Szanowni koledzy,

W związku z rosnącą liczbą nauczycieli i doktorantów prowadzących ćwiczenia z przedmiotu „Metody numeryczne” (w Koszalinie i w Chojnicach, na st. inżynierskich i magisterskich, na st. dziennych, wieczorowych i zaocznych) oraz niefortunnie ułożonego planu zajęć, w którym wykłady są poprzedzone ćwiczeniami, powstaje problem ujednolicenia programu w/w ćwiczeń.

Z tego powodu dołączam do tego listu program prowadzonego przeze mnie wykładu z przedmiotu „Metody numeryczne”.

Poza tym, dołączam przykładowy program ćwiczeń i zadania przykładowe na ćwiczenia.

Proszę o dopasowanie (w miarę możliwości) prowadzonych przez Was ćwiczeń do w/w programu.

W razie jakichkolwiek pytań proszę o kontakt.

Z poważaniem,

Oleg Maslennikow

Metody numeryczne

WYKLAD 1.

1. Dokładność obliczeń. Typy błędów powstających przy realizacji metod numerycznych:

danych wejściowych (0,2₁₀ -> 0,001100110011…₂)

zaokrągleń x*=x+δ_x, y*=y+δ_x, z*= x*+y*= x+y +δ_x,+δ_x;

x_8bitów* y_8bitów=z_16bitów , z*= z_8bitów

metodologiczne (obcięcia)

2. Obliczenie funkcji elementarnych za pomocą szeregów. Wyrażenia rekurencyjne. Przykład realizacji w Excelu funkcji exp(x).

3. Metody całkowania numerycznego.

Metoda prostokątów:

założenia wstępne;

interpretacja geometryczna;

wzory, realizacja w Excelu.

Metoda trapezów:

interpretacja geometryczna;

wzory.

WYKLAD 2.

4. Metody rozwiązywania równań nieliniowych (wyznaczenie miejsca zerowego funkcji).

Idea metody bisekcji.

Metoda siecznej:

założenia wstępne;

interpretacja geometryczna;

wzory, przykład;

realizacja w Excelu.

Metoda stycznej:

założenia wstępne;

interpretacja geometryczna;

wzory;

Metoda iteracji prostej:

założenia wstępne;

interpretacja geometryczna;

wzory.

WYKLAD 3.

5. Macierze (definicia) i ich typy (prostokątna, kwadratowa, wektor-wiersz, wektor-kolumna, symetryczna, trójkątna górna, dolna, jednostkowa, pasmowa, rzadka, format CSR).

6. Operacje na macierzach. Transponowanie, norma wektora i macierzy, A+B, A-B, const*A, macierz*wektor, macierz*macierz.

7. Prawa algebry macierzowej:

A+B=B+A, A*B< > B*A - przemienności wykonywania operacji;

(A*B)*C=A*(B*C), (A+B)=C=A=(B+C) - łączności;

A*(B+C)=A*B+A*C, (B+C)*A=B*A+C*A - rozdzielczości mnożenia względem dodawania.

8. Metody rozwiązywania układów równań liniowych (URL):

Przedstawienie URL w postaci macierzowej;

Rozwiązywanie URL z trójkątną macierzą współczynników:

metoda redukcji wstecznej:

wzory A(4,4),

x[i],

fragment programu;

metoda podstawienia:

modyfikacja wzorów A(4,4) i programu redukcji wstecznej;

Eliminacja Gaussa:

wzory macierzowe M*A*x=M*b, -> M*A=A*- macierz trójkątna

wzory A(4,4), m[j,i], a*[j,k];

fragment programu;

WYKLAD 4.

dzielenie przez zero - strategia wyboru elementu < >0, wiodącego max|a[j,i]|;

obliczenie wyznacznika i rzędu macierzy - modyfikacja programu El.Gaussa.

Jordan-Gauss (eliminacja pełna):

wzory macierzowe M*A*x=M*b, -> M*A=I- macierz jednostkowa

wzory A(4,4), a*[j,k];

modyfikacja programu eliminacji Gaussa;

przypadek kilku wektorów wyrazów wolnych: A*X=B;

odwracanie macierzy A*X=I, modyfikacja programu.

Rozkład (dekompozycja) macierzy na czynniki trójkątne:

Rozkład LU:

wzory macierzowe A=L*U; L*U*x=b; L*y=b; U*x=y;

wzory A(4,4), l[j,i], u[j,k]=a*[j,k];

fragment programu;

WYKLAD 5.

Rozkład LL^T (Cholesky'ego, Banachewicza) - macierz symetryczna, detA>0:

wzory macierzowe A=L*L^T; L*L^T*x=b; L*y=b; L^T*x=y;

wzory A(4,4), l[j,i], a*[j,k];

fragment programu;

Metody dokładne a iteracyjne:

Metoda iteracji prostej (Jacobi'ego):

wzory macierzowe A*x=b; A=(D-I); (D-I)*x=b; x*=D*x+b;

wzory A(4,4).

Metoda Gaussa-Sidela:

modyfikacja wzorów z iteracji prostej dla A(4,4).

9. Określenie złożoności obliczeniowej metod numerycznych. Porównanie złożoności metod dokładnych i iteracyjnych.

10. Źle uwarunkowane układy i macierze. Współczynnik uwarunkowania macierzy.

WYKLAD 6.

11. Interpolacja funkcji:

wielomianowa:

Lagrange'a,

Aitkena.

Ekstrapolacja i interpolacja odwrotna.

WYKLAD 7.

12. Aproksymacja funkcji:

wielomianowa,

liniowa,

trygonometryczna.

Parametry jakościowe aproksymacji (odchylenie kwadratowe, itd.)

Literatura:

1. Fortuna Z., Macuków B., Wąsowski J. Metody numeryczne. WNT, 1998, 1982 (seria podręczniki akademickie).

2. Baron B. Metody numeryczne w Turbo-Pascalu. Helion, 1995.

3. Kiełbasiński A., Schwetlick H. Numeryczna algebra liniowa. WNT, 1992.

4. Bjorck A., Dahlquist G. Metody numeryczne, PWN, 1987.

5. J. i M. Jankowscy. Przegląd metod i algorytmów numerycznych. WNT, 1981.

6. Kaczorek T. Wektory i macierze w automatyce i elektrotechnice. WNT, 1998.

7. Stoer J. Wstęp do metod numerycznych. PWN, 1979.

8. Ralston A. Wstęp do analizy numerycznej. WNT, 1975.

9. Legras J. Praktyczne metody analizy numerycznej. WNT, 1974.

Przykładowy program ćwiczeń

Ćwiczenie 1.

Obliczenie funkcji elementarnych za pomocą szeregów. Opracowanie wyrażeń rekurencyjnych. Realizacja w Excelu funkcji
.

Przykład 1:		Obliczenie wartości wielomianu metodą Hornera
							y = a0x^n+ a1x^n-1+ a2x^n-2+...+ an-1x + an
	i	0	1	2	3	4	y =(...((a0x+a1)*x+a2)*x+...+an-1)*x+an
	a(i)	1	1	1	1	1
		x	(a0x+a1)	((...)*x+a2)	((..)*x+a3)	((...)*x+a4)
		2	3	7	15	31
Przykład 2:		Obliczenie wartości funkcji przy pomocy szeregów
	x	1	2,7182818				e^x =1+x/1! +x^2/2! +x^3/3! +...+x^n/n!
	i	1	2	3	4	5	e^x =y(1)+y(2)+y(3)+...+y(n)
	y(i)	1	1	0,5	0,166667	0,04166667	y(1)=1, y(i) = y(i-1)*x / (i-1)
					Wynik	2,70833333

Zadania indywidualne na ocenę według wariantów:

1. 
   

2. 
   

3. 
   

4. 
   

5. 
   

6. 
   

7. 
   

8. 
   

9. 
   

Uwaga: Możliwa jest realizacja wybranego zadania również w postaci programu (C++, Pascal, lub inny język programowania) - jeśli czas pozwoli.

Ćwiczenie 2.

1. Metody całkowania numerycznego prostokątów i trapezów

	Metody obliczenia całki							=0,785398163
					a = 0		n = 6
					b = 1		h = 0,166666667
i	0	1	2	3	4	5	6
x(i)	0	0,166667	0,3333333	0,5	0,66666667	0,833333333	1
f(x(i))	1	0,986013	0,942809	0,8660254	0,74535599	0,552770798	1,49E-08
					prostokątów	trapezów
					0,84882909	0,765495757

2. Metody rozwiązywania równań nieliniowych (wyznaczenie miejsca zerowego funkcji):

Metoda siecznej			delta = 1,00E-10
x =	0	1	2	2,5	2,2	2,1
f(x) =	-3	-3	-1	2,625	0,168	-0,459
i =	1	2	3	4	5	6
a =	2,1	2,173206	2,1745357	2,174559	2,1745594	2,17455941
f(a) =	-0,459	-0,008774	-0,000154	-2,7E-06	-4,7306E-08	-8,2906E-10
b =	2,2	2,2	2,2	2,2	2,2	2,2
f(b) =	0,168	0,168	0,168	0,168	0,168	0,168
x(i) =	2,173206	2,174536	2,174559	2,1745594	2,174559410	2,174559410
f(x(i)) =	-0,00877	-0,000154	-2,7E-06	-4,73E-08	-8,2906E-10	-1,4531E-11
Metoda Newtona (stycznej)			delta = 1,00E-10 f'(x)=3x^2-4x+1, f''(x)=6x-4
i =	1	2	3	4	5	6
a =	2,1	2,1	2,1	2,1	2,1	2,1
f(a) =	-0,459	-0,459	-0,459	-0,459	-0,459	-0,459
f'(a) =	5,83	5,83	5,83	5,83	5,83	5,83
f''(a) =	8,6	8,6	8,6	8,6	8,6	8,6
b =	2,5	2,230769	2,1766502	2,1745625	2,17455941	2,17455941
f(b) =	2,625	0,379153	0,0135846	1,974E-05	4,186E-11	4,18598E-11
f'(b) =	9,75	7,005917	6,5068176	6,4879158	6,48788825	6,487888246
f''(b) =	11	9,384615	9,0599012	9,0473747	9,04735646	9,047356462
x(i) =	2,230769	2,17665	2,1745625	2,1745594	2,17455941	2,17455941
f(x(i)) =	0,379153	0,013585	1,974E-05	4,186E-11	0	0

Kontynuacja Ćwiczenia 2. Rozwiązanie równania nieliniowego metodą siecznej lub metodą stycznej.

Zadania indywidualne na ocenę według wariantów (realizacja w Excelu i/lub w postaci programu):

1. 8ln(9x)-7x +5=0 x1=5.0837389

2. 15ln(0.14286x)-sin(2x)+3=0 x1=5.3726466

3. 42ln(0.11111x)-sin(4x)+2=0 x1=8.6074979

4. 6cos(5x)-33x-30=0 x1=-0.9249788

5. 33ln(0.125x)-sin(4x)+1=0 x1=7.5410872

6. 5ln(5x)-36x+9=0 x1=0.3115708

7. 9ln(9x)-36x+9=0 x1=0.7156729

8. 14ln(0.5x)-sin(2x)+4=0 x1=1.5149649

9. 4cos(5x)-27x-8=0 x1=-0.2485963

10. 3ln(7x)-9x+2=0 x1=0.7939462

11. 7ln(5x)-6x+2=0 x1=3.7544396

12. 52ln(0.11111x)-sin(5x)+4=0 x1=8.261698

13. 38ln(0.125x)-sin(4x)+9=0 x1=6.3692373

14. 37ln(0.14286x)-sin(5x)+1=0 x1=6.8602134

15. 9cos(3x)-31x-24=0 x1=-1.0641411

16. 3cos(3x)-18x-37=0 x1=-1.9129714

17. 2ln(4x)-4x+2=0 x1=1.3391768

18. 19ln(0.16667x)-sin(3x)+4=0 xl=5.0186758

19. 9cos(5x)-48x-7=0 x1=0.0382483

20. 21ln(0.25x)-sin4x+1=0 x1=3.8613913

21. 21ln(0.125x)-sin(2x)+2=0 x1=7.5012953

22. 3ln(6x)-25x+9=0 x1=0.4892172

23. 9ln(6x)-4x+10=0 x1=12.1505509

24. 9ln(5x)-9x+2=0 x1=2.8944564

25. 8ln(2x)-2x+2=0 x1=14.4574183

Ćwiczenie 3.

Rozwiązanie układu równań liniowych: metoda eliminacji Gaussa + redukcja wsteczna.

Zadania indywidualne na ocenę według wariantów - realizacja na kartkach (przykładowe zadania znajdują poniżej) + opracowanie programu.

URL1

-3 3 0 6 15

1 -4 -6 -20 -59

0 -1 -3 -8 -22

-1 3 6 22 61

URL2

1 -2 -2 4 -11

-2 5 4 -11 27

-2 2 5 -2 13

-1 2 1 -3 9

URL3

4 -8 -20 -48 -136

0 2 4 12 40

-1 3 4 9 33

-1 5 14 38 113

URL4

1 -1 -5 -18 31

3 -7 -27 -98 161

2 -4 -19 -67 108

3 -3 -16 -59 99

URL5

2 -1 3 0 -6

4 -4 7 1 -11

2 -5 7 2 -8

-4 8 -5 -4 2

URL6

1 -3 -4 1 0

2 -5 -7 1 0

-2 6 6 -1 -9

0 1 3 -3 12

URL7

-4 0 0 -4 12

0 2 -3 -3 -5

-8 -4 8 0 40

4 2 -1 2 -15

URL8

2 4 -4 8 16

2 5 -5 10 20

-2 -3 0 -3 -6

-2 -7 7 -10 -40

URL9

-1 1 -6 -20 -53

-3 5 -24 -82 -229

-3 5 -28 -94 -261

0 2 -3 -15 -52

URL10

4 8 -12 -40 20

3 8 -15 -52 41

0 1 -4 -14 17

-1 -4 6 22 -17

URL11

4 -2 -2 -3 45

-8 7 3 6 -96

-8 4 6 6 -96

4 1 3 -2 18

URL12

-4 12 48 -116 -652

-1 4 15 -36 -204

0 0 -1 2 12

1 -5 -16 38 217

URL13

-2 -3 -4 3 11

2 2 2 -4 -4

0 -2 -5 0 18

2 2 0 1 4

URL14

-3 3 -6 0 -15

0 -2 6 -4 10

0 3 -8 5 -12

-2 2 -4 1 -13

URL15

-1 0 -3 1 7

2 1 9 -1 -4

2 3 13 3 20

-2 3 -5 14 63

URL16

-1 4 -4 4 4

1 -2 3 -3 1

1 -2 2 -1 -2

2 -10 6 -2 -24

URL17

3 4 0 3 -13

6 11 2 4 -27

6 2 -5 12 -29

0 -6 -3 1 11

URL18

-2 4 -4 -4 8

-3 8 -10 -6 12

-2 3 -6 0 4

2 -3 2 6 -6

URL19

-4 2 1 3 -35

-8 5 4 3 -63

0 3 8 -9 17

8 -5 0 -4 58

URL20

3 -9 -12 21 30

-3 13 20 -33 -50

-3 7 11 -21 -32

-1 0 -3 8 9

URL21

3 4 -2 2 11

6 -7 -5 1 14

-6 -8 6 -2 -18

0 -2 4 1 -1

URL22

-4 3 2 1 -5

0 2 0 -3 22

4 -5 -1 1 -17

-8 0 2 12 -72

URL23

-1 1 0 -2 -1

0 3 -3 2 11

-2 -7 11 -10 -27

-2 2 -2 -5 -14

URL24

-3 9 6 -15 51

2 -2 -4 2 10

0 1 -1 -3 18

-2 3 5 -6 3

URL25

2 -4 8 0 -8

-1 0 0 -2 0

0 3 -2 7 -22

0 -3 3 -3 6

Ćwiczenie 4.

1. Rozwiązanie układu równań liniowych A*x=b i obliczenie wyznacznika macierzy A.

(metoda rozkładu LU z wyborem elementu wiodącego + metoda podstawienia +redukcja wsteczna).

2. Sprawdzenie - mnożenie macierzy L przez macierz U oraz mnożenie macierzy A przez wektor b.

Realizacja - program.

Ćwiczenie 5.

1. Rozwiązanie układu równań liniowych A*X=B (kilka wektorów wyrazów wolnych) i obliczenie macierzy odwrotnej do macierzy A.

(metoda Jordana-Gaussa z wyborem elementu wiodącego + redukcja wsteczna).

2. Sprawdzenie mnożenie macierzy A przez macierz X.

Realizacja - program.

Ćwiczenie 6.

1. Realizacja programowa metody interpolacji wielomianowej (rozbudowa programu opracowanego w ramach ćwiczenia 4,5 lub 6).

2. Sprawdzenie: obliczenie wartości wielomianu w zadanych punktach x(i) (i=0,1,...,n).

3. Realizacja programowa metody aproksymacji wielomianowej.

4. Sprawdzenie: obliczenie kryteriów jakościowych funkcji aproksymującej (odchylenie kwadratowe).

Ćwiczenie 7. Zaliczenie zaległych ćwiczeń.

---