1. DZIAŁANIA UOGOLNIONE
Rodziną indeksowaną nazywamy f-cję która liczbom naturalnym przyporządkowuje zbiory. Przykład.: N0 - liczby naturalne z zerem właściwym; I=N0, X∈R, X-przestrz./zbór, Φ-rodzina indeksowana; Φi=Ai=[i,i+1], i=0,1,...; A0=[0,1], A1=[1,2], ...; przykł: (brak)
Rodzina indeksowana zbioru: niech I≠∅ będzie rodziną indeksów. Funkcję Φ: I→ρ(x) ; i→Φ(i)=Φi nazywamy rodziną indeksowaną zbioru.
Sumą uogólnioną podzbio. rodziny Φ nazyw: ∪(i∈Φ)≡{x∈X: ∃(i∈I) x∈Φi}
Iloczynem uogóln. podzbio. rodziny Φ nazyw.: ∩(i∈Φ)≡{x∈X: ∀(i∈I) x∈Φi} przykł: I=N0, X∈R, Φi=Ai -[i,i+1), i=0, 1, ...; ∪(i∈I)Ai=[0,+∞)=R+=Φ; ∩(i∈I)Ai=[0,+∞)=R+=Φ; Własności sumy i iloczynu uog.: 1) Prawa de Morgana (∪(i∈I)Φi)'=∩( i∈I)Φi' ; (∩(i∈I))'=∪(i∈I)Φi' ; 2) Prawa de Morgana uogólnione dla różnicy zbiorów: A\∪(t∈T) At= ∩(t∈T) (A\At) ; A\∩(t∈T) At= ∪(t∈T) (A\At) 3) Własności: a) (x∈∪(t∈T) At)⇔ ∃(t∈T) (x∈At) ; b) (x∈∩(t∈T) At)⇔ ∀(t∈T) (x∈At) ; c) (x∉∪(t∈T) At)⇔ ∀(t∉T) (x∈At) ; d) (x∉∩(t∈T) At)⇔ ∃(t∉T) (x∈At) ; e) A∨ ∪(t∈T) At= ∪(t∈T) (A∨At) ; f) ∪(t∈T) (At∧Bt)⊂ ∪(t∈T) At ∧ ∪(t∈T) Bt ; g) ∩(t∈T) At ∨ ∩(t∈T) Bt ⊂ ∩(t∈T) (At∨Bt);
2. RELACJA Równoważności
Parą uporządkowaną (a,b) nazywamy zbiór {{a},{b}}, Iloczynem kartezjańskim nazywamy zbiór A1× A2×...×An= {(a1, a2, ...an):ai∈Ai , i=1,2,...,n} Relacja: Niech X≠∅≠Y, wtedy podzbiór R iloczynu kartezjańskiego X×Y nazywamy relacją binarną (dwuelementową), między elementami zbioru X i zbioru Y. Dziedziną relacji R⊂X×Y nazywamy zbiór DR={x:X, ∃(y∈Y) xRy}, przeciwdziedziną nazywamy zbiór DR-1={y:Y, ∃(x∈X) xRy};
Relację R⊂X×X nazywamy relacją równoważności w X jeżeli ma ona własności: 1. jest zwrotna ∀(x∈X) xRx inaczej- [(x,x)∈R], 2. Jest symetryczna ∀(x∈X) xRy⇒yRx inacz- [(x,y)∈R⇒(x,y)∈R], 3. Jest przechodnia ∀(x,y∈X) xRy∧yRz⇒xRz inacz- [(x,y)∈R∧(y,z)∈R ⇒(x,z)∈R], przykład: (brak)
Zasada abstrakcji: Tw. Jeżeli R jest relacją równoważn. w zb. X to odwzorowanie: ϕ:X→P(x), x→ϕ(x)=(notujemy)=[x]≝{y∈X:xRy} (czyt. elem. zbioru X przyporządkow. cały podzb.), ma własn: 1. ∀(x∈X) ϕ(x)≠∅, 2. ∀(y∈X) ∃(x∈X) y∈ϕ(x)=[x], 3. ∀(x∈X) [[x]=[y]⊻ ([x]∧[y]≠0)]; [x] - klasa abstrak. elem. x = klasa elem. x; „⊻” - czyt. albo kroją się te klasy,
3. Relacja częściowego i liniowego porządku
Df. Mowimy że relacja ≤ jest relacja częściowego porządkującą zbiór X, jeżeli relacja ≤ ma własn: 1. ∀(x∈X) x∈X (zwrotność), 2. ∀(x,y∈X) [x≤y ∧ y≤x ⇒ x=y] (antysymetria), 3. ∀(x,y,z∈X) [x≤y ∧ x≤z ⇒ x≤z] (przechodniość); Przykł: Relacja ≤ w R: X≠∅, P(x), gdzie P to zb. liczb rzeczy.: ∀(a,b∈P(x)) [A≤B ⇔ A⊂B], spełnia 1. A≤A (A⊂A),itd. dla `≤' i `⊂' pkty 2 i 3; R częściowo porządkuje zbiór A jeżeli DR=A i R jest relacją częściowo porządkującą.
Df. Mówimy że relacja częściowego porządku ≤ w zbiorze X porządkuje x liniowo, jeżeli jest dodatkowo spójna i spełnia war spójności 4. ∀(x,y∈X) x≤y ∨ y≤x;
Element największy (najmniejszy) A⊂X, Df. Elem. xo∈A nazyw. najw. (najmn.) w zbiorze A jeżeli: najw: ∀(x∈A) x≤x0 , najmn: ∀(x∈A) x0≤x;
Element maksymalny: x0∈A jest elem. maksym. zbioru jeśli: ~∃(x∈X) (x0≤x ∧ x0≠x). Element minimalny: x0∈A jest elem. minim. zbioru jeśli: ~∃(x∈X) (x0≥x ∧ x0≠x).
Kresy zbiorów: X≠0, (X, ≤), ∅≠A⊂X Df. Mowimy ze A jest ograniczone z góry jeżeli ∃(a∈X)∀(x∈A) x≤a; ograniczone z dołu jeżeli ∃(b∈X)∀(x∈A) b≤x; Zbiór oraniczonym nazyw. taki który jest jednocześnie ograniczony z góry i z dołu. || Jeżeli zb. A jest ograniczony gory i zbiór ograniczeń ma element najmniejszy, to ten elem. nazyw. kresem górnym zb. A (supA). || Jeżeli zb. A jest ograniczony dołu i zbiór ograniczeń ma element największy, to ten elem. nazyw. kresem dolnym zb. A (intA).
4. Funkcje
Def. Funkcji: Relację f spełniającą warunek ∀(x,y,z) ((x,y)∈f ∧ (x,z)∈f ⇒ y=z) nazywamy funkcją. F-cja jest przykładem relacji binarnej. Inaczej: Mówimy że relacja R⊂X×Y jest f-cją z X do Y lub odwzorowaniem zbioru X w Y, jeżeli ∀(x∈X) cięcie relacji R[x] jest zbiorem co najwyżej 1-dno e;emetowym. Piszemy: f: X→Y.
Zbiór X to dziedzina f-cji (Df), każdy element x∈X to argument f-cji. Zbiór Y to przeciwdziedziną f-cji (Df-1). Elementy zbioru Y to wartości f-cji.
Def. Odwzorowanie f: X→Y nazywamy injekcją jeżeli f-cja f jest różnowartościowa, tzn spełnia warunek: ∀(x1,x2) x1≠x2⇒ f(x1)≠f(x2) (odwzorowanie różnowartościowe) Def. Odwzorowanie f: X→Y nazywamy surjekcją jeżeli f-cja f spełnia warunek: ∀(y∈Y)∃(x∈X) f(x)=y, tzn. jeżeli f(X)=Y (odwzorowanie X ma w Y); Def. Odwzorowanie f: X→Y nazywamy bijekcją jeżeli f-cja jest jednocześnie injekcją i surjekcją.
Obrazy i przeciwobrazy: f: X→Y, (X≠∅≠Y), A⊂X; Obrazem zbioru A przy odwzorowaniu f nazywamy nastepujacy podzb. zbioru Y: f(A):={y∈Y: ∃(x∈A) y=f(x)}. Przeciwobrazem zbioru B⊂Y przy odwzorow. f nazyw. następuj. podzb. zbioru X: f-1(B):={x∈X: f(x)∈B}; Własności obrazów i przeciwobr.: 1. f(∪(t∈T) At)= ∪(t∈T) f(At), A={At⊂X: t∈T}, 2. f(∩(t∈T) At) ⊂ ∪(t∈T) f(At), 3. f-1(∪(t∈T) Bt)= ∪(t∈T) f(Bt), 4. a) f-1(∩(t∈T) Bt) ⊂ ∪(t∈T) f-1(bt); b) f(A1)\f(A2) ⊂ f(A1\A2), f-1(B1\B2) = f-1(B1)\f-1(B2), f(f-1(B)=B o ile B⊂f(x), f-1(f(A))⊃A;
Tw. (o parze funkcji wzajemnie odwrotnych) Niech f-cja równowartościowa f odwzorowuje zbiór X na zbiór Y. Jeżlei każdemu elem. y∈Y przyporządkowujemy jedyny elem. x∈X spełniający równość y=f(x), to tak określone odwzorow. zbioru Y na zbiór X nazyw. f-cją odwrotną do f i oznaczamy symb. f -1, tj. f -1:Y→X, gdzie ∀(x∈X, y∈Y) y=f(x)⇔ x= f -1(y); Z tego wynika że: f -1(f(x))=x i f -1(f(y))=y. Wyktesy takich f-cji są symetr. względem f=x.
5. Ciała liczbowe
Ciało jest tpo zespół (A,□,○) złożony ze zb. A, 1. działania □, które: a) jest przemien. i łączne, b) wyznacza w zbi. A elem. neutr. ō, c) każdemu elem. a ze zb. A przyporządkowuje elem. odwrotny ā ; 2. oraz działania ○, które: a) jest przemienne (abelowe) i łączne, b) jest rozdzielne wzgl. działa. □, c) wyznacza w zbiorze A elem. neutral. ŏ rózny od ō, d) każdemu elementowi a zbioru A różnemu od ō przyporządkowuje elem. odwrotny ă. Przykł.: jest ciało liczbowe R liczb rzecz. w którym a,b,c, Działanie □ to dodaw. i ○ mnożenie. Łączność: a(ab)=(ab)c, przemienno: ab=ba, rozdzieln: a(b+c)=ab+ac, elem. neutral, 0(+) i 1(×). W ciele rzeczyw. dane sa tez wlasnoci (a-b)+b=a, (a/b)b=a
Ciało liczb zespolonych Własności: 1. łącz. dodaw. (a,b)+[(c,d)+(e,f)]= [(a,b)+(c,d)]+(e,f); 2. ele. neutr.+ ∀((a,b)∈Z) (a,b)+(0,0)= (0,0)+(a,b)=(a,b) 3. elem. przeciw.∀((a,b)∈Z) ∃(-(a,b)) (a,b) (a,b)+[- (a,b)]= -(a,b)+ (a,b)=(0,0) 4. przemien.+(abelow.) (a,b)+(c,d)= (c,d)+(a,b); 5. łącz.×. (a,b)[(c,d)(e,f)]= [(a,b)(c,d)](e,f); 6. ele. neutr. (a,b)(1,0)= (1,0)(a,b)=(a,b); 7. roz.× wzgl.+ (a,b)[(c,d)+(e,f)]=(a,b)(c,d)+ (a,b)(e,f); 8. el. odwr.∀((a,b)≠(0,0))∃((a,b)-1) (a,b)(a,b)-1= (a,b)-1(a,b)=(1,0) 9. przemien.× (a,b)(c,d)=(c,d)(a,b) (zob. więcej Liczb. zesp. 6)
6. LICZBY ZESPOLONE
Niech a,b,c,d,... będą elementami ciała R liczb rzeczywistych. Wprowadzimy obecnie pewne uogólnienie liczby rzeczywistej; będzie nim uporządkowana para liczb rzeczywistych spełniająca pewne definicje i nazywana liczbą zespoloną. (własności ciała zob. pkt. 5 Ciało liczbowe)
Liczbami zespolonymi nazywamy uporządkowane pary liczb rzeczywistych np. (a,b),(c,d), dla których określamy równość, dodawanie i mnożenie w sposób następujący: (a,b)=(c,d)a=c∧b=d; (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d); (a,b)(c,d)=(ac-bd,ad+bc);
Tw. Zbiór wszystkich liczb zespolonych jest ciałem przemiennym względem dodawania i mnożenia.
**Odejmowaniem liczb zesp. nazywamy działanie odwrotne do dodawania. Wynik odejmowania l. zesp. nazywamy różnicą l. zesp. Dzieleniem liczb zespolonych nazywamy działanie odwrotne do mnożenia. Wynik dzielenia nazywamy ilorazem. Liczba (x,y) jest więc ilorazem liczby zespolonej (a,b) i liczby zespolonej (c,d), co oznaczamy (a,b): (c,d), gdy (x,y)(c,d)= (a,b). Z def. Mnożenia i równości l. zesp. wynika, że wtedy cx-dy=a i dx-cy=b. Modułem liczby z=a+jb, oznaczanym przez |z|, nazywamy rzeczywistą liczbą nieujemną, będącą pierwiastkiem sumy kwadratów części rzeczywistej i części urojonej tej liczby: |z|= √(a2+b2); Wł: 1. ||z1|-|z2||≤ |z1±z2|≤|z1|+|z2| 2. |z1z2|=|z1||z2| 3. |z1|/z2|=|z1|/|z2|
Tw. Licz. zesp. jest ⇔ =0, gdy jej moduł jest =0: (z=0)(|Z|=0).
Liczbą sprzeżoną z liczbą z=a+jb, którą będziemy oznaczać przez (ž), nazywamy liczbami sprzężonymi. sp(z)=sp(x+iy)≝x-iy; Wł: 1. z⋅sp(z)= x2+y2= |z|2 2. sp(z1+z2)=sp(z1)+sp(z2) 3. j.w.(⋅) 4. j.w.(:) 5. j.w.(-) 6. sp(sp(z))=z 7. |sp(z)|=|z| 8. x=((z+sp(z))/2) ∧ y=((z-sp(z))/2i)
Def. Potęgą stopnia naturalnego n liczby z, oznaczaną przez zn, nazywamy n-krotny iloczyn liczby z przez siebie.
Ineterpret. geometr. licz. zesp.: Liczbę zesp. z=x+iy interpretujemy jako wektor wodzący OP=[x,y] punktu P(x,.y) na płaszczyżnie zespol., gdzier na osi odcietych odkładamy część rzeczyw. a na osi rzędnych urojoną, dla li.zesp. z≠0 mamy z= √( x2+y2)⋅ ((x/√( x2+y2))+ i(y/√( x2+y2)))= r(cosΦ+ i sinΦ)), r=|z|
Trygonom. interpret. liczb zesp. i jej pierwiastkowanie
Def. Argumentem liczby z=x+jy ≠0, oznaczanym przez Arg z, nazywamy każdą liczbę rzeczywistą Φ, spełniającą dwa warunki: cosΦ=x/|z|, sinΦ=y/|z|, gdzie |z|=√(x2+y2)>0 jest modułem liczby z.
Def. Pierwiastkiem n-tego stopnia z liczby z (n∈N) nazyw. każdą li. zesp., której n-ta potęga równa się z, Jeżeli z=r(cosΦ+ isinΦ)≠0 i n∈N to istnieje dokładnie n różnych pierwiastków n-tego stopnia z liczby z. Są nimi liczby: zk= n√r (cos((Φ+2kπ)/n)+ isin((Φ+2kπ)/n)), k∈Z=0, 1,…, n-1, r=|z|.
W przypadku n=2 piszemy √z. Nazywamy go także pierwiastkiem algebraicznym. Def. (Wzór Eulera). Potęgę ex o podstawie w i wykładniku z= x+jy, należącym do ciała liczb zespolonych , określamy: ejy :=cosy+jsiny,; F-jce elementarne l.zesp.: 1. ex=exejy= ex(cosy+jsiny), 2. sinz= (ezi-e-zi)/z 3. cosz= (ezi+e-zi)/z 4. lnz={ln|z|+ i(Φ+2kπ), k∈Z};
Wrór de Moivre'a (cosΦ+ isinΦ)n= cos nΦ+ isin nΦ, n∈N; zn=n|z| (cos nΦ+ isin nΦ); Wzór ma zasosow. w trygonom.: (cosΦ+ isinΦ)n= cosnΦ+ (n1)icosn-1ΦsinΦ- (n2)cosn-2Φsin2Φ+ …+ insinnΦ; Oddzielając część rzecz. i uroj. otrzymujemy: cosnΦ= cosnΦ- (n2)cosn-2Φ⋅ sin2Φ+…, sinnΦ= (n1)cosn-1Φ⋅ sinΦ- (n3)cosn-3Φ⋅ sin3Φ+…;
7. Przestrzeń LINIOWA
Def: Przestrz. liniowa na R: Niech A będzie zb.. zaś „+” i „⋅” działaniami określonymi na tym zb. Układ złoż. ze zb. A i wymień. działań będziemy nazyawali przestrz. wektorową lub liniową, elem. tego zb. wektorami, jeż. będą spełn. warunki: 1. ukł. złoż. ze zb. A i działania „+” stanowi grupę abelową 2. dla dowolnych wekt. x i y przestrzeni A i dow. liczb rzeczyw. α i β zachodzą równości a) α(x+y)= αx+αy b) (α+β)x= αx+βx c) (αβ)x= α(βx) d) 1⋅x=x; Przykł: Rn- zb. wszystk. ciągów (x1, ...,xn), gdzie x1, ...,xn są licz. rzeczyw. dodaw. 2 takich ciągów: (x1, ...,xn)+ (y1, ...,yn)= (x1+y1, ...,xn+yn), mnoż: α(x1, ...,xn)= (αx1, ...,αxn), Układ taki (Rn,+,⋅) stanowi przestrz. liniową.
8. Przestrzeń metryczna I
Metryka- Określenie metryki: X≠∅, d: X2→R+ , (x,y)→d(x,y); F-cję d: X2→R+ nazywamy metryką, gdy ma własn: 1. d(x,y)=0 ⇔ x=y (jednozn) 2. d(x,y)=d(y,x) (symetr.) 3. d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y) (nier. trójkąta)
Parę (X,d) nazywamy przestrzenią metryczną przy czym (brak)
Przykład: X=R, d(x,y)=|x-y|, x,y∈R, (R,||) przestrzeń liczb rzeczywistych z metryką naturalną, spr. własn: 1. d(x,y)=0 ⇔ |x-y|=0 ⇔ x-y=0 ⇔x=y,
2. d(x,y)=|x-y|=|-(y-x)|=|y-x|=d(y,x),
3. D(x,y)=|x-y|=|x-z+z-y|=|(x-z)+(z-y)|≤|x-z|+|x-y|=d(x,z)+d(z,y);
Kule w p.m. x0∈X, r>0; Kulą otwartą o środku x0 i promieniu r nazywamy zbiór: Kº(x0,r)≝{x∈X: d(x0,x)<r}; Kulą domkniętą o środku x0 i prom. R nazywamy zbiór: Kˉ(x0,r)≝{ x∈X: d(x0,x) ≤r}; Zbiór otwarty df: mówimy że A⊂X jest zbio. otwa. w p.m. (X,d) jeżeli ma własn: ∀(x∈A)∃(Kº(x,ε)) Kº(x,ε)⊂A; Każdy pkt. o własności zbiou otw. Nazywamy punktem wewnętrz. zbioru A; Zbiór wszystkich punktów wewn. zbioru A nazywa się wnętrzem zbioru A i oznacza symb. „Aº” lub „intA”; Zbiór jest domknięty ⇔ gdy zbiór A⊂Aº (tzn. gdy jest = swojemu wnętrzu), Zbiór jest dmknięty w p.m. (x,d) ⇔ ma własn: ∀((xn)⊂A) xn→x ⇒ x∈A; Brzeg: (X,d), A⊂X, ∂A≝Aˉ\Aº = Aˉ∧ A'ˉ, pkt P nazywamy brzegowym zbioru A, gdy P nie jest ani wewnętrzny ani zewn. wzgl. zbio. A, tzn jeśli w każdym otoczeniu pktu P ∃ conajm. jedn. pkt ∉ A i jedn. ∈ A. Brzegiem nazywamy zb. pktów brzegowych; Domknięcie1: Jeżeli zb. A jest podzb p.m. to domknięciem zb. A nazyw. zbiór Aˉ={x∈W:∃((xn)⊂A) lim xn=x}; Domknięciem2 nazywamy sumę: zbioru A i pochodnej zb. A i oznaczamy „clA” lub „Ā”; (więcej zobacz Granice)
Ciągi zbieżne w p.m.: (X,d) xn∈X Df. Ciągiem (xn) elementów p.m. (X,d) nazywamy zbieżnym do granicy x∈X jeżeli ma on własn.: ∀(ε>0)∃(n0∈N)∀(n>n0) d(xn,x)<ε ;lim(x→0) nn=x, xn-(n→∞)→x, d(xn,x) -(n→∞)→0; Własności ciągów zbieżn. w p.m. (X,d): 1. ciąg stały jest zbieżny {xn=x, n=1,2,...; lim(n→∞) xn=x} 2. ciąg ma conajwyżej 1 granicę, 3. Jeżeli Xn→X to dla dowolnego podciągu Xnk ciągu Xn: lim(k→∞) Xnk=X
9. Przestrzen metryczna II
Warunek zbieżności ciągu (Cauchy'ego) : Mówimy że ciąg (xn) w przestrz. metryczn. (X,d) spełnia warunek Cauchy'ego jeżeli ma własn: ∀(ε>0)∃(n0∈N)∀(n>n0)∧∀(m∈N) d(xn,xn+m)<ε, d(xn,xn+m)-(n→∞)→0; Tw. Każdy ciąg zbieżny spełnia warunek Cauchy'ego: ∀(ε>0)∃(n0∈N)∀(n>n0) d(xn,x)<ε (xn→x); d(xn,xn+m)≤d(xn,x)+d(xn+m,x)< ε/2+ε/2 dla n>n0 ; Przestrzeń metr. zupełna, to przestrzeń metr. (X,d) o własn.: ∀(x ⊃ (xn)∈(c)) ∃ lim(n→∞) xn = x∈X, {{gdzie (xn)∈(c) oznacza: xn spełnia war. Cauchy'ego}} Przykł: 1. zb. licz. rzecz. ze zwykłą metryką d(a,b)= |a-b| jest przestrz. zupełną, 2. (R,||) 3. (r2,dε) dε(P,Q)= √((xP-xQ)2+ (yP-yQ)2), P(xP,yP), Q(xQ,yQ) 3. (Rn,d), x=(x1, ..., xn). y=(y1, ..., yn), d(x,y)= √((i=1)Σ(n)(xi-yi)2)
Tw. (Banacha o punkcie stałym) Jeżeli f: (X,d)→(X,d) jest odwzorowaniem zwężającym p.m. zupełnej w siebie ze stałą kontrakcji (punktem stałym) 0≤α<1, to 1. ∃(sp(x)∈X) sp(x)=f(sp(x)) 2. dla dowolon. x0∈X ciąg kolejnych przybliżeń (xn) startujacy z pktu x0 jest zbież. do sp(x), 3. zachodzi oszacowanie d(sp(x),xn)≤(αn/(1-α)) d(x0,f(x0)) Dowód: Wykazać że (xn) spełnia war. Cauchy'ego: d(x1,x2)= d(f(x0),f(x1))≤ L d(x0,x1) ,, d(x2,x3)= d(f(x1),f(x2))≤ L d(x1,x2) ,, ..(z zasady trójk.).. ,, d(xn,xn+1)≤ Ln d(x0,x1) ;; d(xn,xn+p)≤ d(xn,xn+1)+ d(xn+1,xn+p)≤ d(xn,xn+1)+ d(xn+1,xn+2)+ …+ d(xn+p-1,xn+p)≤ Ln d(x0,x1)+ Ln+1 d(x0,x1)+ …+ Ln+p-1 d(x0,x1)= (Ln+ Ln+1+ …+ Ln+p-1) d d(x0,x1)= Ln ((1-Lp)/ (1-L)) d(xn,x1)≤ Ln (1/ (1-L)) d(x0,x1);; Ln→0 ponieważ L<1 →0. Stąd wynika, że ciąg jest ciągiem Cauchy'ego. Ponieważ (X,d) to przestrz. metr. zupełna to ∃ lim(n→∞) Xn= sp(x)∈X.
10. Prestrzeń metryczna III
Zbieżność „po współrzędnych” w Rn:
Zbieżność jednostajna ciągu f-cyjnego w p.m. C[a,b]: f: [a,b]→R ; fn→f ;; sup([a,b]) |fn(x)- f(x)|→0 ;; ∀(ε>0)∃(n0∈N)∀(n>n0)∀(x∈[a,b]) |fn(x)- f(x)|<ε ;. Zbieżność niemal jednostajna: Mowimy że ciąg f-cji (fn) taki że f: (a,b)→R jest niemal jednost. zbież. do f-cji granicznej f, jeżeli jest on jednostaj. zbieżny na dowolnym przedziale domkniętym [α,β]⊂(a,b) .; Przestrzeń metrzeń metrzyczna C[0,1]:
11. przestrzeń metr. iV, granice, ciągłość f-cji
Definicja granicy lim(x→x0) f(x) f-cji f: (X,d)→(Y, ρ)
Def (Heinego): Mówimy, że f-cja f ma w punkcie x0 granicę g co zapisujemy lim(x→x0)f(x)=g) ⇔ gdy dla każdego ciągu (xn) o wyrazach ze zbioru Df\{x0} i zbieżnego do punktu x0 ciąg (f (xn)) jest zbieżny do punktu g.; lim(x→x0) f(x)=g⇔∀((xn)∈Df\{x0}) xn→x0, f(xn)→g .;
Def (Cauchy'ego): Mówimy, że f-cja f ma w punkcie x0 granicę g ⇔ gdy dla każdego ε>0 istnieje takie r>0, że dla każdego x∈Df 0<|x-x0|< r⇒|f(x)-g|< ε; lim(x→x0) f(x)=g⇔∀(ε>0)∃(δ>0)∀(x∈X) d(x,x0)< δ⇒ d(f(x),g) <ε; Własności: działania arytmet. na granicach f-cji: Jeżeli lim(x→x0) f(x)=g, lim(x→x0)=p, i x0 jest pktem skupienia zbio. Df ∧ Dh , to: 1,2,3. lim(x→x0) [f(x)±×h(x)]= g±×p; 4. lim(x→x0) [f(x)/h(x)]=g/p, p≠0; 5. Jeż. lim(x→x0) f(x)=g oraz lim(y→g) h(y)=p, to lim(x→x0) h[f(x)]=p;.
Ciągłość funkcji: Niech f oznacza f-cję liczbową i niech x0∈Df :
Def (Heinego ciągłości funkcji): Mówimy, że f-cja jest ciągła w punkcie x0 ⇔ gdy dla każdego ciągu (xn) o wyrazach ze zbioru Df i zbieżnego do punktu x0 ciąg (f(xn)) jest zbieżny do punktu f(x0).
Def (Cauchy'ego): Mówimy, że f-cja f jest ciągła w punkcie x0 ⇔ gdy ∀(ε>0)∃(δ>0)∀(x∈X) d(x,x0)<δ ⇒ ρ(f(x0)-f(x))<ε.
TW. F-cja f jest ciągła w punkcie x0 będącym punktem skupienia dziedziny Df ⇔ gdy lim(x→x0) f(x)=f(x0).
Def: Mówimy, że f-cja f jest ciągła ⇔ gdy jest ciągła w każdym punkcie swej dziedziny.
Jednostajna ciągłość a lipschitzowalność: F-cja f: (X,d)→(Y,ρ) jest jednost. ciągła na X gdy: ∀(ε>0)∃(δ>0)∀(x1,x2∈X) d(x1,x2)≤δ ⇒ρ(f(x1),f(x2))<ε;
Def. (Warunek Lipschitza): Mówimy że f: (X,d)→(Y,ρ) spełnia war. Lipsch. ze stałą Lipsch. L, jeżeli: ∃(0≤L)∀(x1,x2∈X) ρ(f(x1),f(x2))≤ L⋅d(x1,x2). F-cja, która spoełnia war. Lipsch. jest jednostajnie ciągła: (1) ρ(f(x1),f(x2))≤ L⋅d(x1,x2)< L⋅δ ;; d(x1,x2)<δ - jednostajność ;; (2) ρ(f(x1),f(x2))<ε - jednostajność:: z (1) i (2) wynika, że L⋅δ=ε ⇒ δ=ε/L
11.2. GRANICE cd.
**Def: Granicą lewostronną f-cji f w punkcie x0 nazywamy f`(x0-)= lim(Δx→0-) [f(x0+Δx)-f(x0)]/Δx.
**Def: Granicą prawostronną f-cji f w punkcie x0 nazywamy f'(x0+) = lim(Δx→0+) [f(x0+Δx)-f(x0)]/Δx.
**Def: Zbiór Q(x0;r) = {x∈X:|x0-x|<r} nazywamy otoczeniem punktu x0 liczbę r natomiast promieniem otoczenia. W przestrzeni jednowymiarowej otoczeniem punktu jest przedział o długości 2r.
**Def: Zbiór S(x0;r) = Q(x0;r) - {xo} nazywamy sąsiedztwem punktu. W przestrzeni jednowymiarowej sąsiedztwo jest to przedział S (x0 ; r ) = (x0-r;x0)∪(x0;x+r ).
**Def: Punkt x0∈X nazywamy punktem skupienia zbioru A⊂X wtedy i tylko wtedy, gdy dla do każdego otoczenia Q(x0;r) należy co najmniej jeden różny od x0 punkt x∈A.
**TW. Punkt x0 przestrzeni metrycznej Xd jest punktem skupienia zbioru A⊂Xd wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje ciąg (Xn) o wyrazach należących do zbioru A-{x0}i taki, że lim(n→∞) xn=x0.
**Def: Punkt x0 przestrzeni X nazywamy punktem izolowanym zbioru A⊂X wtedy i tylko wtedy, gdy x0∈A oraz gdy x0 nie jest punktem skupienia zbior A. (więcej zob. Przestrz. metr. I)
12. WŁASNOŚCI F-cJI CIĄGŁYCH na zb. zwartym
Zbiory zwarte: Podzbiór A p.m. (X,d) nazyw. zb. zwartym, jeżeli ma własność: dowol. ciąg (xn)⊂A zawiera podciąg zbież. do elem. zbioru A, tzn: ∀(Xn⊂A)∃(Xnk) Xnk-(k→∞)→ x∈A; Podzb. zwarty p.m. (X,d) jest zbiorem domkniętym i ograniczonym. Ciągły obraz p.m. zwartej jest zbio. zwartym. Def. Przestrz. metr. (X,d) nazyw. zwartą gdy: ∀(Xn⊂X)∃(Xnk) Xnk-(k→∞)→ x∈X Tw. podzbiór zwarty w p.m. (X,d) jest zb. domkn. i ogranicz.
TW. (Cantora o jedn. ciągł.) Jeż. f-cja f: (X,d)→(Y,ρ) jest ciągłym odwzorow. p.m. zwartej (X,d) w p. m. (Y,ρ), to f jest jednost. ciągła na X. Dowód: ~∀(ε>0)∃(δ>0)∀(x1,x2∈X) [d(x1,x2)<δ ⇒ρ(f(x1),f(x2))<ε];;
E(ε>0)∀(δ>0)∃(x1,x2∈X) [d(x1,x2)<δ ⇒ρ(f(x1),f(x2))≥ε];;
δ1=1, x1,y1 d(x1,y1)<1 ∧ ρ(f(x1),f(y1))≥ε;;
δ2=1/2, x2,y2 d(x2,y2)<1/2 ∧ ρ(f(x2),f(y2))≥ε;; ...
δn=1/n, xn,yn d(xn,yn)<1/n ∧ ρ(f(xn),f(yn))≥ε;; (xn),(yn)⊂X;;
(Xnk),Xnk -(n→∞)→ sp(x) - zbieżny;; d(xnk,ynk)<1/nk ∧ ρ(f(xnk),f(ynk))≥ε;;
(Xnk),Xnk -(m→∞)→ sp(y);; d(xnkm,ynkm)<1/nkm ∧ ρ(f(xnkm),f(ynkm))≥ε;;
xn→sp(x), yn→sp(y) ⇒ d(xn,yn)→ d(sp(x),sp(y));;
d(xnkm↘0,ynkm)→ d(sp(x)↘0,sp(y)), stąd sp(x)=sp(y);;
f(xnkm)→f(sp(x)), f(ynkm)→f(sp(y)) ⇒ d(f(xnkm),f(ynkm))→ d(f(sp(x)),f(sp(y)));;
d(f(xnkm)↘0,f(ynkm))→ d(f(sp(x))↘0,f(sp(y))) stąd : f(sp(x))=f(sp(y));;
a więc f(xnkm)-f(ynkm)= 0 ~(≥ε);;.
TW.(Weierstrassa): F-cja rzeczyw. f: (X,d)→(R,||) okraślona i ciągła na przestrz. metr. zwartej (X,d) (np. f-cja f określona i ciągła na przedz.<a,b>) jest f-cją ograniczona (na tym określonym przedziale) i osiąga swoje kresy {tzn. isnieją takie liczby c1 i c2 że f(c1)= inf(a≤x≤b) f(x)), f(c2)= sup(a≤x≤b) f(x)}. Dowód: ograniczoność jest oczywista, gdyż funkcja jest określona na ograniczonym przedziale domkn., mając zaś na myśli że f-cja jest ciągła na przedziale domkniętym i osiąga na tym przedziale kres dolny i górny zbioru swoich wartości. Jeż. fcja ciągła jest określ. na przedz. otwartym, to nie może być ograniczona, więc kresy zbioru jej wartości nie mogą w ogóle isnieć np. tgx x∈(-π/2,π/2). Jeż f-cja ciągła na przedz. otw. jest ogranicz. na przedz. otwar. to i tak nie może osiągać na nim kresu swoich wartości np. f(x)=x, x∈(a,b) tylko inf(a,b) x=a, sup(a,b) x=b.
**TW.(O ciągłości funkcji odwrotnej): Jeśli f-cja f jest ciągła i rosnąca (malejąca) na przedziale A⊂R, to f(A) jest przedziałem oraz f-cja f-1 jest ciągła i rosnąca (malejąca) na przedziale f(A).
**TW.(O ciągłości funkcji złożonej): Jeżeli f-cja wewnętrzna f jest ciągła w punkcie x0 i f-cja zewnętrzna h jest ciągła w punkcie u0 = f(x0) to f-cja złożona h(f(x)) jest ciągła w punkcie x0.
**TW.(O wprowadzeniu granicy do argumentu funkcji ciągłej): Jeżeli istnieje granica właściwa lim(x→x0) f(x) = g i f-cja h jest ciągła w punkcie u0 = g to lim(x→x0) h[f(x)] = h[lim(x→x0) f(x)] = h(g).
**TW.(O lokalnym zachowaniu znaku): Jeżeli f-cja f jest ciągła w punkcie x0 oraz f(x0)>0 albo f(x0)<0 to istnieje takie otoczenie Q punktu x0, że dla każdego x∈Q∩Df spełniona jest nierówność: f(x)>0 albo f(x)<0.
**TW.(Darboux): Jeżeli f-cja f jest ciągła na przedziale domkniętym <a;b> f(a)≠f(b) oraz liczba g jest zawarta między f(a) i f(b) to istnieje taki punkt c∈ (a;b), że f(c )=g.
13. ciągi rzeczywiste I
Granica właściwa ciagu i własn.: war. Cauchy'ego zbieżności ciągu: Liczba x jest granicą ciągu (xn) ⇔ gdy: lim(n→∞) xn=x ⇔ ∀(ε>0)∃(n0) ∀(m>n0)∀(k>n0) (|xm-xk|<ε); Własn. c. zbież. do gran wł. w R - 1. działania na gran. ciągów: Dane są ciągi xn i yn: a,b,c. lim(n→∞) (xn±×yn)= lim(n→∞)xn±× lim(n→∞)xn d. lim(n→∞) (xn/yn)= (lim(n→∞)xn)/ (lim(n→∞)yn), yn≠0, lim(n→∞)yn≠0; e. jeż. ∃(n0)∀(n0≤n) xn<yn to lim(n→∞)xn≤ lim(n→∞)yn 2. ciągi stałe są zbież. (xn=x, n=1,2... to lim(n→∞)xn=x) 3. ciąg ma conawyż. jedn. granicę 4. dowol. podc. ciągu zbież. jest zbież. i to do tej samej granicy 5. Tw. dla a>0 n√a→n, n√n→1 6. w przestrz. zupełn (R,||) każdy ciąg który spł. war Cauch. jest zbież. do elem. z R 7. Tw. o 3 ciągach: Jeż. ciągi (xn) i (yn) są zbież. w R i lim(n→∞)xn= lim(n→∞)yn oraz ciąg (zn) ma własn.: ∃(n0∈N)∀(n>n0) xn≤zn≤yn , to ciąg (zn) jest zbież. oraz lim(n→∞)xn= lim(n→∞)yn= lim(n→∞)zn Przykład: liczba Eulera e=(1+1/n)n
TW. (o ciągu ograniczonym) 8. c. monotonicz. i ogranicz. jest zbieżn. 9. ciąg zbieżny jest ogranicz. 10. c. ogranicz. zawiera podciąg zbieżny (tw. Balzano -Weierstr. ) 11. każdy c. niemalej./ nierosn. ogranicz. z góry/ dołu ma granicę właściw. w R 12. c. jest ogran. w R jeżeli spełnia war. Cauchy'ego.
TW. (o ciągu monotonicznym) Ciąg xn nazyw.: 1. rosną. jeż. ∀(n∈N) (xn<xn+1) 2. malej. jeż. ∀(n∈N) (xn>xn+1) 3. niemalej. ∀(n∈N) (xn≤xn+1) 4. nierosn. ∀(n∈N) (xn>=xn+1)
**Ciągiem nieskończonym nazywamy f-cję f, która odwzorowuje zbiór N na pewien niepusty zbiór Y.
**Ciąg zbieżny jest ograniczony. Ciąg zbieżny jest to taki ciąg, który posiada granicę skończoną. Ciąg rozbieżny nie posiada granicy lub granica istnieje, ale jest niewłaściwa (±∞). Jeżeli ciąg jest ograniczony to istnieje taka liczba, że wszystkie wyrazy są większe od niej i druga liczba, że wszystkie są mniejsze.
**O zachowaniu nierówności stałej. Jeżeli lim(n→∞) an=a i lim(n→∞) bn=b oraz istnieje taka liczba n0 , że dla każdego n>n0 spełniona jest nierówność an≤bn , to a≤b. y.
14. ciągi rzeczywiste II
Zupełność przetrz. metryczn. R: Przestrzeń (R,||), przestrz. liczb rzeczyw. z metryką natur. jest przestrz. metr. zupełną; Przestrzenią zupełna nazyw. p.m. (X,d) o własn: ∀(x⊃xn∈(c))∃lim(n→∞)xn=x∈X czyli taką w której każdy ciąg Cauchy'ego jest zbież. do jakiegoś elem. tej przestrz.
Granice niewłaściwe: Ciąg x≡n≡ nazyw. rozbieżnym do „±∞” lub zbież. do granicy niewł. „±∞” jeżeli: lim(n→∞)xn=+(-)∞ ⇔ ∀(M)∃(n0)∀(n>n0) xn>(<)M
15. Pochodna f-cji 1 zmiennej I
Def: Granicę właściwą ilorazu różnicowego gdy Δx→0 nazywamy pochodną f-cji w punkcie i oznaczamy symbolem f`(x0), f`(x0)=lim(Δx→0) [f(x0 + Δx) - f(x0)]/Δx.
Def: Iloraz różnicowy f-cji f w punkcie x0 i dla przyrostu Δx zmiennej niezależnej jest to stosunek [f(x0+Δx)-f(x0)]/Δx.
TW. (o reprezentacji przyrostu): Jeżlei f: Ux0→X ma pochodna f'(x0) w p. x0 to słuszny jest wzór: Δf(x0)=f(x0+Δx)-f(x0)= f'(x0)dx+ω(Δx) gdzie ω jest f_cją taką że ω(0)=0, lim(Δx→0) ω(Δx)/Δx=0 Dowód: Δf(x0)=f'(x0)Δx+ (Δf(x0)- f'(x0)Δx)↘(ω(Δx));; lim(Δx→0) ((Δf(x0)- f'(x0)Δx)/Δx)= lim(Δx→0) [(Δf/Δx)⋅( x0)- f'(x0)]=0.;
Warunek koniecz. różniczkow. f-cji f w p.m.: Tw. jeż. f-cja f: Ux0→R ma poczhodą w p. x0, to f-cja f jest ciągła w p. x0, Dowód: lim(Δx→0) f(x0+Δx)= f(x0).
**Def: Pochodną logarytmiczną f-cji f nazywamy pochodną jej logarytmu naturalnego [ln f(x)]'= f `(x)/f(x).
**TW. (O pochodnej funkcji określonej parametrycznie): Jeżeli f-cja y=g(x) jest określona parametrycznie: x=f(t); y=h(t),dla t∈(a,b). przy czym istnieją pochodne dy/dt i dx/dt≠0 to istnieją takie pochodne dy/dx= (dy/dt)/(dx/dt).
**Def: przyrostu f-cji: f (x0+Δx)-f(x0)≈ f`(x0)*Δx
**Def: Róźniczką f-cji f w punkcie x0 i dla przyrostu Δx zmiennej niezależnej x nazywamy iloczyn f`(x0)*(Δx). Różniczkę oznaczmy symbolem df(x0) lub krótko df lub dy.
16. Pochodna f-cji 1 zmiennej II
TW.(O pochodnej funkcji złożonej): Jeż. R⊃Ux0-f→f(Ux0)-g→R, jeż. f-cja f ma pochodną w p. x0, a f-cja g ma pochodną w punkcie y0= f(x0) to istnieje poch. fcji g⋅f w x0: g'[f(x0)]* f'(x0)= (g⋅f)'(x0).
Def: Pochodną n-tego rzędu f-cji f w punkcie x okreœlamy następująco: f (n) (x)= [f (n-1)](x), n=1,2,...przy czym [f (0)]'(x)=f`(x).
Def: Zakładamy że ist. pochodna f(n-1)(x) f-cji f: R⊃Ux0→R dla x∈Ux0. Oznaczamy Φ(x)=fn-1(x). Jeż. istnieje Φ'(x0), to tę f-cję (pierwsz. poch. f-cji Φ) nazywamy n-ta poch. f-cji f w p. x0 lub poch. n-tego rzędu w p. x0, fn(x0), n=0,1,...;
TW.(O pochodnej funkcji odwrotnej): Jeż. f-cja f: R⊃Df-na→Df-1⊂R, jeż. f-cja f jest ciągła i monoton. i ma poch. w Df: f'(x)≠0, x∈Df to f-cja odwrotna f-1 ma poch. w Df-1 y f-1'(x0)=1/f'(f-1(x0));
TW.(o pochodneej sumy, ilocz. ilorazu) f-cji: Dane sa f-cje f,g: Uxo→R takie że isnieje f'(x0) i g'(x0), wtedy: 1. (f(x0)±g(x0))'= f'(x0)± g'(x0) 2. [f(x0)g(x0)]'= f'(x0)g(x0)+ f(x0)g'(x0) 3. [f(x0)/g(x0)]'= {[f'(x0)g(x0)- f(x0)g'(x0)]/ g2(x0)}
17. Twierdzenia o wartości średniej
TW.(Rolle'a): Jeżeli f-cja f jest ciągła na przedziale <a;b> i różniczkowalna na przedziale (a;b) oraz f(a)=f(b), to istnieje taki punkt c∈(a;b), że f `(c)=0. Dowód: A) f(x)=const f'(x)=0 B) f(x)≠const. x∈<a,b> istnieje supf(x)>f(a)∨ inff(x<f(a), z tw. Weiestr. f(c)=inff(x)), c≠a, c≠b:: [f(c+ Δx)-f(c)]/Δx ={≥0 dla Δx>0, ≤0 dla Δx<0}, Ponieważ c+Δx∈<a,b>, z założ. wiemy że istnieje poch. f'(c) więc 0≤f-`(c)= f'(c)= f+'(c)≤0 czyli f'(c)=0;.
TW.(Lagrange'a): Jeżeli f-cja f:[x0,x]→R jest ciągła na przedziale domkn. <x0,x> ist f'(x) dla x∈(x0,x), to istnieje taki punkt c∈(x0,x), że f(x)-f(x0)= f'(c)(x-x0). Wnioski: 1) Jeż. f-cja f: R⊃Df→R ma w Df poch. ograniczoną to f-cja jest lipschitzowalna. 2) jeż. f-cja f: R⊃(a,b)→R istnieje f'(x)=0, x∈(a,b) to f=cont. inacz: jeżeli dla każdego x∈<a;b> f'(x)=0 to dla każdego x∈<a;b> f(x)- f(x0)=0(x-x0) ⇒ f(x)=f(x0). Jeżeli f'(x0)=0 w każdym punkcie przedziału (a;b), to f-cja f jest na tym przedziale stała. 3) jeżeli dla każdego x∈ (a;b) f`(x)>0 to: a) x<x0, f(x)-f(x0)=f`(x)(x-x0)<0; f(x)-f(x0)<0⇒f(x)<f(x0) b) x0<x, f(x)-f(x0)=f(x0)(x-x0)>0⇒ f(x)>f(x0). Jeżeli f`(x)>0 w każdym punkcie przedziału (a;b), to f-cja f jest na tym przedziale rosnąca 4) Jeżeli f `(x)<0 w każdym punkcie przedziału (a;b), to f-cja f jest na tym przedziale malejąca.
TW.(Taylora): Jeżeli f-cja f: Ux0→R ma ciągłe pochodne do rzędu n-1 f-cji w Ux0 oraz ma pochodną rzędu n w Ux0, to ∀(x∈Ux0) oraz x≠x0 istnieje liczba ς∈(0,1) taka że f(x)= K=0Σn-1 [(fK(x0)/k!)* (x-x0)K]+ [(f(n)(c))/n!)* (x-x0)n] ↘reszta Lagrangea, c=x0+ς(x-x0) Dowód: (dla przypadku 2≤n) -dla n=1 twierdzenie zredukuje się bowiem do tw. Lagrange'a o wart. średniej.;; Obieram dowol. x∈Ux0, obierając dowolną licz. λ∈R definiujemy f-cję φ=φx,λ: Ux0→R, t→φ(t);; φ(t)≝f(x)- K=0Σn-1 [(f K(t)/k!)* (x-t)K]- λ((x-t)n)/n! ,t∈Ux0, Rozpatrzmy zawężenie (restrykcję) f-cji φ do przedź. ([x0,x] lub [x,x0]); φ(x)=0; Dobieram λ aby φλ(x0)=0, Z tw. Rolla: poniważ spełnione są założ. tw. Rolla, istnieje c należące do przedz. o końc. (x) i (x0) takie że φ'(c)=0;;
φ'(t)= (-1)K=0Σn-1 [(fK+1(t)/k!)* (x-t)K]+ K=0Σn-1 [(fK(t)/ (k-1)!)* (x-t)K-1]+ [λ(x-t)n-1/(n-1)!]= (-1)K=0Σn-1 [(fK+1(t)/ k!)* (x-t)K]+ K=0Σn-2 [(fK+1(t)/ k!)* (x-t)K]+ [λ(x-t)n-1/ (n-1)!]= (-1)⋅ [(fn(t)/ (n-1)!)* (x-t)n-1]+ [λ(x-t)n-1/ (n-1)!]= (-1)⋅ [(fn(c)/ (n-1)!)* (x-c)n-1]+ [λ(x-c)n-1/ (n-1)!]=0;; (x-c)n-1/ (n-1)!⋅ [λ- fn(φ)]=0;; λ=fn(φ), c=x0+ ς(x-x0), ς∈(0,1);;.
**Wz. Maclaurina: We wzorze Taylora kładąc x0=0 otrzymamy K=0Σn-1[(f (K) (0)) /k!]*xK +R n , gdzie Rn=[f (n) C/n!]* x n. Punkt c jest położony między 0 i x.
18. Całka Riemanna I
Suma całkowa Riemanna f-cji f na przedziale <a;b>: Rn= k=1Σn f(ck)*Δxk, δn=max(1≤k≤n)Δxk - średnica przedziału, Δxk=xk-xk-1, k=1, 2, ..,n - długość prezdz. częściowego;
Def: Jeżeli dla każdego ciagu normalnego podziału przedziału [a,b] na przedzialiki częściowe, ciąg sum częściowych (Rn) jest zbież. do granicy właści. niezależnie od wyboru punktów pośrednich ci , to granicę tę nazywamy całką oznaczoną (Riemanna) z f-cji f na przedziale [a,b] i oznaczamy symbolem a∫bf(x)dx. O f-cji mówimy że jest ona R całkowalna na przedziale domkniętym <a,b>;
Warunek koniczny R-całkow. f-cji: jeż. f-cja f: [a,b]→R jest r-całkow. to jest ona f-cją ograniczoną na [a,b],
Warunek koniczny i wystarczaj. R-całkow. f-cji: Całka ozn. Riemanna z f-cji f na [a,b] isnieje ⇔ gdy istnieją całki Darboux i są sobie równe (Sn→S;; sn→s) i s=S
19. Całka Riemanna II
Liniowość całki Riemanna: TW. Jeżeli f-cje f,g: [a,b]→R sa R-całkowal. na przedz. [a,b] to 1) (dodaw.) f-cja f+g: [a,b]→R: x→(f+g)(x)=f(x)+g(x), jest również całkowalna na tym przedz. [a,b] i ma miejsce równość: a∫b[f(x)+g(x)]dx= a∫bf(x)dx+ a∫bg(x)dx (addytywność całki wzgl. f-cji podcałk.) 2) (wyłącz. czynn. stałego) f-cja αf: [a,b]→R ,α∈R(jednorodność całki) : x→(αf)(x)=αf(x);;
R(a,b) - zbiór wszystk. f-cji R całkow. na [a,b], (a,b)- przestrz. wektorowa z działań. dodaw. mnoż. f-cji przez skalar po wspólczynnikach.;; Operator całkowy T: R(a,b)→R, f→T(f)= a∫bf(x)dx, jest funkcjonałem liniowym T(f+g)=T(f)+T(g); T(αf)=αT(f), całkoa liniowa jest funkcjon. liniowym;;
TW (O całkowaniu przez podstawienie całki ozn.): Jeżeli: 1) f-cja g(t) jest ciągła na przedziale <a,b> i przekształca go na przedz. <α,β> 2) f-cja t= h(x) jest klasy C1 <a;b> 3) zbiorem wartości f-cji t= h(x) jest przedział <α,β>, i przy tym α=h(a) i β=h(b) to prawdziwy jest wzór dla całki oznaczonej a∫bg[h(x)]h'(x)dx= α∫βg(t)dt. ;; Zeszyt: Jeż. 1. φ:<α,β> -na→<a,b> ma choch w <α,β> 2. f:<a,b>→R ma f. pierwotną na <a,b> to ∫(f⋅φ)f'(t)dt= (F⋅Φ)(t)+c, t∈<a,b>;
TW (O całkowaniu przez części): Jeżeli f-cje u i v są klasy C1 na pewnym przedziale, to na tym przedziale prawdziwy jest wzór ∫u(x)*v'(x)dx = u(x)*v(x) -∫u'(x)*v(x)dx , który nazywamy wzorem na całkowanie przez części.
TW (O całkowaniu przez części dla całki oznaczonej): Jeżeli f-cje U i V są klasy C1<a;b> to a∫b U(x)*V'(x)dx= U(x)*V(x)ab - a∫bU'(x)*V(x)dx.
Tw. (o jednostajnej ciągłości F-cja ciągła określ. na przedz. domkn., a więc zwartym jest R-całkowalna na tym przedziale.
Własności całki oznaczonej: 1) Wartość całki oznaczonej nie zależy od oznaczenia zmiennej całkowania 2) F-cja całkowalna na pewnym przedziale domkniętym jest także całkowalna na każdym podprzedziale tego przedziału. 3) Jeżeli f-cje f i g są całkowalne na przedziale <a;b>, to również f-cja (f+g) jest całkowalna na tym przedziale oraz a∫b[f(x)+g(x)]dx= a∫bf(x)dx+ a∫bg(x)dx. 4) Jeżeli f-cja f jest całkowalna na przedziale <a;b> oraz A=const również f-cja A*f jest całkowalna na tym przedziale i a∫bAf(x)dx= Aa∫b f(x)dx. 5) Jeżeli f-cje f i g są całkowalne na przedziale <a;b>, to również iloczyn jest f-cją całkowalną na tym przedziale, iloczyn zawiera punkty nieciągłości funkcji f i g 6) Zmiana wartości f-cji w skończonej liczbie punktów przedziału nie wpływa ani na całkowalność tej f-cji w tym przedziale ani na wartość całki, jeśli f-cja ta jest całkowalna. 7) Jeżeli a,b,c są dowolnymi punktami pewnego przedziału, na którym f-cja f jest całkowalna, to a∫c f(x)dx +c∫b f(x)dx= a∫bf(x)dx 8) Niech f i g będą f-cjami całkowalnymi na przedziale <a;b>, wówczas f(x)≤g(x); dla x∈<a,b>⇒a∫bf(x)dx≤a∫bg(x)dx 9) Niech f będzie f-cją na przedziale <a;b>, wówczas: m≤f(x)≤M dla x∈<a,b>⇒ m⋅(b-a)≤ a∫bf(x)dx≤M⋅(b-a). 10) (Newtona - Leibniza): Jeżeli ∅ jest dowolną f-cją pierwotną f-cji f ciągłej na przedziale <a;b>, to a∫bf(x)dx=∅ (b) -∅ (a). 11) Jeż. f-cja f:<a,b> jest R-całkow. i jest f-cja ograniczoną na <a,b> poza zbiorm A miary (Lebesque) zero, oraz f(x)=0 dla x∉A, to a∫bf(x)dx=0,;
20. Całka Riemanna III
Interpretacja geometryzna całki oznaczonej: Def: niech f będzie f-cją ciągłą i przyjmującą na przedz. <a,b>jedynie nieujemne wart.: 0≤f(x). Wiemy, że istn. wówczas całka a∫bf(x)dx, równa wspólnej granicy sum dolnych i górnych, która to granica nie zależy od ciagu normalnego podziałów przedz. <a,b>. Tę wspólną granicę limsn= limSn= a∫bf(x)dx nazywamy w tym przy. polem figury płaskiej określonej w protokatnym ukł. kartezjańskim OXY układem nierówności a≤x≤b, 0≤y≤f(x), Takie oznaczenie pola figury jest zgone z określeniem pola figury płaskiej.
TW Jeżeli ciągłe na przedziale <a;b> f-cje f1 i f2 spełniają na tym przedziale nierówność f1(x)≤ f2(x) to pole D figury D ograniczonej wykresami tych f-cji i prostymi x= a i x= b wyraża się wzorem D= a∫b [f2(x)-f1(x)]dx.
TW Jeśli krzywa l jest określona równaniami parametrycznymi x= x(t) i y= y(t), t∈<α,β.> gdzie obie są ciągłe oraz ciągła dodatnia pochodna dx/dt na przedziale <α,β>, to pole D fig. pładkiej D ograniczonej tą linią, osią ox oraz prostymi x=a, x=b gdzie x(α)=a, x(β)=b, dane jest całką |D|= α∫β|y(t)|*x'(t)dt., gdy postać wyraźna: to jej pole P=a∫b|f(x)|dx, gdy postać bigunowa: Jeż. dan jest we współrz. bigunowych: r=f(φ), φ∈<α,β>, 0<β-α<2π, przy czym f(φ) jest ciągła, nieujem. na przedz. <α,β> to pole: P=1/2a∫br2dφ;
TW. Łuk AB określony równaniem wyraźnym y= f(x) a≤x≤b, gdzie f jest f-cją klasy C1<a;b> ma długość l wyrażającą się wzorem l= a∫b√(1+f ' 2(x)) dx.
TW Jeżeli krzywa dana równaniami parametrycznymi x= x(t) y= y(t) t∈<α,β> jest łukiem zwykłym oraz f-cje x(t), y(t) są klasy C1<α,β> to jej długość l wyraża się całką l= α∫β √([x'(t)]2+[y`(t)]2)dt ; długość wyraźną postacią: L= a∫b√(1+[f(x)]2)dx, gdy w post, biegunowej: (r-nia jak przy polu) L= a∫b√(f2(φ)+[f'(φ)]2)dφ;
TW Objętość V bryły V powstałej w wyniku obrotu dookoła osi ox trapezu krzywoliniowego odpowiadającego ciągłej na przedziale <a;b> f-cji f, wyraża się całką V =∏ a∫b f 2 (x)dx.
TW Jeżeli równanie łuku AB dane jest w postaci parametrycznej x=x(t), y=y(t), t∈<α,β> oraz f-cje x=x(t) i y=y(t) są klasy C1<α,β>, f-cja x(t) jest ściśle monotoniczna i y(t) nieujemna, to objętość bryły obrotowej powstałej w wyniku obrotu dookoła osi ox trapezu krzywoliniowego dana jest wzorem V= ∏α∫βy2(t)*x'(t)dt.
TW Pole S powierzchni obrotowej S powstałej w wyniku obrotu dookoła osi ox krzywej y= f(x) a≤x≤b, gdzie f jest f-cją klasy C1<a;b> wyraża się całką S=2∏ a∫bf(x)√(1+f '2(x)) dx.
20. B RACHUNEK CAŁKOWY FUNCJI JEDNEJ ZMIENNEJ
Def: Funkcją pierwotną danej f-cji na przedziale X nazywamy każdą różniczkowalną f-cję F, której pochodna F' jest równa f-cji f na tym przedziale, tj. dla każdego x∈X F'(x)=f (x).
F-cję F mającą w pewnym przedziale f-cję pierwotną nazywamy całkowalną w sensie Newtona na tym przedziale. Wyznaczenie f-cji pierwotnych danej f-cji f nazywamy całkowaniem f-cji f. Całkowanie to znajdowanie fcji. pierwotnej.
PYTANIA: 1) Kiedy zagadnienie ma rozwiązanie 2) Ile ma rozwiązań 3) Jak je wyznaczyć
TW.(1.1). (Warunek wystarczający całkowalności funkcji): Każda f-cja ciągła na przedziale X ma na tym przedziale f-cję pierwotną.
TW.(1.2). (O istnieniu nieskończenie wielu funkcji pierwotnych danej f-cji): Jeśli F jest dowolną ustaloną f-cją pierwotną f-cji f na przedziale X to wszystkie f-cje postaci F(x)+C, gdzie C jest stałą dowolną są również f-cjami pierwotnymi f-cji f na tym przedziale.
TW.(1.3), (O jednakowej postaci wszystkich funkcji pierwotnych danej f-cji): Jeśli F jest dowolną, ustaloną f-cją pierwotną f-cji f na przedziale X to każda inna f-cja pierwotna G f-cji f na tym przedziale jest postaci G(x)=F(x)+C, gdzie C jest odpowiednią do f-cji F i G dobraną stałą.
Def: Zbiór wszystkich f-cji pierwotnych f-cji f na przedziale X i tylko takich f-cji nazywamy całką nieoznaczoną f-cji f na przedziale X i oznaczamy symbolem ∫f (x) dx.
Z definicji całki nieoznaczonej i twierdzeń o f-cjach pierwotnych otrzymujemy podstawowy wzór ∫f(x)dx= F(x)+C, w którym F dowolną ustaloną f-cją pierwotną f-cji f na przedziale X, C jest stałą dowolną, zwaną tu stałą całkowania.
TW (O pochodnej całki): Pochodna całki nieoznaczonej jest równa f-cji podcałkowej: [∫f(x)dx]'= f(x); ∫f(x)dx= F(x)+C, F'(x)= f(x); [∫f(x)dx]'= (F(x)+C)'= F'(x)+f(x).
TW (Całka pochodnej): Całka nieoznaczona pochodnej f-cji jest sumą tej funcji i stałej dowolnej ćf'(x)dx=f(x)+C
TW (O ograniczoności funkcji podcałkowej): F-cja podcałkowa na przedziale domkniętym jest ograniczona na tym przedziale.
TW (O całkowaniu funkcji ciągłej): F-cja ciągła na przedziale domkniętym jest całkowalna na tym przedziale.
TW F-cja ograniczona na przedziale domkniętym i mająca w nim skończoną liczbę punktów nieciągłości jest całkowalna na tym przedziale.
DF: Wzór rekurencyjny: In=∫xn ex dx = xnex - nI n - 1 .
21. CAŁKA NIEWŁAŚCIWA
Def.1a: Całk. niewł. z f-cji ograniczonej na przedz nieogranicz: Niech f-cja f: <a,∞)→R jest R-całkow. na każdym przedziale <a;b>⊂<a,+∞), tedy rodzine całek If(a,∞)= a∫bf(x)dx b∈(a,∞), nazywamy całką niewł. f-cji f w granicach <a,∞> i oznaczamy a∫∞ f(x)dx
Def.1b:(zbieżność) mówimy że cał. niewł. a∫∞ f(x)dx jest zbieżna, jeżeli istnieje granica właściwa lim(b→+∞) a∫bf(x)dx
Def.2a: Całk. niewł. z f-cji nieogr. na przedz skończ.: Niech Rodzinę całek (a∫αf(x)dx) a<α<b, lim(x→b-)f(x)=±∞, nazyw. całk. niewł f-cji nieogr. f w przedz. <a,b>
Def.2b:(zbieżność) mówimy że cał. niewł. a∫bf(x)dx jest zbieżna, jeżeli istnieje granica właściwa lim(α→b-) a∫αf(x)dx
Podstawowe kryt. zbieżn. całk. niewł.: 1. Keż. f,g: <a,∞)→R są R-całkow. na każdym przedz. <a,β>⊂<a,∞) oraz ∃(a≤A)∀(x>A)f(x)≤g(x) to a) ze zbież. całk. a∫∞g(x)dx wynika zbieżn. a∫∞f(x)dx b) odwrotnie: ze zb. a∫∞f(x)dx ⇒ a∫∞g(x)dx 2. Jeż. zbież. jest a∫∞|f(x)|dx to mowim. że cał. niewł. a∫∞f(x)dx jest bezwzględnie zbieżna, także zbież w zwykł. sensie 3. Jeż. zbież. jest a∫∞f(x)dx i jednocześnie a∫∞|f(x)|dx jest rozbież. to mówimy że a∫∞f(x)dx jest warunkowo zbieżna. 4. Kryterium zbież. całki (Dirichleta)(?) Jeżeli a) f-cja f: <a,∞)→R jest R-całk. w każd. <a,b>⊂<a,∞) oraz ∃(k>0)∀(a≤b)|a∫bf(x)dx|≤k b) f-cja g: <a,∞)→R jest monotonicznie zbież. do 0 to a∫bf(x)g(x)dx jest zbież.
Różne rodzaje zbieżn. cał niweł.: 1. Jeż. zbież. jest a∫∞|f(x)|dx to mówimy że całk niewł. a∫∞f(x)dx jest bezwzgl. zbież. (też zbież. w normal. znaczeniu) 2. Jeż. a∫∞f(x)dx jest zbież. i jednocześ. a∫∞|f(x)|dx jest rozbież. to mówimy że całk. a∫∞f(x)dx jest warunkowo zbież.;
22. Całki Eulera
Def. Całka Eulera 1-ego rodzaju (β-eulera): β(a,b)≝ 0∫1 xa-1(1-x)b-1dx, a,b>0 Całka Eulera 2-ego rodzaju (Γ-eulera): Γ(a)≝ 0∫∞xa-1e-x dx, a>0
Własn: 1. całka β a) β(a,b)=β(a,b) b) β(a,b)= [(b-1)/ (a+b-1)]β⋅ (a,b-1) c) β(n,a)= [(1⋅2⋅..⋅n-1)/ ((a+1) ⋅..⋅(a+n-1))] d) β(m,n)= [((n-1)!(m-1)!)/ (m+n-1)!] e) β(a,1-a)= [-π/sinaπ], 0<a<1 f) β(1/2,1/2)=π 2. całka Γ a) Γ(a,b)= lim(n→∞) na⋅ [(1⋅2⋅..⋅n-1)/ (a(a+1)⋅...⋅(a+n-1))] b) Γ(a+1)= aΓ(a) c) Γ(n+1)= n! d) β(a,b)= [Γ(a)Γ(b)]/ [Γ(a+b)] e) Γ(a)Γ(1-a)= π/sinaπ f) Γ(1/2)=√π;
23. Szeregi liczbowe
Def. Szeregiem liczbowym rzeczyw. nazyw. parę uporządkjow. ((an),(sn)) Tradycyjnie te parę notujemy (k=1)Σ(n)ak, (sn)- ciąg sum częściowych,
Def. (zbieżności szeregu) Szereg (k=1)Σ(∞)ak jest zbież ⇔ gdy zbież. jest do gr. właściw. ciąg sum częściow. tego szeregu. W przeciw. wypadku mówimy że szer. (k=1)Σ(n)ak jest rozbież.
TW. (war. koniczny zbieżn. szeregu) Jeż. (k=1)Σ(∞)ak jest zbież. to lin(n→∞)an=0 Dowód: Szereg (k=1)Σ(∞)ak jest zbież ⇔ lim(n→∞)sn=s∈R, (sn)- spełnia war. (Cauch.) ⇔ ∀(ε>0)∃(n0∈N)∀(n>n0)∧∀(m∈N) |sn+m-sn|<ε ⇒ |sn-sn-1|→0;; |(k=1)Σ(k)ak - (k=1)Σ(n-1)ak |=|an|
Tw. (o zbieżn. bezwzgle. szeregu) Szereg (n=1)Σ(∞)an jest zbież. bezwzgl. jeż. zbież. jest szereg (n=1)Σ(∞)|an|, Dowód: (n=1)Σ(∞)a'n- utworzony z wyrazów dodatn. (n=1)Σ(∞)an :: (n=1)Σ(∞)a''n- utworzony z wyrazów ujemn. (n=1)Σ(∞)an ;; (sn)-ciąg sum (n=1)Σ(∞)an;; (s'n)-ciąg sum (n=1)Σ(∞)a'n;; (s''n)-ciąg sum (n=1)Σ(∞)a''n;; (s*)- suma (n=1)Σ(∞)|an|;; s'n≤s* oraz s''n≤s*, więc (s'n) i ( s''n) są rosnące więc sa zbiezne, więc (n=1)Σ(∞)a'n i (n=1)Σ(∞)a''n są zbieżne;; S'-suma (n=1)Σ(∞)a'n; S'' suma (n=1)Σ(∞)a''n; S-suma (n=1)Σ(∞)an;; Sn=S'm-S''r i n=m+r, jeżeli n→∞to m,r→∞;; limSn= limS'm- limS''r=S'-S'' czyli szereg (n=1)Σ(∞)an jest zbieżny i jego sumą jest liczba S'-S''. ;;
TW. (szereg zespolony) szer. zesp. (n=0)Σ(∞)zn jest zbież. ⇔ gdy zbieżny jest szreg części rzeczyw. (n=0)Σ(∞)xn i części urojonej (n=0)Σ(∞)yn
24. SZEREGI Liczbowe II
Tw. (kryterium porównawcze zbieżn. dla szer. li. nieujemn.) Dane sa szer. (n=1)Σ(∞)an ; (n=1)Σ(∞)an ; (an,bn≥0, n=1,2,...), Jeżeli ∃(n0∈N)∀(n0≤n) an≤bn , to: a) jeżeli szer. (n=1)Σ(∞)bn jest zbież, to zbież. jest też szer. (n=1)Σ(∞)an; b) jeż. szer. (n=1)Σ(∞)an jest rozbież. to rozbież jest szr. (n=1)Σ(∞)bn;
Tw. (kryterium pierwiastkowe Cauchy'ego) Dany jest szer. (n=1)Σ(∞)an ; Oznaczamy α=limnsupn√(|an|). Jeżeli 1) α<1 to (n=1)Σ(∞)an jest zbieżny 2) α>1 to (n=1)Σ(∞)an jest rozbież. 3) α=1 to przypadek wątpliwy;
Tw. Jeż. szeregi (n=1)Σ(∞)an i (n=1)Σ(∞)bn są zbieżne to zbieżne są tez szeregi: (n=1)Σ(∞)(an+bn) oraz (n=1)Σ(∞)δan i (n=1)Σ(∞)(an+bn)= (n=1)Σ(∞)an+ (n=1)Σ(∞)bn ; i (n=1)Σ(∞)δan = δ(n=1)Σ(∞)an
Tw. (Kryterium ilorazowe d'Alamberte'a) Dany jest szer. (n=1)Σ(∞)an wtedy a) jeżeli limsup|an+1/an|<1 to szer. jest zbireż. b) jeż limsup|an+1/an|≥ dal n≥n0 to szer. jest rozb.
Tw. (kryterium całkowe zbieżn szer. liczb. o wyr. dodat.) Jeż. dany jest szer. (n=1)Σ(∞)an o wyraz. dodatnich oraz f-cja f:[a,∞]→R+\{0} ma własn: a) f jest ciągła b) f monotonicznie dąży do 0 począwszy od pewnego x0≥1 c) f(n)=an, n=1,2,... to: szereg (n=1)Σ(∞)an jest zbież. (rozbież) ⇔ gdy zbieżna (rozbież.) jest całka niewł. 1∫∞f(x)dx
25. SZEREGI Liczbowe III
Szereg naprzemienny: szereg (n=1)Σ(∞)(-1)n+1an , an>0, nazyw. szer. naprzem.
Tw. (Kryterium Leibnitza) Jeż. an monotonicznie dąży do 0, to szer. (n=1)Σ(∞)(-1)n+1an jest zbież. oraz |Rn|≤an+1 , n=1,2,...
Uwaga, jeż. szereg jest zbież. w zwykłym sensie, lecz nie bezwzgl. zbież. nazywamy go szeregiem warunkowo zbieżnym, przykładowo szereg anharmoniczny (n=1)Σ(∞)(-1)n/n
***Tw1: Jeżeli ciąg sum częściowych szeregu o wyrazach nieujemnych jest ograniczony z góry, to szereg jest zbieżny.
***Tw2. Jeżeli wyrazy szeregów Σ(od n=1 do ∞) an oraz Σ (od n=1 do ∞) bn są nieujemne, a ponadto istnieje taka liczba naturalna m., że dla każdego n>m. Jest spełniona nierówność an<=bn to z e zbieżności szeregu bn wynika zbieżność an i odwrotnie.
26. SZEREGI FUNKCYJNE I
Def: (szeg funkcyjny rzeczywisty) Dany jest ciąg funkcji (fn) n∈N0 ; fn: R⊃D→R, x→fn(x), n=0,1,..., Piszemy ciąg sum częściowych (sn) n∈N0 : Sn:D→R, x→Sn(x)≝(k=0)Σ(n)fn(x), k=0,1,2,...; Uporządkowane pary ((fn),(Sn)) nazywamy szeregiem funkcyjnym, notujemy (n=0)Σ(∞)fn(x), x∈D
Zbieżność punktowa: Mówimy że szereg (n=0)Σ(∞)fn jest zbież. punktowo w D, jeż. szer. (n=0)Σ(∞)fn(x) jest zbieżny (jako szre. liczb.)
Def. (Zbieżność jednostajna): szer. f. (n=0)Σ(∞)fn jest zbież. jednost. do supS na D jeż. sup(x∈D) |Sn(x)- S(x)|→0 Piszemy wtedy że Sn⇉S(x) („⇉” jednostajnie dąży), ∀(ε>0)∃(n0) ∀(n>n0)∀(x∈D) |Sn(x)- S(x)|<ε
Def. (niemal jednost. zbież) Jeż. szereg f-cyjny (n=0)Σ(∞)fn jest jednost. zbież. na każdym przedz. [a,b]⊂D, to szereg nazyw. niemal jednostajnie zbieżnym na D.
Tw. (kryterium Weierstrassa,) Jeż. szer. f. (n=0)Σ(∞)fn określony na D ma własn: a) ∃(n0∈N)∀(n0≤n)∀(x∈D) |fn(x)|≤an , b) szereg liczbowy o wyrazach dodatnich (n=0)Σ(∞)an jest zbież. to: szer. (n=0)Σ(∞)fn jest zbieżny jednostajnie i bezwzględnie.
Tw. (o ciągłości sumy szer. f.) jeż. (fn)n∈N0 jest ciągiem f-cji ciągłych na D, oraz szer. (n=0)Σ(∞)fn jest jednost. zbież. do sumy S, to S jest f-cją ciągłą na D.
Tw. (o całkowaln. sumy szer.) Jeż. wyrazy szer. (n=0)Σ(∞)fn sa R-całkow. (w sensie Riem.) na D=(a,b) oraz szer. (n=0)Σ(∞)fn jest jednost. zbież. na D (niemal jed. zbież.) to: a∫b(n=0)Σ(∞)fn(x)dx= (n=0)Σ(∞)a∫bfn(x)dx
Tw. (o różniczkowaln. sumy szer.) Jeż. wyrazy szer. (n=0)Σ(∞)fn mają ciągłe pochodne w (a,b), szer. (n=0)Σ(∞)fn jest zbież. (pktowo) w (a,b) oraz szer. (n=0)Σ(∞)f 'n jest zbież. jednost. (niemal jednost. zbież) to ma pochodną ((n=0)Σ(∞)fn(x))'= (n=0)Σ(∞)fn'(x)
***Szereg nazywamy rozbieżnym na zbiorze X , gdy ciąg (Sn(x)) jest na tym zbiorze rozbieżny. Szereg nazywamy jednost. zbieżnym na zbiorze X do sumy s(x) , gdy Sn(x) ⇒ S(x). Jeżeli szereg jest zbieżny na zbiorze X, a ponadto zbieżny jest na tym zbiorze szereg Σ(n=1 ∞) |fn(x)| (*) to szereg nazywamy bezwzgl. zbieżnym na zbiorze X.
***Tw1. Jeżeli szereg (*) jest zbieżny na zbiorze X, to szereg (1) jest także zbieżny na tym zbiorze.
27. SZEREGI Funkcyjne II potegowe
(*)(*) (n=0)Σ(∞)an(x-x0)n; (*) (n=0)Σ(∞)anxn, an- współczynnik szer. potęgowego.
Promień zbieżn szer. potęgow. R R≝sup{r≥0 (n=0)Σ(∞)anrn} jest zbieżny, |x|<r
Tw (Cauchy'ego- Hadamarda) Jeżeli limsup(n√|an|) to wtedy prom R zbieżn szer: R= {0 gdy λ=∞, ∞ gdy λ=0, 1/λ gdy λ∈R+\{0}}
Tw. Jeżeli instn, gran. lim(n→∞)|an+1/an|= --> [Author:MZ。Шi] λ to prom. zbieżn. R szeregu: R={0 gdy λ=+∞, 1/λ gdy 0<λ<+∞, ∞ gdy λ=0}.
Tw. Jeżeli szereg (n=0)Σ(∞)anxn ma prom. zbieżny szeregu R, to ten szer. jest zbież. niemal jednost. na przedz (-R,R) i jest zbieżna suma szeregu na każdym przedziale przedziale [-a,a]⊂(-R;R)).
Tw. (o całkow. szer. potęgow.) Dla dowoln x∈(-R,R) 0∫x ((n=0)Σ(∞)an tn)dt= (n=0)Σ(∞)(an/n+1)xn+1; Promień szer. po prawej stronie równości nie ulega zmianie.
Tw. (o różniczkow. szer. potęgow.) Jeż. x∈(-R,R) to ((n=0)Σ(∞)xn)'= (n=1)Σ(∞)xn-1; i prom. szer. potęg. stale ma ten sam przedz. zbieżności.
Szer. potęgow. zesp: (*)(*) (n=0)Σ(∞)zn(z-z0)n; (*) (n=0)Σ(∞)anzn, Jeż. λ=limnsupn√|an|, to szer. (*) jest zbież. bezwzględnie na każdym kole domknietym |z|≤a, a<z, gdzie R= {0 gdy λ=∞, ∞ gdy λ=0, 1/λ gdy λ∈R}
CAŁKOWANIE FUNKCJI WYMIERNYCH
Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy iloraz wielomianów tej zmiennej. F-cja wymier., której stopień wielom. liczn. jest mniejszy od stopnia wielom. mianown. nazywa się f-cją wymierną właściwą. Ułamki proste, są to f-cje wymierne właściwe postaci: 1. A/(ax+b) 2. A/(ax+b) n 3. (Bx+c) / (ax 2+bx+c) 4. (Bx+c) / (ax 2+bx+c) n gdzie a≠0, Δ= b2 - 4ac, n=2,3,4... ,a,b,c,A,B,C są liczbami rzeczywistymi.
Całkowanie niektórych f-cji wymier. Funkcja P.(u1, u2, ..., u n ) zmiennych u1, u2 ... nazywa się f-cją wymierną tych zmiennych, jeżeli we wzorze określającym tę f-cję na zmiennych u1, u2 ... wykonane są skończoną liczbę razy tylko działania wymierne (dodaw., odejm.., mnoż., dziel., potęg. o wykładn. natur.). Jeśli z kolei zmienne u1, u2 ... są f-cjami jednej zmiennej {x: u1=g1(x), u2=g2(x), …} to f-cję zmiennej x postaci P.(g1(x), g2(x), ...) będziemy nazywać wymierną względem f-cji g1(x), g2 (x) ... g m.(x).
EKSTREMUM FUNKCJI
Niech Df zawiera pewne otoczenie Q punktu x0 .
Def: Mówimy, że f-cja f ma w punkcie x0 maksimum [minimum] lokalne, jeżeli istnieje taka liczba dodatnia r, że dla każdego x∈S(x0;r) spełniona jest odpowiednia nierówność: f(x)≤f(x0) [f(x)≥f(x0)]. Jeżeli zamiast powyższych nierówności słabych spełnione są odpowiednio nierówności mocne f(x)<f(x0) albo f(x)>f(x0) to maksimum (minimum) lokalne nazywamy właściwym.
TW.(Fermata): Jeżeli f-cja f ma w punkcie x0 ekstremum i ma w tym punkcie pierwszą pochodną to f `(x0)=0.
Warunek konieczny istnienia ekstremum: F-cja f może mieć ekstremum tylko w tych punktach, w których pochodna nie istnieje bądź jest równa 0.
Pierwszy warunek wystarczający ekstremum: Jeżeli f-cja f jest ciągła w punkcie x0 , a ponadto posiada pochodną f` na pewnym sąsiedztwie S(x0;r) przy czym f`(x)<0 dla S(x0-;r) i f`(x)>0 dla S(x0+ ;r) to f-cja f ma w punkcie x0 minimum właściwe, jeżeli natomiast spełniony jest warunek f `(x)>0 dla S(x0- ;r) i f `(x)<0 dla S(x0+ ;r) to f-cja f ma w punkcie x0 maksimum właściwe.
Drugi warunek wystarczający ekstremum: Jeżeli f-cja f ma na pewnym otoczeniu Q(x0;r) pochodną do rzędu n włącznie, pochodna f(n) jest ciągła w punkcie x0, n jest liczbą parzystą, a ponadto f ( k) (x0)=0 dla k=1,2,...,(n -1) oraz f( n) (x0)≠ 0 to f-cja f ma w punkcie x0 maksimum, gdy f( n) (x0)<0, natomiast minimum właściwe, gdy f( n) (x0)>0.
WYPUKŁOŚĆ I WKLĘSŁOŚĆ WYKRESU FUNKCJI, PUNKTY PRZEGIĘCIA
Def: Mówimy, że krzywa y=f(x) jest wypukła (wklęsła) w punkcie x0 wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka liczba r1>0, że część wykresu odpowiadająca x∈S(x0 ; r1) znajduje się nad (pod) styczną do tej krzywej w punkcie (x0 ; f(x0)).
TW. Jeżeli f-cja f ma pierwszą pochodną na otoczeniu Q(x0;r) oraz istnieje f`'(x0)≠0 to krzywa y= f(x) jest wypukła w punkcie x0 gdy f `'(x0)>0, natomiast jest wklęsła w punkcie x0 gdy f `'(x0)<0.
Def: Mówimy, że krzywa y=f(x) jest wypukła (wklęsła) na przedziale otwartym wtedy i tylko wtedy, gdy jest wypukła (wklęsła) w każdym punkcie tego przedziału. Wniosek: Jeżeli f ''(x)>0 na przedziale (a;b) to krzywa y= f(x) jest wypukła na (a;b), jeśli natomiast f `'(x)<0 na przedziale (a;b) to krzywa y= f(x) jest wklęsła na (a;b).
Def: Punkt P0(x0;f(x0)) nazywamy punktem przegięcia krzywej y= f(x) wtedy i tylko wtedy, gdy: 1) istnieje styczna do krzywej y= f(x) w punkcie P0. 2) krzywa y= f(x) jest wypukła na pewnym lewostronnym sąsiedztwie punktu x0 i jest wklęsła na pewnym prawostronnym sąsiedztwie tego punktu albo na odwrót .
TW. Jeżeli f-cja f jest dwukrotnie różniczkowalna w pewnym otoczeniu Q(x0;r) i spełnia dwa warunki: 1) druga pochodna w punkcie x0 jest równa zeru: f`'(x0)=0, 2) druga pochodna zmienia znak w punkcie x0. to punkt P0 (x0;f(x0)) jest punktem przegięcia wykresu f-cji f .
REGUŁY DE L'HOSPITALA
TW. Jeżeli f-cje f i g różniczkowalne na sąsiedztwie punktu x0 spełniają dwa następujące warunki: 1) obie dążą do zera przy x→x0 tzn. lim(x→x0) f(x)=0 i lim(x→x0) g(x)=0 2) istnieje granica g (właściwa lub niewłaściwa) ilorazu pierwszych pochodnych przy x→x0 czyli lim(x→x0)(f'(x)/g'(x))=g to istnieje granica ilorazu tych f-cji i równa się g czyli: lim(x→x0) f(x)/g(x)=g.
TW. Jeżeli f-cje f i g różniczkowalne na sąsiedztwie punktu x0 spełniają dwa następujące warunki: 1) lim(x→x0)f(x)=±∞ ,lim(x→x0)f(x)=± ∞ 2) istnieje granica (właściwa lub niewłaściwa) lim(x→x0) f'(x)/g'(x)=g to istnieje granica lim(x→x0)f(x)/g(x)=g.
ASYMPTOTY
Mówimy, że prosta o równaniu x=x0 jest asymptotą pionową krzywej o równaniu y=f(x) jeżeli choć jedna granica jednostronna f-cji f w punkcie x0 jest niewłaściwa czyli gdy lim(x→x0-) f(x)=± ∞ lub lim(x→x0+) f(x)=±∞. Mówimy, że prosta o równaniu y=mx+n jest asymptotą ukośną krzywej o równaniu y=f(x) gdy współczynniki m i n są tak dobrane, że lim(x→∞)[f(x)-(mx+n)] =0 lub lim(x→-∞)[f(x)- (mx+n)] =0.
TW. Jeżeli istnieją jednocześnie granice skończone lim(x→-∞) f(x)/x =m ∩ lim(x→-∞) [f(x)-mx]=n lub lim(x→∞) f(x)/x=m ∩ lim(x→∞) [f (x)-mx]=n, to prosta o równaniu y= mx+n jest asymptotą linii o równaniu y= f(x).
SCHEMAT BADANIA FUNKCJI
1) Analiza f-cji a) określenie dziedziny f-cji oraz sprawdzenie czy f-cja jest parzysta, nieparzysta lub okresowa b) znalezienie granic na końcach dziedziny i wyznaczenie asymptot. 2) Analiza pierwszej pochodnej a) określenie dziedziny pierwszej pochodnej i punktów stacjonarnych [ f `(x)=0] b) wyznaczenie przedziałów monotoniczności f-cji oraz ekstremów 3) Analiza drugiej pochodnej a) znalezienie dziedziny drugiej pochodnej i jej miejsc zerowych b) określenie przedziałów, w których f-cja jest wklęsła lub wypukła oraz punktów przegięcia wykresu f-cji 4) Sporządzenie tabeli zmienności f-cji 5) Wykonanie wykresu funkcji.
rÓŻNICZKOWALNIŚĆ FUNKCJI M ZMIENNYCH
(2)
Różniczkowalność funkcji m-zmiennych(1): Dane
Tw. Jeż. fcja określona f:Ux0→R jest różniczkowalna w p. x0 to jest ona wtym p. ciągła
Dw.
Tw. Jeż. fcja f ma różniczkę w p. x0 to jest ona jedyna (nie ma 2 różniczek)
Tw. (warunek dostateczny różniczkowalności) warunkiem wystarczaj. różniczkowaln. fcji f:Ux0→R w pkcie x0 jest istnienie pochodnych cząstkowych ∂f / ∂xi w Ux0 i ciągłość tych pochodnych w pkcie x0.
Dw.
Tw. (o przyroście) 1. 2.
Funkcja klasy C1 :
Tw. Na to by fcja f: Rm⊃G →R była klasy C1 na G potrzeba i wystarcza aby istniały poch. cząstkowe ∂f / ∂ xi i=1..m i były fcjami ciągłymi.
Elementy funkcji zespolonych
Df.
Tw. Dw.
Tw. (o przyroście) ! Niech f:C⊃Uz0→C. Funkcje ...
Tw. (o pochodnej superpozycji)
(4)
Tw. (o pochodnej fcji odwrotnej)
Tw. (o pochodnej sumy i iloczynu)
Tw. (o przyroście) - bylo wczesniej ? takie same
Dw.
Tw. o fcji stalej
Warunki Cauchy-Riemanna
Jeż. f: C→C to dla z=x+jy : f(z)=u(x,y)+jv(x,y), gdzie u(x,y)=Re(f(z)) i jv(x,y)=Im(f(z))
Tw. Na to by fcja f: Uz0→C (z0=x0+jy0) była w pkcie z0 różniczkowalna, potrzeba i wystarcza by fcje u i v były różniczkowalne w pcie (x0,y0) oraz by zachodziły związki 1 i 2 (C-R): 1. (∂u/∂dx)(x0,y0)= (∂v/∂y)(x0,y0) 2. (∂u/∂y)(x0,y0)= (-∂v/∂x)(x0,y0)
Dw.
Df. (funkcja holomorficzna) Funkcję f: C⊃G→C nazywamy holomorficzną w z0⊂G jeżeli istnieje otoczenie Uz0⊂G taie że fcja f jest różniczkowalna w tym otoczeniu. Funkcja f: C⊃G→C nazywamy całkowitą jeżeli jest holomorficzna na całym G. G- zbiorem otwartym
Całka krzywoliniowa fcji zespol.
Df.
Df.
(6)
Rachunek operatorowy Laplace'a
f:R⊃Df→C, t→f(t)= α(t)+ j β(t), a∫bf(t)dt= a∫bα(t)dt+ j a∫bβ(t)dt
Df. Klasa oryginału fcję f: R→C (zespoloną zmiennej rzeczywistej) nazywamy orygnałem gdy spełnia warunki 1. ∀(t<0) f(t)=0 2. a) w każdym przedzilae (a,b) fcja jest ciągła za wyjątkiem skończonej liczby pktów nieciągłości pierwszego rodzaju. Istnieją w pkcie granice włąściwe = f(t); f(t0 -)- lim(t→t0 -) f(t) oraz f(t0 +)- lim(t0→t0 +) f(t) b) w każdym punkcie nieciągłości t0 spełniony jest warunek f(t0)= [(f(t0 -)+ f(t0 +))/2] 3. ∃(M>0) ∃(ρ≥0) ∀(t) |f(t)|≤Me ρt;
Przekształc. Laplace'a przekszt.=transform.
Przekształc. odwrotne
Tw. (Borela o splocie)
(8)
Df. Szeregiem Laurent'a - o środku w pkcie z0∈C nazywamy szer. f-cjny postaci: (z∈Z)Σ Cn(z-z0)n= (n=0)Σ(∞) Cn(z-z0)n+ (n=0)Σ(∞) C-n(z-z0) -n= czę. regularna (Taylorowska)+ czę. główna szer. L.
Tw. Niech f będzie sumą szeregu L. w pierscieniu P(z0,r1,r2) wtedy f jest fcj∀ różniczkowalną dowolnie wiele razy.
Tw. Niech f będzie
Tw. (o rozwijaniu fcji)
Tw. (o rozwijaniu fcji holomorficznej w szer. Taylora)
Df. Zera fcji holomorficznej
Df. Punkty osobliwe odosobnione: Licznę z0∈Č= C∨{∞} nazyw. pktem osobliw odosobn jeżeli fcja f jest określona i holomorf w pewnym sąsiedztwie pktu z0;
Df. Klasyfikacja pktów osobliwych odosobn.: 1. Liczbę z0 nazyw. pktem pozornie osobliwym jeż w rozwinięciu fcji f w szer Lor. w pierścieniu P(z0,0,r), C-n=0 dla n=1,2,... (szer czę. głównej) 2. Liczbę z0 nazyw pktem k-krotnym fcji f jeż. w rozwinięciu fcji f w szer Lor. w pierscieniu P(z0,0,r), C-k ≠0, C-n =0 dla n>k. 3. Liczbę z0 nazyw pktem istotnie osobliwym jeż z0 nie jest pktem pozornie osobliwym i nie jest biegunem k-krotnym
Df. Liczba „nieskończoność” [∞]
Tw. Riemanna
Tw. (biegun k-krotny)
Tw. (pkt pozornie osobliwy)
Df. Residoux ; Jeż. z0≠∞, to res z0 f≝C-1 gdzie C-1 to współcz. rozwinięcia fcji w szer. Loranta w pierścieniu P(z0,0,r).
Tw. (o residuum) Jeż. z0≠∞, jest biegunem ≤ k-krotnym (k∈N) pozornir osobliwym, to res z0 f(z)= 1/(k-1)! ⋅ lim(z→z0) [(z-z0)k f(z)] (k-1) =pochodna; Jeż. f(z)= g(z)/h(z) w sąsiedztwie z0 to z0 jest zerem jednokrotnym fcji h. res z0 f(z)= g(z0)/h'(z0) gdzie f,g,h holomorficzne w Uz0;
(10)
Orientacja krzywej w przestrzeni
Df. (opisu krzywej k)
homeomorfizm
Df.
Df. (zbiór jednospójny)
Twierdzenia całkowe
Tw.1. (podstawowe tw. Cauchy'ego) Jeż. fcja f jest holomo w obszarze jednspójnym D, c jest kawałkami gładką krzywą Jordana leżącą w tym obszarze to ∮f(z)dz=0
Wnioski: 1. 2. 3. ;
Tw. (o wzorze całkowym Cauchy'ego)
Tw.
Tw. (całkowe) Jeż. fcja jest holomo w obszarze jednospójnym D z wyjątkiem conajwyżej pktów
(12)
Rónania różniczkowe zwyczajne 1-ego rzędu w Rn;