ZADANIA MATURALNE - STEREOMETRIA

PP - poziom podstawowy

PR - poziom rozszerzony

Opracowała - mgr Danuta Brzezińska

• Zad.1. ( PP - 5 pkt)

Objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego, o długości krawędzi podstawy 6 cm, jest równa 9
cm
. Oblicz miarę kąta nachylenia ściany bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny jego podstawy. Sporządź rysunek ostrosłupa i zaznacz na nim szukany kąt. Zapisz obliczenia.

graniastosłup czworokątny

• Zad.2. ( PP - 4 pkt)

Podstawą prostopadłościanu
jest prostokąt o bokach długości:
= 3

i
= 6. Wysokość prostopadłościanu ma długość równą 6. Uzasadnij, za pomocą

rachunków, że trójkąt
jest prostokątny.

• Zad.3. ( PP - 5 pkt)

Czy 0,8
papieru samoprzylepnego wystarczy na oklejenie pudełka bez przykrywki w kształcie prostopadłościanu o wymiarach 3
4
, 5
?

• Zad.4. ( PP - 5 pkt)

Dany jest zbiór wszystkich graniastosłupów prawidłowych sześciokątnych, w których suma długości wszystkich krawędzi jest równa 108. Oblicz długość krawędzi podstawy i długość wysokości tego z danych graniastosłupów, który ma największe pole powierzchni bocznej.

• Zad. 5. ( PP - 6 pkt )

Dach wieży ma kształt powierzchni bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, którego krawędź podstawy ma długość 4 m. Ściana boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem
.

a) Sporządź pomocniczy rysunek i zaznacz na nim podane w zadaniu wielkości.

b) Oblicz, ile sztuk dachówek należy kupić, aby pokryć ten dach, wiedząc, że do pokrycia

potrzebne są 24 dachówki. Przy zakupie należy doliczyć 8% dachówek na zapas.

• Zad.6. ( PP - 7 pkt )

W ostrosłupie czworokątnym prawidłowym wysokości przeciwległych ścian bocznych poprowadzone z wierzchołka ostrosłupa mają długości h i tworzą kąt o mierze 2a. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

• Zad.7. ( PP - 6 pkt)

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, którego krawędzie mają długość a.

a) Sporządź rysunek tego ostrosłupa i zaznacz na nim kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy. Oznacz ten kąt jako
.Oblicz kosinus kąta
, a następnie, korzystając z odpowiednich własności funkcji kosinus, uzasadnij, że

.

b) Wyznacz długość wysokości tego ostrosłupa oraz jego objętość.

•Zad. 8. ( PP - 7 pkt )

Pole powierzchni całkowitej prawidłowego ostrosłupa trójkątnego równa się
, a pole powierzchni bocznej
. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

• Zad.9. ( PP - 5 pkt)

Grupa sześciu przyjaciół kupiła tort w kształcie graniastosłupa prostego, którego jedną z podstaw jest trójkąt równoramienny ABC ( patrz rysunek ). W trakcie dyskusji - jak podzielić tort na 6 „równych” części, Krysia przypomniała sobie własności środkowych dowolnego trójkąta i przecięła tort prostopadle do podstawy wzdłuż linii AK, BM i NC, gdzie punkty K, M, N są środkami odpowiednich boków trójkąta ABC. Czy Krysia miała rację? Odpowiedź uzasadnij.

• Zad.10. ( PP -5 pkt)

Do pewnego przepisu z książki kucharskiej należy przygotować 0,25 litra płynu. Mamy do wyboru trzy szklanki w kształcie walca, o wewnętrznych wymiarach: pierwsza - o średnicy 6 cm i wysokości 10 cm, druga - o średnicy 5,8 cm i wysokości 9,5 oraz trzecia - o średnicy 6cm i wysokości 9 cm. Której szklanki objętość jest najbliższa 0,25 litra? Odpowiedź uzasadnij.

• Zad.11. ( PP - 3 pkt)

Poniższy rysunek przedstawia stożek ścięty. Objętość takiej bryły obliczamy wg wzoru:

V =

, gdzie
- długość promienia podstawy dolnej,
- długość promienia podstawy górnej,
- długość wysokości stożka ściętego.

Rada miasta postanowiła postawić w parku popiersie osoby zasłużonej. Popiersie ma stanąć na betonowym postumencie w kształcie stożka ściętego. Promienie podstaw tego postumentu są odpowiednio równe 30 cm i 50 cm, a jego wysokość jest równa 1,5 m. Jaki będzie koszt materiału zużytego na budowę postumentu, jeżeli wiadomo, że cena 1 m
betonu wynosi 200 zł? ( nie uwzględniamy zbrojenia ). Wynik podaj z dokładnością do 1 zł.

• Zad.12. ( PP- 7 pkt)

Piętrowy tort przygotowany na bal maturalny składał się z pięciu warstw, z których każda miała kształt walca. Długości promieni walców, wyrażone w cm były kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego o różnicy a = -5. Długość promienia podstawy środkowej warstwy tego tortu była równa 20 cm, a jej objętość 3200
. Wszystkie warstwy wykonane były z tego samego rodzaju ciasta i miały jednakową wysokość.

Oblicz, ile mąki należało przygotować do wypieku całego tortu, jeżeli receptura przewiduje wykorzystanie 0,24 kg mąki do wypieku warstwy środkowej.

• Zad.13. ( PP - 5 pkt)

Dane są dwie bryły: stożek, w którym długość promienia podstawy jest równa 4 dm i wysokość ma długość
dm oraz ostrosłup prawidłowy czworokątny, w którym krawędź podstawy ma długość
dm. Wiedząc, że objętości tych brył są równe, wyznacz kąt nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do jego podstawy.

• Zad.14. ( PP - 4 pkt)

Metalową kulę o promieniu 10 cm oraz stożek, w którym średnica i wysokość mają długości odpowiednio 16 cm i 12 cm, przetopiono. Następnie z otrzymanego metalu wykonano walec o średnicy
. Oblicz długość wysokości tego walca.

• Zad. 15. ( PP - 6 pkt )

Wysokość walca jest o 6 większa od średnicy jego podstawy, a pole jego powierzchni całkowitej jest równe
. Oblicz objętość walca.

• Zad.16. ( PP - 5 pkt)

Sześcienny blok ołowiany ma wewnątrz pustą przestrzeń też w kształcie sześcianu położoną centralnie, służącą do przechowywania ciała promieniotwórczego. Krawędź sześcianu wewnętrznego jest równa 7 cm. Pole powierzchni sześcianu wewnętrznego jest 49 razy mniejsze od pola powierzchni sześcianu zewnętrznego.

a) Oblicz grubość ścianek tego bloku.

b) Oblicz ciężar bloku, jeżeli ciężar właściwy ołowiu jest równy 1,14
/
. Wynik podaj z dokładnością do 0,1
.

• Zad. 17. ( PP - 5 pkt )

Waflowy rożek ma kształt stożka, w którym kąt rozwarcia jest równy
, a tworząca ma długość 15 cm. Oblicz, ile
lodów można włożyć do rożka, przyjmując, że zostanie napełniony w 95%.

• Zad.18.( PP - 5 pkt)

Stożek i walec mają równe długości tworzących, równe pola powierzchni bocznych i równe objętości. Oblicz kosinus kąta nachylenia tworzącej stożka do płaszczyzny jego podstawy.

• Zad.19. ( PR - 4 pkt)

Wybierz dwie dowolne przekątne sześcianu i oblicz cosinus kąta między nimi. Sporządź odpowiedni rysunek i zaznacz na nim kąt, którego cosinus obliczasz.

• Zad.20. ( PR -3 pkt)

Pole powierzchni całkowitej stożka jest trzy razy większe od pola jego podstawy. Oblicz miarę kąta rozwarcia tego stożka.

• Zad.21. ( PR -3 pkt)

Graniastosłup prawidłowy trójkątny jest opisany na kuli o promieniu 2. Oblicz objętość tego graniastosłupa.

• Zad.22. ( PR - 5 pkt )

Sześcian o krawędzi długości a przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i nachyloną do płaszczyzny podstawy pod kątem
. Sporządź odpowiedni rysunek. Oblicz pole otrzymanego przekroju.

• Zad. 23. ( PR - 6 pkt )

Podstawą graniastosłupa prostego jest romb o kącie ostrym
. Krawędź boczna graniastosłupa ma długość 8. Krótsza przekątna graniastosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt
. Przez krótszą przekątną graniastosłupa poprowadzono płaszczyznę sieczną, która jest równoległa do dłuższej przekątnej podstawy. Oblicz pole otrzymanego przekroju. Sporządź rysunek graniastosłupa i zaznacz na nim ten przekrój.

• Zad. 24. ( PR - 6 pkt )

Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny, w którym długość krawędzi podstawy jest równa a. Kąt między krawędzią boczną i krawędzią podstawy ma miarę
. Ostrosłup przecięto płaszczyzną przechodzącą przez krawędź podstawy i środek przeciwległej jej krawędzi bocznej. Sporządź rysunek ostrosłupa i zaznacz otrzymany przekrój. Oblicz pole tego przekroju.

• Zad. 25.( PR - 7 pkt )

Punkt S jest wierzchołkiem ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ABCDS. Krawędź podstawy tego ostrosłupa ma długość 8, a krawędź boczna tworzy z płaszczyzną podstawy kąt
. Przez wierzchołek A podstawy, równolegle do przekątnej BD, poprowadzono płaszczyznę sieczną tworzącą z płaszczyzną podstawy ostrosłupa kąt
. Sporządź rysunek ostrosłupa, zaznacz otrzymany przekrój i oblicz pole tego przekroju.

• Zad.26. ( PR - 7 pkt)

Producent zamierza rozlewać sok do pudełek, w kształcie prostopadłościanu, o pojemności 1,8 litra. Dobierz wymiary pudełka, tak aby na jego wyprodukowanie zużyć jak najmniej materiału przyjmując, że stosunek długości sąsiednich krawędzi podstawy pudełka jest równy 2:3 ( wykonując obliczenia zaniedbaj ilość materiału potrzebnego na sklejenia, złożenia itp. ).

• Zad.27. ( PR - 6 pkt)

Podstawą ostrosłupa jest prostokąt o polu 9
. Dwie ściany boczne ostrosłupa są prostopadłe do płaszczyzny podstawy, a dwie pozostałe ściany boczne są nachylone do płaszczyzny podstawy pod kątami
i
.

a) Sporządź rysunek ostrosłupa i zaznacz na nim dane kąty.

b) Oblicz objętość ostrosłupa.

•.28. ( PR- 5 pkt)

Prosta p jest nachylona do płaszczyzny
pod kątem o mierze
i przecina tę płaszczyznę w punkcie A. Prosta q jest zawarta w płaszczyźnie
. Punkt A należy do prostej q. Kąt między prostą q i rzutem prostokątnym prostej p na płaszczyznę
ma miarę
. Wykaż, że kąt ostry między prostymi p i q ma miarę
.

• Zad.29. ( PR - 7 pkt)

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy, a długość 40. Ściany boczne tego ostrosłupa są nachylone do płaszczyzny podstawy pod kątem
. Oblicz długość promienia kuli opisanej na tym ostrosłupie.

• Zad.30. ( PR - 8 pkt)

W trójkącie
dane są:
,
= 3,
= 60
. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej bryły powstałej po obrocie trójkąta
dookoła boku
.

• Zad.31. ( PR - 9 pkt)

Pole powierzchni całkowitej stożka jest dwa razy większe od pola powierzchni kuli wpisanej w ten stożek. Wyznacz cosinus kąta nachylenia tworzącej stożka do płaszczyzny jego podstawy.

• Zad.32. ( PR- 4 pkt)

W stożku tworząca o długości 5 cm jest nachylona do płaszczyzny jego podstawy pod kątem o mierze
. Oblicz objętość kuli opisanej na tym stożku. Wynik podaj z dokładnością do 0,001
.

• Zad.33. ( PR - 9 pkt)

W stożek, w którym kąt między tworzącą a podstawą ma miarę
wpisano kulę.

a) Oblicz stosunek objętości stożka do objętości kuli.

b) Wyznacz
, jeżeli stosunek objętości stożka do objętości kuli jest równy 9:4.

Zad.34. ( PR - 6 pkt)

Rozpatrujemy wszystkie graniastosłupy prawidłowe sześciokątne, w których suma długości wszystkich krawędzi jest równa 36. Oblicz wymiary graniastosłupa o największej objętości.

Zad.35. ( PR - 7 pkt )

Wśród wszystkich graniastosłupów prawidłowych trójkątnych o objętości równej

Istnieje taki, którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze. Wyznacz długości krawędzi tego graniastosłupa.

Zad.36. ( PR - 6 pkt)

Objętość walca jest równa 250
cm
. Przedstaw pole powierzchni całkowitej tego walca jako funkcję długości promienia jego podstawy i określ dziedzinę tej funkcji. Wyznacz długość promienia takiego walca, którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze.

Zad.37. ( PR - 10 pkt)

Na kuli o promieniu długości R = 4 cm opisujemy stożki o promieniu długości r i wysokości długości H. Spośród wszystkich takich stożków wyznacz ten, który ma najmniejszą objętość. Oblicz tę objętość. Oblicz długość promienia i wysokości znalezionego stożka.

Zad.38. ( PR - 12 pkt)

Przekątna przekroju osiowego walca ma długość równą 2
. Jaką największą objętość może mieć ten walec? Odpowiedź odpowiednio uzasadnij.

• Zad. 39. ( PR -5 pkt )

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym dane są: H - długość wysokości ostrosłupa oraz α - miara kąta utworzonego przez krawędź boczną i krawędź podstawy
.

a) Wykaż, że objętość V tego ostrosłupa jest równa
.

b) Oblicz miarę kąta α, dla której objętość V danego ostrosłupa jest równa
. Wynik podaj w zaokrągleniu do całkowitej liczby stopni.

• Zad. 40. ( PR -5 pkt )

W graniastosłupie prawidłowym sześciokątnym płaszczyzna ABC zawierająca przekątne sąsiednich ścian bocznych, wychodzących z tego samego wierzchołka, jest nachylona do podstawy graniastosłupa pod kątem
. Pole przekroju graniastosłupa tą płaszczyzną równa się
. Oblicz objętość tego graniastosłupa.

• Zad. 41. ( PR -5 pkt )

Podstawą ostrosłupa ABCD jest trójkąt równoboczny ABC o boku długości
. Wszystkie ściany boczne są równoramiennymi trójkątami prostokątnymi. Punkt P został wybrany wewnątrz ostrosłupa w ten sposób, że wysokości ostrosłupów ABDP, BCDP, ACDP, ABCP opuszczone z wierzchołka P mają tę samą długość H. Sporządź rysunek ostrosłupa i oblicz H.

• Zad. 42. ( PR -5 pkt )

Kapsuła lądownika ma kształt stożka zakończonego w podstawie półkulą o tym samym promieniu co promień podstawy stożka. Wysokość stożka jest o 1 m większa niż promień półkuli. Objętość stożka stanowi
objętości całej kapsuły. Oblicz objętość kapsuły lądownika.

• Zad. 43. ( PR -6 pkt )

Sześcian o krawędzi długości a przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i nachyloną do płaszczyzny podstawy pod kątem miary
.

a) Oblicz tangens największego z kątów
, dla którego przekrój jest trójkątem. Zaznacz ten kąt wraz z odpowiednim przekrojem na rysunku.

b) Otrzymany przekrój sześcianu jest trójkątem. Oblicz pole tego trójkąta, wiedząc, że płaszczyzna, w której jest on zawarty podzieliła sześcian na dwie bryły, których stosunek objętości wynosi 1:11.

• Zad. 44. ( PR -6 pkt )

Krawędź podstawy i wysokość ściany bocznej poprowadzona z wierzchołka ostrosłupa prawidłowego czworokątnego mają długości 2a. Oblicz cosinus kąta dwuściennego między sąsiednimi ścianami bocznymi. Sporządź rysunek pomocniczy i zaznacz na nim wymieniony kąt dwuścienny.

• Zad. 45. ( PP -5 pkt )

Pole powierzchni bocznej ostrosłupa prawidłowego trójkątnego równa się
, gdzie a oznacza długość krawędzi podstawy tego ostrosłupa. Zaznacz na poniższym rysunku kąt nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do płaszczyzny jego podstawy. Miarę tego kąta oznacz symbolem
. Oblicz
i korzystając z tablic funkcji trygonometrycznych odczytaj przybliżoną wartość
z dokładnością do
.

• Zad. 46. ( PP -4 pkt )

Powierzchnia boczna stożka po rozwinięciu na płaszczyznę jest wycinkiem koła o promieniu 3 i kącie środkowym miary 120
( zobacz rysunek ). Oblicz objętość tego stożka.

• Zad. 47. ( PP - 5 pkt )

Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny o podstawach ABC i
oraz krawędziach bocznych
. Kąt między przekątną ściany bocznej
a krawędzią podstawy AC ma miarę
. Promień okręgu wpisanego w podstawę graniastosłupa ma długość r. Oblicz objętość tego graniastosłupa.

• Zad. 48. ( PP - 5 pkt )

Dany jest graniastosłup czworokątny prosty ABCDEFGH o podstawach ABCD i EFGH oraz krawędziach bocznych AE, BF, CG, DH. Podstawa ABCD graniastosłupa jest rombem o boku długości 8 cm i kątach ostrych A i C o mierze
. Sporządź rysunek pomocniczy i zaznacz na nim wymienione w zadaniu kąty. Oblicz objętość tego graniastosłupa.

• Zad. 49. ( PP - 6 pkt )

W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym przekątna podstawy ma długość 8 cm i tworzy z przekątną ściany bocznej, z którą ma wspólny wierzchołek kąt, którego cosinus jest równy
. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.

1

Opracowała - mgr D. Brzezińska

---