MATERIAŁY DO ĆWICZEŃ ZE

STATYSTYKI

Z DEMOGRAFIĄ

(część V)

ANALIZA DYNAMIKI ZJAWISK

1. szereg czasowy, chronologiczny (momentów, okresów)

2. średni poziom zjawiska w czasie (średnia arytmetyczna, średnia chronologiczna)

3. miary dynamiki (indeksy indywidualne)

4. średnie tempo zmian zjawiska w czasie

5. liniowa funkcja trendu

SZEREG CZASOWY

Szereg czasowy { y_t } - uporządkowany ciąg wyników obserwacji zjawiska w czasie.

Szeregi czasowe dzielimy na szeregi:

1. okresów (poziomy zjawiska w całych okresach)

2. momentów (poziomy zjawiska w ustalonych momentach okresów)

PRZYKŁAD 1

t (okres lub moment)	rok	Pojazdy stan na 31.XII [tys.]	Wypadki w roku
1	1995	11186	56904
2	1996	11766	57911
3	1997	12284	66586
4	1998	12709	61855
5	1999	13169	55106
6	2000	14106	57331
7	2001	14724	53799

W przykładzie 1 mamy następujące szeregi:

„Wypadki” - szereg okresów (łączna liczba wypadków w każdym roku)

„Pojazdy” - szereg momentów (w każdym roku stan na 31.XII)

Średni poziom zjawiska w czasie

Średni poziom zjawiska w czasie liczymy odmiennie w zależności od rodzaju szeregu:

1. średnia arytmetyczna dla szeregu okresów
   
   

2. średnia chronologiczna dla szeregu momentów
   
   

W przykładzie 1 mamy następujące średnie poziomy zjawisk:

„Wypadki” - szereg okresów (łączna liczba wypadków w każdym roku)

W latach 1995-2001 średnia roczna liczba wypadków drogowych wyniosła 58499 wypadków.

„Pojazdy” - szereg momentów (w każdym roku stan na 31.XII)

W latach 1995-2001 średnio w roku zarejestrowanych było 12832 tys. pojazdów samochodowych.

MIARY DYNAMIKI

Miary dynamiki o podstawie stałej

(JEDNOPODSTAWOWE)

Określają one zmiany jakie następowały w kolejnych okresach (momentach) t w odniesieniu do okresu (momentu) podstawowego (bazowego) t*.

Ogólnie okresem (momentem) bazowym może być dowolny okres (moment) k, tj. t*=k.

Dalej (dla wygody) przyjmiemy, że okresem bazowym będzie pierwszy okres, okres, tj. t*=1.

Miary dynamiki o podstawie ruchomej

(ŁAŃCUCHOWE)

Określają one zmiany jakie następowały w kolejnych okresach (momentach) t w odniesieniu do okresu (momentu) bezpośrednio poprzedzającego)
tj. t*= t - 1.

Przyrosty ABSOLUTNE

Określają one o ile wzrósł (zmalał) poziom zjawiska w okresie badanym (t) w porównaniu z jego poziomem w okresie przyjętym za podstawę porównania (t*).

Przyrosty absolutne są mianowane tak samo jak badana cecha.

• jednopodstawowe (t*=1)
  

• łańcuchowe (t*=t-1)
  

PRZYKŁAD 2

t	Wypadki	przyrosty absolutne
				jednopodstawowe	łańcuchowe
1	56904	0	-
2	57911	1007	1007
3	66586	9682	8675
4	61855	4951	-4731
5	55106	-1798	-6749
6	57331	427	2225
7	53799	-3105	-3532

Przykładowo dla okresu t=5 mamy:

• Przyrost absolutny jednopodstawowy

• Przyrost absolutny łańcuchowy

Przyrost absolutny informuje o ile jednostek wzrósł (znak plus) lub zmalał (znak minus) poziom badanego zjawiska w okresie t
w odniesieniu do poziomu z okresu t* będącego podstawą porównania.

Przyrosty WZGLĘDNE
(wskaźniki tempa zmian)

Określają one stosunek przyrostu absolutnego w okresie badanym (t) do jego poziomu w okresie przyjętym za podstawę porównania (t*).

Przyrosty względne są wielkościami niemianowanymi.

Wyrażamy je zawsze w ułamkach ale interpretujemy w procentach.

• jednopodstawowe (t*=1)
  

• łańcuchowe (t*=t-1)
  

PRZYKŁAD 3

t	Wypadki	przyrosty względne
				jednopodstawowe	łańcuchowe
1	56904	0,000	-
2	57911	0,018	0,018
3	66586	0,170	0,150
4	61855	0,087	-0,071
5	55106	-0,032	-0,109
6	57331	0,008	0,040
7	53799	-0,055	-0,062

Przykładowo dla okresu t=5 mamy przyrost względny:

• jednopodstawowy
  

• łańcuchowy
  

Do interpretacji należy zawsze pomnożyć wynik przez 100% .

Przyrost względny (wskaźnik tempa zmian) informuje o ile %
wzrósł (znak plus) lub zmalał (znak minus) poziom badanego zjawiska w okresie t w stosunku do poziomu z okresu t* będącego podstawą porównania.

Indywidualne INDEKSY DYNAMIKI

Określają one stosunek poziomu zjawiska w okresie badanym (t)
do jego poziomu w okresie przyjętym za podstawę porównania (t*).

Indeksy dynamiki są wielkościami niemianowanymi.

Wyrażamy je zawsze w ułamkach ale najczęściej interpretujemy procentach.

• jednopodstawowe (t*=1)
  

• łańcuchowe (t*=t-1)
  

PRZYKŁAD 4

t	Wypadki	indeksy indywidualne
				jednopodstawowe	łańcuchowe
1	56904	1,000	-
2	57911	1,018	1,018
3	66586	1,170	1,150
4	61855	1,087	0,929
5	55106	0,968	0,891
6	57331	1,008	1,040
7	53799	0,945	0,938

Przykładowo dla okresu t=5 mamy indywidualny indeks dynamiki:

• jednopodstawowy
  

• łańcuchowy
  

INTERPRETACJA INDEKSU DYNAMIKI

a) ułamkowego (i - wyrażonego w liczbach dziesiętnych):

- wielkość zjawiska w okresie badanym stanowi i-krotność wielkości tego zjawiska z okresu podstawowego;

b) procentowego i_%= i *100:

- wielkość zjawiska w okresie badanym stanowi i_% wielkości tego zjawiska w okresie podstawowym;

c) przekształconego na procentowy przyrost względny (tempo wzrostu) (i -1)*100:

- wielkość zjawiska w okresie badanym jest o i% większa (znak plus) albo mniejsza (znak minus) albo taka sama (zero) jak wielkość tego zjawiska w okresie podstawowym,

ŚREDNIE TEMPO ZMIAN
zjawiska w czasie

Średnie tempo zmian zjawiska w czasie wyznacza się jako średnią geometryczną z indeksów łańcuchowych:

pomniejszoną o 1:

Jeżeli w liczeniu indeksów jednopodstawowych przyjmiemy okres pierwszy jako bazowy (t*=1), to wzór na średnią geometryczną upraszcza się do:

Dla szeregu „Wypadki” średnia geometryczna liczby wypadków wynosi:

Średniookresowe tempo zmian zjawiska w czasie wyznacza się jako:

Do interpretacji należy zawsze pomnożyć wynik przez 100% (w pamięci):

W ciągu badanych n okresów poziom badanego zjawiska
rósł (znak plus) lub malał (znak minus) średnio z okresu na okres o wyliczoną wartość (%).

Dla szeregu „Wypadki” średniookresowe tempo zmian liczby wypadków wynosi:

Interpretacja:

W ciągu 7 kolejnych lat (1995-2001) liczba wypadków drogowych w Polsce malała (znak minus) średnio z roku na rok o 0,94% (malała średnio o 0,94% w stosunku do roku poprzedniego).

PRZELICZANIE INDEKSÓW

1. jednopodstawowe (t*=1) na łańcuchowe

2. łańcuchowe na jednopodstawowe (t*=1)

3. łańcuchowe na jednopodstawowe (t*>1; np. t*=4)

t	DANE Wypadki (it / 1) (jednopod.: t*=1)	SZUKANE łańcuchowe (t*=t-1)	przeliczenie
1	1,000	-	nie istnieje (def.)
2	1,018	1,018	1,018 / 1,000
3	1,170	1,149	1,170 / 1,018
4	1,087	0,929	1,087 / 1,170
5	0,968	0,891	0,968 / 1,087
6	1,008	1,041	1,008 / 0,968
7	0,945	0,938	0,945 / 1,008

t	DANE Wypadki (it / t-1) (łańcuch.: t*=t-1)	SZUKANE jednopod. (t*=1)	przeliczenie
1	-	1,000	z definicji
2	1,018	1,018	1,018
3	1,150	1,171	1,150*1,018
4	0,929	1,088	0,929*1,150*1,018
5	0,891	0,969	0,891*0,929*1,150*1,018
6	1,040	1,008	1,040*0,891*0,929*1,150*1,018
7	0,938	0,945	0,938*1,040*0,891*0,929*1,150*1,018
t	DANE Wypadki (it / t-1) (łańcuch.: t*=t-1)	SZUKANE jednopod. (t*=4)	przeliczenie
1	-	0,919	1 / (0,929*1,150*1,018)
2	1,018	0,936	1 / (0,929*1,150)
3	1,150	1,076	1 / 0,929
4	0,929	1,000	z definicji
5	0,891	0,891	0,891
6	1,040	0,927	1,040*0,891
7	0,938	0,869	0,938*1,040*0,891

Liniowa funkcja TRENDU)

Liniowa funkcji trendu ma postać:




Nieznane parametry a i b wyliczamy na podstawie danych

z szeregu czasowego stosując następujące wzory:







a - oznacza okresowe tempo wzrostu (a > 0) albo spadku (a < 0) wielkości badanego zjawiska

b - oznacza stan zjawiska w okresie wyjściowym (tzn. dla t = 0)

Zauważmy, że liniowa funkcja trendu




może być również traktowana jako liniowa funkcja regresji prostej.

Zmienna zależna Y opisuje tam poziom badanego zjawiska Y.

Zmienną niezależną X jest tam czas (zmienna czasowa t).

W efekcie podstawiając x zamiast t oraz otrzymamy funkcję regresji:




W nowym układzie funkcja trendu może być traktowana jako funkcja regresji Y względem czasu t.

PRZYKŁAD 5

W tabeli zawarte są obliczenia pomocnicze przy wyznaczaniu liniowej funkcji trendu dla obrotów firmy ALFA.

W ostatniej kolumnie pokazano teoretyczne wartości obrotów wyliczone na podstawie oszacowanej funkcji trendu.

(1)	(2)	(3)	(4)	(5)	(6)	(7)
t				(3)*(4)
1	121	-5,5	-81	445,5	30,25	116
2	146	-4,5	-56	252,0	20,25	131
3	132	-3,5	-70	245,0	12,25	147
4	204	-2,5	2	-5,0	6,25	163
5	132	-1,5	-70	105,0	2,25	179
6	212	-0,5	10	-5,0	0,25	194
7	192	0,5	-10	-5,0	0,25	210
8	211	1,5	9	13,5	2,25	226
9	209	2,5	7	17,5	6,25	241
10	303	3,5	101	353,5	12,25	257
11	247	4,5	45	202,5	20,25	273
12	316	5,5	114	627,0	30,25	288









Zatem funkcja trendu opisująca obroty firmy ALFA ma postać:




Do oceny dopasowania linii trendu do danych empirycznych (rzeczywiste obroty firmy ALFA) służy współczynnik zbieżności (²):


gdzie


Im ² jest bliższy 0, tym dopasowanie jest lepsze.

Popularniejszą miarą dopasowania jest współczynnik determinacji (R²):


gdzie


Tutaj im R² jest bliższy 1, tym dopasowanie jest lepsze.

Popularna interpretacja R² :

liniowa funkcja trendu w (R² ×100)% opisuje kształtowanie się badanego zjawiska.




PRZYKŁAD 6 (c.d. przykładu 5)

W tabeli zawarte są obliczenia pomocnicze przy wyliczaniu współczynnika zbieżności (²) dla liniowej funkcji trendu obrotów firmy ALFA.

Przypomnijmy, że średni kwartalny poziom obrotów w firmie ALFA wyniósł:




t
1	121	116	5	-81	25	6561
2	146	131	15	-56	225	3136
3	132	147	-15	-70	225	4900
4	204	163	41	2	1681	4
5	132	179	-47	-70	2209	4900
6	212	194	18	10	324	100
7	192	210	-18	-10	324	100
8	211	226	-15	9	225	81
9	209	241	-32	7	1024	49
10	303	257	46	101	2116	10201
11	247	273	-26	45	676	2025
12	316	288	28	114	784	12996







Liniowa funkcja trendu




wygładzająca wahania przypadkowe opisuje obroty firmy ALFA w 78,2% (R²=0,782).

Wartość współczynnika determinacji R² zauważalnie odbiega od jedności (1).

WNIOSEK:

obok wahań przypadkowych występują również inne wahania, np. wahania sezonowe (cykliczne).







---