Całkowanie funkcji trygonometrycznych
Przypadek 1
Jeżeli mamy do czynienia z lub to należy dokonać calkowania przez podstawienie ax=t lub bx=t , a potem skorzystać , z tego, że stałą przenosimy przed całkę , a reszta znajduje się w tablicy całek .
Przykład 1:
Przypadek 2
Jeżeli mamy do czynienia z , lub lub to należy zamienić występujący pod całką iloczyn na sumę lub różnicę korzystając ze wzorów trygonometrycznych :
Z powyższych wzorów korzystamy w zależności od tego czy mamy do czynienia z iloczynem sinusa i cosinusa, dwóch sinusów czy dwóch cosinusów. W doborze odpowiedniego wzoru pomoże nam to, który z występujących współczynników w funkcji trygonometrycznej jest większy ( ten przy sinusie czy cosinusie). Pozostaje tylko wyliczyć α i β i scałkować uzyskane w ten sposób całki zgodnie z przypadkiem 1.
Uwaga !
Jeżeli mamy do czynienia z , to wygodniej byłoby skorzystać ze wzoru :
Przykład 1
Przykład 2:
Mamy do czynienia z iloczynem sinusa i cosinusa, przy czym współczynnik występujący przy sinusie 5x jest większy od czynnika występującego przy cosinusie 2x.
Korzystamy więc z :
Po wyliczeniu α i β należy pamiętać jeszcze o tym, że we wzorze redukcyjnym występuje jeszcze 2, dlatego też oba czynniki z sumy sinusów należy podzielić przez 2.
Przypadek 3
Jeżeli mamy do czynienia z funkcją trygonometryczną podniesioną do nieparzystej potęgi lub jeżeli mamy do czynienia z iloczynem lub ilorazem sinusa i cosinusa, przy czym conajmniej jedna z tych funkcji podniesiona jest do nieparzystej potęgi , to korzystamy z całkowania przez podstawienie wykonując takie operacje na wzorach trygonometrycznych , abyśmy otrzymali jedną funkcję trygonometryczną w odpowiedniej potędze pomnożoną przez jej pochodną:
Przykład 1:
Przykład 2:
Przypadek 4
Liczymy korzystając ze wzoru redukcyjnego :
i liczymy korzystając ze wzoru redukcyjnego :
Przypadek 5
Jeżeli mamy do czynienia z funkcją trygonometryczną podniesioną do parzystej potęgi większej jednak niż potęga 2 ( n>2) całkujemy ją przez części przyjmując :
Po prawej i po lewej stronie otrzymaliśmy i po obustronnym skróceniu tego czynnika otrzymujemy :
W ten sam sposób można wyprowadzić całkę dla cosinusa, w wyniku czego otrzymamy następujący wzór :
Przykład 1:
Obliczyć całkę korzystając ze wzoru redukcyjnego :
korzystając z tego , że całka została obliczona wyżej otrzymujemy :
Przypadek 6
Kiedy całkujemy funkcje trygonometryczne korzystając z innych wzorów redukcyjnych.
Przykład 1:
Przykład 2:
Przypadek 7
Kiedy mamy do czynienia z sumą lub różnicą liczb i funkcji trygonometrycznych w pierwszej potędze najlepiej zastosować następujące podstawienia :
korzystają z przekształceń funkcji trygonometrycznych otrzymujemy :
Przykład 1:
Obliczyć całkę:
Przypadek 8
Kiedy mamy do czynienia z sumą lub różnicą liczb i funkcji trygonometrycznych w drugiej potędze najlepiej zastosować następujące podstawienia :
korzystają z przekształceń funkcji trygonometrycznych otrzymujemy :
Przykład 1