PRAWDOPODOBIEŃSTWO: Funkcja, która zdarzeniom losowym przypisuje rzeczywiste wart. Liczbowe

AKSJOMATYCZNA DEFINICJA:

* 0<= P (A)<=1

* P(Ω) = 1

* jeżeli A i B są rozłączne to prawdopodobieństwo sumy A i B = sumie prawdopodobieństw A i B
P(A∪B)=P(A)+P(B)

_______________________________

*A∪B=A∪[B-(A∩B)]

P(A∪B)=P(A)∪P(B-(A∩B))

*B=(A∩B) ∪[B-(A∩B)]

P(B)=P(A∩B)∪P(B-(A∩B))

*P(A∪B)=P(A)+P(B)- P(A∩B)

*P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)- P(A∩B)-

P(A∩C)-P(B∩C)+P(A∩B∩C)

*Tw. Bayesa:

Niech zdarzenia A1,A2,…,An tworzą układ zupełnych zdarzeń, dla dowolnego zdarzenia B o przwdopod. P(B)≠0 mamy:

P(An|B)=[P(B|An)P(An)]/[P(B|A1)P(A1)+P(B|A2)P(A2)+...+P(B|AN)P(AN)] n∈1,2,…,N

PRAWDOPOD. WARUNKOWE:
P(A\B)=P(A∩B)/P(B)
*P(A\B) ∈<0;1>

*P(Ω\B)= P(Ω∩B)/P(B)=1

*A∩B=∅ -zdarz. rozłączne

P(A\B\C)=P(A\C)+P(B\C)

UKŁAD ZUPEŁNY ZDARZEŃ:

A1,A2,..Ak

Ai∩Aj=∅ i≠j

∨k=i Ak=Ω

P(B)= _(k=1)Σ^k P(B|Ak)P(Ak) tw. O prawdop. Zupełnym

ZDARZENIA NIEZALEŻNE:Jeżeli dla dwóch zdarzeń A i B prawdopodobieństwo ich iloczynu = iloczynowi prawdopodobieństw to zdarzenia te nazywamy niezależnymi. Zdarzenia rozłączne są niezależne.

P(A∩B)= P(A)*P(B)

ZMIENNE LOSOWE:

*Losowym zdarzeniom elementarnym przyporządkowane są liczby

*ω-zd. Elementarne (okoliczności)

*x(ω)-przyporządkowanie losowym liczbom

*zbiór wartości dyskretny (rzut kostką)

*zm. Dyskretna-funkcja x(ω) osiąga wart. Xk jeśli ω należy do Ak (jeśli zachodzi zdarzenie Ak)
_(k=1)Σ^k P(X=Xk)=1 <=war. Normalizacyjny.

*zm losowa ciągła: funkcja x(ω) określona na zbiorze zdarzeń elem. I przyjmująca wart. Rzeczywiste, jeżeli:

Zb. Zd. Elem. Oraz zb. Wart. Funkcji są nieprzeliczalne

Wartości funkcji x(ω) wypełniają odcinek, półprostą lub prostą w ten sposób, że dla każdego rzeczywistego x istnieje zdarzenie o prawdop. P[x(ω)<x]

jeżeli _-∞∫^∞ p(x )dx=1 to P(-∞<=X<∞)=1 -war. Normalizacyjny

Prawdopodobieństwo przyjęcia przez zmienną losową ciągłą jednej wybranej wart. = 0

GĘSTOŚĆ PRAWDOPODOBIEŃSTWA ZMIENNEJ LOSOWEJ CIĄGŁEJ:
lim _x->0[P(x<=X<x+Δx)]/Δx=p(x)

p(x)≥0

---