Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie LABORATORIUM Z TEORII STEROWANIA I TECHNIKI REGULACJI			Wykonał : Skalski Andrzej
Temat ćwiczenia: Charakterystyki dynamiczne podstawowych członów
Wydział: E A I i E	Rok akademicki: 2001/2002	Rok studiów: II	Grupa : 3.2 Wtorek 11:15
Data wykonania: 26.02.2002 r.	Data zaliczenia:	Ocena:	Uwagi:

1.Cel ćwiczenia :

Zapoznanie się z charakterystykami podstawowych członów obowiązujących w nauce automatyki. Zdobycie umiejętności posługiwania się programem Matlab i jego funkcjami pomagającymi w wykreślaniu charakterystyk członów (step, bode, nyquist). Omówienie podstawowych zależności/własności możliwych do zaobserwowania na wykresach charakterystyk.

2. Charakterystyka podstawowych członów

2.1. Człon proporcjonalny

2.1.1. Wiadomości wstępne

Człon proporcjonalny charakteryzuje się tym, że w każdej chwili jego sygnał wyjściowy w(t) jest proporcjonalny do sygnału wejściowego v(t).

gdzie k jest współczynnikiem wzmocnienia, który dla tego członu jest równy stosunkowi chwilowych wartości sygnału wyjściowego do wejściowego.

Po wykonaniu transformacji Laplace'a obu stron możemy wyznaczyć transmitancje operatorową G(s).

2.1.2 Oznaczenie stosowane na schematach blokowych

2.1.3 Charakterystyki członu:

Charakterystyki zostały wykonane dla k = [ -1, -0.5, 2, 3]

2.1.4. Przykłady elementów proporcjonalnych

Dźwignie, dzielnik napięcia, przekładnia cierna, przekładnia zębata, siłownik pneumatyczny.

Np. Dźwignia

Jeżeli sygnał wejściowy x i wyjściowy y są przesunięciami to wtedy mamy:

Jeżeli sygnał wejściowy Fx i wyjściowy Fy są siłami , mamy:

2.1.5 Wnioski

Współczynnik proporcjonalności może być zarówno wielkością bezwymiarową, mianowaną, dodatnią lub ujemną. Jeżeli współczynnik „k” jest mniejszy od zera to człon zmienia kąt przesunięcia fazowego sygnału o 180 stopni. Zastosowanie logarytmicznej skali pozwala na zbadanie członu w szerokim zakresie częstotliwości.

Charakterystyka Nyquista dla członu proporcjonalnego przedstawia punkty o zerowej części urojonej i części rzeczywistej równej współczynnikowi wzmocnienia.

Związek pomiędzy rzeczywistym współczynnikiem wzmocnienia a wartością w dB poziomu charakterystyk amplitudowych wyraża się relacją

2.2. Człon całkujący ( integrator )

2.2.1. Wiadomości wstępne

W członie całkującym idealnym sygnał wyjściowy jest proporcjonalny do całki sygnału wejściowego:

co odpowiada równaniu różniczkowemu:

gdzie k- współczynnik wzmocnienia równy stosunkowi pochodnej sygnału wyjściowego do sygnału wejściowego w stanie ustalonym. Po wykonaniu transformacji Laplace'a znajdujemy ogólne wyrażenie na odpowiedź :

Stąd przy zerowym warunku początkowym znajdujemy transmitancje która wynosi :

2.2.2 Oznaczenie stosowane na schematach blokowych

2.2.3 Charakterystyki członu:

Charakterystyki wykonane dla k = [1 3 7]

2.2.4. Przykłady elementów całkujących

Kondensator idealny, Serwomotor hydrauliczny, układ napędowy pozycyjny, Zbiornik z wymuszonym poborem cieczy.

2.2.5 Wnioski

- Występuje brak stanu ustalonego co można zaobserwować na charakterystyce pierwszej , ma to ogromny wpływ na stabilność pracy obiektu

- Rozpatrywany człon można traktować jako szeregowe połączenie członu proporcjonalnego z całkującym.

- Na skali logarytmicznej nie występuje zero (wynika to z założeń dotyczących logarytmu, log(x) gdzie x większe od 0)

- Kąt nachylenia krzywej, na wykresie odpowiedzi członu na skok jednostkowy jest równy arctg(k)

- Sygnał wyjściowy jest przesunięty w fazie o - 90 stopni względem sygnału wyjściowego

2.3. Człon różniczkujący

2.3.1. Wiadomości wstępne

Ogólna postać równania idealnego elementu różniczkującego jest następująca:

stąd wynika transmitancja:

przy czym k - współczynnik wzmocnienia jest równy stosunkowi sygnału wyjściowego do pochodnej sygnału wejśćiowego

2.3.2 Oznaczenie stosowane na schematach blokowych

2.3.3 Charakterystyki członu:

dla k= [1, 3, 7]

2.3.4 Przykłady elementów różniczkujących idealnych

kondensator idealny, idealny tłumik olejowy, sprężyna idealna, prądniczka tachometryczna

2.3.5 Wnioski

- Nie istnieje możliwość narysowania charakterystyki skokowej, ponieważ sygnał wyjściowy będzie równy

. Jak wiadomo nie można narysować delty Dirack'a.

- Człon różniczkujący idealny powoduje przesunięcie sygnału wyjściowego względem wejściowego o 90 stopni

- Nachylenie krzywej logarytmicznej wynosi 20 dB na dekadę.

- Gdy sygnał wejściowy jest stały to wyjściowy równy zero.

- Krzywa na wykresie charakterystyki Bodego (amplitudowej) jest opisana równaniem :
.

2.4. Człon różniczkujący rzeczywisty

2.4.1. Wiadomości wstępne

W rzeczywistości nigdy nie udaje się zrealizować członu różniczkującego idealnego. Zawsze występuje bowiem inercja w jego działaniu, po której uwzględnieniu otrzymuje się równanie członu różniczkującego rzeczywistego:

w którym: T - stała czasowa, k - współczynnik wzmocnienia równy dla tego członu stosunkowi - w stanie ustalonym - sygnału wyjściowego do pochodnej sygnału wejściowego.

Stąd dla zerowego warunku początkowego w(0)=0 wyznaczamy transmitancję operatorową równą:

2.4.2 Oznaczenie stosowane na schematach blokowych

2.4.3 Charakterystyki członu:

dla k = [1, 3, 7] i T = [2, 5, 7]

Charakterystyki Bodego

Charakterystyki Nyquista:

2.4.4 Przykłady elementów różniczkujących idealnych

Czwórnik RC, Czwórnik RL, Silnik prądu stałego jako pojemność dynamiczna, Transformator stabilizujący, Tłumik olejowy

2.4.5 Wnioski

- Porównując charakterystyki amplitudowe fazowe członów różniczkującego idealnego i rzeczywistego

można zauważyć że człon rzeczywisty będzie poprawnie różniczkował dla zakresu niskich częstotliwości (pulsacja mniejsza od pulsacji własnej)

- Wykreślając charakterystykę Nyquista dla k = 1 pulsacja równa 1/T będzie znajdować się na końcu półokręgu, amplituda będzie równa 1/T ponieważ część urojona jest równa zero. ( co jest uwidocznione na charakterystyce)

- Człon rzeczywisty różniczkujący składa się z 4 elementarnych bloków i jednego sumatora:

Transmitancja wynosi:

Przekształcając otrzymujemy :

Przechodzimy na postać czasową:

Otrzymane równanie możemy zastąpić schematem blokowym:

-Wpływ zmiany parametrów k i T na przebieg charakterystyk został zaznaczony na wykresach.

2.5. Człon inercyjny

2.5.1. Wiadomości wstępne

Człon inercyjny pierwszego rzędu jest opisany równaniem:

w którym : T - stała czasowa; k -współczynnik wzmocnienia równy ( w tym członie ) stosunkowi wartości ustalonej sygnału wyjściowego do wartości ustalonej sygnału wejściowego.

Stąd wynika transmitancja

2.5.2 Oznaczenie stosowane na schematach blokowych

2.5.3 Charakterystyki członu: k=[2, 5, 7] T=[2, 5, 7]

- charakterystyki Bodego

- charakterystyki Nyquist'a

2.5.4 Przykłady elementów inercyjnych

Czwórnik RC, Prądnica obcowzbudna prądu stałego, Mechanizm z tarciem proporcjonalnym do prędkości.

2.5.5 Wnioski

- Stałą czasową możemy określić oprócz sposobu graficznego również jako czas od chwili t = 0 do chwili kiedy y(t) osiąga 63,2 % swej końcowej wartości ustalonej

- realizacja członu inercyjnego, możliwość uzyskania pochodnej sygnału wyjściowego bez różniczkowania

- porównując charakterystyki członu całkującego i inercyjnego możemy stwierdzić, że dla stosunku pulsacji do pulsacji własnej mniejszej od 1 charakterystyki są takie same a więc dla tych częstotliwości człon inercyjny zachowuje się jak człon całkujący.

- Gdy stała czasowa jest bardzo mała T≈0 element inercyjny możemy traktować jako element bezinercyjny ( proporcjonalny)

- z charakterystyki Bodego wynika że człon inercyjny można traktować jako filtr dolnoprzepustowy

( dla niższych częstotliwości wzmocnienie członu jest równe 1, wraz ze wzrostem częstotliwości amplituda sygnału maleje, w nieskończoności 0)

szerokość przepuszczanego pasma częstotliwości można odczytać z tejże charakterystyki L(ω)=0

- zmieniając stałą czasową możemy regulować szerokość pasma.

2.6. Człon oscylacyjny

2.6.1. Wiadomości wstępne

Ogólna postać równania różniczkowego elementu oscylacyjnego jest następująca:

w którym : T₀ - stała czasowa; ζ -współczynnik tłumienia; k - współczynnik wzmocnienia.

Stąd wynika transmitancja

2.6.2 Oznaczenie stosowane na schematach blokowych

2.6.3 Charakterystyki członu: k=[2, 5, 7] ω_n=[10, 15 25] ζ=[0.3, 1, 1.5]

-odpowiedź jednostkowa

- charakterystyki Bodego

-charakterystyki Nyquist'a

2.6.4 Przykłady elementów oscylacyjnych

Czwórnik RLC, Silnik obcowzbudny prądu stałego, Zespół masa-tłumik-sprężyna..

2.6.5 Wnioski

- Człon oscylacyjny nie zawsze musi się zachowywać jak oscylacyjny, wszystko zależy od współczynnika tłumienia.

Warunkiem powstania oscylacji jest zależność:

przy czym dla ζ<0 oscylacje są nie tłumione i amplituda zwiększa się do nieskończoności. Innym warunkiem na powstanie oscylacji tłumionych jest to żeby część rzeczywista pierwiastków mianownika była ujemna.

- gdy ζ=0 (człon idealny) wtedy oscylacja ma charakter oscylacji nie tłumionej o stałej amplitudzie.

Charakterystyki dynamiczne podstawowych członów Strona 19 z 21 Skalski Andrzej gr.3.2

L()

[dB]

(

deg

 rad/s]

a b

x

Fx

y

Fy

 rad/s]

(

deg

L()

[dB]

k = 1

k = 3

k = 7

-89

-89.5

-90

-90.5

-91

2

10

1

10

0

10

-1

10

40

20

0

-20

-40

Charakterystyka Bodego

CZŁON CAŁKUJACY

CZŁON CAŁKUJĄCY

Charakterystyka Nyquist,a

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

-800

-600

-400

-200

0

200

400

600

800

Zwrot strzałki

pokazuje zachowanie

charakterystyki przy

wzroście

(

deg

L()

[dB]



 rad/s]

Im

Re

T = 8

Wzrost k

T = 5

T = 2

L()

[dB]

(

deg

 rad/s]

-80

-60

-40

-20

0

10

-3

10

-2

10

-1

10

0

10

1

0

20

40

60

80

100

Odpowiedz na skok jednoskowy członu różniczkującego

rzeczywistego dla k =1 i T zmienne

L()

[dB]

(

deg

 rad/s]

Wzrost k

Wzrost T

Wzrost T

Wzrost T

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

Charakterystyka Nyquista dla członu rożniczkujacego

rzeczywistego dla k = 1 i T zmienne

Im

Re

k/T₁

k/T₂

k/T₃

T₁>T₂>T₃

Wzrost T

L()

[dB]

(

deg

 rad/s]

 rad/s]

L()

[dB]

(

deg

(

deg

L()

[dB]

dy(t)

------------

dt

L()

[dB]

(

deg

 rad/s]

L()

[dB]

 rad/s]

(

deg

---