FUNKCJE CIĄGŁE

Funkcja jest ciągła w punkcie a jeśli f(a) = lim (x=a) f(x);

Def Heinego

Dla każdego ciągu xn takiego że lim xn = a pociąga że lim f(xn) = f(a);

DOWÓD

Jeśli funkcja jest ciągła to f(lim xn) = lim f(xn) o ile lim xn = a;

Def Cauchyego

Funkcja jest ciągła w punkcie a , jeśli dla każdego epsilon > 0 istnieje sigma > 0,że nierówność /x - a/ < sigma pociąga za sobą /f(x) - f(a)/ < epsilon;

DOWÓD

Warunek /h/ < sigma imp. /f(a+h) - f(a)/ < epsilon;

Złożenie funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą

DOWÓD

Lim (x = a) f(x) = f(a) ; lim (x = b) g(x) = g(b) to

Lim (f(x)g(x)) = lim f(x) lim g(x) = f(a) f(b)

Wielomian jest funkcja ciągłą;

Funkcja wymierna f(x) = P(x)/Q(x) jest ciągła w punktach wszystkich poza pierwiastkami mianownika;

Lim (h = 0) f(x + h) = f(x); tzn. lim (h = 0) (f(x + h) - f(x)) = 0;

Funkcja wykładnicza jest ciągła (a)x, (a>0)

DOWÓD

(a)x+h - (a)x = (a)x((a)h - 1) oraz lim (h=0) (a)h = 1;

stąd lim (h=0) (a)x+h - (a)x = 0 - co oznacza że funkcja jest ciągła;

Funkcje trygonometryczne sinus i cosinus są ciągłe.

DOWÓD

Sin (x + h) - sin x = 2*sin( ½ *h)*cos(x + ½ *h)

/Sin t/ >= /t/ i /cos t/ >= 1;

/sin(x + h) - sinx/ <= /h/ , a lim /.../ = 0;

/cos (x + h) - cos x/ = 2*/sin (½ h)/*/sin(x + ½ *h)/ <= /h/ ;

lim /.../ = 0;

TWIERDZENIE

CIĄGŁOŚĆ JEDNOSTAJNA - jeśli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym

a <= x <= b, to dla każdego epsilon > 0 istnieje takie sigma > 0 że nierówność

/x - x'/ < sigma implikuje /f(x) - f(x')/ < epsilon.

Sigma nie zależy od x.

DOWÓD

Niewprost - istnieje e > 0 że dla każdego & > 0 istnieje para argumentów x i x' takich że

/x - x'/ < & i /f(x) - f(x')/ >= e

jeśli więc & = 1/n wnosimy że istnieja takie dwa ciągi {xn} i {x'n} że spełnione sa 2 nierówności :

1. a <= xn <= b , 2. a <= x'n <= b , 3. /x - x'/ < 1/n ; 4. /f(x) - f(x')/ >= e;

ponieważ ciag {xn} jest ograniczony więc zawiera on BW podciąg zbieżny.(lim xmn = c)

z 1. a <= c <= b. Zatem funkcja jest ciągła w punkcie c. Z tego wynika że lim f(xmn) = f(c) .

z 3. lim x'mn = c, bo lim x'mn = lim xmn; więc lim f(x'mn) = f ( c);

lim ( f(xmn) - f(x'mn)) = 0 - sprzeczność z 4.

TWIERDZENIE WEIERSTRASSA

Funkcja f ciągła na przedziale domkniętym a <= x <= b jest ograniczona, osiąga na tym przedziale swe kresy : górny i dolny (M i m); tzn istnieją w tym przedziale takie dwa punkty c i d, że f (c) = M oraz f(d) = m;

DOWÓD

Z tw o ciągłości jednostajnej wnosimy podstawiając e = 1 że istnieje takie & > 0 że jeśli

/x - x'/ < & to /f(x) - f(x')/ < 1. Dobierzemy liczbę n w ten sposób aby (b - a) /n < & ,

jeśli więc podzielimy przedział (a,b) na n rownych przedziałów to długośc każego z nich jest mniejsza niż &; Oznaczając a0, a1, a2... (a0 = a, an = b) to

/f(x) - f(a1)/ < 1 dla a0 <= x <= a1 skąd /f(x)/ < 1 + /f(a1)/

ogólnie

/f(x) - f(ak)/ < 1 dla a(k-1) <= x <= ak skąd /f(x)/ < 1 + /f(ak)/

Oznaczymy przez A największą z liczb 1 + /f(ak)/ gdzie k przyjmuje 0d 1 do n

Mamy więc /f(x)/ < A dla każdego x należącego do (a;b)

Udowodniliśmy ze f jest ograniczona i istnieje kres górny M i kres dolny m zbioru wartości funkcji. Przypuśćmy że M nie jest jedną z wartości funkcji tzn że dla każdego x

M - f(x) <> 0 .

A zatem g(x) = 1/(M - f(x)) jest określona dla każdego x z przedziału ab oraz jest ciągła.

Jest tez ograniczona - istnieje N że g(x) < N tj M - f(x) > 1/N czyli f(x) < M - 1/N.

Z tego wynika że istnieje liczba mniejsza od M która jest większa od wszystkich liczb f(x) dla x z ab. Sprzeczne z tym że M jest kresem górnym funkcji.

TWIERDZENIE DARBOUX (WŁASNOŚĆ DARBOUX)

Funkcja ciągła na przedziale domkniętym a <= x <= b przebiega wszystkie wartości od a

do b. Jeśli f(a) < y < f(b) lub f(b) < y < f(a) to istnieje takie c że f(c) = y;

DOWÓD

Załóżmy f(a) < y < f(b) .Niewprost

Y - f(x) <> 0 dla każdego x . Bierzemy h(x) = 1/(y - f(x)) jest ograniczona z W.

Niech M > h(x) tzn . /y - f(x)/ > 1/M (*);

Z tw o CJ podstawiamy e = 1/M wnosimy że /f(x) - f(x')/ < 1/M

(b - a)/n < & dzielimy ab na n równych odcinków.

Wniosek

/f(ak) - f(ak-1)/ < 1/M dla k od 1 do n;

ponieważ f(a0) < y < f(an) więc istnieje liczba m wśród 1...n-1 że y < f(am)

Mamy więc m > 0 oraz

F(am-1) < y < f(am) skąd 0 < y - f(am-1) < f(am) - f(am-1) < 1/M

Co sprzeczne z (*)

TWIERDZENIE

Funkcja ciągła na przedziale domkniętym a <= x <= b przyjmuje wszystkie wartości od kresu dolnego m do kresu górnego M włącznie.

---