Sprawozdanie z ćwiczenia nr 2

Temat: „Drgania proste harmoniczne: wahadło rewersyjne i wahadło torsyjne”

• I ETAP - doświadczalne wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego g przy pomocy wahadła rewersyjnego

1. Wstęp teoretyczny.

Wahadło rewersyjne to rodzaj wahadła fizycznego o dwóch równoległych osiach zawieszenia i regulowanym rozkładzie masy, używanego do wyznaczania przyspieszenia ziemskiego.

Składa się ono z metalowego pręta, dwóch ostrzy O i O` (osie obrotu), na których można je zawieszać oraz z dwóch ciężarków, które są ruchome i pozwalają na zmianę okresu drgań wahadła .Poprzez tą zmianę położenia ciężarków doprowadzić możemy do tego, że okresy wahań na osi O i O' będą sobie równe. Odległość między ostrzami O i O` nazywamy długością zredukowaną L wahadła, wtedy kiedy okresy drgań tego wahadła zawieszonego na ostrzu O i na ostrzu O` są sobie równe. Znając zaś wartość długości zredukowanej i okresu drgań T pozwoli nam obliczyć wartość przyspieszenia ziemskiego g z następującego wzoru:

2.Przebieg doświadczenia.

Doświadczenie rozpoczęliśmy od wyznaczenia okresów drgań wahadła wokół osi O oraz O' dla dwóch różnych położeń ciężarka i znalezienia takiego rozkładu masy, że odległość między ostrzami O i O` jest długością zredukowaną L wahadła, tzn kiedy okresy drgań tego wahadła zawieszonego na ostrzu O i na ostrzu O` są sobie równe. Sporządzony przy pomocy programu Origin wykres przedstawiający zależność okresów drgań wahadła rewersyjnego T₀=T₀(x) i T₀'=T₀'(x) od odległości ruchomego ciężarka od osi obrotu Wyglada następująco:

Otrzymane wyniki przedstawia poniższa tabelka:

L.p	Δt [s]	Δt' [s]	x [m]
1.	38,50	42,00	0
2.	36,85	44,37	259,8

• Δt - czas 20-stu wahnięć wokół osi O (w pozycji normalnej)

• Δt' - czas 20-stu wahnięć wokół osi O' (w pozycji odwróconej)

• x - położenie ruchomego ciężarka

Korzystając z wykresu znajdujemy punkt (x₀,T) przecięcia krzywych T₀(x) i T₀'(x). Współrzędne tego punktu wynoszą:

• x₀= 0,10664 [m]

• T=1,998 [s]

Współrzędna x₀ określa położenie ruchomego ciężarka w przypadku, gdy odległość między ostrzami O i O` jest długością zredukowaną L wahadła.

Aby wyznaczyć prawidłowy rozkład masy w wahadle przesuwaliśmy jedną z mas co 30 mm (9 pomiarów). Dla zmniejszenia błędu powstałego przy pomiarze okresu wahań badaliśmy czas 20-stu wahnięć.

Otrzymane wyniki przedstawia poniższa tabelka :

L.p	x [m]	Δt1[s]	Δt2 [s]	Δtśr [s]	T0 [s]	Δt1' [s]	Δt2' [s]	Δtśr' [s]	T0' [s]
1.	0	35,69	35,34	35,52	1,78	38,03	37,97	38,00	1,90
2.	0,03	36,41	36,38	36,40	1,82	38,32	38,19	38,26	1,91
3.	0,06	37,13	36,90	37,02	1,85	38,56	38,37	38,47	1,92
4.	0,09	37,97	37,65	37,81	1,89	39,00	38,87	38,94	1,95
5.	0,12	38,81	38,65	38,73	1,94	39,47	39,25	38,36	1,92
6.	0,15	39,50	39,38	39,44	1,97	39,82	39,57	38,70	1,94
7.	0,18	40,38	40,12	40,25	2,01	39,88	40,03	40,00	2,00
8.	0,21	41,56	41,25	41,41	2,07	40,22	40,25	40,24	2,01
9.	0,24	42,88	42,40	42,64	2,13	40,72	40,69	40,71	2,04

Gdzie:

• x - położenie ruchomego ciężarka

• Δt₁ - czas 20-stu wahnięć wokół osi O - pierwszy pomiar

• Δt₂ - czas 20-stu wahnięć wokół osi O -drugi pomiar

• Δt_śr - wartość średnia czasu 20-stu wahnięć wokół osi O

• T₀ - średni okres drgań wokół osi O

• Δt₁' - czas 20-stu wahnięć wokół osi O' - pierwszy pomiar

• Δt₂' - czas 20-stu wahnięć wokół osi O' - drugi pomiar

• Δt_śr' - wartość średnia czasu 20-stu wahnięć wokół osi O'

• T₀`- średni okres drgań wokół osi O'

Ponieważ na wykresie T₀'(x) punkty (0,12 ; 1,92) oraz (0,15 ; 1,94) znajdują się w miejscu wskazującym na błąd wyeliminowaliśmy je.

2. Opracowanie wyników.

a) Przy wyznaczeniu wartości przyśpieszenia grawitacyjnego korzystamy z zależności
.

• L=0,985 [m] - wartość zredukowana (odległość między osiami O i O')

• T=1,992[s] - wartość okresu T wyznaczona przy pomocy wykresu T₀,T₀'(x)

Wyznaczona wartość przyspieszenia ziemskiego:

.

b) Przy obliczaniu błędu pomiaru g korzystamy z metody różniczki zupełnej:

gdzie:

• ΔL=0,001[m] - niepewność pomiaru długości zredukowanej

• 
  - niedokładność wyznaczenia okresu T na wykresie jest to błąd związany z niedokładnością mierzenia czasu 20stu wahnięć za pomocą stopera. Na błąd ten składa się niedokładność stopera Δt₁=0,01 [s] oraz czas reakcji osoby mierzącej (w naszym przypadku były to dwie osoby). Przyjmijmy, że jest on równy Δt₂=0,5 [s]. Stąd niedokładność pomiaru czasu za pomocą stopera wynosi Δt=0,5 [s]. Błąd jakim obarczona jest wyznaczona wartość g wyniesie zatem:

Ostatecznie:

• II ETAP - doświadczalne wyznaczenie modułu sztywności G przy pomocy wahadła torsyjnego

1. Wstęp teoretyczny.

Wahadło torsyjne to bryła sztywna ze swobodą oscylacji na jej osi, utrzymywanej w równowadze sprężyną zwojową umieszczoną w płaszczyźnie prostopadłej do osi obrotu bryły. W wahadle grawitacyjnym moment kierujący wytwarza siła ciężkości. W wahadle torsyjnym powoduje go siła sprężystości pochodząca od skręconego pręta lub innego ciała sprężystego. Po odkształceniu ciała sprężystego o kąt od położenia równowagi powstają w nim drgania pod wpływem momentu siły skręcającej: M' = - Dφ zwracającego ciało zawsze do położenia równowagi. Współczynnik proporcjonalności D, podobnie jak w przypadku wahadła grawitacyjnego, nazywamy momentem kierującym. Równanie ruchu ma więc postać analogiczną jak dla wahadła grawitacyjnego, a zatem i okres drgań wyraża się tym samym wzorem:

Wielkość D jest tu określona przez własności fizyczne badanego układu.

Schemat przestawiony poniżej przedstawia wahadło torsyjne.

Badany pręt o długości L obciążony jest wibratorem w postaci krzyża, na którym możemy umieszczać ciężarki. Skręcenie wibratora o niewielki kąt powoduje powstanie w pręcie sił sprężystości, które wywołują drgania harmoniczne całego układu.

2. Przebieg doświadczenia.

Do wyznaczenia modułu sprężystości postaciowej G za pomocą wahadła torsyjnego niezbędne jest wyznaczenie następujących wielkości:

• r - promień pręta,

• L=892 [mm] - długość pręta,

• t₁- czas 20-stu wahnięć z obciążeniem wstępnym,

• 2R₁=25 [mm] - średnice czterech ciężarków,

• m.- masa dodatkowych ciężarków,

• 2R₂=30 [mm] - średnice dwóch dodatkowych ciężarków,

• d - odległość ciężarka od osi obrotu,

• t₂- czas 20-stu wahnięć wahadła z dodatkowymi ciężarkami.

Pomiar średnicy pręta dokonaliśmy 10-krotnie, co przedstawia poniższa tabela:

Lp.	2r [mm]
	3,601
	3,600
	3,584
	3,585
	3,587
	3,592
	3,585
	3,580
	3,582
	3,591
2rśr	3,589

Obciążając wahadło czteroma ciężarkami o średnicach 2R₁ dokonaliśmy pięciu pomiarów czasu
dwudziestu okresów wahnięć. Wyniki zestawiam w tabeli:

L.p.	t1 [s]
1.	9,13
2.	9,66
3.	9,63
4.	9,35
5.	9,35
t1śr	9,42

Następnym etapem jest wyznaczenie średniego okresu drgań T_1śr wahadła z obciążeniem wstępnym. Ponieważ wahnięć było 20:

T_1śr=t_1śr/20=0,47 [s].

Kolejnym etapem było zważenie dwóch obciążników o średnicy 2R₂ oraz wyznaczenie wartości średniej:

• m₁=0,198 [kg]

• m₂=0,184 [kg]

• m_śr=0,191 [kg]

Niezbędne jest także wyznaczenie wartości odległości d ciężarków od osi obrotu ze wzoru:

d = d' - r' - r

gdzie:

• d' - odległośc mierzona dla każdego ramienia;

• r' - promień trzpienia mierzony dla każdego ramienia.

Ramię	r'[mm]	d'[mm]	d[mm]
1.	1,493	211,5	208,213
2.	1,494	212,3	209,012
3.	1,494	213,7	210,412
4.	1,493	212,8	209,513
Wartość śr.	1,493	212,6	209,288

Następnie wyznaczamy momenty bezwładności wprawionych w drgania ciężarków o średnicy 2R₂ względem osi przechodzącej przez oś pręta, dla dwóch odległości - d oraz d/2:

	Iz (dla m=0,198 [kg]) [kg·m^2]	Iz (dla m=0,184 [kg]) [kg·m^2]
Odległość d [m]	0,0087	0,0081
Odległość d/2 [m]	0,0022	0,0020

Obciążając wahadło dwoma dodatkowymi ciężarkami o średnicach 2R₂ dokonaliśmy pięciu pomiarów czasu t₂ dwudziestu okresów wahnięć dla odległosci d a także d/2. Wyniki zestawiam w tabeli:

L.p.	t2d dla odległości d [s]	t2.d/2 dla odległości d/2 [s]
1.	20,72	12,81
2.	21,22	12,25
3.	21,22	12,19
4.	21,72	12,38
5.	21,28	12,25
Wartość śr.	21,23	12,38

Następnym etapem jest wyznaczenie średniego okresu drgań T_2śr wahadła dla obu odległości. Ponieważ wahnięć było 20 więc:

T_2śr.d=t_2śrd/20=1,06 [s]

oraz

T_2śr.d/2=t_2śrd/2/20=0,62 [s]

3. Opracowanie wyników.

a) Moduł sztywności G wyznaczamy ze wzoru :

gdzie:

- I_z1, I_z2 -momenty bezwładności ciężarków

Podstawiając wartości średnie otrzymujemy:

	G [GPa]
Odległość d [m]	42,4
Odległość d/2 [m]	58,5

- oraz wartość średnią wartość:

b) Rachunek błędu przeprowadzamy metodą różniczki zupełnej:

gdzie:

-
- niepewność pomiaru długości pręta;

- ΔT=0,03 [s] - niepewność pomiaru jednego okresu, przy której należy uwzględnić także współczynnik t-Studenta (gdyż wykonana byłą niewielka ilość pomiarów)
(dla n=5 pomiarów i poziomu ufności β=0,99);

-
- niepewność pomiaru długości ramienia pręta (gdyż niepewność pomiaru średnicy pręta wynosi:
);

- ΔI - niepewność wyznaczenia wartości masowego momentu bezwładności, którą wyznaczamy korzystając z zależności:

gdzie:

• d - średnia odległość środka walca obciążającego od osi wibratora; obarczona błędem
  ( niedokładność pomiaru r i r' jest dużo mniejsza od
  );

• Δm= [kg] - błąd pomiaru masy;

Błąd ΔI w zależności od odległości ciężarków od osi obrotu wynosi:

	ΔI [kg·m^2]
Odległość d [m]	0,00053
Odległość d/2 [m]	0,00049

Posiadając te wszystkie dane możemy przystąpić do wyznaczenia błędu jakim obraczona była wyznaczona wartość modułu sztywności G w zależności od odległości ciężarków od osi obrotu:

	ΔG [GPa]
Odległość d [m]	26,76
Odległość d/2 [m]	7,55

Ostatecznie:

	G [GPa]
Odległość d [m]	42±27
Odległość d/2 [m]	58,5±7,6

WNIOSKI

8

---