Równania różniczkowe pierwszego rzędu.

1. Równania różniczkowego o zmiennych rozdzielonych.

Równanie różniczkowe pierwszego rzędu, które możemy przedstawić w następującej postaci

nazywamy równaniem różniczkowym o zmiennych rozdzielonych. Przy założeniu, że g(y)≠0, równanie to można zapisać w postaci:

Rozwiązanie tego równania otrzymujemy poprzez następującą równość:

Przykład:

Mamy równanie:

Najpierw przekształćmy je do klasycznej postaci równania różniczkowego o zmiennych rozdzielonych. Przyjmie ono wtedy postać:

Po standartowych przekształceniach otrzymujemy:

Policzmy całki:

1.

2.

Pierwsza z tych całek łatwo daje się policzyć:

1.
=ln|y-1| + C

Żeby policzyć drugą całkę należy rozłożyć funkcję podcałkową na ułamki proste czyli rozwiązać równanie:

,

gdzie niewiadomymi są A i B. jeśli prawą stronę tego równania sprowadzimy do wspólnego mianownika otrzymamy:

Przyrównując liczniki ułamków po obu stronach równania, dochodzimy do rozwiązania:

A=1

B=-1

Drugą z całek da się więc przedstawić w następujący sposób:

Po rozwiązaniu obu całek widzimy, że:

ln|y-1|=ln|x|-ln|x+1|+C

z czego wynika, że:

ln|y-1|=ln|D
|, gdzie lnD=C, a stąd mamy:

y-1=D
, czyli ostatecznie:

y=D
+1

W ten sposób otrzymaliśmy rozwiązanie ogólne równania różniczkowego. Gdybyśmy mieli zadany warunek początkowy, np.: y(1)=2, wtedy potrafilibyśmy znaleźć rozwiązanie szczególne spełniające zadany warunek początkowy, w tym przypadku byłoby to:

y=2
+1

Zadania:

1. x
   , rozwiązanie
   

2. 
   , rozwiązanie:
   

3. Zadania 7.12 do 7.64 z książki Krysickiego i Włodarskiego: „Analiza matematyczna w zadaniach”.

2. Równania różniczkowe postaci
   =f(ax+by+c)

Równania te rozwiązujemy poprzez doprowadzenie tego równania do postaci równania o zmiennych rozdzielonych. Doprowadzamy do tego poprzez podstawienie:

u=ax+by+c.

Po zróżniczkowaniu obustronnie tej równości względem x otrzymujemy:

stąd zaś otrzymujemy:

Jeśli do wyjściowego równania podstawimy nowe zmienne, sprowadzi się ono do następującej postaci:

=f(u)

Po prostych przekształceniach otrzymamy:

=bf(u)-a

Widzimy, że jest równanie o zmiennych rozdzielonych, gdyż prawą stronę tego równania możemy przedstawić w postaci iloczynu dwóch funkcji, z których jedna będzie wyłącznie funkcją zmiennej u, a druga funkcją wyłącznie zmiennej x:

=h(u)g(x), gdzie h(u)= bf(u)-a, natomiast g(x)=1. możemy więc je rozwiązać w standardowy sposób.

Przykład:

Podstawiamy:

Wstawiamy nowe wartości do równania wyjściowego:

Czyli mamy:

Zadania:

1.
, rozwiązanie:

2.
, rozwiązanie:

3. Zadania 8.3 do 8.17 z książki Krysickiego i Włodarskiego: „Analiza matematyczna w zadaniach”.

3. Równania postaci
   

Równania te również rozwiązujemy sprowadzając je do postaci równania o zmiennych rozdzielonych za pomocą podstawienia:

u=

czyli:

Po podstawieniu nowych zmiennych do wyjściowego równania mamy:

Czyli znowu mamy równanie o zmiennych rozdzielonych:

,

możemy je więc rozwiązać.

Przykład:

Przekształcamy to równanie:

Dokonujemy opisanego wyżej podstawienia:

u=
,

Wstawiamy nowe wartości do wyjściowego równania:

Znaleźliśmy rozwiązanie ogólne tego równania. Znajdźmy rozwiązanie szczególne dla zadanego warunku początkowego:

W naszym rozwiązaniu podstawiamy odpowiednie wartości za y i za x, po czym rozwiązujemy równanie względem
:

Czyli rozwiązanie szczególne spełniające zadane warunki początkowe wygląda następująco:

Zadania:

1.Znaleźć rozwiązanie szczególne dla zadanych warunków:

, rozwiązanie:

2.
, rozwiązanie:
,

3. Zadania od 8.20 do 8.51 z książki Krysickiego i Włodarskiego: „Analiza matematyczna w zadaniach”.

4. Równania różniczkowe liniowe, niejednorodne

Równanie postaci:

nie jest funkcją zerową

nazywamy równaniem różniczkowym niejednorodnym.
Rozwiązujemy je za pomocą metody uzmienniania stałej.

Metoda ta przebiega w kilku etapach:

1. Rozwiązanie równania jednorodnego:

Rozwiązujemy je stosując metodą rozdzielania zmiennych i jako rozwiązanie otrzymujemy:

2. Uzmienniamy stałą:

Obustronnie różniczkujemy względem zmiennej x:

3. Wstawiamy wyliczone wartości do wyjściowego równania i otrzymujemy:

Przykład:

Najpierw rozwiążemy równanie jednorodne:

Uzmienniamy stałą:

Po wstawieniu do wyjściowego równania otrzymujemy:

Zadanie:

1. Zadania od 9.13 do 9.36 z książki Krysickiego i Włodarskiego „Analiza matematyczna w zadaniach”.

5. Równanie Bernoulliego.

Równanie postaci:

nazywamy równaniem Bernoulliego.

Rozwiązujemy je sprowadzając poprzez podstawienie:

do postaci równania liniowego niejednorodnego.

Obliczmy pochodną zmiennej z względem x i otrzymujemy:

Po podstawieniu nowych zmiennych do wyjściowego równania, przyjmuje ono postać:

I możemy je rozwiązać stosując metodę uzmiennia stałej.

Zadania.

1. Zadania 11.3 do 11.16 z książki Krysickiego i Włodarskiego „Analiza matematyczna w zadaniach”.

Równania różniczkowe wyższych rzędów

6. Równania postaci F(x, y', y'')=0

Równania te rozwiązujemy wprowadzając nową zmienną p(x)=y'. Wówczas

i równanie przybiera postać równania pierwszego rzędu względem nowej zmiennej p:

F(x, p, p')

Przykład:

xy''+y' =0

Podstawiamy

p(x)=y'

Wprowadzamy nowe wartości do równania i otrzymujemy:

Rozwiązujemy to równanie i otrzymujemy:

Zadania:

1. Zadania 12.2 do 12.25 z książki Krysickiego i Włodarskiego

7. Równania typu F(y(x), y', y'')=0

Równania te rozwiązujemy poprzez podstawienie:

y'=t(y)

traktując pochodną y' jako funkcję zmiennej y.

Obliczamy:

Równanie przyjmuje więc postać równanie pierwszego rzędu ze względu na t:

Przykład:

Zastosuję opisane wyżej podstawienie, równanie przyjmie wtedy postać:

czyli jego rozwiązaniem jest:

stąd mamy:

a rozwiązaniem tego z kolei równania jest:

Zadanie:

1. Zadania od 12.45 do 12.72 z książki Krysickiego i Włodarskiego

8. Równania różniczkowe liniowe, jednorodne, o stałych współczynnikach.

Są to równania postaci:

Rozwiązujemy je szukając pierwiastków wielomianu charakterystycznego dla tego równania:

Każdemu pierwiastkowi rzeczywistemu
tego równania od powiada następujące rozwiązanie szczególne tego równania:

Natomiast każdej parze pierwiastków zespolonych sprzężonych tego równania:

odpowiada następująca para rozwiązań szczególnych:

Jeśli mamy n rozwiązań szczególnych:

to rozwiązanie ogólne przedstawiamy jako ich kombinację liniową:

Przykład 1:

y''+y'-2y=0

Temu równaniu odpowiada następujący wielomian charakterystyczny:

który ma pierwiastki odpowiednio równe -2 oraz 1. Rozwiązania szczególne równania różniczkowego wyglądają więc następująco:

czyli rozwiązanie ogólne to:

Przykład 2:

y''-4y'+5y=0

Tworzymy wielomian charakterystyczny:

Jego rozwiązaniem jest para zespolonych pierwiastków sprzężonych:

r₁=2-i oraz r₂=2+i

czyli rozwiązania szczególne wyglądają następująco:

a rozwiązanie ogólne ma postać:

Zadanie:

1. Zadania 13.6 do 13.35 z książki Krysickiego i Włodarskiego „Analiza matematyczna w zadaniach”.

9

---