Gaz doskonały - teoria kinetyczno-molekularna, bilans cieplny - Zadanie 1

Treść: Temperatura gazu idealnego wzrosła z T1=T do T2=nT. Jak zmieniła się średnia prędkość cząsteczek tego gazu?

Dane: T1 = T T2 = nT k - stała Boltzmanna

Szukane: v2 / v1 = ?

Wzory:

Rozwiązanie:
Kreseczka nad prędkością (v) oznacza, iż jest to średnia prędkość.
Pojawiająca się we wzorach literka k oznacza stałą Boltzmanna. Jej wartość można sprawdzić w tablicach :)

Aby obliczyć średnią prędkość cząsteczek gazu doskonałego, znając zmianę temperatury tego gazu, musimy obie wielkości powiązać ze sobą za pomocą energii kinetycznych. W przypadku gazu doskonałego, którego cząsteczki nie oddziałują ze sobą (z wyjątkiem chwil, w których się zderzają), za energię wewnętrzną uważamy tylko energię kinetyczną wszystkich rodzajów ruchu cząsteczek.
Skoro cząsteczki gazu posiadają jedynie energię ruchu postępowego (w tym przypadku jest to gaz jednoatomowy), możemy porównać oba wzory na energię.

gdzie m to masa gazu.

Ze wzorów wyprowadzamy wzór na średnią prędkość cząsteczek gazu.

Mając już wyznaczoną prędkość wracamy do danych w zadaniu. Wiemy, że

Podstawiając, że T₁=T i T₂=nT otrzymujemy:

Z obu równań wyznaczamy prędkość (posługując się wcześniej otrzymanym wzorem):

Szukaną zmianę prędkości wyrazimy poprzez stosunek średnich prędkości:

Prędkość cząsteczek gazu idealnego wzrosła o pierwiastek z n.

Gaz doskonały - teoria kinetyczno-molekularna, bilans cieplny - Zadanie 2

Treść: Ile cząsteczek tlenu znajduje się w 1cm^3 powietrza w warunkach normalnych? Tlen zajmuje 20,95% objętości powietrza.

Dane: Vp = 1cm^3 Vt = 20,95% * Vp

Szukane: N = ?

Wzory:

Rozwiązanie:
Objaśnienie:

N_A - liczba Avogadro - liczba atomów, cząsteczek lub innych cząstek materii w jednym molu substancji złożonej z tychże atomów lub cząsteczek lub cząstek.
N - szukana liczba cząsteczek.
L - pomocnicza szukana liczba, oznaczająca liczbę moli tlenu.
V_p - objętość powietrza.
V_t - objętość tlenu.

Na samym początku warto zauważyć, że objętość jednego mola gazu w warunkach normalnych podana jest w dm³, a objętość tlenu mamy w cm³, więc od razu zamieniamy jednostki. Robimy to w następujący sposób:

I dalej:

Z treści zadania wyliczamy objętość tlenu.

Z drugiej strony mamy podaną objętość jednego mola gazu i ilość cząsteczek w jednym molu. Tworzymy więc proporcję, by obliczyć, ile moli zajmuje nasz tlen:

Mnożymy "na krzyż" i otrzymujemy, że

I ostatnie mnożenie :) Skoro wiemy ile moli ma nasz tlen i ile cząsteczek jest w 1 molu (liczba Avogadro) wystarczy pomnożyć otrzymane L z N_A by otrzymać liczbę cząsteczek :)

W warunkach normalnych w 1cm³ powietrza, którego 20,95% stanowi tlen, znajduje się ok. 5,63 ^. 10¹⁸ cząsteczek tlenu.

Przemiany gazu doskonałego, zasady termodynamiki - Zadanie 1

Treść: Na podstawie wykresu, ustal jaka zaszła przemiana: izotermiczna, izobaryczna, izochoryczna czy adiabatyczna?

Dane:

Szukane:

Wzory:

Rysunek:

Z wykresu widać, że jest to wykres zależności ciśnienia od objętości - p(V). Załóżmy, że a będzie naszą stałą ze wzoru gazu doskonałego:

Następnie przekształcając wykres, aby po lewej stronie zostało tylko ciśnienie (p) uzyskujemy:

W ten sposób uzyskujemy wzór, w którym łatwo jest zaopserwować, że jeśli wykres p(V) ma być hiperbolą, to a^.T musi być stałe, więc i T musi być stałe.

Odpowiedź: Jest to wykers przemiany izotermicznej.

Przemiany gazu doskonałego, zasady termodynamiki - Zadanie 2

Treść: Na podstawie wykresu, ustal jaka zaszła przemiana: izotermiczna, izobaryczna, izochoryczna czy adiabatyczna?

Dane:

Szukane:

Wzory:

Rysunek:

Rozwiązanie:
Z wykresu widać, że jest to wykres zależności ciśnienia od temperatury - p(T). Wykresem tej funkcji, jest prosta, która przechodzi przez początek układu współrzędnych. Przemiana gazowa zachodzi z punkut A do punktu B.
Załóżmy, że a będzie naszą stałą ze wzoru gazu doskonałego:

Następnie przekształcając wykres, aby po lewej stronie zostało tylko ciśnienie (p) uzyskujemy:

W ten sposób uzyskujemy wzór, w którym łatwo jest zaopserwować, że jeśli wykres p(T) ma być prostą, to a / V musi być stałe, więc i V musi być stałe.

Odpowiedź: Jest to wykers przemiany izochorycznej.

Uwaga: Wykres przemiany izochorycznej na wykresie p(T) leży zawsze na prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych.

Przemiany gazu doskonałego, zasady termodynamiki - Zadanie 3

Treść: Na podstawie wykresu, ustal jaka zaszła przemiana: izotermiczna, izobaryczna, izochoryczna czy adiabatyczna?

Dane:

Szukane:

Wzory:

Rysunek:

Rozwiązanie:
Z wykresu widać, że jest to wykres zależności objętości od temperatury - V(T). Wykresem tej funkcji, jest prosta, która przechodzi przez początek układu współrzędnych. Przemiana gazowa zachodzi z punkut A do punktu B.
Załóżmy, że a będzie naszą stałą ze wzoru gazu doskonałego:

Następnie przekształcając wykres, aby po lewej stronie zostało tylko objętość (V), uzyskujemy:

W ten sposób uzyskujemy wzór, w którym łatwo jest zaopserwować, że jeśli wykres V(T) ma być prostą, to a / p musi być stałe, więc i p musi być stałe.

Odpowiedź: Jest to wykers przemiany izobarycznej.

Uwaga: Wykres przemiany izobarycznej na wykresie V(T) leży zawsze na prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych.

Przemiany gazu doskonałego, zasady termodynamiki - Zadanie 4

Treść: W naczyniu cylindrycznym, zamkniętym tłokiem, ogrzano izobarycznie gaz od temperatury 300K do 400K, przy czym tłok przesunął się o 2cm. Ile wynosiła wysokość słupa h gazu przed podgrzaniem (patrz rysunek)?

Dane: T1 = 300 K T2 = 400 K H = 2 cm

Szukane: h = ?

Wzory:

Rysunek:

Rozwiązanie:
W przemianie izobarycznej wartością stałą jest ciśnienie. Równanie gazu przyjmuje więc postać:

To samo równanie w innej formie możemy zapisać w ten sposób:

gdzie V to objętość gazu, a T temperatura. T₁ i T₂ mamy podane w treści zadania, pozostaje więc problem z objętością :)

Wiemy, że objętość to iloczyn wysokości i podstawy figury. Z tego wynika, że w przed rozsunięciem tłoka objętość gazu wyraża się wzorem:

gdzie S to pole podstawy figury, w której znajduje się gaz, a h jest szukaną wysokością.

Po rozsunięciu tłoka, pole podstawy się oczywiście nie zmieni, ale do wysokości h musimy dodać drugą H by otrzymać całkowitą wysokość tłoka po rozsunięciu, więc:

Wracamy teraz do równania stanu gazu.

I podstawiamy objętości:

Mnożymy "na krzyż":

W ten sposób widzimy, że nieznane pole podstawy możemy skrócić i dochodzimy do postaci:

W tym momencie możemy podstawić dane temperatury.

H mamy dane, więc:

Warto zauważyć, że w większości zadań należy dokonać zamiany jednostek (cm na m) na samym początku rozwiązywaniu zadania. W tym wypadku jednak nie było to konieczne.

Odpowiedź: Przed podgrzaniem wysokość słupa gazu wynosiła 6 cm.

Przemiany gazu doskonałego, zasady termodynamiki - Zadanie 5

Treść: Pocisk o masie m=30g mając prędkość v=144km/h wbił się w drzewo. Ile wynosiło ciepło W wydzielone przy hamowaniu?

Dane: m = 30 g v = 144 km/h

Szukane: Q = ?

Wzory:

Rozwiązanie:
Przed rozwiązaniem zadania zauważ, że dane z jego treści (masa i prędkość) są podane w jednostkach nie należących do układu SI. Dlatego najpierw je przeliczymy:

Pocisk przed wbiciem się w drzewo posiada pewną prędkość, a co się z tym wiąże energię kinetyczną. Po wbiciu się w drzewo i wyhamowaniu nie ma już żadnej energii. Co się więc z nią stało? Cała została zamieniona na ciepło, które to właśnie musimy znaleźć. Zapisując to wzorem matematycznym:

Policzmy w takim razie energię kinetyczną pocisku:

Sprawdźmy jednostkę

:

Wszystko się zgadza, zatem przy hamowaniu pocisku wydzieliło się ciepło równe 24 dżule.

Przemiany gazu doskonałego, zasady termodynamiki - Zadanie 6

Treść: Młot parowy o masie m=4 ton uderza z prędkością v=3m/s w żelazną płytę o masie mp=6kg i cieple właściwym cw=500J/kgK. O ile ogrzeje się podczas jednego uderzenia ta płyta, jeżeli 80% energii wydzielonej przy uderzaniu młota zostaje zużyte na ogrzewanie płyty?

Dane: m = 4 t = 4000 kg v = 3 m/s mp = 6 kg cw = 500 J/kgK

Szukane: ΔT = ?

Wzory:

Rozwiązanie:
Młot, uderzając w płytę, posiada pewną prędkość, a co się z tym wiąże energię kinetyczną. Przekazuje 80% swojej energii płycie. Co się stało z pozostałymi 20%? Została zamieniona na np. pokonanie oporu powietrza czy na ogrzanie się młota, lecz to nie jest obiektem naszego zainteresowania w tym zadaniu :).
Energia przekazana płycie zostaje zamieniona na ogrzanie płyty (ponieważ zakładamy, że płyta pozostała w spoczynku):

Podczas ogrzewania (dostarczania energii) bez zmiany stanu skupienia ciała dochodzi do wzrostu jego temperatury zgodnie ze wzorem:

Rozwiązując równanie ze względu na ΔT otrzymujemy:

Podstawiając dane mamy:

Sprawdźmy na koniec jednostkę:

Ostatecznie wyliczyliśmy, że płyta ogrzeje się o 4.8 (stopni) Kelwina.

Przemiany gazu doskonałego, zasady termodynamiki - Zadanie 7

Treść: Ciału o masie m=2kg nadano prędkość v=36km/h. Siła tarcia zmniejsza prędkość ciała o połowę na drodze s=100m. Ile wynosi przyrost energii wewnętrznej układu?

Dane: m = 2 kg v = 36 km/h = 36000m/3600s = 10 m/s s = 100 m

Szukane: ΔU = ?

Wzory:

Rozwiązanie:
Ciału nadano pewną prędkość, więc tym samym posiada energię kinetyczną. Siła tarcia wykonując pewną pracę W_T zmniejsza o połowę prędkość ciała. Praca ta w formie energii cieplnej zostaje przekazana na zwiększenie energii wewnętrznej układu.

Energia kinetyczna początkowa ciała:

Energia kinetyczna ciała po przebyciu 100 m:

Praca sił tarcia:

Praca sił tarcia zostaje zużyta na zwiększenie energii wewnętrznej ciała, więc:

Wykazaliśmy zatem, że przyrost energii wewnętrznej układu wynosi 75 dżuli.

Przemiany gazu doskonałego, zasady termodynamiki - Zadanie 8

Treść: Wodę o masie m=2.5kg i cieple właściwym cw=4000J/kgK ogrzano przy pomocy palnika gazowego od t1=10^oC do t2=100^oC w ciągu t=10 minut. Jaka była moc palnika, jeżeli woda otrzymała całe wydzielone ciepło?

Dane: m = 2.5 kg cw = 4000 J/kgK t1 = 10 ^oC t2 = 100 ^oC t = 10 min = 600 s

Szukane: P = ?

Wzory:

Aby zadanie policzyć prawidłowo, na samym początku musimy poprzekształcać jednostki w danych zadaniach na jednostki z układu SI. Częściowo uczyniłem to przy podawaniu danych powyżej, tu przeliczę jednak temperatury, które trzeba przeliczyć ze stopni Celsjusza na Kelwiny zgodnie ze wzorem

gdzie:
t - temperatura w stopniach Celsjusza (nie mylić z czasem ;-) ),
T - temperatura w Kelwinach.
Tak więc:

Woda by się ogrzać od T₁ do T₂ pobiera z palnika ciepło Q zgodnie ze wzorem:

Palnik dostarcza ciepło wodzie w postaci energii W, a jego moc wyraża się wzorem:

a stąd:

Ciepło oddane przez palnik musi być równe ciepłu pobranemu przez wodę co możemy zapisać jako:

Zatem zapisujemy powyższe w postaci wzorów i wyliczamy szukaną moc:

Podstawiając dane mamy:

Sprawdźmy jeszcze jednostkę:

Wszystko się zgadza, tak więc ostateczną odpowiedzią na pytanie o moc palnika jest 1500 watów.

Przemiany gazu doskonałego, zasady termodynamiki - Zadanie 9

Treść: Jak zmieni się energia wewnętrzna gazu przy przejściu ze stanu 1 do stanu 2 (patrz rysunek)?

Dane: wykres

Szukane: ΔU = ?

Wzory:

Rysunek:

Rozwiązanie:
Na rysunku mamy przedstawiony wykres (zależność) ciśnienia od objętości. Zgodnie z równaniem Clapeyrona (gazu doskonałego) dla ciśnienia 2p₁ i objętości V₁ (czyli dla stanu pierwszego), możemy zapisać:

Oczywiście zakładamy, że liczba cząstek n i stała gazowa R są niezmienne (ktoś mógłby mnie upomnieć o jakąś tautologię w sformułowaniu "stała niezmienna", ale weźmy na przykład stałą Hubla, która mimo nazwy "stała" ma zmienne wartości ;) ).

Obliczmy teraz, ile będzie wynosić temperatura w drugim stanie:

Temperatura wzrosła 6-krotnie w porównaniu z pierwszym stanem. Lecz jak to się ma do energii wewnętrznej gazu? A tak, że energia wewnętrzna gazu jest wprost proporcjonalna do ciepła, które mu dostarczono (zakładamy, że nad gazem nie została wykonana żadna praca, ani on sam jej nie wykonał).

Ciepło zaś jest wprost proporcjonalne do temperatury (na podstawie wzoru nr 3), a stąd:

Wykazaliśmy zatem, że energia wewnętrzna przy przejściu ze stanu 1 do 2 wzrosła 6 razy.

Przemiany gazu doskonałego, zasady termodynamiki - Zadanie 10

Treść: Gaz w cylindrze sprężono, działając na tłok siłą F=5N i przesuwając go o d=10cm. W wyniku sprężania energia wewnętrzna gazu nie zmieniła się. Oblicz, jaką ilość ciepła przekazał gaz w czasie sprężania do otoczenia.

Dane: F = 5 N d = 10 cm = 0.1 m U = const.

Szukane: Q = ?

Wzory:

Rozwiązanie:
Aby sprężyć gaz w cylindrze, wykonano nad nim pewną pracę. Energia wewnętrzna gazu nie zmieniła się, więc zgodnie ze wzorem na energię wewnętrzną gazu oddał on do otoczenia taką ilość energii równą co do wartości bezwzględnej pracy jaką nad nim wykonano.

Praca wykonana nad gazem wynosi:

Wzór ten bierze się stąd, ponieważ wektor przesunięcia tłoka jest zgodny z wektorem siły działającej na tłok (więc funkcja cosinus kąta zerowego równa jest 1).

Ciepło oddane do otoczenia przez gaz równa się:

Ciepło oddane do otoczenia w czasie sprężania wynosi 0.5 J.

Przemiany gazu doskonałego, zasady termodynamiki - Zadanie 11

Treść: Gaz doskonały ogrzano dostarczając ciepła Q. Temperatura bezwzględna wzrosła wskutek tego od wartości T do 3T, a ciśnienie od wartości p do 3p. Ile wyniósł przyrost energii wewnętrznej gazu?

Dane: Q ΔT Δp

Szukane: ΔU = ?

Wzory:

Rozwiązanie:
Nim dostarczono ciepło parametry gazu wynosiły p, T. Zgodnie z pierwszym wzorem równanie gazu na początku moglibyśmy zapisać jako :

gdzie:
n - to liczba cząsteczek gazu (w naszym zadaniu niezmienna),
R - stała gazowa,
V - objętość, jaką zajmował ten gaz.

Po dostarczeniu ciepła temperatura wzrosła do 3T, a ciśnienie do 3p. Zapiszmy równanie gazu dla tych warunków:

Jak widzimy objętość gazu nie zmieniła się. Można by zapytać co to ma wspólnego z przyrostem energii wewnętrznej gazu, który mamy określić? Ma, i to bardzo dużo :)

By obliczyć przyrost energii wewnętrznej gazu musimy znać ilość dostarczonego ciepła i pracę jaką wykonano nad gazem, bądź jaką on wykonał. Ilość ciepła mamy podaną w treści zadania, zaś jedyną niewiadomą jest praca. Jeśli wykonalibyśmy pracę nad gazem musielibyśmy poruszyć tłokiem i sprężyć gaz, zaś jak gaz wykonałby pracę, musiałby również "poruszyć" tłokiem. Wykazaliśmy, że objętość gazu przed i po dostarczeniu mu ciepła nie zmieniła się więc tłok cały czas był w jednej pozycji, czyli:

Ostatecznie możemy odpowiedzieć, że przyrost energii wewnętrznej gazu wynosi Q.

Przemiany gazu doskonałego, zasady termodynamiki - Zadanie 12

Treść: N moli idealnego gazu o temperaturze początkowej T poddano przemianom (rysunek). Jaką pracę wykonał gaz przy przejściu ze stanu 1 do 3?

Dane: T N

Szukane: W = ?

Wzory:

Rysunek:

Rozwiązanie:
Zanim do czegokolwiek się zabierzemy, spójrzmy na wykres. Wprawnym okiem można zauważyć, iż przy przejściu gazu ze stanu 1 do stanu 2 nie zmienia się ciśnienie, a przy przejściu ze stanu 2 do stanu 3 stała jest objętość. Oznacza to, że w przypadku stanu 1-2 mamy do czynienia z przemianą izobaryczną, a w stanach 2-3 izochoryczną.

Całkowita praca gazu przy przejściu ze stanu 1 do 3 to suma prac przejścia do poszczególnych stanów:

Zajmijmy się najpierw przemianą izobaryczną. Gaz nie zmienia swojego ciśnienia, zgodnie więc ze wzorem na pracę:

Przyjrzymy się teraz przemianie izochorycznej. Zauważ, że gaz przechodząc ze stanu 2 do stanu 3 nie zmienia swojej objętości - stąd ΔV = 0. Oznacza to, że praca wykonana przez gaz w tej przemianie wynosi zero.

Całkowita praca wynosi więc:

Niby wszystko fajnie, ale jak zapisać nasz wynik w postaci danych, które mamy w zadaniu, czyli N i T? Przydać nam się może do tego równanie Clapeyrona, które to sobie zapiszemy dla stanu 1 naszego gazu (bo dla tego stanu mamy podaną temperaturę T).

gdzie R to stała gazowa (do znalezienia w tablicach).

Porównując dwa powyższe wzory otrzymamy, że:

Gaz przy przejściu ze stanu 1 do stanu 3 wykonał pracę NRT.

Przemiany gazu doskonałego, zasady termodynamiki - Zadanie 13

Treść: Ile ciepła odda do chłodnicy silnik o sprawności η=20%, jeżeli pobierze Q210kJ ciepła?

Dane: η = 20% Q1 = 10 kJ = 10000 J

Szukane: Q2 = ?

Wzory:

Rozwiązanie:
Zadanie typu "podstaw do wzoru" :). Korzystając ze wzoru na sprawność idealnego silnika cieplnego (Carnota) przekształcamy wzór ze względu na ciepło oddane do chłodnicy:

gdzie Q₂ to szukane ciepło oddane do chłodnicy. Ktoś pewnie powie, że wzór można przekształcić w prostszy sposób, my jednak pokazaliśmy ten najbardziej intuicyjny.
Podstawmy dane do naszego wzoru:

Silnik odda 8 kJ do chłodnicy.

Przemiany gazu doskonałego, zasady termodynamiki - Zadanie 14

Treść: W silniku Carnota stosunek temperatury grzejnika do temperatury chłodnicy wynosi 4. Ile wynosi teoretyczna sprawność silnika? Jaką pracę wykona ten silnik, jeżeli pobierze ciepło w ilości Q2=200J?

Dane: Q2 = 200 J T1 / T2 = 4

Szukane: η = ? W = ?

Wzory:

Rozwiązanie:
Korzystając z drugiej postaci wzoru na sprawność silnika cieplnego, obliczmy szukaną sprawność, mając podany stosunek temperatury grzejnika do temperatury chłodnicy:

Znając sprawność i przekształcając trzeci wzór, możemy z łatwością obliczyć pracę jaką wykona ten silnik:

Sprawność tego silnika wynosi 75%, zaś praca, jaką on wykona, wyniesie 150 J.

Przemiany gazu doskonałego, zasady termodynamiki - Zadanie 15

Treść: Silnik Carnota o sprawności η=20% ma różnicę temperatur pomiędzy źródłem ciepła i chłodnicą wynoszącą ΔT=100K. Ile wynosi temperatura chłodnicy tego silnika?

Dane: η = 20% ΔT = 100 K

Szukane: T2 = ?

Wzory:

Rozwiązanie:
Zadanie bardzo proste, gdyż wystarczy odpowiednio po przekształcić pierwszy wzór ze względu na temperaturę chłodnicy. Zabieramy się do pracy! :)

Wiemy, że różnica temperatur wynosi 100 stopni, zapiszmy to...

...i włączmy do naszego wzoru:

Przekształcamy równanie, tak aby otrzymać szukane T₂:

Ponieważ sprawność η mamy daną, podstawiamy ją, by otrzymać ostateczny wynik

:

Temperatura chłodnicy wynosi 400 kelwinów.

22

---