Optyka

Zasada Fermata

Światło przebiegając miedzy dwoma punktami wybiera zawsze taką drogę, by czas na to zużyty był ekstremalny (zwykle najkrótszy).

Prawa odbicia i załamania są konsekwencją tez zasady.

Prawo odbicia

i
są przystające, stąd AD = AE. Droga przebyta przez promień SAB może być zapisana:

SA + AD + DB = SA + AE + DB = SE + AB

Czy możliwa jest droga SCB ?

Droga SC + CB jest dłuższa od SA + AB, ponieważ SE i DB są to przyprostokątne w trójkątach: SEC i BCD, zaś S.C. i CB są to przeciw prostokątne w tych trójkątach. Zatem SE + DB < SC +CB.

Każda inna droga niż SAB będzie dłuższa i dłuższy czas na jej przebycie. Zatem zgodnie z zasadą Fermata możliwa jest tylko droga SAB.

Prawo załamania

Należy wykazać, że na przebycie drogi SCB światło musi zużyć więcej czasu, niż na przebycie drogi SAB.

Z trójkątów ADC i AEC możemy napisać:

, stąd

Droga optyczna przebyta przez promień SAB jest równa:

Ponieważ SE < SC oraz BD < BC, zatem
.

Najkrótsza droga optyczna jest dla promienia przechodzącego z S do B prowadzi przez A, zgodnie z prawem załamania. Światło przebędzie drogę SAB w najkrótszym czasie.

Zwierciadła płaskie

SOA =
S'OA, zatem SO = S'O

Odległość przedmiotu i obrazu od zwierciadła są sobie równe.

AB = A'B'

Powstaje obraz tej samej wielkości co przedmiot, prosty (nieodwrócony).

Kąt między promieniem padającym i odbitym
. Po obrocie zwierciadła o kąt ϕ wzrasta kąt zawarty między promieniem padającym i odbitym o 2ϕ.

Zwierciadła kuliste

gdzie:

OK - promień krzywizny (R)

SK - odległość przedmiotu od zwierciadła (x)

BK - odległość obrazu od zwierciadła (y)

Z

Jeśli BA i SA tworzą małe kąty z osią główną ( ), można przyjąć, że SA = SK oraz AB = BK. SO = x - R; OB = R - y

Zatem

oznaczamy

Obrazy w zwierciadłach kulistych wklęsłych

Powstaje obraz rzeczywisty, odwrócony, zmniejszony.

Powstaje obraz rzeczywisty, odwrócony, powiększony.

Powstaje obraz rzeczywisty, odwrócony, tej samej wielkości co przedmiot.

Powstaje obraz pozorny, prosty, powiększony.

Obrazy w zwierciadłach kulistych wypukłych.

gdzie:

F - ognisko pozorne

Powstaje obraz zmniejszony, pozorny, prosty.

Aberracja sferyczna zwierciadeł

Ale

Stąd

Ponieważ odcinek z' znajduje się w lewo od O liczymy ujemnie.

Z

Zatem

Jeśli

(*)

Gdy
, to

Ze wzoru (*) wynika, że im większe ϕ tym większa jest wartość z'. Promienie biegnące dalej od osi zwierciadła przecinają się bliżej wierzchołka zwierciadła.

Promienie skrajne wiązki przecinają się w punkcie F₁ leżącym bliżej wierzchołka zwierciadła.

Odległość F₁F­₂ nazywamy aberracją podłużną zwierciadła.

Na ekranie ustawionym w punkcie F₂ powstaje jasny krążek o promieniu F₂P - koło rozproszenia. F₂P - aberracja poprzeczna.

Przejście promienia przez płytkę równoległościenna

Kierunek promienia nie ulega zmianie przy przejściu przez płytkę. Następuje przesunięcie promienia
.

Wielkość przesunięcia jest wprost proporcjonalna do grubości płytki d oraz zależy od wartości kąta padania promienia i współczynnika załamania.

Przejście promienia przez pryzmat

gdzie:

ϕ  kąt łamiący pryzmat

δ  kąt odchylenia

Minimum kata odchylenia otrzymujemy, gdy
oraz
.

Stąd

Jeśli
i ϕ jest małe, to

Stąd

Dla pryzmatu o bardzo małym kącie łamiącym, małych katach padania, odchylenie promienia nie zależy od kąta padania.

Zjawisko całkowitego wewnętrznego odbicia

Warunki:

1. Światło przechodzi z ośrodka optycznie gęstszego do ośrodka optycznie rzadszego.

2. Kąt padania większy od
   zwanego kątem granicznym.

jest to kąt padania, któremu w drugim ośrodku odpowiada kąt załamania 90

Dla szkła:	;
Dla diamentu:	;

Zastosowanie:

Pryzmat Porro

Następuje odwrócenie wiązki, przy czym kierunek wiązki nie ulega zmianie. Zastosowanie w lornetkach w celu otrzymania obrazu prostego.

Światłowody

Soczewki

Soczewką nazywamy warstwę ośrodka ograniczoną powierzchniami kulistymi (cylindrycznymi) lub jedną powierzchnią kulistą (cylindryczną) i drugą płaską.

soczewki wypukłe

soczewki wklęsłe

Założenia: ϕ, α₁, α₂ - małe

δ  kąt zewnętrzny w
ϕ  kąt zewnętrzny w

Mamy więc:

ponieważ ϕ₁, ϕ₂, γ₁, γ₂ - małe, możemy zapisać:

równanie soczewki cienkiej

Gdy
,
to

wzór soczewkowy

Soczewka wypukła	Soczewka wklęsła
f > 0 (soczewka skupiająca)	f < 0 (soczewka rozpraszająca)

Analiza równania soczewek

Obrazy dawane przez soczewki

Obraz rzeczywisty, powiększony, odwrócony

wzór soczewkowy

Obraz pozorny powiększony, prosty

Obraz rzeczywisty, odwrócony, zmniejszony

Soczewka rozpraszająca

Obraz pozorny, zmniejszony, prosty

Zdolność skupiająca soczewek

D - zdolność skupiająca

np.

Układy soczewek. Zdolność zbierająca układu.

Zdolność skupiająca układu soczewek = sumie zdolności skupiających poszczególnych soczewek.

d - odległość między soczewkami

Soczewki rozpraszające mają ujemną ogniskową (f < 0) oraz ujemna zdolność skupiającą (D = -5 dioptrii).

Wyznaczanie zdolności skupiającej (ogniskowej) soczewki rozpraszającej

Soczewki grube

G,G'	 punkty główne
	 pierwsza ogniskowa
	 druga ogniskowa

Konstrukcja obrazu

Przyrządy optyczne

1. Oko ludzkie

Promień krzywizny przedniej powierzchni soczewki wynosi ok. 10 mm, a tylnej powierzchni ok. 6 mm.

Obrazy powstające na siatkówce są rzeczywiste, zmniejszone, odwrócone.

δ - kąt widzenia

Najmniejszy kąt widzenia, pod jakim rozróżniamy jeszcze dwa punkty wynosi ok. 1'.

Najmniejsza energia, na którą reaguje oko wypoczęte wynosi ok. 10^17 J.

Akomodacja polega na zmianie kształtu soczewki oka. Zakres akomodacji:
do 10 cm.

Odległość dobrego widzenia - 25 cm.

Wady wzroku:

Oko dalekowzroczne

korekcja

Oko krótko wzroczne

korekcja

2. Lupa

Stosując lupę zwiększamy kąt widzenia

Powiększeniem kątowym lupy nazywamy stosunek kąta, pod jakim widzimy dany przedmiot przez lupę, do kata, pod jakim widzimy go gołym okiem.

3. Luneta astronomiczna

gdzie:

f1	- ogniskowa obiektywu
f2	- ogniskowa okularu

A”B” - obraz pozorny, odwrócony

4. Mikroskop

gdzie:

f1	- ogniskowa obiektywu
f2	- ogniskowa okularu
d	- odległość dobrego widzenia
l	- długość mikroskopu (tubusa)

Ponieważ f₂ jest małe, a x' < f₂ , to
.

Przedmiot ustawiany jest tuż za ogniskiem F₂, zatem
.

W przybliżeniu powiększenie uzyskane za pomoc mikroskopu wynosi:

Aberracja sferyczna

gdzie:

F1F2	- aberracja podłużna soczewki
F1M	- aberracja poprzeczna soczewki

Zjawisko dyspersji światła

Dyspersja normalna

Rodzaj promieniowania	Długość fali λ	Współczynnik załamania (n)
				szkło kronowe	szkło flintowe
F fioletowe	486,1	1,52225	1,71748
D żółte	589,6	1,51666	1,70100
C czerwone	656,3	1,51418	1,69427

Dyspersja średnia:
Dyspersja względna:

Szkło kronowe	(mała dyspersja)
Szkło flintowe	(wysoka dyspersja)

Wykres zależności współczynnika załamania kwarcu od długości fali

Zależność współczynnika n od długości fali λ opisuje równanie Cauchy'ego.

gdzie:

A,B,C - stałe charakterystyczne dla danej substancji

Skrócone równanie Cauchy'ego:

Różniczkując to równanie λ względem otrzymujemy:

Dyspersja jest odwrotnie proporcjonalna do trzeciej potęgi λ. Np. przy długości fali
nm dyspersja jest około 8 razy większa niż przy długości fali
nm.

Dyspersja anormalna

λ [nm]	n	λ [nm]	n	λ [nm]	n
703	2,30	535	1,95	434	1,04
671	2,34	486	1,05	410	1,17
589	2,64	461	0,83	405	1,38

Wykres dyspersji fuksyny

Pryzmat á vision directe

Dyspersja normalna

Dyspersja anormalna

Współczynnik załamania n jest funkcją długości fali λ.

W zjawisku dyspersji normalnej współczynnik załamania n maleje ze wzrostem długości fali λ zgodnie z równaniem Cauchy'ego. Tak jest w przypadku, gdy substancja jest dla przeźroczysta.

W obszarze pochłaniania (np. fuksyna) pojawia się dyspersja anormalna. Przechodząc od fali dłuższych do krótszych początkowo n rośnie, następnie gwałtowanie maleje i znowu rośnie.

Aberracja chromatyczna

	 aberracja podłużna
MN­	- aberracja poprzeczna

Układ nie ma aberracji chromatycznej

Optyka • Fizyka 2002 - 2003

30

---