Wydział Fizyki	Poniedziałek 14^00-17^00 17.03.2008			Nr zespołu 11
Nazwisko i Imię	Ocena z przygotowania		Ocena ze sprawozdania	Ocena końcowa
1. Ksiądz Bartłomiej 2. Kieliszczyk Kamil
Prowadzący:  dr M. Urbański		Podpis prowadzącego:

Rezonans elektryczny

Cel ćwiczenia

Celem ćwiczenia jest zbadanie zjawiska rezonansu dla szeregowych układów L C oraz sprawdzenie czy równania teoretyczne opisujące krzywą teoretyczna zgadzaja się z doświadczeniem.

Teoria

Drgania harmoniczne jest to jeden z podstawowych ruchów występujących w przyrodzie. Charakteryzuje się tym że do jego opisu używane są funkcje harmoniczne. Drgania mogą być wymuszone lub zachodzące samoistnie, tłumione lub wzmacniane. Jednym z najbardziej istotnych zjawisk jakie występują przy ruchu drgającym jest zjawisko rezonansu.

Rezonans polega na znacznym wzmocnieniu amplitudy drgań i zachodzi wtedy gdy na układ będziemy działać z identyczna częstotliwością co jego częstotliwość własna

Zjawisko rezonansu występuje zarówno przy drganiach mechanicznych jak i elektrycznych w obwodach L C. rezonans elektryczny polega na wzroście amplitudy napięcia lub prądu w obwodzie rezonansowym pod wpływem prądu zewnętrznego o odpowiedniej częstotliwości.

Jako że doświadczenie polega na zbadaniu zależności doświadczalnych z teoretycznymi poniżej wyprowadzono badane zależności teoretyczne zarówno dla układu mechanicznego jak i elektrycznego.

Układ elektryczny jaki badamy to obwód zbudowany z opornika R, kondensatora o pojemności C oraz cewki o indukcyjności L. z pierwszego prawa Kirchhoffa mamy

Gdzie Q to ładunek zebrany na kondensatorze a I natężenie prądu

Z równania możemy otrzymać

W równaniu tym występuje pierwsza i druga pochodna Q po czasie, rozwiążemy to równanie metoda przewidywań.

Mamy zatem

Stąd

Po podstawieniu do wzoru na natężenie mamy

Stąd

Moduł napięci wynosi zatem

Z powyższych wzorów możemy wyznaczyć różnice

Zjawiskiem przepięcia w obwodzie występuje wówczas gdy opory na kondensatorze i cewce są sobie równe. Powoduje to gwałtowny skot napięcia tak jakby opór nie istniał.

Zjawisko to zachodzi wówczas gdy

Stąd częstość rezonansowa dana jest wzorem

Dobroć układu określa nam ile razy amplituda drgań wymuszonych jest większa przy rezonansie niż z dla od częstotliwości rezonansowej.

Podstawiając do wzoru odpowiednie wartości dla ładunku i amplitudy mamy

gdzie
jest współczynnikiem tłumienia

Dla współczynników tłumienia znacznie mniejszych od wartości granicznych mamy

Natomiast dobroć z definicji możemy również określić jako

W przypadku małego tłumienia dobroć układu jest równa odwrotności względnej szerokości rezonansu, szerokości połówkowej

Dobroć można również wyznaczyć doświadczalnie mierząc napięcie prądu generatora i cewki a następnie korzystając ze wzoru

Dobroć możemy również wyznaczyć z logarytmicznego dekrementu tłumienia

Gdzie
a

Po podstawieniu
mamy

Schemat doświadczenia, wyniki i opracowanie pomiarów

Układ na jakim dokonywaliśmy pomiarów przedstawiony został na schemacie

Na początku spisano i zmierzono parametry części obwodu oraz narzędzi pomiarowych.

Rezystancja opornika R 10 ±1 Ω

Pojemność kondensatora C 14300 ±715 pF

Cewka L 0,124 ± 0,003 H

Rezystancja cewki R_L 239 ±1 Ω

Rezystancja generatora 50 ±1 Ω

Napięcie pracy generatora 1,54 ±0,01 V

Dane pomiarowe zebrane w eksperymencie przedstawione zostały w poniższej tabeli

U [mV]	f [kHz]	T [cm]	t [cm]	Przesunięcie fazowe [cm]	ΔU [mV]	Δf [kHz]	ΔT=Δt [cm]	Δ [cm]
5	2,39	3,6	0,8	-1,4	0,6	0,01	0,2	0,1
10	2,98	5,6	1,2	-1,3	0,7	0,01	0,2	0,1
15	3,23	5,2	1,0	-1,2	0,8	0,01	0,2	0,1
20	3,37	5,0	0,8	-1,0	0,8	0,01	0,2	0,1
25	3,46	4,8	0,6	-0,8	0,9	0,01	0,2	0,1
30	3,53	4,8	0,6	-0,8	1	0,01	0,2	0,1
35	3,58	4,6	0,4	-0,5	1,1	0,01	0,2	0,1
40	3,80	4,4	0,4	-0,6	1,1	0,01	0,2	0,1
45	3,85	4,4	0,4	-0,6	1,2	0,01	0,2	0,1
49	3,76	4,6	0,0	0,0	1,3	0,01	0,2	0,1
45	3,89	4,2	0,4	0,6	1,2	0,01	0,2	0,1
40	3,90	4,2	0,4	0,6	1,1	0,01	0,2	0,1
35	3,96	4,2	0,6	0,9	1,1	0,01	0,2	0,1
30	4,02	4,4	0,6	0,9	1	0,01	0,2	0,1
25	4,18	4,4	0,6	0,9	0,9	0,01	0,2	0,1
20	4,22	4,2	0,8	1,2	0,8	0,01	0,2	0,1
15	4,40	4,0	0,8	1,3	0,8	0,01	0,2	0,1
10	4,75	3,8	0,8	1,3	0,7	0,01	0,2	0,1
5	5,88	3,0	0,8	1,7	0,6	0,01	0,2	0,1

Na podstawie danych pomiarowych narysowano wykres zależności napięcia od częstotliwości prądu płynącego przez układ. Na wykresie naniesiono również krzywą teoretyczna pochodzącą z części teoretycznej.

Wykres ten zamieszczono na ostatniej stronie sprawozdania.

Kolejnym wykresem jaki sporządzono na podstawie danych pomiarowych jest zależność przesunięcia fazowego od częstotliwości prądu płynącego przez obwód. Wykres ten przedstawiono również na końcu pracy.

Kolejnymi pomiarami jakie zarejestrowano były pomiary napięcia w zależności od numeru kolejnego drgania obwodu.

Nr drgania	U [V]	Δ U [V]	ln U
1	3,8	0,2	1,3
2	2,7	0,2	1,0
3	2	0,2	0,7
4	1,4	0,2	0,3
5	1	0,2	0,0
6	0,76	0,2	-0,3
7	0,52	0,2	-0,7
8	0,38	0,2	-1,0
9	0,2	0,2	-1,6
10	0,14	0,2	-2,0
11	0,1	0,2	-2,3
12	0,08	0,2	-2,5

Wiedząc że
po zlogrytmowaniu stronami otrzymujemy

Na tej podstawie możemy przygotować wykres jest zależności ln z U od numeru kolejnego drgania a następnie korzystając z metody najmniejszych kwadratów wykonać dopasowanie prostej do wykresu.

Gdzie współczynnik a to współczynnik tłumienia
a

Wiedząc ze T w badanym układzie ma postać

Stąd

Na tej podstawie wzór na dobroć na podstawie logarytmicznego dekrementu tłumienia ma postać

Dobroć wyliczona teoretycznie

Na podstawie definicji szerokości połówkowej mamy
, po sczytaniu z wykresu częstotliwości odpowiadającej temu napięciu mamy

Dobroć wyliczona z szerokości połówkowej

Dobroć wyliczona z przepięcia

Wnioski

Z czego liczona	Teoretycznie	Z szerokości połówkowej	Z dekrementu tłumienia	Z przepięcia
Dobroć	9,9±0,5	9,89±0,06	8,68±0,04	32±1

Dobroć wyliczona z przepięcia w znacznym stopniu odbiega dobroci wyznaczonej pozostałymi metodami, wynika to prawdopodobnie z tego iż źle zmierzyliśmy napięcie pracy generatora.

Różne wartości dobroci jakie otrzymaliśmy wynikają również jak sądzimy z niedoskonałości naszego układu pomiarowego.

Kształt wykresu zależności napięcia w obwodzie od częstotliwości odbiega w dość znaczący sposób od krzywej teoretycznej. Głównym tego powodem jest jak sądzimy niedokładność w układzie jaki zbudowaliśmy. Podczas pomiarów wystarczył niewielki ruch przewodami aby mierzone wartości diametralnie się zmieniły.

Trend teoretyczny do wartości doświadczalnych opisuje równanie

Równanie teoretyczne opisuje wzór

10

1

---