Sprawozdanie z ćwiczenia nr 2
Temat: „Drgania proste harmoniczne: wahadło rewersyjne i wahadło torsyjne”
I ETAP - doświadczalne wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego g przy pomocy wahadła rewersyjnego
Wstęp teoretyczny.
Wahadło rewersyjne to rodzaj wahadła fizycznego o dwóch równoległych osiach zawieszenia i regulowanym rozkładzie masy, używanego do wyznaczania przyspieszenia ziemskiego.
Składa się ono z metalowego pręta, dwóch ostrzy O i O` (osie obrotu), na których można je zawieszać oraz z dwóch ciężarków, które są ruchome i pozwalają na zmianę okresu drgań wahadła .Poprzez tą zmianę położenia ciężarków doprowadzić możemy do tego, że okresy wahań na osi O i O' będą sobie równe. Odległość między ostrzami O i O` nazywamy długością zredukowaną L wahadła, wtedy kiedy okresy drgań tego wahadła zawieszonego na ostrzu O i na ostrzu O` są sobie równe. Znając zaś wartość długości zredukowanej i okresu drgań T pozwoli nam obliczyć wartość przyspieszenia ziemskiego g z następującego wzoru:
2.Przebieg doświadczenia.
Doświadczenie rozpoczęliśmy od wyznaczenia okresów drgań wahadła wokół osi O oraz O' dla dwóch różnych położeń ciężarka i znalezienia takiego rozkładu masy, że odległość między ostrzami O i O` jest długością zredukowaną L wahadła, tzn kiedy okresy drgań tego wahadła zawieszonego na ostrzu O i na ostrzu O` są sobie równe. Sporządzony przy pomocy programu Origin wykres przedstawiający zależność okresów drgań wahadła rewersyjnego T0=T0(x) i T0'=T0'(x) od odległości ruchomego ciężarka od osi obrotu Wyglada następująco:
Otrzymane wyniki przedstawia poniższa tabelka:
|
Δt [s] |
Δt' [s] |
x [m] |
1. |
38,50 |
42,00 |
0 |
2. |
36,85 |
44,37 |
259,8 |
Δt - czas 20-stu wahnięć wokół osi O (w pozycji normalnej)
Δt' - czas 20-stu wahnięć wokół osi O' (w pozycji odwróconej)
x - położenie ruchomego ciężarka
Korzystając z wykresu znajdujemy punkt (x0,T) przecięcia krzywych T0(x) i T0'(x). Współrzędne tego punktu wynoszą:
x0= 0,10664 [m]
T=1,998 [s]
Współrzędna x0 określa położenie ruchomego ciężarka w przypadku, gdy odległość między ostrzami O i O` jest długością zredukowaną L wahadła.
Aby wyznaczyć prawidłowy rozkład masy w wahadle przesuwaliśmy jedną z mas co 30 mm (9 pomiarów). Dla zmniejszenia błędu powstałego przy pomiarze okresu wahań badaliśmy czas 20-stu wahnięć.
Otrzymane wyniki przedstawia poniższa tabelka :
L.p |
x [m] |
Δt1[s] |
Δt2 [s] |
Δtśr [s] |
T0 [s] |
Δt1' [s] |
Δt2' [s] |
Δtśr' [s] |
T0' [s] |
1. |
0 |
35,69 |
35,34 |
35,52 |
1,78 |
38,03 |
37,97 |
38,00 |
1,90 |
2. |
0,03 |
36,41 |
36,38 |
36,40 |
1,82 |
38,32 |
38,19 |
38,26 |
1,91 |
3. |
0,06 |
37,13 |
36,90 |
37,02 |
1,85 |
38,56 |
38,37 |
38,47 |
1,92 |
4. |
0,09 |
37,97 |
37,65 |
37,81 |
1,89 |
39,00 |
38,87 |
38,94 |
1,95 |
5. |
0,12 |
38,81 |
38,65 |
38,73 |
1,94 |
39,47 |
39,25 |
38,36 |
1,92 |
6. |
0,15 |
39,50 |
39,38 |
39,44 |
1,97 |
39,82 |
39,57 |
38,70 |
1,94 |
7. |
0,18 |
40,38 |
40,12 |
40,25 |
2,01 |
39,88 |
40,03 |
40,00 |
2,00 |
8. |
0,21 |
41,56 |
41,25 |
41,41 |
2,07 |
40,22 |
40,25 |
40,24 |
2,01 |
9. |
0,24 |
42,88 |
42,40 |
42,64 |
2,13 |
40,72 |
40,69 |
40,71 |
2,04 |
Gdzie:
x - położenie ruchomego ciężarka
Δt1 - czas 20-stu wahnięć wokół osi O - pierwszy pomiar
Δt2 - czas 20-stu wahnięć wokół osi O -drugi pomiar
Δtśr - wartość średnia czasu 20-stu wahnięć wokół osi O
T0 - średni okres drgań wokół osi O
Δt1' - czas 20-stu wahnięć wokół osi O' - pierwszy pomiar
Δt2' - czas 20-stu wahnięć wokół osi O' - drugi pomiar
Δtśr' - wartość średnia czasu 20-stu wahnięć wokół osi O'
T0`- średni okres drgań wokół osi O'
Ponieważ na wykresie T0'(x) punkty (0,12 ; 1,92) oraz (0,15 ; 1,94) znajdują się w miejscu wskazującym na błąd wyeliminowaliśmy je.
Opracowanie wyników.
a) Przy wyznaczeniu wartości przyśpieszenia grawitacyjnego korzystamy z zależności 
.
L=0,985 [m] - wartość zredukowana (odległość między osiami O i O')
T=1,992[s] - wartość okresu T wyznaczona przy pomocy wykresu T0,T0'(x)
Wyznaczona wartość przyspieszenia ziemskiego:
.
b) Przy obliczaniu błędu pomiaru g korzystamy z metody różniczki zupełnej:
gdzie:
ΔL=0,001[m] - niepewność pomiaru długości zredukowanej
- niedokładność wyznaczenia okresu T na wykresie jest to błąd związany z niedokładnością mierzenia czasu 20stu wahnięć za pomocą stopera. Na błąd ten składa się niedokładność stopera Δt1=0,01 [s] oraz czas reakcji osoby mierzącej (w naszym przypadku były to dwie osoby). Przyjmijmy, że jest on równy Δt2=0,5 [s]. Stąd niedokładność pomiaru czasu za pomocą stopera wynosi Δt=0,5 [s]. Błąd jakim obarczona jest wyznaczona wartość g wyniesie zatem:
Ostatecznie:
II ETAP - doświadczalne wyznaczenie modułu sztywności G przy pomocy wahadła torsyjnego
Wstęp teoretyczny.
Wahadło torsyjne to bryła sztywna ze swobodą oscylacji na jej osi, utrzymywanej w równowadze sprężyną zwojową umieszczoną w płaszczyźnie prostopadłej do osi obrotu bryły. W wahadle grawitacyjnym moment kierujący wytwarza siła ciężkości. W wahadle torsyjnym powoduje go siła sprężystości pochodząca od skręconego pręta lub innego ciała sprężystego. Po odkształceniu ciała sprężystego o kąt od położenia równowagi powstają w nim drgania pod wpływem momentu siły skręcającej: M' = - Dφ zwracającego ciało zawsze do położenia równowagi. Współczynnik proporcjonalności D, podobnie jak w przypadku wahadła grawitacyjnego, nazywamy momentem kierującym. Równanie ruchu ma więc postać analogiczną jak dla wahadła grawitacyjnego, a zatem i okres drgań wyraża się tym samym wzorem:
Wielkość D jest tu określona przez własności fizyczne badanego układu.
Schemat przestawiony poniżej przedstawia wahadło torsyjne.
Badany pręt o długości L obciążony jest wibratorem w postaci krzyża, na którym możemy umieszczać ciężarki. Skręcenie wibratora o niewielki kąt powoduje powstanie w pręcie sił sprężystości, które wywołują drgania harmoniczne całego układu.
Przebieg doświadczenia.
Do wyznaczenia modułu sprężystości postaciowej G za pomocą wahadła torsyjnego niezbędne jest wyznaczenie następujących wielkości:
r - promień pręta,
L=892 [mm] - długość pręta,
t1- czas 20-stu wahnięć z obciążeniem wstępnym,
2R1=25 [mm] - średnice czterech ciężarków,
m.- masa dodatkowych ciężarków,
2R2=30 [mm] - średnice dwóch dodatkowych ciężarków,
d - odległość ciężarka od osi obrotu,
t2- czas 20-stu wahnięć wahadła z dodatkowymi ciężarkami.
Pomiar średnicy pręta dokonaliśmy 10-krotnie, co przedstawia poniższa tabela:
Lp. |
2r [mm] |
3,601 |
|
3,600 |
|
3,584 |
|
3,585 |
|
3,587 |
|
3,592 |
|
3,585 |
|
3,580 |
|
3,582 |
|
3,591 |
|
2rśr |
3,589 |
Obciążając wahadło czteroma ciężarkami o średnicach 2R1 dokonaliśmy pięciu pomiarów czasu 
dwudziestu okresów wahnięć. Wyniki zestawiam w tabeli:
L.p. |
t1 [s] |
1. |
9,13 |
2. |
9,66 |
3. |
9,63 |
4. |
9,35 |
5. |
9,35 |
t1śr |
9,42 |
Następnym etapem jest wyznaczenie średniego okresu drgań T1śr wahadła z obciążeniem wstępnym. Ponieważ wahnięć było 20:
T1śr=t1śr/20=0,47 [s].
Kolejnym etapem było zważenie dwóch obciążników o średnicy 2R2 oraz wyznaczenie wartości średniej:
m1=0,198 [kg]
m2=0,184 [kg]
mśr=0,191 [kg]
Niezbędne jest także wyznaczenie wartości odległości d ciężarków od osi obrotu ze wzoru:
d = d' - r' - r
gdzie:
d' - odległośc mierzona dla każdego ramienia;
r' - promień trzpienia mierzony dla każdego ramienia.
Ramię |
r'[mm] |
d'[mm] |
d[mm] |
1. |
1,493 |
211,5 |
208,213 |
2. |
1,494 |
212,3 |
209,012 |
3. |
1,494 |
213,7 |
210,412 |
4. |
1,493 |
212,8 |
209,513 |
Wartość śr. |
1,493 |
212,6 |
209,288 |
Następnie wyznaczamy momenty bezwładności wprawionych w drgania ciężarków o średnicy 2R2 względem osi przechodzącej przez oś pręta, dla dwóch odległości - d oraz d/2:
|
Iz (dla m=0,198 [kg]) [kg·m2] |
Iz (dla m=0,184 [kg]) [kg·m2] |
|
0,0087 |
0,0081 |
Odległość d/2 [m] |
0,0022 |
0,0020 |
Obciążając wahadło dwoma dodatkowymi ciężarkami o średnicach 2R2 dokonaliśmy pięciu pomiarów czasu t2 dwudziestu okresów wahnięć dla odległosci d a także d/2. Wyniki zestawiam w tabeli:
L.p. |
t2d dla odległości d [s] |
t2.d/2 dla odległości d/2 [s] |
1. |
20,72 |
12,81 |
2. |
21,22 |
12,25 |
3. |
21,22 |
12,19 |
4. |
21,72 |
12,38 |
5. |
21,28 |
12,25 |
Wartość śr. |
21,23 |
12,38 |
Następnym etapem jest wyznaczenie średniego okresu drgań T2śr wahadła dla obu odległości. Ponieważ wahnięć było 20 więc:
T2śr.d=t2śrd/20=1,06 [s]
oraz
T2śr.d/2=t2śrd/2/20=0,62 [s]
Opracowanie wyników.
a) Moduł sztywności G wyznaczamy ze wzoru :
gdzie:
- Iz1, Iz2 -momenty bezwładności ciężarków
Podstawiając wartości średnie otrzymujemy:
|
G [GPa] |
|
42,4 |
Odległość d/2 [m] |
58,5 |
- oraz wartość średnią wartość:
b) Rachunek błędu przeprowadzamy metodą różniczki zupełnej:
gdzie:
- 
- niepewność pomiaru długości pręta;
- ΔT=0,03 [s] - niepewność pomiaru jednego okresu, przy której należy uwzględnić także współczynnik t-Studenta (gdyż wykonana byłą niewielka ilość pomiarów) 
(dla n=5 pomiarów i poziomu ufności β=0,99);
- 
- niepewność pomiaru długości ramienia pręta (gdyż niepewność pomiaru średnicy pręta wynosi: 
);
- ΔI - niepewność wyznaczenia wartości masowego momentu bezwładności, którą wyznaczamy korzystając z zależności:
gdzie:
d - średnia odległość środka walca obciążającego od osi wibratora; obarczona błędem 
( niedokładność pomiaru r i r' jest dużo mniejsza od 
);
Δm= [kg] - błąd pomiaru masy;
Błąd ΔI w zależności od odległości ciężarków od osi obrotu wynosi:
|
ΔI [kg·m2] |
|
0,00053 |
Odległość d/2 [m] |
0,00049 |
Posiadając te wszystkie dane możemy przystąpić do wyznaczenia błędu jakim obraczona była wyznaczona wartość modułu sztywności G w zależności od odległości ciężarków od osi obrotu:
|
ΔG [GPa] |
|
26,76 |
Odległość d/2 [m] |
7,55 |
Ostatecznie:
|
G [GPa] |
|
42±27 |
Odległość d/2 [m] |
58,5±7,6 |
WNIOSKI
8