EKONOMETRIA

Opisuje w sposób ilościowy sytuacje ekonomiczne w postaci praw matematycznych, np. jakim wzorem opisuje się BNP w RP

Metoda najmniejszych kwadrat. (Gauss'a)- najważniejsza z metod ekonometrycznych

Firma produkuje jeden jednorodny towar. Zastanawia się jaki jest popyt na ten towar. Działa w ustabilizowanych warunkach ekonomicznych.

Jak wpływa cena na popyt?

Elastyczność cenowa popytu mówi o tym o ile procent zmieni się popyt o ile cena zmieni się o 1%

D-popyt, p- cena

elastyczność cenowa stała:

Ile wyn.
jeżeli

i to jest odpowiedź na pytanie .

Ile wynosi popyt funkcji, jeżeli elastyczność cenowa jest stała?

a> hiperbola podnosząca się do góry rynek coraz większych cen

a- gabaryt rynku, wielkość rynku

-odpowiedzialne za kręcenie hiperboli

Jak wyznaczyć a i
?

Metodą najmniejszych kwadratów

Punkty- dane historyczne. Aby określić rynek musimy dopasować krzywą, która najlepiej zgadza się z punktami.

Dane:

Szukane:
, taki że:

jak dobrać
aby było najmniejsze?

ε

TWIERDZENIE

X'

Dowód twierdzenia analityczny i geometryczny. Gradient:

PRZYKŁAD

1.
2.

3.

geometryczny

że jeśli się weźmie
,że jest rzutem ortogonalnym wektora y na przestrzeń linii rozpiętą na kolumnach macierzy X

Szacowanie parametrów popytu, przy założeniu: elastyczność cenowa nie jest stała.

Wzór na elastyczność cenową popytu:

podstawiamy (*)

**

jeżeli elastyczność cenowa wyraża się wielomianem to popyt funkcji ceny wyraża się wzorem(**)

Jak wyznaczyć parametry wzoru(**), jeżeli znamy dane z tabeli:

Dane:

Szukane:

WZÓR
NA POPYT

Im więcej danych, tym lepiej. Danych musi być więcej niż niewiadomych

DLA MONOPOLISTY

Wpisując estymatory otrzym. strategię wykonalną, wykorzys.

informację i optymalne przetworzenie tej informacji

Małym zmianom argumentów odpowiadają małe zmiany własności. Im bliższe
jest
tym bliższe są strategie optymalizacji strategicznej w warunkach idealnych(gdzie są pełne informacje).

Zasada separacji

Zastąpienie nieznanych param. ich estymatorami

Obieg informacji rynkowej oraz aktywny eksperyment na rynku

Przy cenach od p1 do pn obroty wynosiły od D1 do Dn. Będąc podmiotem gospodar. monopolista sam wybiera cenę od p1 do pn a rynek odpowiada popytem od D1 do Dn. W tych danych zawiera się informacja o rynku.

Odbiorca ma odkodować wiadomość i odfiltrować szum. Sposób kodowania jest ustalony między nadawcą i odbiorcą. Rynek jest źródłem informacji
,koduje wiad. i wysyła kanałem informacyjn. Wiadomość trafia do odbiorcy. Nadana wiadomość
, a otrzymana y. Odtworzenie wiadomości nadanej
jest
(najlepsza wiadomość)

Jaka jest różnica między
a
?

Błędy są zm. losowymi o losowych średnich i są nie skorelowane

-średni kwadratowy błąd odtwarzania

Zmniejszyć błąd odtwarzania : jak dobrać ceny żeby minimalizować ślad macierzy

Dobieramy jednostki monetarne tak, aby p=1.

Geometryczna interpretacja

Im większy x tym większy mianownik. Pole będzie 0 jeżeli J będzie współliniowe. X powinno być wybierane na osiach.

Optymalnym X na którym odtwarzany jest błąd odtwarzania jest X(najbardziej wysunięty0. Optymalne ceny to ceny skrajne.

Którą z tych sekwencji wybrać, aby wejść na rynek? Odpowiednia sekwencja to ta, która rozłożona jest losowo na wszystkich sekwencjach rynkowych. Losowa strategia ma najwięcej informacji rynkowych, dlatego musi być konstruowana na wartościach ekstremalnych.

Najwięcej się dowiemy w punktach
. Dostaniemy najlepsze oszacowanie tej ceny.

Sytuacja rekursywna

Nie zawsze można zastosować met. najmn. kwadratów, sytuacja taka występuje, gdy mamy bardzo duży zbiór danych i gdy ten zbiór się powiększa, gdy dane już wykorzystaliśmy do obliczeń i gdy dochodzą nam nowe informacje-możemy na nich bazować(niewygodne).

Idea jest taka, aby dane wykorzystać tylko raz-jest to sposób rekursywny. Należy zatem konstruować estymator
w każdym kroku(tabeli danych)

Dane: Yn, Xn,

Szukane:

Dane:

Szukane:

WYMNÓŻ SOBIE SAM!!!!!!

WYMNÓŻ SOBIE SAM!!!!

KOLEJNOŚĆ W ROZ ZAD:

Zastosowanie w strategiach adaptacyjnych

Estymacja parametrów wyniku w warunkach konkurencji.

(WSTĘP DO DUOPOLU)

Czy metodą estymacji da się oszacować w warunkach konkurencji? Istnieje wątpliwość, że gdy dało się ją zastosować w przypadku monopolu, to czy w przypadku konkurencji będzie dostęp do informacji bo nie można poznać obrotów konkurencji i ich struktury kosztów. Podmioty ukrywają swoje obroty, notują tylko ceny. Czy na podstawie cząstkowych informacji podmiot jest w stanie zidentyfikować wynik, który wystarczy do budowy systemu adaptacyjnego. Zakładamy, że jest 2 konkurencyjne firmy, elastyczność cenowa stała, możliwość rozszerzenia popytu

(teraz będziemy przekształcać monopolistyczną w duopolistyczną)

Pierwszy podmiot dysponuje danymi: swoją ceną, ceną konkurencji (
), swoim popytem

- informacja dostępna podmiotowi wystarcza więc do estymacji parametrów w jego strategii adaptacyjnej

Gdy firm jest więcej jest więcej danych, następuje rozszerzenie.

itd.

Gdyby elastyczności cenowe nie byłyby stałe, to monopol pojawiłby się okresowo.

Gdy nie ma zgodności między ceną i podażą w konkurencyjnych warunkach, firma musi dobierać albo cenę albo produkcję, musi ciągle dostosowywać jedno do drugiego.

Estymacja parametrów wyniku w warunkach konkurencji.

(DUOPOL)

Jest 2 konkurentów -świadczą substytucyjne produkty (popyt zależy od cen p1 i p2). Informacją dysponuje D1 i jest to p2, D2 i jest to p1.

TW. WEIERSTRASS'a

Dla każdej funkcji ciągłej i
>0 da się znaleźć taki wielomian stopnia n, że
przy czym max jest wzięty po wszystkich argumentach prostokąta.

Niezależnie od tego jak skomplikowana jest ograniczona powierzchnia zbioru , to da się aproksymować funkcję ciągłą z dokładnością
wykresu. Im większy prostokąt tym większy stopień wielomianu i tym trudniej przybliżyć (aproksymować) funkcję.

-jest to elastyczność cenowa i-tego popytu wzgl. j -tej ceny

- jest podejrzenie, że
są wielomianami, to :

**

WZÓR
NA POPYT

Dla drugiej ceny zmienia się znak i indeksy.

W wielomianie stopnia n- tego ze względu na 2 zmienne (*) ma trochę inne współrzędne liczbowe.

Jest wymagane by elastyczności cenowe popytu wzgl. cen były wielomianami. Należy doprowadzić do (**)

Budujemy schemat estymacji:

min X^TQX=

=

P²=

1951- Markowitz opublikował swoją pracę. 1 wielka rewolucja. 2 rewolucja odbyła się w latach 70-tych, pojawiły się inne papiery wartościowe, które są w relacji z tymi pierwszymi.

GIEŁDA- to miejsce kupna i sprzedaży kapitału.

WARTOŚCI NOTOWAŃ- to sygnały cenowe, które stanowią podstawową informację rynkową.

Za pośrednictwem giełdy odbywa się sterowanie przepływu pieniądza. Mają w tym udział inwestorzy, którzy przetwarzają informacje w akcje inwestycyjne, widoczne w notowaniach akcji.

Praca Markowitza dotyczyła indywidualnego inwestora. Jak ma swój problem przeanalizować i rozwiązać.

Inwestor dysponuje kapitałem M>0, selekcjonuje on N spółek, których ceny akcji w danej chwili wynoszą p₁(0),...,p_n(0)

STOPA ZWROTU z i-tej akcji wynosi p₁(1),...p_n(1) - n-tej spółki po roku.

(licznik-zysk z 1 akcji,

mianownik-cena 1 akcji).

Inwestor dzieli kapitał na frakcje

X= col. (X₁,...,X_n)

po roku otrzymuje to (zysk)

portfel inwestycyjny

Markowitz zaproponował aby stopę zwrotu potraktować tak, jakby to był wektor losowy.

-wektor losowy o rozkładzie normalnym

Normalny rozkład

=

macierz kowarjancji

Rozkłady Gaussa

Rozkład zdegenerowany

Q- macierz kwadratowa i symetryczna

Q jest macierzą nieujemną określoną jeżeli forma kwadratowa macierzy jest dla wszystkich x>0.

x^TQx

x^TQx
0 macierz + określona

Jeżeli istnieje macierz dodatnia to istnieje macierz kwadratowa i rozkład jest niezdeterminowany.

Z portfelem x można związać wartość średnią tego portfela, wyraża się poprzez

i

średni zysk portfela

-war- iancja z portfela

Obie charakter. portfela wyrażają się poprzez statystykę prawdopodobieństwa.

Im większa wariancja tym rozkład bardziej rozłożony.

Wariancja mniejsza- skoncentrowany.

Im mniejsza wariancja tym większa pewność, że wynik

losowania będzie w granicach wartości średniej i odwrotnie (tu jest większe ryzyko).

Powiększenie zysku i pomniejszanie ryzyka jest niemożliwe.

Markowitz zapropon. Aby tak skonstruować portfel przy zadanym średnim poziomie zwrotu, aby minimalizować wariancję portfela (ryzyko- tak aby nie trafić w wartość średnią).

gdzie

(*)

oprócz „krótkiej sprzedaży”, gdzie (*) nie obowiązuje.

Oryginalne zadanie Markowitza :

min x^TQx

rozkład zde-
generowany

Inwestor tworzy frakcję

x₀, x₁, ...x_n

lokata bankowa oprocentowana

rozkł.

niez-

degenerowany

Jeżeli istnieje depozytowa lokata deterministyczna to ją wprowadzamy.

Z punktu widzenia badań operacyjnych modelu decyzyjnego z pewną niepewnością.

Model pokazuje w jaki sposób włącza się informacje do procesu decyzyjnego (jaki typ informacji jest pożyteczny).

M>0 zasób gotówki inwestora

p₁(0)..., p_n(0)- aktualne ceny

akcji

p₁(1),...,p_n(1)- ceny akcji po

okresie 1

x₁,...,x_n- portfel

Rozdzielamy inwestycje ryzykowne od wolnych od ryzyka.

r>0- wielkość deterministyczna, wolna od ryzyka.

x₀- gotówka zainwestowana w inwestycję wolną od ryzyka

średni zysk z portfela.

Wariancja z portfela

min x^TQx- szuk.wariancji portfela po wszystkich portfelach , gdzie

możemy pominąć to ostatnie.

Spośród wszystkich portfeli dopuszczalnych, i które gwarantują średni zysk wybieramy taki portfel, którego wariancja jest najmniejsza.

Q>0 x^TQx>0 , x
0

AA=Q A-symbol pierwiastka

Rozwiązujemy zadanie gdy nie mamy lokaty bankowej.

y=

W=

=

=

y=

J

Zyskowi z1 odpowiadają dwa portfele z1 i z1'.

Zbiór portfeli efektywnych tj. taki zbiór, w którym ze wzrostem zysku wzrasta również poziom ryzyka.

KONSTRUKCJA PORTFELA INWESTYCYJNEGO W WARUNKACH RYZYKA.

Ten kto chce ten model stosować musi mieć spreparowaną informację.

Min.

Q=
, Q>0

⇑

M>0

-kwadrat równoległoboku zbudowanego na wektorach

Inwestor teraz może inwestować część swojej gotówki a papiery bez ryzyka

(depozyt, obligacje Skarbu Państwa)

wtedy kiedy nie ma krótkiej sprzedaży, jeżeli jest dopuszczalny to tego ryzyka nie ma.

⇑

licznik

licznik
=

Model który odpowiada jak racjonalnie inwestować, jakie jest ryzyko za nadmierny apetyt.

Dopiero SHARPE opublikował model praktyczny obejmujący cały rynek biorący pod uwagę indeksy giełdowe.

MANGEL wprowadził nowoczesną teorię inwestycyjną. Model ten zaniedbuje aspekt (doboru) pozyskania, sprawdzenia oraz przetwarzania informacji.

PROGRAMOWANIE STACHOSTYCZNE W WARUNKACH RYZYKA

N(m,Q)

R

E

var

=X

-zmienna losowa może przyjmować różne wartości

max
- prawd. Zdarzenia ,że wartość zysku będzie

0

Portfel przy którym inwestor wygrywa zysk na poziomie z ,z największym prawdopodo-

bieństwem jest najlepszy.

(*)P

(*)=
wprowadzamy nową zmienną całkowania s:

(*)=
=

=
=

Wzór na dystrybuantę Gaussa:

(*)

↓ ↓

odczyt G rozwiąz.

z tablic ułamek

ad.(1w) - zysk który odczytujemy

ad.(2w)-portfel

ad.(3w)-prawdop.osiągnięcia zysku

I
- ustalam to (ograniczenia)

Następnie liczę licznik

Max pierwiastek przy ustaleniu liniowym licznika

II min wariancji przy ogr. Liniowych licznika

INŻYNIERIA FINANSOWA

Proces losowy-Proces Wiener'a

t=0,
t,2
t,...

x=0, +/-
x, +/-2

x ...

Zagęszczamy krok czasowy i krok przestrzenny.

→0,
→0

-- równanie różniczkowe cząstkowe z niewiadomą u.

Przy błądzeniu przypadkowym dostajemy równanie, takie że:

ta funkcja spełnia powyższe równanie

↓

wariancja która liniowo rośnie przed czasem

Wartość symetryczna cząstki =0

(*)
Na jakiej przestrzeni proces ten jest usytuowany.

-zbiór zdarzeń elementarnych

F-rodzina zdarzeń

P-prawdopod.

-przyjmuje się zbiór wszystkich funkcji ciągłych t≥0

Ω=C([0,∞])

F-zbiór cylindrowy

C
(a1,b1...,an,bn)

Na zbiorach tego typu przyporządkowujemy liczbę

(*).Miara zbioru wszystkich funkcji ciągłych jest równa 1.

Rozszerzona funkcja (*) o zbiór cylindrowy nazywa się miarą Wiener'a.

1921-miara funkcji wielowymiarowych

u([a,b])=b-a

Proces - funkcja dwóch zmiennych x(t,w)

x(t,w)=w(t)-to rozkład prawdop.jest (*)

w∈C([0,∞])

Typ rozkładu -suma ma rozkład jak jego poszczególne składniki to jest to rozkład Gaussa.

Proces Winer'a nie może dobrze opisywać ruchu cen.(Bachelier źle założył ponieważ przyrosty są zależne)

REALISYCZNY OPIS RUCHU CENY

Równanie Samuelsona

Jeżeli na stopę zmiany ceny wpływa duża ilość dochastycznie niezależnych czynników takich, że każdy z nich indywidualnie jest mały (przy dużym prawdopod.) to z centralnego tw. Granicznego zmienna losowa musi mieć rozkład normalny, wówczas ta stopa ma rozkład Gaussa

↑symboliczny zapis, gdy ze skończonych przyrostów, przechodzimy na nieskończone.

Opis ruchu ceny akcji w terminach procesu Wiener'a

Mamy dwa rodzaje opcji europejskich (obowiązują one w ściśle określonym momencie czasowym) amerykańśkie(do momentu wygaśnięcia)

OPCJA-jest to prawo ale nie obowiązek. Są opcje:

• Kupna -pozwala posiadaczowi kupić akcje na który opcja opiewa. Opcja ta pozwala kupić po wyznaczonej cenie.

• Sprzedaży-pozwala posiadaczowi sprzedać akcje, na który opiewa opcja na sprzedaż po rynkowej cenie.

Cena akcji

Opcja europejska kupna daje prawo posiadaczom do zakupu akcji w cenie k w chwili T.

-cena kupna tak jak w opcji

-cena sprzedaży wyższa od opcji

r>0

↑wygrałem wartość opcji

↑średnia stopa wzrostu ceny wynosi

1. α<r średnia stopa wzrostu cen akcji jest niższa

2. α>r średnia stopa wzrostu cen akcji jest wyższa(arbitran)

3. α=r średnia stopa wzrostu cen akcji jest równa(belarbitran)

zostawić miejsce i obciąć

↑

wartość opcji

Wzór Blacka na cenę opcji.

k- cena wymieniona w kontrakcie (cena opcji nie zależy od r)

1. patrzymy jaka jest cena akcji.(T,K,r,σ)-badamy poprzednie wahania cenowe

-porównując cenę rynkową z ceną policzoną

2. wierzymy, że rynek wycenia opcję prawidłowo - to z tego wzoru liczymy σ.

3. Operacje na opcjach i operacje na akcjach.

OPCJA AMERYKAŃSKA

Jaka będzie max cena w przyszłości .

-żeby ktoś posiadał akcje ktoś inny musi je sprzedać

-ktoś kupił opcje konkretnej akcji, w zależności od przyszłości, albo tę opcję wykorzysta ,albo nie (jak ten ktoś kto opcje sprzedaje ma się zabezpieczyć)

Sprzedaję opcję i otrzymuję gotówkę, konstruuję portfel papierów wartościowych; druga część to akcje tej spółki. Taki portfel nazywamy samofinansującym ( nic nie odejmuję, zmieniam tylko walory)

Portfel replikujący- równy wartości opcji (z prawdopodobieństwem zero lub różniącą ceną)

Jeżeli na rynku istnieją opcje, które dają się zabezpieczyć to jest to rynek efektywny.(portfel samofinansujący się )

---