Obliczanie mieszalników mechanicznych

Aby zaprojektować proces ekstrakcji wykonywany w mieszalniku mechanicznym o działaniu ciągłym należy przede wszystkim określić wymagany czas przebywania obu faz w aparacie, czyli przy zadanych strumieniach objętości określić jego objętość.

Ponadto należy umieć obliczyć stabilną średnicę kropel d₃₂, stopień zatrzymania fazy rozdrobnionej x, pole powierzchni właściwej a oraz współczynniki wnikania masy w obu fazach β_d, β_c.

1. Średnica stabilnych kropel.

W dwufazowych układach ciekłych w mieszalnikach wyposażonych w mieszadła mechaniczne następuje rozdrobnienie jednej z faz w drugiej fazie ciągłej. Przy pewnej niezmiennej mocy mieszania ustala się równowaga dynamiczna pomiędzy dwoma zjawiskami, tj. dyspersją i koalescencją fazy rozdrobnionej. Oznacza to, że w układzie następuje stabilizacja przeciętnej średnicy kropel.

Zjawisko rozpadu kropel przebiega według co najmniej dwóch mechanizmów. Pierwszy z nich polega na ustawicznym wydłużaniu kropli aż przy stosunku długości do średnicy zbliżonej do 4 następuje podział na prawie identyczne dwie krople. Drugi z mechanizmów pojawia się z przepływach bardziej burzliwych i polega na oddzieleniu pewnej części kropli w postaci mniejszego tworu satelitarnego.

Hinze i Kołmogorow zakładając, izotropowe rozchodzenie się burzliwości stwierdzili, że na każdą kroplę działa pewna różnica ciśnienia, którą można obliczyć z zależności:

gdzie:

- różnica prędkości na drodze d₃₂, która zależy od ilości energii oddawanej przez jednostkę masy cieczy poruszającej się ruchem burzliwym.

gdzie:

- ilość energii przypadająca na jednostkę masy cieczy, którą dla mieszalników można obliczyć jako wielkość
, gdzie d_m jest średnicą mieszadła.

zatem

Różnica ciśnienia zależy także od napięcia powierzchniowego:

Podstawiając:

gdzie u - względna prędkość faz.

Badania eksperymentalne wykazują odstępstwa od równania Hinzego. Jest to związane z anizotropią burzliwości (w różnych obszarach mieszalnika występuje różna burzliwość). Zjawisko to powoduje rozrzut średnic kropel. Jeśli przedstawić tę zależność na wykresie, to otrzymuje się dwie linie obrazujące zależność średnic kropel od częstości obrotowej mieszadła (tzw. liczby obrotów mieszadła). Linia 1 podaje minimalną średnicę kropel, a linia 2 maksymalną średnicę kropel w funkcji częstości obrotowej.

Obie linie przecinają się w punkcie odpowiadającym pewnej częstości obrotowej zwanej częstością krytyczna, w której występuje tylko jedna średnica kropel. Można to interpretować jako warunki odpowiadające zrównoważeniu procesów rozbijania i koalescencji kropel. Jak widać na wykresie ze zmniejszaniem się częstości obrotowej różnice pomiędzy minimalną a maksymalną średnicą kropel stale się zwiększają. Położenie punktu przecięcia się obu linii jest cechą charakterystyczną układu dwufazowego.

Aby lepiej opisać zachowanie się układów dwufazowych w mieszalnikach do równań wprowadza się stopień zatrzymania x oraz maksymalną średnicę kropel stabilnych d₃₂.

W równaniach pojawia się bezwymiarowa liczba Webera mieszania:

Historycznie pierwszy wzór podał Vermoulen:

Zależność ta jest ważna w bardzo szerokim zakresie stopnia zatrzymania fazy rozdrobnionej: 10 < x < 40 %. Stopień zatrzymania oblicza się jako stosunek objętości fazy rozdrobnionej do objętości obu faz umieszczonych w mieszalniku.

Inną zależność podał Calderbank, która jest ważna dla x <20 %.

,

Dla małych wartości x, tj. w warunkach bardzo niewielkiego wpływu sąsiednich kropel na zachowanie się pozostałych Shinnar podał zależność:

,

Sprow zauważył, że rozpad kropel następuje powyżej krytycznej liczby Webera, zatem można obliczyć maksymalną średnicę kropel. Jeśli przyjąć zależność:

to w układzie cgs spełnione jest równanie:

Dla kropel małych

Krople stabilne spełniają zależność:

Utrzymanie układu kroplowego wymaga zastosowania pewnej minimalnej częstości obrotowej mieszadła, którą można obliczyć stosując zależność Nagala:

We wzorze tym D_m oznacza średnicę mieszalnika i przyjmuje się, że jest ona w przybliżeniu równa trzem średnicom mieszadła (D_m = 3 d_m).

Przystępując do projektowania przed wykonaniem dokładnych obliczeń można skorzystać z empirycznej zasady, która mówi, że aby wytworzyć zawiesinę fazy rozdrobnionej w fazie ciągłej należydo mieszalnika doprowadzić moc 0,2 - 0,4 kW na każdy m³ układu dwufazowego.

2. Pole powierzchni styku faz. Stopień zatrzymania.

Pole powierzchni kuli wynosi:

lub

Jeśłi układ kroplowy ma objętość V_c = 1 m³ i znajduje się w nim n kulistych kropel, to pole powierzchnik tych kropel równe jest:

Jeśli mieszalnik pracuje okresowo, to stopień zatrzymania x można obliczyć jako:

Inaczej jest, gdy mieszalnik pracuje w sposób ciągły (mieszalnik przepływowy. Wówczas spełnione jest równanie:

Prędkość charakterystyczną u_k oblicza się z zależności:

gdzie [ψ] = W/m³.

Powierzchnię jednostkową a można także obliczać z korelacji empirycznych, które zostały wyznaczone dla mieszalników o różnej konstrukcji przykładowo:

• mieszadła turbinowe sześciołopatkowe:

• mieszadła turbinowe czterołopatkowe:

gdzie:

ρ_m - średnia gęstość mieszaniny

• różne mieszadła:

Lepkość mieszaniny dwufazowej oblicza się z odpowiedniej zależności|:

Natomiast stała C w równaniu zależy od rodzaju mieszadła:

C	Rodzaj mieszadła
29,5	Turbinowe sześciołopatkowe
18,65	Turbinowe dwułopatkowe
13,65	Turbinowe dwułopatkowe z lopatkami pod kątem 45°
13,85	Śmigłowe

3. Współczynniki wnikania masy

Współczynniki wnikania masy w mieszalnikach pracujących w układzie ciecz - ciecz oblicza się z korelacji empirycznych. Dla przykładu współczynniki wnikania masy w fazie ciągłej oblicze się z zależności:

Współczynniki wnikania masy w fazie ciągłej zmieniają się nieznacznie i bardzo mało spadają ze wzrostem częstości obrotowej mieszadeł. Można zatem przyjąć, że zgodnie z równaniem Kroniga i Brinka dl akropel z cyrkulacją wewnętrzną zachodzi zależność:

Z kolei dla kropel z cyrkulacją burzliwą obowiązuje równanie Handlosa Barona w postaci:

Współczynniki wnikania masy służą oczywiście do obliczenia współczynnika przenikania masy.

4. Czas mieszania. Objętość mieszalnika

Czas przebywania faz w mieszalniku należy tak dobrać, aby zapewnić uzyskanie założonych stężeń w produktach. Zależy on od współczynników wnikania masy, rozkładu stężeń i wielkości pola jednostkowej powierzchni wymiany masy a.

Rozkład stężeń w fazie ekstrahowanej jest funkcją czasu lub dla mieszalników przepływowych może być wyrażony jako funkcja czasu albo funkcja drogi, którą przebywa faza ekstraktowa.

Rozpatrzmy kilka charakterystycznych przypadków na wykresach w układzie współrzędnych stężenie substancji ekstrahowanej w funkcji czasu lub drogi (dla mieszalników przepływowych o współprądowym przepływie faz):

• mieszalnik okresowy lub mieszalnik ciągły bez przemieszania

• mieszalnik okresowy lub mieszalnik ciągły z przemieszaniem w fazie ekstraktowej

• mieszalnik okresowy lub mieszalnik ciągły z przemieszaniem w fazie rafinatowej

• mieszalnik okresowy lub mieszalnik ciągły z przemieszaniem w obu fazach

Mieszalniki o działaniu okresowym

W czasie dτ ilość substancji wymienionej pomiędzy fazami wynosi:

E - objętość rozpuszczalnika m³,

- stężenie składnika B w fazie ekstraktowej wartość równowagowa kmol/m³,

k_E - współczynnik przenikania masy m/s.

Bilans składnika ekstrahowanego w dowolnym czasie:

Jeśli wprowadzić sprawność lokalną η, to:

Wtedy

Mieszalniki o działaniu ciągłym

Postępując analogicznie ja dla mieszalników o działaniu okresowym otrzymuje się:

- różniczkowy strumień masy składnika ekstrahowanego kmol/s,

E - strumień objętości rozpuszczalnika m³/s.

- stężenie składnika B w fazie ekstraktowej wartość równowagowa kmol/m³,

k_E - współczynnik przenikania masy m/s.

Po przekształceniach uzyskuje się znane równanie Colburna w którym zamiast wysokości kolumny pojawia się wysokość lub długość mieszalnika:

Po uwzględnieniu równań bilansowych i przekształceniach analogicznych jak poprzednio uzyskuje się równanie:

Czas mieszania w mieszalniku o działaniu ciągłym, czyli czas przebywania cieczy w mieszalniku powinien wynosić:

---