OCENA EFEKTYWNOŚCI PROJEKTÓW INWESTYCYJNYCH

(CAPITAL BUDGETING)

Etapy w procesie analizy i oceny projektów inwestycyjnych

1. Oszacowanie dla poszczególnych projektów przyszłych przepływów strumieni pieniężnych (cash flow).

2. Oszacowanie ryzykowności projektów (ryzyko otrzymania poszczególnych strumieni pieniędzy).

3. Określenie stopy dyskontowej, opartej na ryzyku otrzymania strumieni pieniędzy z projektów i generalnym poziomie stóp procentowych. W ocenie efektywności przedsięwzięć inwestycyjnych nosi nazwę projektowanego kosztu kapitału.

4. Obliczenie wartości miernika efektywności przedsięwzięć

5. Podjęcie decyzji o akceptacji lub wyborze projektu najlepszego. inwestycyjnych.

Klasyfikacja projektów

Projekty typowe (normalne, konwencjonalne) - w początkowych okresach występują przepływy ujemne (wpływy są mniejsze od wydatków), a po nich następują przepływy dodatnie.

Projekty nietypowe (nienormalne, niekonwencjonalne) - przepływy dodatnie przeplatają się z przepływami ujemnymi. W takim ujęciu dla zerowego okresu mamy przepływ ujemny (choć dopuszczalne jest uzyskanie w projekcie dodatnich przepływów).

Projekty niezależne - przepływy pieniądza dla jednego z projektów są niezależne od przepływów pieniądza pozostałych projektów.

Projekty wzajemnie wykluczające się - wybranie do realizacji jednego z projektów oznacza automatycznie odrzucenie pozostałych (np. wybór pomiędzy budową mostu, a budową przystani promowej).

Reguły decyzyjne stosowane w ocenie efektywności

projektów inwestycyjnych

Do oceny efektywności projektów inwestycyjnych wykorzystuje się następujące mierniki:

1. Regularny okres spłaty - P (payback period).

2. Zdyskontowany okres spłaty - DP (discounted payback period).

3. Wartość aktualna netto - NPV (net present value).

4. Indeks zyskowności - PI (profitability index).

5. Wewnętrzna stopa zwrotu - IRR (internal rate of return).

6. Zmodyfikowana wewnętrzna stopa zwrotu - MIRR (modified internal rate of return)

1. Regularny okres spłaty (P) - jest to oczekiwana liczba okresów wymagana do pokrycia (zwrotu) kosztów projektu.

Interpretacja:

1. jeśli projekty S i L są niezależne to spośród nich wybieramy akceptowalny.

2. jeśli projekty S i L są wzajemnie wykluczające się to wybieramy spośród akceptowalnych projekt lepszy.

Regularny okres spłaty ma dwie wady:

1. ignoruje wartość pieniędzy w czasie;

2. ignoruje wszystkie strumienie pieniędzy, które występują po okresie spłaty (zwrotu) kosztów.

Zaletą tego miernika jest to, że wskazuje, jak długo kapitał początkowy będzie narażony „na ryzyko” (po ilu okresach nastąpi odzyskanie nakładu inwestycyjnego) i jaka będzie płynność projektu. Długa spłata oznacza:

• zamrożenie na wiele okresów środków pieniężnych,

• przepływy środków pieniężnych wymagają prognozowania daleko w przyszłość, a więc projekt będzie ryzykowny.

2. Zdyskontowany okres spłaty (DP) - jest podobny konstrukcyjnie do regularnego okresu spłaty z tą różnicą, że przy jego obliczaniu bierze się pod uwagę zdyskontowane przepływy pieniędzy, a nie surowe ich wartości.

Dyskontowanie to proces określania wartości obecnej sumy pieniędzy płaconej w przyszłości:

,

gdzie: CF_t - przepływy pieniędzy (wpływy - wydatki); k - stopa dyskontowa (koszt kapitału), t - numer okresu.

Interpretacja:

1. jeśli projekty S i L są niezależne to wybieramy projekt akceptowalny,

2. jeśli projekty S i L są wzajemnie wykluczające się to wybieramy spośród akceptowalnych projekt lepszy.

Często się zdarza, że regularny i zdyskontowany okres spłaty dają inne wskazania.

Zdyskontowany okres spłaty wprawdzie eliminuje wadę a) regularnego okresu spłaty, ale nadal ma wadę b) ignoruje wszystkie strumienie pieniędzy, które występują po okresie spłaty kosztów.

Zaletą tego miernika jest to, że wskazuje, jak długo kapitał początkowy będzie narażony „na ryzyko” (po ilu okresach nastąpi odzyskanie nakładu inwestycyjnego) i jaka będzie płynność projektu.

Długa spłata oznacza:

• zamrożenie na wiele okresów środków pieniężnych,

• przepływy środków pieniężnych wymagają prognozowania daleko w przyszłość, a więc projekt będzie ryzykowny.

3. Wartość obecna netto (NPV) - technika ta polega na dyskontowaniu wszystkich przepływów pieniędzy na okres obecny, a następnie zsumowaniu wartości zdyskontowanych.

;

gdzie: CIF - przepływy dodatnie; COF - przepływy ujemne.

Interpretacja dla projektów niezależnych:

1. NPV > 0 oznacza, że projekt jest akceptowalny. Projekt dostarcza wpływów większych od kosztów inwestycji (jest więc zyskowny),

2. NPV = 0 oznacza, że projekt nie jest akceptowalny. Projekt dostarcza wpływów wystarczających tylko do pokrycia kosztów inwestycji,

3. NPV < 0 oznacza, że projekt nie jest akceptowalny. Projekt dostarcza wpływów mniejszych od kosztów inwestycji (przynosi stratę).

Jeżeli projekty są wzajemnie wykluczające się, to lepszy jest ten projekt, który ma wyższą wartość NPV (pod uwagę bierzemy tylko projekty akceptowalne, tzn. dla których NPV > 0).

Interpretacja merytoryczna NPV: NPV informuje o ile wzrośnie wartość firmy w wyniku realizacji danego projektu.

Wartość NPV dla danego projektu jest zależna od kosztów kapitału k. NPV maleje jak k rośnie i rośnie jak k spada. Prawidłowość ta występuje tylko dla projektów typowych.

4. Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) - w technice tej za pomocą iteracyjnej metody prób i błędów określa się taką wartość stopy dyskontowej, dla której wpływy są równe wydatkom. Ta wartość nazywa się wewnętrzną stopą zwrotu (internal rate of return).

IRR jest to taka wartość stopy dyskontowej, dla której NPV = 0. IRR mierzy zyskowność projektów w sensie stopy zwrotu:

.

Interpretacja dla projektów niezależnych:

1. IRR > k oznacza, że projekt jest akceptowalny. Projekt dostarcza wpływów większych od kosztów inwestycji (jest więc zyskowny),

2. IRR = k oznacza, że projekt nie jest akceptowalny. Projekt dostarcza wpływów wystarczających tylko do pokrycia kosztów inwestycji,

3. IRR < k oznacza, że projekt nie jest akceptowalny. Projekt dostarcza wpływów mniejszych od kosztów inwestycji (przynosi stratę).

Jeżeli projekty są wzajemnie wykluczające się, to lepszy jest ten projekt, który ma wyższą wartość IRR (bierzemy pod uwagę tylko projekty akceptowalne, tzn. dla których IRR > k).

Do wyznaczenia przybliżonej wartości IRR stosuje się wzór:

,

gdzie: k₁ - wartość stopy dyskontowej, dla której NPV > 0, k₂ - wartość stopy dyskontowej, dla której NPV < 0, NPV₁ - wartość NPV obliczona dla stopy dyskontowej k₁ (dodatnia), NPV₂ - wartość NPV obliczona dla stopy dyskontowej k₂ (ujemna)

5. Indeks zyskowności (PI) - definiuje się jako stosunek obecnej wartości przepływów dodatnich (CIF) do obecnej wartości przepływów ujemnych (COF):

.

Projekty niezależne są akceptowalne, jeżeli PI > 1.

Jeżeli projekty są wzajemnie wykluczające się , to lepszy jest ten projekt, który ma wyższą wartość PI (bierzemy pod uwagę tylko projekty akceptowalne, tzn. dla których PI > 1).

Matematycznie rzecz biorąc za pomocą NPV, IRR i PI podejmujemy zawsze taką samą decyzję odnośnie przyjęcia bądź odrzucenia projektów dla projektów niezależnych typowych.

Jeśli NPV > 0, to IRR > k i PI > 1.

Jeśli NPV = 0, to IRR = k i PI = 1 (jeśli IRR istnieje).

Jeśli NPV < 0, to IRR < k i PI < 1.

Konflikt wskazań między tymi miernikami może wystąpić, gdy projekty są:

• wzajemnie wykluczające się (typowe i nietypowe),

• niezależne nietypowe (nie dotyczy to relacji NPV i PI - NPV > 0 to PI > 1, jeśli istnieje).

Porównywanie NPV i PI

(projekty wzajemnie wykluczające się)

Te dwie metody oceny efektywności przedsięwzięć inwestycyjnych dają często inne wskazania przy wyborze projektu.

Firmy oraz jej udziałowcy (akcjonariusze) stawiają jako cel maksymalizację zysków. Zatem lepszym miernikiem jest NPV.

PI jest jednak również użytecznym narzędziem przy ocenie efektywności projektów inwestycyjnych. Jeśli mamy projekty o zbliżonych wartościach NPV, to wybieramy ten, który ma wyższą wartość PI.

Porównywanie NPV i IRR

Konflikt wskazań między NPV i IRR może potencjalnie wystąpić wtedy, gdy:

1. istnieje znaczna różnica w wartościach przepływów dla projektów (konflikt skali projektu);

2. występuje zróżnicowanie projektów w synchronizacji w czasie przepływów pieniądza, np. jeden projekt przynosi główne wpływy w początkowych okresach, natomiast inny w okresach końcowych;

3. różne okresy trwania projektów (jeden jest przewidziany na 3 okresy, drugi zaś na 5 okresów).

Przyczyny konfliktu wskazań między NPV i IRR

(projekty wzajemnie wykluczające się)

Metoda NPV zakłada, że możliwa stopa po której strumienie pieniędzy mogą być reinwestowane jest kosztem kapitału. Dla metody IRR zakłada się, że firma ma możliwość reinwestycji strumieni pieniędzy według wartości IRR projektu.

NPV dyskontuje przepływy pieniędzy według kosztów kapitału, podczas gdy IRR dyskontuje te przepływy według wartości IRR projektu.

Projekty nietypowe

Projekty nietypowe oceniane za pomocą miernika IRR mogą stanowić źródło trzech podstawowych problemów:

1. podjęcie niewłaściwej decyzji,

2. brak wartości IRR,

3. wielokrotne wartości IRR.

1. Zmodyfikowana wewnętrzna stopa zwrotu (MIRR ) - jest stopą dyskontową, która zrównuje aktualną wartość końcowej wartości przepływów dodatnich z aktualną wartością przepływów ujemnych.

.

Projekty są akceptowalne gdy MIRR > k.

MIRR a IRR

MIRR jest lepszą miarą niż IRR z dwóch powodów:

1. Unika trzech podstawowych problemów (podjęcie niewłaściwej decyzji, brak wartości IRR, wielokrotne wartości IRR - zawsze istnieje tylko jedna wartość MIRR),

2. MIRR przyjmuje (zakłada), że strumienie pieniędzy z każdego projektu są reinwestowane według kosztów kapitału, podczas gdy IRR zakłada, że są reinwestowane według wartości IRR projektu.

MIRR a NPV (projekty wzajemnie wykluczające się)

1. Jeśli projekty są tej samej skali i mają ten sam okres trwania to NPV i MIRR prowadzą zawsze do tej samej decyzji w zakresie wyboru projektu,

2. Jeśli projekty są tej samej skali i mają różne okresy trwania to NPV i MIRR prowadzą do tej samej decyzji w zakresie wyboru projektu, gdy wartości MIRR projektów obliczane są na bazie projektu o dłuższym okresie trwania,

3. Jeśli projekty są różne co do skali to może wystąpić konflikt wskazań.

W przypadku c) należy stosować NPV, ponieważ dostarcza informacji o ile projekty zwiększają wartość firmy.

ANALIZA POPYTU

W celu efektywnego planowania krótko - długookresowego zarządzający firmą musi dysponować wiedzą o popycie i o zmiennych, które ten popyt określają. Podstawowym narzędziem stosowanym w analizie popytu jest elastyczność popytu. Znając zmienne, które określają popyt na produkt badanej firmy, oraz wielkość i kierunek ich zmian, możemy za pomocą elastyczności określić wpływ tych zmiennych na wzrost lub spadek popytu. Znajomość współczynnika elastyczności popytu na dane dobro pozwala na podjęcie właściwych decyzji odnośnie do zmian wartości zmiennych niezależnych kontrolowanych przez firmę.

Elastyczność może być mierzona jako elastyczność punktowa i łukowa.

Elastyczność punktową popytu definiuje się jako odsetek zmian w popycie wynikający ze zmiany o 1% jednej ze zmiennych objaśniających (przy założeniu, że pozostałe zmienne determinujące popyt są stałe).

Elastyczność punktowa (
) popytu względem zmiennej niezależnej X_i w punkcie
jest definiowana następująco:

,

gdzie:
;
,
- pochodna cząstkowa funkcji popytu względem zmiennej X_i w punkcie
.

Dla większości funkcji regresji elastyczność w każdym punkcie jest inna. Wyjątek stanowi funkcja potęgowa, dla której elastyczność we wszystkich punktach jest jednakowa.

Elastyczność łukowa mierząca przeciętną elastyczność w pewnym przedziale jest zdefiniowana następująco:

,

gdzie:
,

- elastyczność łukowa popytu względem zmiennej niezależnej X_i.

Zakłada się, że w całym rozpatrywanym przedziale efekt oddziaływania pozostałych zmiennych jest stały.

Współczynnik elastyczność łukowej stosuje się w praktyce dla większości przyrostów zmiennej niezależnej X_i. Niekiedy przyjmuje się arbitralnie próg 5%. Wzór na elastyczność punktową został wyprowadzony przy założeniu, że ∆ X_i → 0. Implikuje to jego stosowanie tylko w przypadku niewielkich przyrostów zmiennej X_i.

Elastyczność popytu na podstawie oszacowanego modelu ekonometrycznego oblicza się względem każdej zmiennej niezależnej. Rozróżnia się elastyczności zwykłe i mieszane (krzyżowe).

Elastyczności mieszane oblicza się względem zmiennych charakteryzujących produkty konkurencyjne (substytucyjne) i komplementarne. Najbardziej znanymi elastycznościami krzyżowymi są: elastyczność krzyżowa cenowa i elastyczności krzyżowa względem wydatków na reklamę.

Elastyczności zwykłe oblicza się względem każdej z pozostałych zmiennych. Do najczęściej stosowanych w analizie popytu należą: elastyczność cenowa, elastyczność dochodowa i elastyczność wydatków na reklamę.

Elastyczność cenowa popytu jest na ogół ujemna, ponieważ wzrostowi (spadkowi) ceny badanego produktu towarzyszy z reguły spadek (wzrost) popytu na ten produkt. W wyjątkowych przypadkach (paradoks Giffena - wzrost popytu na artykuły podstawowe przy wzroście ceny; paradoks Veblena - wzrost zakupu produktów kosztownych przy wzroście ich ceny) elastyczność cenowa popytu jest dodatnia, popyt zaś odwrotnie elastyczny.

Poza sytuacjami wyjątkowymi rozróżnia się trzy przypadki elastyczności cenowej:

E_C < -1, popyt elastyczny - popyt spada (wzrasta) w większym stopniu niż wzrasta (spada) cena,

E_C = -1, popyt proporcjonalny (neutralny) - popyt spada (wzrasta) w takim samym stopniu, w jakim wzrasta (spada) cena,

E_C
(-1,0), popyt nieelastyczny - popyt spada (wzrasta) w mniejszym stopniu niż wzrasta (spada) cena.

W zależności od wartości elastyczności cenowej zmiana ceny może spowodować wzrost, spadek lub brak zmiany w całkowitym przychodzie ze sprzedaży rozważanego produktu. Elastyczność przychodu ze sprzedaży względem ceny jest równa elastyczności popytu względem ceny plus 1.

Chcąc zobrazować zależności między elastycznością cenową popytu, ceną produktu a przychodem ze sprzedaży, należy wyznaczyć z funkcji popytu krzywą popytu. Krzywa popytu wyraża zależność popytu od ceny, przy założeniu, że efekty oddziaływania pozostałych zmiennych determinujących popyt są stałe.

Elastyczność cenowa popytu, cena produktu a przychód ze sprzedaży

EC	Cena rośnie	Cena spada
EC < -1	Przychód spada	Przychód rośnie
EC = -1	Przychód się nie zmienia	Przychód się nie zmienia
EC (-1,0)	Przychód rośnie	Przychód spada

Elastyczność dochodowa popytu mierzy względne zmiany popytu wywołane określonymi względnymi zmianami dochodu. Dobra luksusowe i podstawowe łączy się w jedną klasę, nadając im nazwę dóbr wyższego rzędu.

Elastyczność dochodowa a poszczególne klasy produktów

ED	Klasa produktów	Dochód wzrasta	Dochód spada
ED (1,∞)	Dobra luksusowe	Popyt wzrasta w większym stopniu	Popyt spada w większym stopniu
ED (0,1)	Artykuły podstawowe	Popyt wzrasta w mniejszym stopniu	Popyt spada w mniejszym stopniu
ED (-∞,0)	Dobra niższego rzędu	Popyt spada	Popyt wzrasta

Można pokazać oddziaływanie elastyczności dochodowej na możliwości rozwojowe firmy. Dochód konsumentów rośnie (maleje) wraz z poprawą (pogorszeniem) sytuacji gospodarczej państwa.

Jeśli E_D > 1, to popyt na produkt firmy rośnie (spada) szybciej niż rośnie (spada) dochód konsumentów. Wynika stąd, że sytuacja ekonomiczna firmy w bardzo dużym stopniu zależy od koniunktury gospodarczej. Firmy, których produkty mają duże elastyczności dochodowe, dysponują dużymi możliwościami rozwojowymi w sytuacji wzrostu gospodarczego.

Jeśli E_D
(0,1), to popyt na produkty firmy rośnie (spada) wolniej niż rośnie (spada) dochód konsumentów. W tym przypadku sytuacja ekonomiczna firmy w mniejszym stopniu zależy od koniunktury gospodarczej.

Jeśli E_D < 0, to popyt na produkt firmy spada (rośnie), gdy dochód konsumentów rośnie (spada).

Dobrze działające na rynku firmy (korporacje) w zestawie produkowanych wyrobów mają produkty ze wszystkich trzech klas elastyczności dochodowej.

Elastyczność popytu względem wydatków na reklamę mierzy relatywne zmiany popytu wywołane określonymi relatywnymi zmianami wydatków na reklamę. Na ogół elastyczność ta przyjmuje wartości dodatnie. Wzrost wydatków na reklamę powoduje zwykle wzrost popytu na dane dobro.

Elastyczność krzyżowa cenowa popytu mierzy względne zmiany popytu na badane dobro wywołane określonymi relatywnymi zmianami ceny dobra konkurencyjnego (substytucyjnego) lub komplementarnego.

Jeżeli E_Ck>0, to badane produkty są produktami substytucyjnymi, jeżeli zaś E_Ck < 0 - komplementarnymi, natomiast w sytuacji gdy E_Ck ≈ 0 - są one niezależne.

Dla polityki cenowej firmy jest istotna informacja, jak popyt na jej produkt zmieni się w wyniku zmian cen produktów innych firm wytwarzających produkty komplementarne lub substytucyjne. O tym właśnie informują elastyczności krzyżowe.

Dobra substytucyjne, komplementarne i elastyczność krzyżowa popytu względem ceny

ECk	Relacje produktów	Wzrost ceny produktu pozostającego w związku z badanym	Spadek ceny produktu pozostającego w związku z badanym
ECk>0	Substytucja	Popyt na badane dobro rośnie	Popyt na badane dobro spada
ECk≈0	Niezależność	Popyt niezmienny	Popyt niezmienny
ECk<0	komplementarność	Popyt na badane dobro spada	Popyt na badane dobro rośnie

Elastyczność krzyżowa popytu względem wydatków na reklamę mierzy relatywne zmiany popytu na badane dobro wywołane określonymi relatywnymi zmianami wydatków na reklamę dobra konkurencyjnego (substytucyjnego) lub komplementarnego.

Na ogół elastyczność ta jest ujemna dla produktów substytucyjnych i dodatnia dla dóbr komplementarnych.

ANALIZA PRODUKCJA

Produkcja jest procesem (aktem transformacji) w wyniku, którego czynniki produkcji (surowce, praca, kapitał, użytkowanie ziemi, talenty menedżerskie) zostają przetworzone w produkt (produkty).

Do opisu zależności wielkości produkcji od wielkości nakładów czynników produkcji używa się funkcji produkcji:

,

gdzie: Q - wielkość produkcji w okresie t, X₁, ..., X_m - wielkość nakładów poszczególnych czynników produkcji w okresie t, f - postać analityczna.

Relacje pomiędzy czynnikami produkcji i wielkością produkcji zależą od:

• absolutnego poziomu każdego czynnika produkcji;

• proporcji między czynnikami produkcji (technologia produkcji stosowana w firmie).

Czynniki produkcji można podzielić na:

• czynniki stałe, tj. takie, które w krótkim okresie (short run) nie zmieniają się. Zalicza się do nich:

• podstawowe w procesie produkcji maszyny i urządzenia,

• przestrzeń niezbędną do działalności produkcyjnej (budynki, budowle, powierzchnia fabryki),

• kwalifikacje pracowników;

• czynniki zmienne, tj. takie, które nawet w bardzo krótkim okresie zmieniają swoje wartości. Zalicza się do nich:

• zużycie energii elektrycznej,

• zużycie większości surowców,

• usługi transportowe, nakład pracy.

Zatem w krótkim okresie zmianom ulegają tylko czynniki zmienne, w długim okresie zaś zmianom ulegają wszystkie czynniki.

Rozróżnienie między produkcją w długim i krótkim okresie zależy od specyfiki produkcji. Krótki okres produkcji może wynosić kilka miesięcy (np. w przemyśle produkującym żywność) lub kilka lat (w przemyśle samochodowym itp.).

W długim okresie konkurencja i potrzeba zwiększania zysku powodują, że firma inwestuje w efektywniejszą technologię pozwalającą zwiększyć produkcję przy danych nakładach czynników lub produkować na tym samym poziomie, ale przy mniejszym zaangażowaniu czynników produkcji.

W krótkim okresie wielkość produkcji uzależniona jest od poziomu zaangażowania czynników produkcji i efektywności ich wykorzystania.

Znajomość funkcji produkcji w firmie pozwala uzyskać odpowiedzi na następujące pytania:

1. W jakim stopniu zmieni się wielkość produkcji Q, jeżeli będziemy zwiększać wielkość jednego z czynników, przy założeniu, że pozostałe są niezmienne?

2. Jaka jest optymalna kombinacja czynników produkcji?

Problem ten rozwiązuje się przez połączenie relacji technologicznych ilustrowanych przez izokwanty produkcji i relacji rynkowych ilustrowanych przez tzw. krzywe jednakowych kosztów.

3. W jakim stopniu zwiększy się wielkość produkcji Q, jeśli nakłady wszystkich czynników zwiększą się w tym samym stopniu (k > 1)?

Jest to zagadnienie efektu skali produkcji.

4. W jakim stopniu zmieni się wielkość produkcji, jeśli np. nakłady niektórych czynników wzrosną, a innych spadną (prognozowanie na podstawie funkcji produkcji)?

Istotnym problemem rozpatrywanym w analizie produkcji jest zagadnienie efektu skali produkcji (ESP). Do rozwiązania zagadnienia efektu skali produkcji wykorzystuje się dwie metody.

Metoda 1: Zakładamy, że nakłady wszystkich czynników produkcji zwiększą się k - krotnie (k > 1). Wtedy wielkość produkcji również się zmienia. Otrzymuje się:

gdzie h oznacza proporcję wzrostu wielkości produkcji wynikającą z k- krotnego wzrostu nakładów czynników produkcji.

W zależności od typu relacji między h i k mówimy o trzech przypadkach funkcji produkcji:

1. Gdy h < k mamy do czynienia z funkcją produkcji, w której wielkość produkcji rośnie wolniej niż nakłady (funkcja o malejących przyrostach).

2. Gdy h > k mamy do czynienia z funkcją produkcji, w której wielkość produkcji rośnie szybciej niż nakłady (funkcja o rosnących przyrostach).

3. Gdy h = k mamy do czynienia z funkcja produkcji, w której wielkość produkcji rośnie w tym samym tempie co nakłady (funkcja o stałych przyrostach).

Dla funkcji produkcji o stałych i malejących przyrostach nie jest efektywne zwiększanie nakładów czynników produkcji.

Metoda 2: Zakładamy, że nakłady wszystkich czynników produkcji zwiększają się o 1%. Miernik będący sumą elastyczności produkcji względem wszystkich czynników produkcji nosi nazwę efektu skali produkcji (ESP):

,

gdzie:
- elastyczność punktowa produkcji względem j -tego czynnika produkcji.

W zależności od wartości ESP mówimy o trzech przypadkach funkcji produkcji:

1. Gdy ESP < 1 mamy do czynienia z funkcja produkcji, w której wielkość produkcji rośnie wolniej niż nakłady (funkcja o malejących przyrostach).

2. Gdy ESP > 1 mamy do czynienia z funkcją produkcji, w której wielkość produkcji rośnie szybciej niż nakłady (funkcja o rosnących przyrostach).

3. Gdy ESP = 1 mamy do czynienia z funkcją produkcji, w której wielkość produkcji rośnie w tym samym tempie co nakłady (funkcja o stałych przyrostach).

Dla funkcji produkcji o stałych i malejących przyrostach nie jest efektywne zwiększanie nakładów czynników produkcji.

Dla funkcji potęgowej, jeśli suma potęg jest:

• większa od jedności, to funkcja jest o rosnących przyrostach,

• mniejsza od jedności, to funkcja jest o malejących przyrostach,

• równa jedności, to funkcja jest o stałych przyrostach.

Produkt krańcowy MP_L względem nakładu czynnika L definiuje się jako zmianę wielkości produkcji wynikająca z jednostkowej zmiany nakładów czynnika L, przy założeniu, że nakłady pozostałych czynników są stałe.

Dla zmiennej dyskretnej produkt krańcowy wyznacza się ze wzoru:

.

Dla zmiennej ciągłej produkt krańcowy wyznacza się ze wzoru:

.

Produkt przeciętny AP_L względem nakładu czynnika L jest zdefiniowany jako stosunek wielkości produkcji do nakładów czynnika L:

.

W przypadku ciągłym produkt krańcowy i produkt przeciętny mają interpretację geometryczną.

Produkt krańcowy MP_L interpretuje się jako współczynnik kierunkowy (nachylenie) stycznej do krzywej produktu całkowitego Q (wielkość produkcji Q przyjmuje maksimum, gdy MP_L = 0).

Produkt przeciętny AP_L interpretuje się jako współczynnik kierunkowy (nachylenie) prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych i odpowiedni punkt na krzywej produktu całkowitego.

Problem optymalnej kombinacji czynników produkcji rozwiązuje się przez połączenie relacji technologicznych ilustrowanych przez izokwanty produkcji i relacji rynkowych przez tzw. krzywe jednakowych kosztów.

Izokwanta produkcji (krzywa jednakowej produkcji) przedstawia wszystkie możliwe kombinacje nakładów czynników produkcji, które dają w efekcie rozważaną wielkość produkcji.

Substytucyjność czynników produkcji jest mierzona krańcową (marginalną) stopą (technicznej) substytucji czynników produkcji MS_LC. MS_LC wyprowadza się z różniczki zupełnej pierwszego rzędu dla funkcji produkcji Q = f (L, C):

.

Przekształcając ten wzór dla dQ = 0 otrzymujemy:

1. 
   

gdzie: MS_LC - krańcowa stopa substytucji kapitału (C) pracą (L), MP_C - produkt krańcowy względem nakładu kapitału, MP_L - produkt krańcowy względem nakładu pracy.

Krańcowa stopa substytucji kapitału (C) pracą (L) określa, jaki nakład pracy musi być wprowadzony zamiast wycofanej jednostki nakładu kapitału, aby wielkość produkcji się nie zmieniła.

2. 
   

gdzie: MS_CL - krańcowa stopa substytucji pracy (L) kapitałem (C).

Krańcowa stopa substytucji pracy (L) kapitałem (C) określa, jaki nakład kapitału musi być wprowadzony zamiast wycofanej jednostki nakładu pracy, aby wielkość produkcji się nie zmieniła.

Krzywa jednakowych kosztów (izokoszta) jest to krzywa przedstawiająca wszystkie kombinacje nakładów czynników produkcji, które można zakupić przy zadanym koszcie:

TC = P_L · L + P_C · C,

gdzie: C - nakład kapitału, L - nakład pracy, P_L - cena jednostki czynnika pracy, P_C - cena jednostki czynnika kapitału, TC - całkowite koszty zakupu czynników L i C.

Optymalną kombinację nakładów czynników produkcji znajduje się w punkcie styczności krzywej jednakowych kosztów z izokwantą produkcji. Każda inna izokwanta bądź odpowiada niższej wielkości produkcji (poniżej danej izokwanty), bądź daje kombinacje nakładów, których firma nie jest w stanie zakupić (powyżej danej izokwanty).

Optymalna kombinacja czynników produkcji występuje wtedy, gdy jest spełniona relacja:

,

gdzie: P_L - cena jednostki czynnika pracy, P_C - cena jednostki czynnika kapitału.

Jak widać optymalne proporcje nakładów czynników są wtedy, gdy dodatkowa jednostka pieniężna przeznaczona na zakup danego czynnika produkcji powoduje taki sam wzrost wielkości produkcji jak dodatkowa jednostka pieniężna przeznaczona na zakup jakiegokolwiek innego czynnika produkcji. Każda kombinacja niespełniająca tych warunków nie jest optymalna.

Zagadnienie to może być rozpatrywane w dwojaki sposób:

1. po pierwsze, mając dane zasoby pieniężne, poszukuje się takiej kombinacji nakładów czynników produkcji, dla której wielkość produkcji jest maksymalna,

2. po drugie, mając ustaloną wielkość produkcji, poszukuje się takiej kombinacji nakładów czynników produkcji, której koszt jest minimalny.

Maksymalizacja wielkości produkcji przy danych kosztach (zasobach pieniężnych):

Przedsiębiorstwo dysponuje zasobami pieniężnymi w wysokości TC jednostek pieniężnych i maksymalizuje wielkość produkcji. Wtedy otrzymuje się następujące zadanie programowania matematycznego:

przy warunku

Po wprowadzeniu mnożnika Lagrange`a otrzymujemy zadanie:

Warunki konieczne dla ekstremum otrzymuje się po obliczeniu pochodnych po X_j (dla j = 1, ..., m) oraz λ i porównaniu ich do zera:

Wobec tego
.

Wynika stąd następujący warunek, który powinna spełniać optymalna kombinacja czynników produkcji:

.

Minimalizacja kosztów przy danej wielkości produkcji:

Załóżmy, że firma ma określoną wielkość produkcji c jednostek i minimalizuje koszt zakupu czynników produkcji.

Funkcje celu:

przy warunku

.

Po wprowadzeniu mnożnika Langrange`a λ otrzymujemy zadanie:

.

Warunki konieczne dla ekstremum otrzymuje się po obliczeniu pochodnych po X_j (dla j = 1, ..., m) oraz λ i przyrównaniu ich do zera:

Wobec tego
.

Wynika stąd następujący warunek, który powinna spełniać optymalna kombinacja czynników produkcji:

.

Oznacza to, że optymalne proporcje nakładów czynników produkcji są takie, że dodatkowa jednostka pieniężna przeznaczona na zakup danego czynnika produkcji powoduje taki sam wzrost wielkości produkcji, jak dodatkowa jednostka pieniężna przeznaczona na zakup jakiegokolwiek innego czynnika produkcji. Każda kombinacja niespełniająca tych warunków nie jest optymalna.

---