29)

Gdzie:


Równaniem charakterystycznym układu impulsowego (zamkniętego) jest:

( 7.30)

Układ impulsowy nazywamy stabilnym asymptotycznie, jeżeli dyskretne wartości składowej przejściowej odchyłki (uchybu) regulacji w chwilach impulsowania maleją do zera n→∞.

Liniowy stacjonarny układ impulsowy jest stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy pierwiastki z_i równania charakterystycznego M(z)=0 tego układu spełniają warunek:


dla


tzn. leżą na płaszczyźnie zmiennej zespolonej z wewnątrz okręgu o promieniu równym jedności i o środku w początku układu współrzędnych.

Jeżeli dany układ dyskretny opisany jest równaniem stanu:

x(n+1)=Ax(n)+Bu(n)

( 7.31)

przy czym x(n) i u(n) są odpowiednio wektorami stanu i sterowania, a A i B macierzami o stałych, niezależnych od n elementach, to jest on stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy wartości własne z_i macierzy A czyli pierwiastki równania

M(z)=det[zI-A]=0

( 7.32)

leżą na płaszczyźnie zmiennej zespolonej z wewnątrz okręgu o promieniu jedności i środku w początku układu współrzędnych.

Kryteria stabilności Hurwitza i Nyquista liniowych stacjonarnych układów impulsowych.

Można wykazać [Kaczorek], że funkcja


lub


odwzorowuje obszar koła o promieniu r = 1 i środku 0 w lewą półpłaszczyznę płaszczyzny zmiennej zespolonej w.




Zatem dla
zachodzi


Kryterium Hurwitza

Równanie charakterystyczne o postaci

,

( 7.33)

lub po przekształceniu

( 7.34)

ma wszystkie pierwiastki na płaszczyźnie zmiennej zespolonej z wewnątrz okręgu o promieniu r = 1 ( w lewej półpłaszczyźnie w) wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie wyrazy ciągu Δ₁, Δ₂,…, Δ_k są dodatnie





,
, itd.

Warunek konieczny:


dla


Przykład







przy czym:
,
,


warunki Hurwitza:


czyli:










Na płaszczyźnie parametrów a₁, a₀ :




1. Dokładność statyczna

Dokładność tę ocenia się na podstawie wartości odchyłki statycznej e_st. Na wartość e_st wpływają zarówno zakłócenia z na wejściu obiektu, jak i zmiany wartości zadanej w na wejściu regulatora.

Wymaganą dokładność statyczną określa się podając liczbowe wartości dopuszczalnych odchyłek e_st, lub oddzielenie e_{z st} i e_{w st} albo procentowe wartości wskaźników odchyłek e₁ i e₂:


,



gdzie: y_n, w_n - wartości nominalne (punkt pracy), niekiedy maksymalne

Wyliczenie wartości odchyłek statycznych:







Przykład:

		obiekt bez regulatora
		układ z regulatorem P
		układ z regulatorem PI

założenie: w₀=const , w= 0

zatem: e = y, e_st = e_{z st} = y_st

Jeżeli
, to:

1. 
   

2. 
   




3. 
   !!!

Wpływ akcji P I D regulatora na dokładność statyczną:

• gdy k_p rośnie to e_st maleje (uwaga na stabilność!)

• obecność akcji całkującej likwiduje odchyłkę statyczną (e_st = 0 dla każdej skończonej, ustalonej wartości wymuszenia)

• obecność akcji różniczkującej nie ma wpływu na wartość e_st

Przykłady odpowiedzi skokowych:

układ z regulatorem P

układ z regulatorem PI




*Dyskusja: wymuszenia liniowo narastające i inne.

1. Jakość dynamiczna

Można ją ocenić za pomocą szeregu wskaźników.

1. Wskaźniki dotyczące cech odpowiedzi skokowej

1. Czas regulacji t_r

Jest to czas liczony od chwili wystąpienia zakłócenia do chwili, po której odchyłka regulacji e jest stale mniejsza od |Δe|. Często przyjmuje się Δe=5% e_m. Podana definicja jest umowna, oparta na wynikach eksperymentów i obserwacji zachowania układów rzeczywistych.

2. Odchyłka maksymalna e_m

Jest to największa wartość odchyłki e(t), czyli różnicy między y(t) i w(t), występująca podczas przebiegu przejściowego (dla 0 ≤ t ≤ ∞)

3. Przeregulowanie

( 7.35)

gdzie: e₁, e₂ - amplitudy pierwszego i drugiego odchylenia od końcowej wartości ustalonej

Dość często e₁ = e_m, ale zapis
, jest poprawny tylko dla przebiegów w układach z regulatorem astatycznym (z akcją I), a dla pozostałych przypadków przedstawionych w tabl. 7.1, oznaczonych (b) i (c), należałoby napisać:

b)
c)


ponieważ dla b) e_m-e_st=e₁ oraz dla c) e_m-e₂=e₁, więc tylko definicja (7.35) ma charakter ogólny




ODPOWIEDZI SKOKOWE TYPOWYCH UKŁADÓW REGULACJI
Rodzaj przebiegu		Aperiodyczny	Oscylacyjny
Wymuszenie na wejściu obiektu	Regulator astatyczny
		Regulator statyczny
	Wymuszenie na wejściu regulatora	Regulator astatyczny
		Regulator statyczny

Komentarz

do tablicy odpowiedzi skokowych typowych układów regulacji

Rozważany jest układ regulacji o następującej strukturze:




Przypadek 1: zakłócenie skokowe z (w kierunku dodatnim) na wejściu obiektu,


Przebieg odchyłki regulacji e jest wówczas identyczny jak przebieg odchyłki Δy wielkości regulowanej y od jej wartości zadanej w. Odchyłkę Δy=y-w oznacza się często dla uproszczenia zapisu przez y, co jest zgodne z ogólną konwencją operowania tylko odchyłkami od nominalnego punktu pracy. Poziom e=0 oznacza w tym przypadku wartość zadaną w.

Przypadek 2: zakłócenie w na wejściu regulatora (zmiana wartości zadanej!)

Pełny obraz przebiegu sygnałów y,w oraz e, odpowiadający rysunkowi (a) tablicy, przedstawiono poniżej:

	Przyjęto, podobnie jak w pozostałych przypadkach tej części tablicy, że wartość zadana zmieniła się skokowo w kierunku ujemnym, z amplitudą skoku wst
Dla rysunku (b) tablicy przebiegi sygnałów y,w,e przedstawiono obok




1. Wskaźniki częstotliwościowe

1. Pasmo przenoszenia

• definicja: jest to zakres częstotliwości, w którym spełnione są wymagania dotyczące stosunku amplitud wyjścia do wejścia (modułu) oraz przesunięcia fazowego pomiędzy wyjściem a wejściem

• interpretacja na wykresach charakterystyk częstotliwościowych




pasmo przenoszenia: 0 ≤ ω ≤ ω_gr

2. Wskaźnik regulacji (wskaźnik skuteczności regulacji)




Wymagania:
dla zakresu częstotliwości pracy układu, im mniejsza jest wartość
tym skuteczniejsze oddziaływanie regulatora

1. Całkowe wskaźniki jakości regulacji

Miarą jakości regulacji może być wielkość pola pod krzywą odchyłki regulacji. Dąży się do minimalizacji tego pola.












lub




dla układów czasooptymalnych:







• Dobór rodzaju i nastaw regulatorów

1. Wybór rodzaju (typu) regulatora

Regulatory dwustawne (2P) - obiekty statyczne,
, dopuszczalne oscylacje w normalnym trybie pracy (np. proste procesy termiczne, załączanie-wyłączanie).

Regulatory trójstawne (3P) - zespoły wykonawcze z trójstawnym elementem napędowym, np. silnikiem nawrotnym („-1”- w lewo, „0”- stop, „+1”- w prawo) lub z dwoma torami działania, np. w układach klimatyzacyjnych („-1”- chłodzenie, „0”- stop, „+1”- grzanie).

Regulatory ciągłe (P, I, PI, PD, PID) - najszerszy obszar zastosowań, obiekty statyczne i astatyczne,


Regulatory impulsowe - obiekty z dużymi opóźnieniami transportowymi lub zastępczymi,


Regulatory cyfrowe o algorytmach specjalnych, np.:

• minimalnowariancyjne

• predykcyjne

• Smith'a

Najbardziej rozpowszechnione są regulatory ciągłe lub quasi-ciągłe (cyfrowe) o algorytmach P, PI, PID. Przy wyborze jednego z tych algorytmów należy pamiętać o kilku ogólnych zaleceniach:

• akcja całkująca (np. w algorytmach PI, PID) jest niezbędna dla uzyskania odchyłek statycznych bliskich zeru (teoretycznie równych zeru)

• akcja różniczkująca jest zalecana w przypadku obiektów wyższych rzędów (np. procesy termiczne), gdyż pozwala na wytworzenie silnego oddziaływania korekcyjnego regulatora już przy małych odchyłkach regulacji

• regulator PI zapewnia dobrą jakość regulacji tylko przy zakłóceniach o małych częstotliwościach

• regulator PD zapewnia szersze pasmo regulacji niż regulator PI, jednak przy zakłóceniach wolnozmiennych wartości wskaźników jakości regulacji są gorsze

• regulator PID łączy zalety obu poprzednich regulatorów

Wg zaleceń E. Kollmana (Regelungstechnik, 1992), dla procesów o własnościach bliskich bezinercyjnym (np. przepływ), inercyjnych I rzędu lub całkujących właściwe są zwykle regulatory P, PI, niekiedy I, natomiast dla procesów inercyjnych wyższego rzędu lub całkujących z inercją (astatycznych) należy wybierać regulatory PD lub PID.

1. Dobór nastaw regulatora

Wyróżnia się metody analityczne i doświadczalne doboru nastaw, dla regulatorów SISO i MIMO. W niniejszym punkcie omówione będą tylko dwie metody doświadczalne dla regulatorów o jednym wejściu i jednym wyjściu (SISO)

1. Metoda Zieglera-Nicholsa

Stosowana jest wówczas, gdy regulator i inne elementy układu są już zainstalowane, ich funkcjonowanie jest sprawdzone, należy tylko dobrać nastawy regulatora.

Procedura:

1. pozostawić tylko działanie P regulatora (wyłączyć I, D)

2. zwiększać stopniowo k_p aż do osiągnięcia granicy stabilności (oscylacje o stałej amplitudzie)

3. zmierzyć okres oscylacji T_osc (na rejestratorze lub ekranie monitora) i zanotować wartość k_pkr, przy której wystąpiły niegasnące oscylacje

4. zależnie od typu regulatora, należy przyjąć nastawy:

dla regulatora P : k_p=0,5k_pkr

dla regulatora PI : k_p=0,45k_pkr, T_i=0,85T_osc

dla regulatora PID : kp=0,6k_pkr, T_i=0,5T_osc, T_d=0,12T_osc

W układzie z tak dobranymi nastawami regulatora występować będą przebiegi przejściowe oscylacyjne z przeregulowaniem κ=20-30%.

1. Metoda tabelarycznego doboru nastaw po doświadczalnej identyfikacji obiektu

Przyjmuje się, że obiekt identyfikowany był metodą odpowiedzi skokowych, na podstawie których wyznaczono następujące parametry:

- dla obiektów statycznych k_ob, τ, T (model:
)

- dla obiektów astatycznych τ, T (model:
, niekiedy
^(*))

Znając te parametry określa się nastawy regulatora zapewniające określony charakter przebiegów przejściowych na podstawie załączonych tablic. Tablice te pozwalają również wyznaczyć wartości podstawowych wskaźników jakości regulacji: czasu regulacji t_r i odchyłki maksymalnej e_m.




TABLICE DOBORU NASTAW REGULATORÓW

		Obiekty statyczne					Obiekty astatyczne
Rodzaj przebiegu przejściowego	Rodzaj regulatora	Optymalne nastawy regulatora			Wskaźniki przebiegu przejściowego		Optymalne nastawy regulatora			Wskaźniki przebiegu przejściowego
	χ ≈ 0% min tr	P	0,3	−	−	4,5		0,37	−	−	5,5	2,7
		PI	0,6		−	8		0,46	5,75	−	13,2	1,9
		PID	0,95	2,4	0,4	5,5		0,65	5,0	0,23	9,8	1,38
	χ ≈ 20% min tr	P	0,7	−	−	6,5		0,7	−	−	7,5	1,43
		PI	0,7		−	12	0,05+0,95	0,7	3,0	−	15	1,62
		PID	1,2	2,0	0,4	7		1,1	2,0	0,37	12	1,12
		PI	1,0		−	16		1,05	4,3	−	18	1,44
		PID	1,4	1,3	0,5	10		1,37	1,6	0,51	15	1,03

Optymalne nastawy regulatorów PID według Chiena, Hronesa i Reswicka, z wyróżnieniem miejsca wprowadzenia zakłóceń (dla układów z obiektami statycznymi)

Rodzaj regulatora	χ = 0%, minimum tr						χ = 20%, minimum tr
P	0,3	−	−	0,3	−	−	0,7	−	−	0,7	−	−
PI	0,6	4,0	−	0,35	1,2	−	0,7	2,3	−	0,6	1,0	−
PID	0,95	2,4	0,42	0,6	1,0	0,5	1,2	2,0	0,42	0,95	1,35	0,47




• Struktury układów regulacji

Wszystkie struktury przedstawiane są przy założeniu, że własności zespołów wykonawczych i przetworników pomiarowych włączone są do obiektu. Transmitancja obiektu opisuje więc wypadkowe własności połączenia: zespół wykonawczy + obiekt + przetwornik pomiarowy.

Omówiono tylko podstawowe rodzaje struktur złożonych, w projektach przemysłowych układów automatyki spotyka się również rozwiązania bardziej rozbudowane, stanowiące różne połączenia omawianych struktur.

1. Uogólniona struktura jednoobwodowa

W strukturze tej, przedstawionej niżej, uwzględnia się fakt, że transmitancja G_x(s), opisująca związek pomiędzy sterowaniem u i wyjściem y, może być inna niż transmitancja G_z(s), opisująca związek pomiędzy zakłóceniem z i wyjściem y (różne tory oddziaływania u i z).

Uogólniona struktura jednoobwodowa




2. Regulacja kaskadowa

Regulacja ta jest celowa dla obiektów wieloinercyjnych, obiektów o stałych rozłożonych lub obiektów z opóźnieniem transportowym w części G₂, gdzie reakcja wielkości wyjściowej y na zakłócenie wprowadzane na wejście obiektu następuje ze znacznym opóźnieniem (ściśle: nie jest zauważana przez znaczny czas).

Warunkiem utworzenia kaskadowego układu regulacji jest istnienie w obiekcie mierzalnej pomocniczej wielkości regulowanej y_p, która szybciej reaguje na to zakłócenie niż główna wielkość regulowana y.

Struktura ogólna kaskadowego układu regulacji:

G1, G2 - obiekt regulacji R1 - regulator główny R2 - regulator pomocniczy

Przykład: regulacja temperatury y na wyjściu wymiennika ciepła, z natężeniem przepływu pary jako wielkością pomocniczą yp

Zalety regulacji kaskadowej w stosunku do jednoobwodowej łatwo wykazać po przek­ształceniu układu kaskadowego do równoważnego układu jednoobwodowego z obiektem zmodyfikowanym o transmitancji G_ob.m(s) i regulatorem głównym R₁.

Struktura równoważna:




Zalety:

1. neutralizacja właściwości dynamicznych części G₁ obiektu

• transmitancja pierwotna obiektu: G_ob(s) = G₁(s) G₂(s)

• transmitancja obiektu zmodyfikowanego:




z czego wynika, że w paśmie częstotliwości, w którym
zachodzi


2. linearyzacja charakterystyki statycznej części G₁ obiektu

- pierwotna charakterystyka statyczna - zmodyfikowana charakterystyka statyczna , stąd:

(na rysunku przyjęto, że R₂ jest regulatorem P o wzmocnieniu k_p=4, stąd
)

3. skuteczniejsza kompensacja zakłóceń z₁

Zakłócenia z₁ kompensowane są
- krotnie silniej niż w układzie jednoobwodowym z regulatorem R₁.

1. Regulacja stosunku

Struktura układu zależy od warunków pracy instalacji i możliwości oddziaływanie na wielkości, których stosunek chcemy utrzymać stały

Przykład: Regulacja stosunku , z możliwością oddziaływania jedynie na Q2. (Uwaga: wpływ zakresów pomiarowych przetworników PP1 i PP2 na !)

2. Kaskadowa regulacja stosunku

Przykład optymalizacji procesu spalania przez utrzymywanie stałej zawartości O₂ w spalinach:




3. Układy z pomocniczą korekcją dynamiczną:

1. Struktura pierwotna




2. Struktura przekształcona do równoważnego układu kaskadowego




Najczęściej:







Co odpowiada, dla T=T_i, użyciu w układzie kaskadowym regulatora głównego typu PI:




oraz regulatora pomocniczego typu P:




1. Układy zamknięto-otwarte

W układach tych wykorzystuje się bezpośredni pomiar zakłócenia do wytworzenia oddziaływania kompensującego wpływ tego zakłócenia na wyjście obiektu

	Typowe struktury		Warunki całkowitej eliminacji wpływu z na y:

Ograniczenia:

1. zwykle zakłóceń jest wiele, część z nich może być trudna lub niemożliwa do zmierzenia

2. właściwości obiektu G₁ nie są stałe w czasie

^*)
,


^*) Jeżeli na wejście elementu lub układu liniowego wprowadzimy wymuszenie harmoniczne
, to na wyjściu ustali się odpowiedź harmoniczna
.

^*) Przy założeniu, że równanie charakterystyczne nie ma pierwiastków wielokrotnych ani równych zeru.

^*) Równanie to odpowiada równaniu (7.4)

Jako kierunek dodatni przyjmuje się kierunek przeciwny do ruchu wskazówek zegara.

^(*) przypadek omawiany na wykładzie

92













---