Energia mechaniczna; zasady zachowania; układy zachowawcze; środek masy, pęd

1. Zasada zachowania energii mechanicznej

2. Energia potencjalna dla jednowymiarowych (1-D) układów zachowawczych

3. Zachowanie energii mechanicznej dla 1-D układu zachowawczego

4. Zachowanie energii w układzie cząsteczek

5. Środek masy dla układu dwóch i wielu cząstek

6. Wyznaczanie środka masy ciał stałych

7. Pęd cząstki i układu cząstek

8. Zachowanie pędu

******************************************************************************

1. Zasada zachowania energii mechanicznej

Def.: Energia mechaniczna ⇒

Rozważamy układ zamknięty (= izolowany = nie ma wymiany energii z otoczeniem):

Jeśli praca została wykonana w układzie
EP układu (U) spada ALE EK (K) rośnie.

ΔU + ΔK = 0 ⇒ Δ(U + K) = 0
Suma zmian EP i EK wynosi 0

Równoważne jest stwierdzenie, że suma EP i EK w każdym procesie musi być równa E.

• U + K = E = const

Lub inaczej, w układzie zamkniętym suma składników wszystkich rodzajów energii całości (suma energii wszystkich jego części) układu jest stała (nie zmienia się).

Energia E = const jest to energia mechaniczna danego układu. Powyższe równanie jest matematyczną reprezentacją zasady zachowania energii mechanicznej.

2. Energia potencjalna dla jednowymiarowych (1-D) układów zachowawczych

Dla cząstki w ruchu 1-D w układzie odniesienia, w którym działa pojedyncza siła zachowawcza F(x), energia potencjalna U(x) może zostać wyliczona z wzoru:

N1:

N2: Funkcja energii potencjalnej U(x) jest ujemną całką ze (zmiennej) siły F(x) po x.

Odwrotnie wyliczenie działającej siły z energii potencjalnej:

Znak ujemny w powyższym całkowaniu (N2) oznacza, że siła jest ujemną pochodną z funkcji energii potencjalnej U(x) po x:

N3: Ujemne nachylenie funkcji U(x) oznacza, że siła zachowawcza wykonuje pracę na systemie → U(x) = krzywa energii potencjalnej

[Przykłady U(x) - zob. ilustracje poniżej]

DEF: Punkt równowagi {PR} definiuje się jako punkt w którym nachylenie krzywej U(x) jest równe zero, tj. na cząsteczkę nie działa siła: ⇒ w PR: F(x) = 0.

DEF: Punkt zwrotny {PZ} definiuje się jako punkt w którym cząstka “zawraca”,

tj. punkt w którym energia kinetyczna K wynosi zero ⇒ w PZ: K = 0; U = E.

Przykład 2: Funkcja U(x) dla cząsteczki w ruchu 1-D (bez tarcia), której kształt jest wynikiem działania siły zachowawczej; cząstka może poruszać się tylko wzdłuż osi x.

Nie ma tarcia energia mechaniczna E_mech jest zachowana: U(x) + K(x) = const

Podczas ruchu następuje tylko zamiana U w K można obliczyć: K(x) = E - U(x)

Ponieważ niemożliwa jest prędkość urojona lub ujemna energia kinetyczna, na wykresach U(x) dla danej wartości E_mech ruch jest ograniczony do części osi x, gdzie
.

Punkty specjalne - dla przypadku (a) gdy E = E_mech = 5.0 J:

x₁: punkt zwrotny: gdzie K = 0; U = E dla (a) tylko jeden; dwa dla innych wartości E_mech

x₂: punkt równowagi stabilnej: gdzie F(x) = 0; U(x) = 0 (minimalna)

x₃: punkt równowagi niestabilnej: gdzie F(x) = 0; ale U(x) ≠ 0 = lokalne maximum

x₄: punkt równowagi stabilnej: gdzie F(x) = 0; U(x) ≠ 0 = lokalne minimum

x > x₅: punkty równowagi neutralnej: nie działa siła, F(x) = 0, cząstka poruszająca się w prawo kontynuuje ruch w prawo

3. Zachowanie energii mechanicznej dla 1-D układu zachowawczego

Ogólny przypadek U(x) dla różnych energii mechanicznych E Zasada zachowania energii mechanicznej (K + U) dla 1-D układu zachowawczego:
= const

Stąd, dla danego położenia początkowego (x_o) oraz prędkości początkowej (v_o) można otrzymać zależność pomiędzy położeniem (x) i prędkością (v) w każdej późniejszej chwili funkcja: v(x).

⇒ Dwa sposoby na rozwiązanie ruchu cząstki, tj. określenie prędkości v(x) :

1. Metoda dynamiczna:

• znaleźć siłę wypadkową F,

• użyć II-gą zasadę dynamiki Newtona, aby obliczyć przyspieszenie a,

• scałkować a, żeby znaleźć prędkość ⇒
  .

2. Metoda energetyczna

• znaleźć energię początkową,

• skorzystać z zasady zachowania energii, aby określić prędkość v(x).

Przykład (a): siła sprężysta

1. Energia mechaniczna
   , gdzie x_m jest maksymalnym przemieszczeniem;

2. Z zasady zachowania energii mechanicznej:

.

3. Z równania tego, prędkość dla dowolnej wartości przemieszczenia x wynosi:

.

Przykład (b): siła grawitacji

1. Rozważamy obiekt wyrzucony z ziemi do góry z prędkością początkową v_o:

;

2. Z zasady zachowania energii:

.

3. Możemy obliczyć wartość prędkości dla dowolnej wysokości y:

4. Zachowanie energii w układzie cząstek

Energia wewnętrzna E_int (ang. internal) jest sumą mikroskopowej energii potencjalnej i kinetycznej każdej cząsteczki z których składa się układ.

DEF: Układ otwarty (nie izolowany) na układ mogą działać siły zewnętrzne.

Zachowanie energii prowadzi do:
.

N1: Dla układu otwartego zmiana energii całkowitej układu = praca wykonana na układzie przez zewnętrzne siły.

N2: Dla układu zamkniętego (izolowanego):

lub
.

5. Środek masy dla układu dwóch i wielu cząstek

N1: Ruch złożonego obiektu jest trudny do opisania dla uproszczenia można opisać ruch środka masy [z ang. centre of mass (cm); na rysunku: `com'].

DEF: Środek masy x_cm dla układu dwóch cząstek, układ 1-D o całkowitej masie M:

Równanie ruchu środka masy:
⊳⊳ Pyt: Co to jest a_cm ? Odp:

Uogólnienie koncepcji środka masy:

(A) Jednowymiarowy (1-D) układ wielu cząstek:

Prędkość środka masy: oznaczając pochodną:
otrzymujemy:

(Zakładając, że masa jest stała w czasie !)

Równanie ruchu środka masy jest identyczne jak dla układu 1-D dwóch cząstek:
. (Zwróć uwagę na rozróżnienie sił zewnętrznych i wewnętrznych!)

Siły wewnętrzne: oddziaływania pomiędzy cząstkami należącymi do jednego układu.

Np.: siła sprężysta w przypadku przedstawionym powyżej.

Siły zewnętrzne: pochodzące z poza rozważanego układu.

Np.: siły działające na ”suwaczki” pochodzące od innych ciał

(B) Trzywymiarowy (3-D) układ wielu cząstek grupa kilku obiektów:

⊳⊳ Wpisz definicje y_cm,, z_cm tak jak powyższej dla x_cm, dla 1-D układu wielu cząstek ⇒

2-ga zasada dynamiki Newtona (2ZD) dla układu cząstek:

(C) Ogólna definicja:

Środek masy ciała lub układu ciał jest to punkt w którym jakgdyby skupiona jest cała masa układu a wszystkie zewnętrzne siły przyłożone są w tym punkcie.

Środek masy ciała lub układu ciał jest punktem, w którym skupiona jest cała masa w opisie układu jako masy punktowej. [pl.wikipedia.org]

⇒ Ogólna procedura rozwiązania zagadnienia środka masy:

• Wyznaczyć wszystkie siły zewnętrzne działające na ciało.

• 
  Użyć F = ma (dla środka masy).

• Obliczyć a_cm.

6. Wyznaczanie środka masy ciał stałych

Metoda (1): Dla ciała stałego, gdy masa jest rozłożona w sposób ciągły, możemy użyć ogólnej definicji środka masy oraz wykonać sumowanie po wszystkich atomach. W tym przybliżeniu, można zastosować całkowanie.

x_cm =
⇒ ⇒ wektorowo:

⊳⊳ Wyznacz składowe y_cm i z_cm :

Metoda (2): Dla ciał stałych o jednorodnej gęstości (masa na objętość), możemy zapisać rozpatrywane równania w postaci: ⊳⊳ Uzupełnij składową z_cm :

gdzie V = objętość zajmowana przez masę M.

Metoda (3): Dla bardziej regularnych obiektów, środek masy można wyznaczyć przy pomocy symetrii i prostej dedukcji, np.: środek masy jednorodnej trójkątnej płyty.

7. Pęd cząstki i układu cząstek (po ang. linear momentum = pęd liniowy)

Definicja: Pęd cząstki (
) jest wektorem:

= iloczynem masy cząstki (m) i prędkości (
):

lub p = mv

2ZD:
można równoważnie zapisać:

lub
(A) ⇔ (B) ⊳⊳ Zapisz wyprowadzenie ↑:

„szybkość zmian pędu cząstki jest równa wypadkowej sile działającej na to ciało”

N0: Jaki warunek musi być spełniony w tym wyprowadzeniu ? ⊳⊳ Wpisz odpowiedź↑:

N1: Newton oryginalnie wyraził II zasadę dynamiki właśnie w powyższej formie.

Używając pęd, można energię kinetyczną (K) pojedynczej cząstki wyrazić:

N2: Kwadratowa zależność pomiędzy EK i p: K ~ p²

Pęd dla układu cząstek:

Całkowity pędu układu cząstek jest równy iloczynowi masy całkowitej M układu oraz prędkości środka masy:
.

N1: Duże litery zostały użyte w celu oznaczenia całkowitego pędu układu, natomiast dla pojedynczych cząstek zastosowane zostały małe litery.

N2: Całkowita zewnętrzna siła jest równa szybkości zmian całkowitego pędu. Inna forma II zasady dynamiki Newtona dla układu cząstek:

Układ cząstek:
Jedna cząstka:

8. Zachowanie pędu

Konsekwencją 2ZD w powyższej formie jest prawo zachowania pędu:

“Gdy całkowita zewnętrzna siła działająca na układ jest równa zero, to całkowity pęd układu pozostaje stały.”

gdy
⇒
, lub
= const.

⇒ Dla układu izolowanego, tj. gdy nie działają siły zewnętrzne:

Przykłady zachowania pędu:

Przykład (1):

układ = pocisk i drewniany blok

Całkowity pęd przed zderzeniem (mv + 0) = całkowity pęd po zderzeniu.

Przykład (2):

układ = działo i kula

Całkowity pęd przed wystrzałem kuli (0) = całkowity pęd po wystrzeleniu kuli (−MV + mv).

`odrzut'

Ćwiczenia 3

1. Obiekt spadł na ziemię w z wysokości 20 m. Prędkość początkowa obiektu wynosi 3.0 m/s. Zastosuj zasadę zachowania energii mechanicznej, aby obliczyć prędkość w momencie tuż przed zetknięciem się obiektu z ziemią.

2. Znajdź środek masy trzech obiektów przedstawionych na diagramie.

3. Rozważ przedstawiony poniżej pas transportowy. W 1 sekundzie 150 kg piasku została przetransportowana z prędkością 2.50 m/s. Jeśli jest to możliwe, oblicz. Jeśli nie, określ jakie dane są potrzebne aby odpowiedzieć na pytania.

1. Siłę dostarczaną przez silnik do pasa. (Wskazówka: Jak duży jest pęd absorbowany przez piasek w 1 sekundzie ?)

2. Pracę wykonaną przez silnik w 1 s. (Uwaga: Praca ta jest równa mocy.)

3. Energię kinetyczną absorbowaną przez piasek w 1 s.

4. W jakich dwóch różnych sytuacjach/warunkach możemy zastosować prawo zachowania pędu ?

Wstęp do fizyki: Wykład + ćwiczenia 3 Prof. C. Rudowicz 2012/13

8

Wstęp do fizyki: Wykład + ćwiczenia 3 Prof. C. Rudowicz 2012/13

Page 9

Przykład 1: sprężyna

• Prawo Hooke'a dla sprężyny:
  

• Praca wykonana przez siłę zewnętrzna F_ext nad sprężyną:
  parabola

• Energia potencjalna U(x): U = −
  

Siła F_ext zawsze działa w takim kierunku, aby zwiększyć energię potencjalną układu!

⊳⊳ Rozpoznaj i zaznacz na rys. punkty specjalne

Z ang.: turning point

= punkt zwrotny {PZ}

⊳⊳ Wylicz sam:

⊳⊳ Wylicz sam:

⊳⊳ Porównaj lewe wykresy: U(x) & F:

rozpoznaj siłę F jako ujemną pochodną z funkcji U(x)

rozpoznaj punkty specjalne

po analizie diagramu (a) i (b) przeanalizuj diagram (c)

Wykres U(x) jak (a), lecz dla trzech innych wartości E_mech

⊳⊳ Zaznacz na każdym rysunku

punkt odniesienia x = 0.

Zauważ, że opis ruchu nie zmienia się, jeżeli zmienimy punkt odniesienia P2a & P2b

Przykład 1:

Dwa połączone obiekty na listwie bez tarcia, połączone sprężyną

układ 1-D

Przykład 2:

Dwie kulki układ 1-D

Przykład 4: kij baseballowy wyrzucony ukośnie układ 2-D Środek masy porusza się po paraboli, ale pozostałe punkty ciała poruszają się po bardziej skomplikowanych drogach!

Przykład 3:

trzy kulki układ 2-D

Dwa przedstawienia:

(a) kilka pojedynczych ciał &

(b) względem środka masy (ŚM/CM)

Wniosek:

Trzy oddzielne ciała: m₁, m₂, m₃ ⇔ “pojedyncze” ciało o M =

Równoważność przedstawienia!

Przyspieszenie środka masy można wyznaczyć analizując działanie 3 sił zewnętrznych.

Pyt: Czy cała masa jest rzeczywiście skupiona w czerwonej kropce na tych dwóch rysunkach?

Odp: ........

Wniosek:

W środku masy może nie być żadnej masy!

„jakgdyby”

Ciekawostka: Środek masy nawet po eksplozji porusza się po paraboli.

Pyt: Dlaczego ŚM po eksplozji kontynuuje swój ruch po drodze parabolicznej [do momentu gdy jeden z odłamków nie uderzy w ziemię]?

Odp: Zachowanie energii kinetycznej.

---