Nr ćwiczenia		Nr zespołu	Data wykonania
4a			2	25. 02. 1998 r.
	Wyznaczanie przyspieszenia ziemskiego	Ocena	Podpis
	przy użyciu wahadła matematycznego.

1. Wstęp

Wahadło matematyczne jest to punkt materialny o masie m. zawieszony na nieważkiej i nierozciągliwej nici o długości l. Rzeczywistym modelem wahadła matematycznego jest stalowa kulka zawieszona na jedwabnej nici. W praktyce nić ta posiada określoną masę i ulega rozciąganiu pod wpływem ciężaru kulki. Wychylając wahadło z położenia równowagi wprowadzamy je w ruch drgający prosty. Okres drgań takiego wahadła jest określony zależnością:

gdzie:

l jest długością nici

g jest przyspieszeniem ziemskim

Z powyższego wzoru możemy wywnioskować, że dla małych wychyleń kątowych (< 5^o) okres drgań nie zależy od ich amplitudy, ani też od masy. Zależy zaś od długości wahadła i wartości przyspieszenia ziemskiego.

Przyspieszenie ziemskie (g) jest to przyspieszenie, jakie uzyskują ciała w polu grawitacyjnym Ziemi. Wartość przyspieszenia ziemskiego została przyjęta jako stała i wynosi 9,80665 m/s² lecz w rzeczywistości zmienia się w zależności od szerokości geograficznej w jakiej się znajdujemy (np. równiku g=9,78 m/s² zaś na biegunie g=9,83 m/s²).

Posługując się właśnie wahadłem matematycznym możemy wyznaczyć przyspieszenie ziemskie:

Ćwiczenie 1.

Pokazać, że okres wahadła matematycznego jest określony wzorem:

Na masę m działa siła ciężkości F= mg , którą możemy rozdzielić na składowe F₁ i F₂. Ruch wahadła odbywa się pod wpływem siły:

przyjmując kąt
< 5^o :

;

Jest to przykład ruchu harmonicznego.

określa stałą k w równaniu: F= -kx

;

podstawiając
otrzymujemy równanie ruchu harmonicznego:

.

bo

i ostatecznie otrzymujemy:

Ćwiczenie 2.

Udowodnić
przy założeniu
.

Ćwiczenie 3.

Dowieść, że funkcja ma postać
:

,
, A jest stałą.

Ćwiczenie 4.

Opisać metodę regresji liniowej.

Mając dane wyniki pomiarów, można przypuszczać iż w pewnym stopniu są one niedokładne. Po zilustrowaniu ich za pomocą wykresu można zauważyć, że układają się one w jedną prostą.

Metoda regresji liniowej polega na tym, aby właśnie tą prostą wyznaczyć. Robimy to w taki sposób, aby suma kwadratów odchyleń poszczególnych punktów od prostej była najmniejsza.

Szukana prosta ma postać: y=ax+b, a poniższe równanie jest warunkiem Gaussa:

Będzie on spełniony gdy pochodne cząstkowe sumy względem a i b będą równe 0:

oraz

z obu powyższych równań obliczamy a i b:

Błędy pomiarowe:

Błędem średnim kwadratowym pojedynczego pomiaru z danej serii n pomiarów jest:

Błędem średnim średniej arytmetycznej n pomiarów wielkości a jest:

Jeśli wartość pewnej wielkości jest zależna od wyniku np. trzech pomiarów bezpośrednich:

c = f(x,y,z),

to wzór na maksymalny błąd ma postać:

Wzór na błąd średni kwadratowy wielkości c:

Typy obliczania błędów:

• błąd bezwzględny : Δx;

• błąd względny: .

2. Wyniki pomiarów i obliczenia

Pomiar okresu T:

Lp	10Ti [s]	Ti [s]	[s]	^2 [s^2]
1.	19,00	1,90	0,0362	0,00131044
2.	19,40	1,94	-0,0038	0,00001444
3.	19,10	1,91	0,0262	0,00068644
4.	19,44	1,944	-0,0078	0,00006084
5.	19,44	1,944	-0,0078	0,00006084
6.	19,50	1,95	-0,0138	0,00019044
7.	19,40	1,94	-0,0038	0,00001444
8.	19,80	1,98	-0,0438	0,00191844
9.	19,44	1,944	-0,0078	0,00006084
10.	19,10	1,91	0,0262	0,00068644

Okres wynosi:

Pomiar promienia kuli r:

Lp	2ri [mm]	ri [mm]	[mm]	^2 [mm^2]
1.	30,0	15,0	0,04	0,0016
2.	30,0	15,0	0,04	0,0016
3.	30,2	15,1	-0,06	0,0036
4.	30,1	15,05	-0,01	0,0001
5.	30,1	15,05	-0,01	0,0001

,

Pomiar długości nici s:

lp	si [cm]	[cm]	^2 [cm^2]
1.	91,5	0,125	0,015625
2.	91,7	-0,075	0,005625
3.	91,6	0,025	0,000625
4.	91,7	-0,075	0,005625

Długość wahadła l:

Przyspieszenie ziemskie g:

Ostatecznie g wynosi:

Błąd względny:

Błąd procentowy:

3. Wnioski

W wyniku doświadczenia wyliczyliśmy przyspieszenie ziemskie o wartości równej:

Wartość ta nie odpowiada wzorcowej wartości przyspieszenia ziemskiego, która wynosi:

Różnica pomiędzy nimi wynosi:

Przyczyną tych rozbieżności są błędy, jakie popełniamy w czasie wykonywania ćwiczenia. Są to błędy:

• systematyczne wynikające z:

1. niecałkowitej nierozciągliwości nici

2. nieuwzględnienia oporu powietrza i siły tarcia

• przypadkowe

1. różna dokładność urządzeń pomiarowych (stopery mechaniczne i elektroniczne)

2. "czynnik ludzki" - różnorodny czas reakcji podczas mierzenia i odczytywania wyników.

Największy wpływ na błędy popełniane w tym doświadczeniu ma "czynnik ludzki", czyli poprawną dokładność wyników przez jak najmniejszy udział "czynnika ludzkiego" przy wykonywaniu doświadczenia.

1

m

l



---