WYKŁAD 3 (16.03.2005)
2) Różniczka.
Def. Niech funkcja f będzie określona na przedziale (a,b), oraz ciągła w
. Mówimy, że f jest różniczkowalna w punkcie x₀, jeżeli jej przyrost w x₀ można zapisać w postaci:
gdzie A jest stałą;

Twierdzenie 1.

Na to, by funkcja f była różniczkowalna w x₀ potrzeba i wystarcza, by istniała skończona pochodna

Jeżeli warunek ten zachodzi, to przyrost funkcji
ma postać:

Dowód. Konieczność. Zakładamy, że funkcja f jest różniczkowalna w x₀,czyli:

czyli przy

zatem granica
:

, czyli

Dostateczność. Niech funkcja f ma w x₀ skończoną pochodną
To znaczy,
, przy
czyli:

przy

Stąd:

Def. Różniczką funkcji f ze4 względu na przyrost h nazywamy funkcję:
.
Wartość funkcji (różniczki) w punkcie
jest równa:
.
Podstawiając f(x)=x otrzymujemy pochodną
oraz df=dx=1*h=h, czyli h=dx. Zatem
dla

Ponieważ dla funkcji różniczkowalnej f w x₀ mamy:

Więc dla
bliskich zero otrzymujemy równość przybliżoną:


, dla
bliskich zero. Kładąc
czyli
mamy:

dla x bliskich zero (x₀). W szczególności, gdy x₀=0, otrzymujemy:

Przykład.
1) Dla funkcji

mamy:

2) Zachodzą związki:
dla x bliskich zero.

*Interpretacja geometryczna różniczki:
(tutaj jest wykres, którego nie ogarniam, tak więc nie umieszczam)

(ale zostawiam miejsce, żeby każdy sobie łądnie przerysował:)

Jeśli zastąpimy krzywą y=j(x) przez styczną do tej krzywej w punkcie P₀, to przyrost zmiennej zależnej od stycznej jest równy
gdyż:

3) Twierdzenia o wartości średniej. Pochodne wyższych rzędów. Wzór Taylora.
Twierdzenie 1 (Rolle'a).
Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale domkniętym
oraz istnieje skończona pochodna
w każdym punkcie przedziału otwartego
a ponadto wartości funkcji na końcach przedziału są równe: f(a)=f(b), to istnieje taki punkt
, że

Interpretacja geometryczna (znowu)

Dowód. Jeżeli funkcja g jest stałą, tzn. f(x)= const. dla
dla każdego

Niech funkcja f będzie różna od stałej. Ponieważ f jest ciągła na
, więc f osiąga na
kresy: dolny i górny. Ze względu na to, że f(a)=f(b), istnieje taki punkt
, w którym jest osiągana jedna z tych wartości.
Niech np. w punkcie c f osiąga wartość największą. Zatem dla każdego h jest

Dla h dodatniego
oraz

Dla h ujemnego mamy:
oraz
Stąd:


Zatem
, czyli

Twierdzenie 2. (Lagrange'a)
Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale domkniętym
oraz istnieje skończona pochodna
w każdym punkcie przedziału otwartego
to:

gdzie

Interpretacja geometryczna (ponownie)

Twierdzenie Lagrange'a wynika z ogólniejszego twierdzenia Cardy'ego.
Twierdzenie 3 (Cauchy'ego)
Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale domkniętym
oraz istnieje skończona pochodna
w każdym punkcie przedziału otwartego
przy czym pochodna funkcji g jest różna od 0 dla

Teza mówi, że:

Dowód. Zauważmy, że
, gdyż gdyby
to na podstawie Rolle'a istniałby punkt
taki, że
, a to zostało wykluczone w założeniu twierdzeniu Cauchy'ego. Rozważmy funkcję pomocniczą:

Funkcje F spełnia założenia, tzw. Rolle'a, gdyż:
a) F jest ciągła na

b)

c)F(a)=0, F(b)=0, F(a)=F(b)

Zatem istnieje taki punkt

Twierdzenie Lagrange'a otrzymujemy, przyjmując w tw. Cauch'ego g(x)=x dla

Wnioski z twierdzeń o wartości średniej.
1) Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale domkniętym
oraz pochodna
zeruje się na przedziale otwartego
to f(x)=c, gdzie c jest stałą, dla

Dowód. Dla dowolnych punktów
mamy na mocy tw. Lagrange'a:

Ponieważ z założenia wiemy, , że
, więc
, więc f jest funkcją stałą.
2) Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale domkniętym
oraz posiada na przedziale otwartym
skończona pochodną
wszędzie dodatnią (wszędzie ujemną), to f jest funkcją rosnącą (malejącą na
.
Dowód.

Niech
, h>0. Z tw. Lagrange'a wynika, że:

Jeżeli:
, czyli f jest rosnąca na
.
Jeżeli:
, czyli f jest malejąca na
.
*Pochodne wyższych rzędów.

Niech funkcja f posiada skończoną pochodną
na przedziale

Def. Pochodną drugiego rzędu (drugą pochodną) funkcji f nazywamy pochodną funkcji f' przy założeniu istnienia granicy właściwej lub niewłaściwej ilorazu różnicowego napisanego dla f'. Oznaczamy ja symbolem f''. Ogólnie pochodną n-tego rzędu (lub n-ta pochodną) funkcji f nazywamy pochodną skończonej (n-1)-tej pochodnej funkcji f, przy założeniu, że pochodna ta istnieje w sensie właściwym lub niewłaściwym. Oznaczamy ja symbolem:
. Kolejne pochodne funkcji f oznaczamy symbolami:
. Można też:

WYKŁAD 4 (23.03.2009)

Przykład. Wyznaczyć pochodną n-tego rzędu funkcji f(x)=sinx
R.: xDowód (indukcja zupełna):

Zachodzi następujący wzór Leibniza.
Jeżeli funkcje f, g posiadają skończone pochodne do rzędu n włącznie w otoczeniu punktu

Dla x z pewnego otoczenia . Występuje również pochodna zerowa, którą rozumiemy jako funkcję:

Wzór Taylora
Twierdzenie 4
Jeżeli funkcja rzeczywista f jest okreslona na przedziale
, pochodna n-1 rzędu jest ciągła, na
, natomiast pochodna n-tego rzędu jest skończona dla każdego
, to dla dowolnych
, zachodzi tzw. Wzór Taylora:

przy czym resztę
można zapisać w tzw. Postaci Schlömicha:

gdzie
, p jest dowolną z liczb1,2,…,n.
W szczególności dla p=n otrzymujemy resztę w tzw. postaci Lagrange'a:

Natomiast dla p=1 mamy resztę w tzw. Postaci Cauchy'ego:

Jeżeli we wzorze Taylora przyjąć x₀=0,
, to otrzymamy tzw. Wzór MacLaurina postaci:

Twierdzenie 5

Jeżeli funkcje f o wartościach nieujemnych określone w otoczeniu
i posiada w x0 skończoną pochodą n-tego rzędu, to dla dostatecznie małych
zachodzi wzór :

gdzie
Jest to tzw. Wzór Taylora zzzzzzzzzzzz

Przykład

Zastosujemy wzór Mac Laurina z reszta w postaci Lagnangena do obliczenia przybliżonej wartości funkcji

Ponieważ
oraz przyjmując (x0=0, n=x)

W szczególności mamy:

stąd

dla x=0,1otrzymujemy:

Zatem

Przy czym błąd przy obliczeniach R jest bezwzględnie mniejszy od 10 do -7, gdyż
4) EKSTREMA LOKALNE FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ

Wypukłość, wklęsłość, punkty przecięcia. Asymptoty.

DEFINICJA:

Dana jest funkcja
Mówimy, źe funkcja f posiada maksimum lokalne (minimum lokalne) w
jeżeli istnieje takie

Otoczenie punktu

Że,

Minimum

WYKRES

Uwaga!

Ekstremum lokalne to wspólna nazwa dla minimum i maksimum lokalnego.

TWIERDZENIE 1

(Warunek konieczny twierdzenia ekstremum lokalnego)

Jeżeli funkcja posiada skończoną pochodną w otoczeniu punktu
oraz posiada w tym punkcie ekstremum lokalne, teza mówi, to

Dowód: Niech np. w x0, istnieje maksimum funkcji f. Ponieważ istnieje skończona pochodna

dla dostatecznie małych h>0 mamy
czyli pochodna prawostronna przy

Dla
bliskich zera mamy

Punkt x0 taki, że
nazywamy punktem stacjonarnym funkcji f.

Uwaga!

Zerowanie się pierwszej pochodnej nie wystarcza na to, by istniało ekstremum np. dla funkcji
wąskie(?), więc brak ekstremum.

WYKRES

TWIERDZENIE 2

(warunek dostateczny istnienia ekstremum lokalnego)

Jeżeli funkcja f posiada w otoczeniu
skończoną pochodną f', przy czym
oraz istnieje skończona pochodna
, to:

1. w x0 funkcja posiada maksimum lokalne , gdy
   

2. w x0 funkcja f posiada minimum lokalne, gdy
   

DOWÓD. Piszemy wzór Taylora z resztą w postaci Peano dla n=2

dla dostatecznie małych h

ponieważ
więc

Znak prawej strony równości jest taki sam jak znak
, przy dostatecznie małych
.

Zatem jeżeli
, to
czyli w xo istnieje minimum lokalne

Podobnie jeżeli
to
czyli w xo istnieje maksimum lokalne

TWIERDZENIE 3

(warunek dostateczny istnienia ekstremum lokalnego)

Jeżeli funkcja f posiada w otoczeniu
skończone pochodne do rzędu (n-1)-go włącznie, Przy czym
oraz istnieje skończona pochodna
, to

1. nie występuje ekstremum lokalne funkcji f w x0, gdy n jest liczbą nieparzystą

2. występuje maksimum lokalne, gdy n jest liczbą parzystą oraz
   

3. występuje minimum lokalne gdy n jest liczbą parzystą oraz
   

DOWÓD: Pisząc wzór Taylora z resztą w postaci Peano dla n>1 otrzymujemy

dla dostatecznie małych
gdzie
Znak wyrażenia
przy dostatecznie małych
jest taki sam jak znak pochodnej
. Jeżeli n jest liczbą nieparzystą n=2k+1, k=1,2,…., k=1,2…, to w lewostronnym otoczeniu oraz prawostronnym otoczeniu punktu x0 przyrost
ma znaki różne , a więc w x0 funkcja f nie posiada ekstremum.

Jeżeli n=2k, k=1,2,.., to znak przyrostu
jest taki sam, jak znak
stąd części b oraz c tezy.

---