.

Drgania proste harmoniczne:

Wahadło rewersyjne i wahadło torsyjne 5 p.

1.Wstęp

Celem ćwiczenia jest:

1. Wyznaczenie wartości przyspieszenia ziemskiego na podstawie pomiaru okresu drgań wahadła rewersyjnego. Zależności okresu drgań wahadła od jego długości.

2. Wyznaczenie modułu sprężystości za pomocą wahadła torsyjnego.

2. Układ pomiarowy

Rys.1 Wahadło rewersyjne. Rys.2 Wahadło torsyjne.

3. Część teoretyczna

I. Przyspieszenie ziemskie

Przyspieszeniem ziemskim nazywamy przyspieszeniem swobodnego spadku ciała pod wpływem ich ciężaru.

Zgodnie z druga zasadą dynamiki:

gdzie: g- przyspieszenie ziemskie, m-masa ciała, Q- ciężar

Przyspieszenie ziemskie zmienia się w niewielkim zakresie w różnych punktach powierzchni Ziemi ze względu na zmienność ciężaru. Ciężar jest wypadkową skierowanej do środka Ziemi siły grawitacji oraz odśrodkowej siły bezwładności spowodowanej ruchem obrotowym Ziemi wokół jej osi:

Wartość siły bezwładności oraz jej kierunek względem kierunku siły grawitacji są zależne od szerokości geograficznej:

gdzie: ω- prędkość kątowa ruchu obrotowego Ziemi; T- okres obiegu Ziemi wokół jej osi; r- promień okręgu, po którym porusza się ciało;

2. Wahadło rewersyjne

Wahadło rewersyjne jest szczególnym przypadkiem wahadła fizycznego (ciało materialne zawieszone na osi i wykonujące wahania wokół położenia równowagi). Składa się ono z metalowego pręta, na którym osadzone są w kolejności: metalowy ciężarek
, ostrze O, metalowy ciężarek
oraz ostrze O' (ostrza zwrócone są ku sobie) (rysunek 1). Zarówno ostrza, jak i ciężarki można przesuwać wzdłuż pręta. Położenie ciężarka można dobrać tak, by okresy oscylacji wokół osi przechodzących przez ostrza były sobie równe. Dla wahadła fizycznego okres drgań (dla niedużych wychyleń) zależy tylko od długości wahadła i przyspieszenia ziemskiego, nie zależy zaś od wychylenia.

Dla wahadła fizycznego okres oscylacji ogólnie wyraża się wzorem :

gdzie:

I_S - moment bezwładności wahadła, gdy oś obrotu przechodzi przez środek ciężkości; m. - masa wahadła; d - odległość osi obrotu od środka ciężkości. Wprowadzając do powyższego wzoru oznaczenie
wyrazimy okres wahadła fizycznego wzorem
skąd po prostych przekształceniach otrzymujemy wzór na przyspieszenie ziemskie
. Wielkość L nazywamy długością zredukowaną wahadła fizycznego. Geometrycznie jest to odległość między ostrzami wahadła rewersyjnego, gdy okresy dla osi obrotu przechodzącej przez punkt O (T) i O' (T') są sobie równe.

III. Wahadło torsyjne

Wahadłem torsyjnym nazywamy umocowaną na osi bryłę, która skręcana od położenia równowagi porusza się ruchem wahadłowym, harmonicznym pod wpływem siły sprężystości. W wahadle o okresie drgań T decyduje moment bezwładności bryły (I) oraz współczynnik proporcjonalności (D) nazywanym momentem kierującym.

gdzie:
po podstawieniu
przekształcając to wyrażenie znajdujemy wartość modułu sprężystości

4.Przebieg ćwiczenia

Wahadło rewersyjne

1. Zawiesiliśmy wahadło rewersyjne na ostrzu O i ustawiliśmy masę m_A w pobliżu ostrza O'.

2. Wprawiliśmy wahadło w ruch (wychylenie
   dla każdego wzbudzenia takie samo) i zmierzyliśmy za pomocą sekundomierza czas t dwudziestu wahnięć i wyliczyliśmy wartość okresu
   .

3. Następnie odwróciliśmy wahadło i zawiesiliśmy je na ostrzu O' i podobnie jak punkcie 2 wyznaczyliśmy wartość okresu
   .

4. Odsunęliśmy masę m_A o 3 cm od ostrza O' i ponownie wyznaczyliśmy okres drgań
   dla zawieszenia O.

5. Wahadło odwróciliśmy, zawiesiliśmy na ostrzu O' i zmierzyliśmy
   _.

6. Powtórzyliśmy pomiary według punktów 4, 5 i znaleźliśmy dwa szeregi wartości okresów
   …
   i
   …
   dla wszystkich możliwych położeń masy m_A pomiędzy zawieszeniami O i O' w odstępach, co 3 cm. Wyniki zapisaliśmy w tabeli 1.

7. Zmierzyliśmy odległość L między osiami (długość zredukowana).

Wahadło torsyjne

1. Za pomocą śruby mikrometrycznej zmierzyliśmy kilka razy, w różnych miejscach, średnicę badanego pręta.

2. Zmierzyliśmy długość badanego pręta(L).

3. Zmierzyliśmy średnicę 7 dodatkowych ciężarków.

4. Zważyliśmy 7 dodatkowych ciężarków.

5. Wprawiliśmy w ruch wibrator obciążony „obciążeniem wstępnym”. Zmierzyliśmy czas t₀ dziesięciu okresów drgań.

6. Zmierzyliśmy odległość między sztyftami, na których umieściliśmy ciężarki.

7. Po umieszczeniu ciężarków na sztyftach ponownie wprawiliśmy wibrator w drgania. Zmierzyliśmy czas t₁ dziesięciu okresów drgań. Czynności te powtórzyliśmy jeszcze dwukrotnie za każdym razem przesuwaliśmy ciężarek o jeden sztyft na zewnątrz.

8. Po wykonaniu odpowiednich pomiarów, wyznaczyliśmy wartości T₁, T₂ i T₃. Wyniki pomiarów i obliczeń umieszczone są w tabeli 2.

4.Wyniki i ich opracowanie

Wahadło rewersyjne

Tabela nr.1.

x[m]	0	0,03	0,06	0,09	0,12	0,15	0,18	0,21	0,24	0,27	0,30	0,33
t0[s]	39,59	40	40,53	41,15	41,19	41,60	41,75	42,16	42,47	42,88	43,15	43,50
	1,9795	2	2,026	2,057	2,059	2,08	2,087	2,108	2,123	2,144	2,157	2,175
[s]	36,59	37,41	38,38	39,03	39,75	40,72	41,84	43	44,13	45,44	46,97	48,47
	1,8295	1,870	1,919	1,951	1,987	2,036	2,092	2,15	2,206	2,272	2,348	2,423

Wartość okresu T:

T₀=2, 09 [s]

T₀'=2, 09 [s]

Długość zredukowana L:

L=109 cm= 1, 09m

Przyspieszenie ziemskie g:

Wahadło torsyjne

Tabela nr.2.

Lp.	Pomiar wstępny t[s]	Pomiar 1	Pomiar 2	Pomiar 3
1	4,62	6,54	8,37	10,15
2	4,66	6,54	8,28	10,25
3	4,60	6,63	8,25	10,16
4	4,44	6,60	8,34	10,28
5	4,66	6,60	8,35	10,22

Wartość okresu T:

Wartość momenty zredukowanego I_z:

gdzie: m- masa walca; R- jego promieniem; d- jest odległością środka walca obciążającego od osi wibratora.

Dla I ciężarka:

Dla II ciężarka:

Dla III ciężarka:

Dla IV ciężarka:

Moduł sztywności G:

gdzie: L- długość badanego pręta; I_z- zredukowany moment bezwładności; r- promień badanego pręta

5.Rachunek błędów

Wahadło rewersyjne:

1. Niepewność standardowa dla ΔL:

2. Niepewność standardowa dla Δt₀:

3. Niepewność okresu ΔT₀:

4. Niepewność przyspieszenia ziemskiego Δg:

Wahadło torsyjne:

Wyznaczenie błędu t:

	t1			t2
1	4,62	0,024	0,000576	8,37	0,052	0,002704
2	4,66	0,064	0,004096	8,28	-0,038	0,001444
3	4,60	0,004	0,000016	8,25	-0,068	0,004624
4	4,44	-0,156	0,024336	8,34	0,022	0,000484
5	4,66	0,064	0,004096	8,35	0,032	0,001024
suma			0,03312			0,010276
średnia	4,596			8,318

Wyznaczenie błędu okresu T:

Wyznaczenie błędu modułu sztywności G:

6.Zapisanie wyników uwzględniając błędy

Wahadło rewersyjne:

7.Wnioski

Wahadło rewersyjne:

Otrzymane przez nas wyniki w nieznacznym stopniu odbiegają od wartości tablicowej, która wynosi g_dos =9,8513
, g_tab=9,80665
. Może to być spowodowane przez to, że drgania wykonywane przez wahadło były w rzeczywistości hamowane wskutek oporu powietrza czy też tarcia wahadła o zawieszenie. Błędy mogły się także pojawić podczas pomiarów odległości i mierzonych czasów.

Wahadło torsyjne:

6

2

---