SPRAWOZDANIE

Nr ćwiczenia 203	Data 24.11.1999	Imię i nazwisko ŁUKASZ WALOTKA		Wydział BM Mechatronika	Semestr I		Grupa MC -2 nr lab.
Prowadzący dr hab. M. KOZIELSKA			Przygotowanie	Wykonanie		Ocena

WYZNACZANIE POJEMNOŚCI KONDENSATORA ZA POMOCĄ DRGAŃ RELAKSACYJNYCH

1. Podstawy teoretyczne:

Kondensator - układ służący do gromadzenia ładunków elektrycznych i składający się z dwóch przewodników elektrycznych (okładek) rozdzielonych dielektrykiem. W stanie naładowania na każdej z okładek znajduje się ładunek elektryczny Q o przeciwnym znaku, a między nimi panuje różnica potencjałów (napięcie) U.

Stosunek ładunku do napięcia to pojemność kondensatora:

(1)

Przebieg ładowania i rozładowania kondensatora:

• ładowanie kondensatora:

ładowanie odbywa się przez podłączenie kondensatora do obwodu zawierającego źródło napięcia o stałej sile elektromotorycznej ε i włączony szeregowo opór R.

W dowolnym momencie ładowania na okładkach znajduje się ładunek q, a w obwodzie płynie prąd i. Korzystając z II prawa Kirchoffa^* otrzymujemy zależność:

(2)

Różniczkując powyższe równanie i wiedząc, że natężenie prądu jest pochodną ładunku względem czasu otrzymujemy równanie różniczkowe postaci:

(3)

następnie rozdzielając zmienne i obustronnie całkując otrzymamy rozwiązanie:

(4)

gdzie: i₀ - stała całkowania określona przez warunki początkowe

gdyż w chwili początkowej (t = 0) napięcie na kondensatorze jest równe 0

Napięcie na kondensatorze w dowolnej chwili wynosi:
i zmienia się w czasie według równania:

(5)

Po dostatecznie długim czasie kondensator zostaje naładowany całkowicie. W praktyce czas ten wynosi t = 5RC

• rozładowanie kondensatora:

Rozładowanie kondensatora następuje po odłączeniu źródła napięcia od obwodu, w którym znajduje się kondensator (jego okładki są bezpośrednio połączone z opornikiem).

W tym przypadku II prawo Kirchoffa^* przyjmie postać:

(6)

uwzględniając, że
otrzymujemy równanie różniczkowe:

(7)

którego rozwiązaniem jest funkcja:

(8)

gdzie: q₀ - ładunek początkowy na kondensatorze - ładunek kondensatora naładowanego

- q₀ = Cε

Różniczkując równanie (8) znajdujemy równanie natężenia prądu:

(9)

Chcąc znaleźć równanie napięcia w dowolnej chwili rozładowywania dzielimy powyższe równanie przez C:

(10)

Powtarzająca się w równaniach wielkość RC to tzw. stała czasowa obwodu, która określa zarówno prędkość ładowania jak i rozładowania kondensatora.

^* II prawo Kirchoffa - w dowolnej pętli zamkniętej stanowiącej część sieci elektrycznej, suma algebraiczna sił elektromotorycznych zawartych w pętli równa się sumie iloczynów natężeń prądu i oporów poszczególnych gałęzi pętli.

Drgania relaksacyjne - okresowe, niesymetryczne wzrosty i spadki napięć na kondensatorze w obwodzie RC (występują gdy np. do obwodu RC , równolegle do kondensatora podłączymy neonówkę).

Szczególną właściwością neonówki jest to, że jeżeli przyłożymy do niej napięcie to prąd popłynie przez nią dopiero, gdy napięcie przekroczy pewną wartość U_z zwaną napięciem zapłonu. Po jego osiągnięciu następuje jonizacja lawinowa gazu wewnątrz neonówki, następuje przepływ prądu, widoczne jest świecenie. Rozpoczęta jonizacja lawinowa trwa również przy nieco niższych napięciach, ustaje gdy napięcie spada poniżej pewnej wartości U_g zwanej napięciem gaśnięcia.

Te właśnie cechy neonówki pozwalają na wytworzenie drgań relaksacyjnych w obwodzie jak na rysunku:

Przebieg drgań relaksacyjnych jest następujący:

• kondensator C jest ładowany ze źródła prądu przez opornik R

• napięcie na jego okładkach rośnie wykładniczo, zgodnie z równaniem (5)

• po osiągnięciu napięcia zapłonu U_z neonówka N zapala się

• w związku z małym oporem neonówki, następuje szybkie rozładowanie kondensatora (równanie (10))

• neonówka gaśnie po osiągnięciu napięcia gaśnięcia U_g

• rozpoczyna się kolejne ładowanie kondensatora

• proces ten powtarza się cyklicznie

wiemy, że opór neonówki jest znacznie mniejszy od oporu R. z tego wynika że czas, w którym następuje rozładowanie kondensatora jest tylko ułamkiem całego okresu T. Możemy zatem przyjąć, że okres T drgań relaksacyjnych jest równy czasowi ładowania kondensatora od napięcia gaśnięcia U_g do napięcia zapłonu U_z.

Pierwszy cykl ładowania kondensatora do napięcia U_g zostanie osiągnięte po czasie t₀. Nastąpi to zgodnie z równaniem (5), które dla czasu t₀ przyjmie postać:

(11)

gdzie: U₀ - napięcie źródła prądu

To samo równanie dla czasu t₀ + T , w którym napięcie na okładkach kondensatora wynosi U_z wynosi:

(12)

Przekształcając równania (11) i (12) otrzymujemy:

(13)

(14)

Po odjęciu stronami równań (11) i (12), znajdujemy okres T :

(15)

Wyrażenie logarytmiczne:
= K jest wielkością stałą dla danego napięcia U₀ i określonego typu neonówki.

Równanie (15) można więc zapisać:

(16)

Z tego widać, że okres drgań relaksacyjnych jest proporcjonalny do pojemności kondensatora i oporu opornika.

Przebieg doświadczenia:

Chcąc wykonać doświadczenie musimy połączyć obwód elektryczny taki jak na rysunku:

Pojemność nieznanego kondensatora możemy obliczyć przekształcając wzór (16), jeżeli znamy stałą K, opór obwodu oraz okres drgań relaksacyjnych.

Okres drgań można zmierzyć sekundomierzem obserwując błyski neonówki, a opór, korzystając z oporników oznaczonych.

Stałą K możemy wyznaczyć również ze wzoru (16), w tym przypadku musimy posłużyć się kondensatorem wzorcowym (dekadowym). Pomiar okresu drgań i wartości oporu wykonujemy tak jak w przypadku poprzednim.

Kolejno wykonujemy następujące czynności:

• przy ustalonym oporze zmieniamy skokami pojemność wzorcową

• dla każdej wartości pojemności mierzymy czas 20 błysków i obliczamy okres T

• powtarzamy powyższe czynności dla dwóch innych oporów

• dla każdej wartości RC obliczamy stałą K, a następnie jej wartość średnią

• wykonujemy pomiary okresu dla kondensatorów nieznanych i obliczamy ich pojemność

2. Wyniki pomiarów:

TABELA 1 : Wyniki pomiaru okresu drgań relaksacyjnych obwodu w zależności od

pojemności i oporu

Opór R [MΩ]	Pojemność wzorcowa C [μF]	Czas 20 błysków [s]	Okres T [s]
9,9	0,5	8,1	0,405
		0,6	9,5	0,475
		0,7	10,9	0,545
		0,8	12	0,6
		0,9	13,6	0,68
		1	14,8	0,74
		1,1	16,6	0,83
	13,2	0,4	7,9	0,395
		0,5	9,6	0,48
		0,6	11,9	0,595
		0,7	13,7	0,685
		0,8	15,8	0,79
		0,9	17,2	0,86
		1	19	0,95
		1,1	21,1	1,055
	16,5	0,4	9,5	0,475
		0,5	11,9	0,595
		0,6	14,6	0,73
		0,7	16,9	0,845
		0,8	19	0,95
		0,9	21,5	1,075
		1	23,7	1,185
		1,1	26,1	1,305

TABELA 2: Wyniki pomiarów okresów drgań relaksacyjnych obwodu dla badanych

kondensatorów w zależności od oporu R

Badane kondensatory	Opór R [MΩ]	Czas 20 błysków [s]	Okres T [s]
Cx1	9,9	15,2	0,76
Cx2	13,2	9,3	0,465
Cx3	16,5	5,7	0,285

3. Obliczenia:

TABELA 3: Obliczanie współczynnika K obwodu korzystając z wartości wyznaczonych

doświadczalnie

Opór R [MΩ]	Pojemność wzorcowa C [μF]	Iloczyn RC	Okres T [s]	Współczynnik K [obliczany ze wzoru (16)]
9,9	0,5	4,95	0,405	0,0820
		0,6	5,94	0,475	0,0799
		0,7	6,93	0,545	0,0786
		0,8	7,92	0,6	0,0758
		0,9	8,91	0,68	0,0763
		1	9,9	0,74	0,0747
		1,1	10,89	0,83	0,0762
	13,2	0,4	5,28	0,395	0,0748
		0,5	6,6	0,48	0,0727
		0,6	7,29	0,595	0,0751
		0,7	9,24	0,685	0,0741
		0,8	10,56	0,79	0,0748
		0,9	11,88	0,86	0,0724
		1	13,2	0,95	0,0721
		1,1	14,52	1,055	0,0727
	16,5	0,4	6,6	0,475	0,0721
		0,5	8,25	0,595	0,0721
		0,6	9,9	0,73	0,0737
		0,7	11,55	0,845	0,0731
		0,8	13,2	0,95	0,0719
		0,9	14,85	1,075	0,0724
		1	16,5	1,185	0,0718
		1,1	18,15	1,305	0,0719

(16)

Średnia arytmetyczna współczynnika K obwodu na podstawie danych z tabeli 3

0,0744

TABELA 4: Obliczanie pojemności badanych kondensatorów na podstawie wartości

wyznaczonych doświadczalnie

Badane kondensatory	Opór R [MΩ]	Współczynnik K obwodu	Iloczyn RK	Okres T [s]	Pojemność C badanych kondensatorów [z wzoru 16] [μF]
Cx1	9,9	0,0744	0,737	0,76	1,031
Cx2	13,2		0,982		0,465	0,473
Cx3	16,5		1,228		0,285	0,232

(16)

4. Dyskusja błędów:

Uzyskane laboratoryjnie wyniki nie są wolne od błędów, wynikających z niedokładności przyrządów pomiarowych. Przy wykonywaniu serii pomiarów np. czasu jak to było w przypadku wyznaczania stałej K obwodu oblicza się tzw. błąd średni kwadratowy określony wzorem:

gdzie: x_i - wartości mierzone

n - liczba pomiarów

Podstawiając za x_i wartości współczynnika K z tabeli 3, a za n liczbę pomiarów (w tym przypadku - 23) to otrzymamy:

σ = ± 0,0028

Przy wyznaczaniu pojemności badanych kondensatorów błąd maksymalny obliczamy za pomocą metody różniczki zupełnej określonej wzorem:

gdzie: Δz - błąd maksymalny

Δx₁; Δx₂ - błędy pomiaru

W przypadku badania kondensatorów przyjmie ono postać:

ΔT = ± 0,1 s

ΔK = ± 0,0028

TABELA 5: Obliczenia błędu maksymalnego pomiaru pojemności kondensatorów metodą

różniczki zupełnej

Badane kondensatory	Błąd maksymalny ΔC
Cx1	± 0,17
Cx2	± 0,12
Cx3	± 0,09

TABELA 6: Zestawienie wyników pomiarów z wartościami rzeczywistymi

Badane kondensatory	Pojemność rzeczywista badanych kondensatorów [μF]	Pojemność badanych kondensatorów wyznaczona doświadczalnie [μF]
Cx1	1,00	1,031 ± 0,17
Cx2	0,46	0,473 ± 0,12
Cx3	0,22	0,232 ± 0,09

5. Wnioski:

Metoda wyznaczania pojemności kondensatora za pomocą drgań relaksacyjnych pozwala w stosunkowo prosty sposób otrzymać wyniki bardzo zbliżone do rzeczywistych. Ich dokładność w dużym stopniu zależy od dokładności sekundomierza i prawidłowego wyznaczenia współczynnika K charakteryzującego obwód elektryczny, w którym wykonujemy pomiary .

2

R

C

N

Cx

C

N

R

---