Położenie wahadła				<t>			<T>
	41,16	41,17	41,21	41,18	0,0153	0,1163	2,0590	0,0058
	40,41	40,60	40,38	40,46	0,0707	0,1353	2,0230	0,0007
	39,44	39,35	39,44	39,41	0,0302	0,0143	1,9705	0,0007
	39,18	39,06	39,13	39,12	0,0350	0,1214	1,9561	0,0061
	40,03	40,01	40,18	40,08	0,0522	0,1272	2,0040	0,0064
	43,20	42,97	43,10	43,09	0,0681	0,1341	2,1545	0,0067

Odległości środków poszczególnych otworów wykorzystane dalszych obliczeniach:

=0,10 m

=0,20 m

=0,30 m

=0,40 m

=0,50 m

=0,60 m

Prawo powszechnego ciążenia

Dnia 5 czerwca roku 1686 Newton wydał dzieło, w którym przedstawił spójną teorię grawitacji opisującą zarówno spadanie obiektów na ziemi, jak i ruch ciał niebieskich. Angielski fizyk oparł się na zaproponowanych przez siebie zasadach dynamiki oraz prawach Keplera dotyczących odległości planety od Słońca.

Dla uproszczenia załóżmy, że dwie planety poruszają się po kołowej orbicie. Prawo Keplera przyjmie dla nich postać:

gdzie: R₁,R₂ - promienie orbit, T₁, T₂ - okresy obiegu planet.

Zgodnie z rachunkiem wektorowym ciało poruszające się po okręgu jest poddane przyspieszeniu:

gdzie: a - przyspieszenie, v - prędkość, R - promień okręgu, co według drugiej zasady dynamiki oznacza, że musi działać na nie siła dośrodkowa:

gdzie m_b to masa bezwładnościowa ciała.

Przy ruchu planet ta siła dośrodkowa jest równa sile grawitacyjnej F_g. Prędkość orbitalna może być wyliczona jako:

Jeżeli podstawimy zalezność (4) do (3) to otrzymamy:

Stosunek sił grawitacyjnych dla planet można rozpisać jako:

Jeżeli teraz do równania (5) podstawimy (1) to pozbędziemy się okresów obiegu:

Otrzymana zależność oznacza tyle, że stosunek sił grawitacyjnych jest proporcjonalny do odwrotności stosunku kwadratów odległości. Jeżeli planeta jest dwa razy dalej od Słońca, to siła grawitacji jest cztery razy mniejsza. Kiedy ciało ma dwa razy mniejszą masę, wtedy siła jest dwa razy mniejsza.

Newton uznał, że ta sama siła powoduje ruch planet po orbitach oraz spadanie jabłka z drzewa. W ten sposób ten wielki fizyk położył podwaliny pod mechanikę klasyczną. W tym ujęciu grawitacja jest siłą, z jaką oddziałują na siebie wszelkie ciała obdarzone masą. Prawo powszechnego ciążenia głosi, że:

Między dowolną parą ciał posiadających masy pojawia się siła przyciągająca, która działa na linii łączącej ich środki, a jej wartość rośnie z iloczynem ich mas i maleje z kwadratem odległości.

Matematycznie związek ten wyraża się wzorem:

gdzie: G - stała grawitacji, m₁,m₂ - masy ciał, x - wektor łączący środki mas obu ciał, a r jest długością tego wektora,
jest wektorem jednostkowym (ee = 1) łączącym środki mas obu ciał. Siła F = Fⁱeⁱ jest wektorem a jej wartość (długość tego wektora F = Fe) jest równa:

Zmiany przyspieszenia grawitacyjnego w funkcji wysokości

Masy grawitacyjne m₁ i m₂ nie muszą być równe masom bezwładnościowym występującym w II zasadzie dynamiki Newtona. Zaobserwowana równość tych wartości oznacza, że ruch ciała w polu grawitacyjnym nie zależy od jego masy. Postulat ten jako pierwszy wysunął Galileusz.

Równoznaczność mas bezwładnościowych i grawitacyjnych, zupełnie przypadkowa z punktu widzenia mechaniki klasycznej, jest podstawą ogólnej teorii względności.

Stała grawitacji została uznana za jedną z podstawowych stałych fizycznych. Obecnie jej wartość zmierzono jako równą:

G ≈ 6,6732 (±0,0031)×10^-11m³kg^-1s^-2.

Kiedy znajdujemy się na powierzchni naszej planety, odległość od środka ciężkości Ziemi jest dużo większa niż wysokość, na której możemy się przemieszczać (bez rakiet). W takiej sytuacji można założyć, że pole grawitacyjny jest jednorodne.

Korzystając z zależności na siłę grawitacyjną można obliczyć, że przedmiot o masie m na powierzchni naszej planety działa siła F_g:

gdzie M_z ≈ 5,9736×10²⁴ kg - masa Ziemi, r_z ≈ 6373,14 km , a zgodnie z drugą zasadą dynamiki:

Podstawiając zależność na siłę można obliczyć przyspieszenie ziemskie g:

W praktyce wartość przyspieszenia ziemskiego zależy od wielu czynników. Umowna wartość g (dodaje się indeks "n" w celu zaznaczenia, że jest to przyspieszenie "normalne") to:

gn ≈ 9,80665 m/s²,

Wahadło fizyczne

Wahadło fizyczne jest ciało sztywne dowolnego kształtu zawieszone na osi poziomej ponad środkiem ciężkości i wahające się wokół niej.

Z rysunku odczytujemy wartości dla funkcji sinus, a następnie je porównujemy:








Siła jest wprost proporcjonalna do wychylenia i przeciwnie zwrócona, a więc dla niewielkich wychyleń bryła sztywna wykonuje ruch harmoniczny.

Wyprowadźmy wzór na przyspieszenie i na okres drgań wahadła fizycznego:

Porównujemy wzory na moment M dla ruchu obrotowego (gdzie r to odległość między środkiem ciężkości a punktem zaczepienia bryły sztywnej):








Otrzymujemy wzór na przyspieszenie wahadła fizycznego. Jest ono wprost proporcjonalne do wychylenia i odwrotnie proporcjonalne do momentu bezwładności I.

Porównujemy wzory na przyspieszenie (dla wahadła fizycznego i w ruchu harmonicznym):









Otrzymujemy wzór na okres drgań wahadła fizycznego.

Długość zredukowana wahadła fizycznego równa jest długości wahadła matematycznego, który ma taki sam okres drgań.






Otrzymujemy wzór na okres drgań wahadła fizycznego.

Długość zredukowana wahadła fizycznego równa jest długości wahadła matematycznego, który ma taki sam okres drgań.

1.

Wyznaczam wartość średnią czasu 20 wahnięć (<t>) dla każdego położenia wahadła według następującego wzoru:

Dla położenia
średnia ta wynosi, więc:

Analogicznie do powyższego przypadku obliczam wartości średnie dla pozostałych położeń wahadła:

Dla położenia
:

=40,46

Dla położenia
:

=39,41

Dla położenia
:

=39,12

Dla położenia
:

=40,08

Dla położenia
:

=43,09

2.

Wyznaczam niepewność standardową typu A czasu 20 wahnięć dla każdego położenia wahadła korzystając z następującego wzoru:

Dla położenia
:

Analogicznie do powyższego przypadku wyznaczam niepewność standardową typu A dla pozostałych położeń wahadła:

Dla położenia
:

0,0707

Dla położenia
:

0,0302

Dla położenia
:

0,0350

Dla położenia
:

0,0522

Dla położenia
:

0,0681

3.

Wyznaczam niepewność całkowitą 20 wahnięć dla każdego położenia według następującego wzoru:

Dla położenia
:

Analogicznie do powyższego przypadku wyznaczam niepewność całkowitą czasu 20 wahnięć dla pozostałych położeń wahadła:

Dla położenia
:

0,1353

Dla położenia
:

0,0143

Dla położenia
:

0,1214

Dla położenia
:

0,1272

Dla położenia
:

0,1341

4.

Obliczam wartość średnią okresu drgań według następującego wzoru:

Dla położenia
:

Analogicznie do powyższego przypadku wyznaczam wartość średnią okresu drgań dla pozostałych położeń wahadła:

Dla położenia
:

2,00230

Dla położenia
:

1,9705

Dla położenia
:

1,9561

Dla położenia
:

2,0040

Dla położenia
:

2,1545

5.

Obliczam niepewność całkowitą okresu drgań według następującego wzoru:

Dla położenia
:

Analogicznie do powyższego przypadku wyznaczam niepewność całkowitą okresu drgań dla pozostałych położeń wahadła:

Dla położenia
:

=0,0007

Dla położenia
:

=0,0007

Dla położenia
:

=0,0061

Dla położenia
:

=0,0064

Dla położenia
:

=0,0067

6.

Przeprowadzam dopasowanie do punktów pomiarowych funkcji:

, czyli
,

gdzie T- okres drgań,

,
.

A) Obliczam wartości współczynnika
dla wszystkich położeń wahadła:

L-długość całego wahadła równa 1,7m

Dla położenia
:

Analogicznie do powyższego przypadku obliczam wartość współczynnika
dla pozostałych położeń wahadła:

Dla położenia
:

=0,118

Dla położenia
:

=0,176

Dla położenia
:

=0,235

Dla położenia
:

=0,294

Dla położenia
:

=0,353

Wykres wykonany w programie Origin obrazujący dopasowanie do punktów pomiarowych danej funkcji.

7.

Obliczam wartość przyspieszenia ziemskiego dla współczynnika „a” który wynosi 1,4977 i został odczytany z programu MATEX.

Przekształcając wzór

Wyznaczam wartość przyspieszenia ziemskiego g:

Obliczam niepewność pomiaru u(g) według następującego wzoru:

Wartość przyspieszenia ziemskiego otrzymana w przeprowadzonym ćwiczeniu wynosi:

g=9,973
0,014

WNIOSKI :

W wyniku przeprowadzonego ćwiczenia i dokonaniu odpowiednich obliczeń stwierdziłem że:

wartosc przyspieszenia ziemskiego wynosi

Wynik ten w niewielkim stopniu odbiega od stałej fizycznej, która wynosi 9,807

Na uzyskany parametr zapewne miały wpływ:

-niedokładność pomiaru

-warunki, w jakich było przeprowadzane ćwiczenie.

-pomiar był również uzależniony od położenia geograficznego to jest miejsca ,w którym

zostal przeprowadzony.

LlTERATURA:

1. J. Orear „Fizyka” WNT

2. E.Mulas, R. Rumianowski „Rachunek niepewności pomiaru w pracowni fizycznej”

OWPW Warszawa (2002)

---