Naprężenie

Z Wikipedii

Naprężenie to miara gęstości powierzchniowej sił wewnętrznych występujących w ośrodku ciągłym. Jest podstawową wielkością mechaniki ośrodków ciągłych. Jednostką naprężenia jest paskal.

Naprężenie w dowolnym punkcie zależy od kierunku, w którym jest rozpatrywane. Mimo iż pole powierzchni przekroju A dąży do zera, czyli przekrój dąży do punktu, istotne jest jaki kierunek miała normalna do powierzchni przekroju:

gdzie: s - wektor naprężenia, F - wektor sił wewnętrznych w ciele działających w przekroju, A - pole przekroju.

Wektor naprężenia występujący w dowolnym przekroju można rozłożyć na dwie składowe:

gdzie: σ - składowa normalna (prostopadła do powierzchni), n - wektor normalny do powierzchni, τ - składowa ścinająca (równoległa do powierzchni).

Spis treści [ukryj] 1 Kartezjański układ współrzędnych 2 Zapis tensorowy 3 Rozkład stanu naprężenia na dwa stany podstawowe 4 Niezmienniki stanu naprężenia 5 Zobacz też 6 Linki zewnętrzne

Kartezjański układ współrzędnych [edytuj]

Wprowadzając w dowolnym punkcie¹ ciała, w którym występuje stan naprężenia, trzy przekroje prostopadłe do osi współrzędnych dowolnie zorientowanego prostokątnego układu współrzędnych, można wyznaczyć dziewięć składowych stanu naprężenia, są to kolejno: σ_x, τ_xy, τ_xz, σ_y, τ_yx, τ_yz, σ_z, τ_zx, τ_zy.

Jeżeli zwrot wektora naprężenia normalnego skierowany jest od punktu, naprężenie normalne przyjmuje wartość dodatnią i nazywane jest naprężeniem rozciągającym. W przeciwnym razie jest naprężeniem ściskającym.

Należy zwrócić uwagę, że na przykład dla powierzchni "górnej" (patrz rysunek), czyli prostopadłej do osi z zachodzi:

gdzie: k=n - wersor osi z, a jednocześnie wektor normalny do rozpatrywanej powierzchni; i, j - wersory osi odpowiednio x i y.

Składowe naprężeń stycznych spełniają następujące warunki:

τ_xy = τ_yx

τ_xz = τ_zx

τ_yz = τ_zy

W rozważanym punkcie można tak zorientować układ współrzędnych, iż naprężenia styczne równe są zero i występują wyłącznie naprężenia normalne. Tak zorientowany układ współrzędnych wyznacza kierunki główne stanu naprężenia.

¹ Rozważając punkt ma się na myśli sześcian elementarny o nieskończenie małej krawędzi.

Zapis tensorowy [edytuj]

Naprężenie w oderwaniu od kierunku powierzchni przekroju może być opisane przez tensor naprężenia σ. W każdym przypadku możliwe jest takie dobranie tensora naprężenia, aby prawdziwa była równość:

gdzie: g - wektory bazowe układu współrzędnych lub w notacji tensorowej:

Dowodzi się z prawa zachowania momentu pędu, że tensor naprężenia jest symetryczny, to jest: σ_ij = σ_ji

Wykorzystując poczynione wcześniej założenia, dla układu kartezjańskiego można zapisać:

Gdzie:

σ_x, σ_y, σ_z - składowe normalne

τ_xy, τ_xz, τ_xy - składowe ścinające

Rozkład stanu naprężenia na dwa stany podstawowe [edytuj]

Każdy stan naprężenia można rozłożyć na dwa stany podstawowe:

Aksjator - stan hydrostatyczny (aksjacyjny) - powoduje zmianę objętości (gęstości) ciała i dla części materiałów nie prowadzi do powstania odkształceń trwałych.

Dewiator - stan czystego ścinania (dewiacyjny) - zawsze doprowadza do zmiany postaci ciała i może prowadzić do odkształceń trwałych.

Niezmienniki stanu naprężenia [edytuj]

Tensor naprężenia, jak każdy tensor drugiego rzędu, posiada trzy niezmienniki, czyli wielkości niezależne od układu współrzędnych:

• J₁ = σ₁₁ + σ₂₂ + σ₃₃ będący potrojonym aksjatorem naprężenia
  

• J₂ będący miarą dewiatora naprężenia

• J₃

Zobacz też [edytuj]

• odkształcenie

• prawo Hooke'a

---