Klasyczna definicja prawdopodobieństwa - Jeżeli Ω jest skończonym zbiorem zdarzeń elementarnych ω, jednakowo prawdopodobnych i A c Ω, to liczbę:

$$P\left( A \right) = \frac{\overset{}{A}}{\overset{}{\mathrm{\Omega}}}$$

nazywamy prawdopodobieństwem zdarzenia A.

Gdzie:

$\overset{}{A}$ - moc zbioru A

$\overset{}{\mathrm{\Omega}}$ - moc zbioru Ω

Statystyczna definicja prawdopodobieństwa – Podczas przeprowadzeniu n doświadczeń z m wynikami sprzyjającymi zdarzeniu A to prawdopodobieństwo zdarzenia sprzyjającego wynosi :

$$P\left( A \right) = \operatorname{}\frac{m}{n}$$

Wzór i twierdzenie Bayesa - Tw. Bayesa: Jeżeli zdarzenia B₁, B₂, B_n wykluczają się parami i mają prawdopodobieństwo dodatnie, to dla każdego zdarzenia A zawartego w sumie zdarzeń B₁ U B₂ U B_n możemy wykorzystać wzór:

$$P(B_{k}|A)\frac{P\left( A \middle| B_{k} \right)*P(B_{k})}{\sum_{i = 1}^{n}{P\left( A \middle| B_{i} \right)*P\left( B_{i} \right)}}$$

Wzór i twierdzenie Bernoulliego - W „n” niezależnych doświadczeniach „k” wyników mających jednakowe prawdopodobieństwo może być tyle, ile można uzyskać różnych ustawień „k” zdarzeń A na „n” miejscach, czyli liczba ich jest równa liczbie kombinacji C_n^k.

$$\text{Pn}\left( k \right) = \ \left( \frac{n}{k} \right)*\ p^{k}*{(1 - p)}^{n - k}$$

Lokalne twierdzenie Laplace’a: - Używane jest do obliczania prawdopodobieństwa wystąpienia zdarzenia „k” razy w „n” niezależnych próbach. Stosuje się zamiennie z Tw. Bernoulliego gdy występuje duże „n” i „k”

$$P_{n}\left( k \right)\sim\frac{1}{\sqrt{\text{npq}}}*\varphi(x)$$

Gdzie:

φ(x)- funkcja gausa (do odczytania z tabeli)

$$x = \frac{k - np}{\sqrt{\text{npq}}}$$

Integralne twierdzenie laplace’a – jeżeli stałe prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia A w każdym z n niezależnych doświadczeń jest równe p i 0<p<1, to prawdopodobieństwo tego, że liczka k wystąpień zdarzenia A w ciągu n niezależnych doświadczeń należy do przedziału (α≤k≤β), spełnia warunek:

$$\operatorname{}{\left( \alpha \leq \frac{k - np}{\sqrt{\text{npq}}} \leq \beta \right) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}*\int_{a}^{b}{e^{- \frac{1}{2}x^{2}/2}\text{dx}}}$$

$$\operatorname{\Phi(x)}{= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}*\int_{0}^{x}{e^{- z^{2}/2}\text{dz}}}$$

a = $\frac{\alpha - np}{\sqrt{\text{npq}}}$ b = $\frac{\beta - np}{\sqrt{\text{npq}}}$

P(α≤k≤β) = 𝜱(b) – 𝜱(a)

Estymacja - to dział wnioskowania statystycznego będący zbiorem metod pozwalających na uogólnianie wyników badania próby losowej na nieznaną postać i parametry rozkładu zmiennej losowej całej populacji oraz szacowanie błędów wynikających z tego uogólnienia.

Estymacja przedziałowa – wyznaczenie przedziału zwanego przedziałem ufności, który z określonym prawdopodobieństwem p, czyli z określonym poziomem ufności równym 1-α będzie zawierał nieznaną wartość szacowanego parametru θ:

$$\Pr\left\{ g_{1}\left( \hat{\theta} \right) < \theta < g_{2}\left( \hat{\theta} \right) \right\} = 1 - \alpha\ $$

Przedział ufności – wyznaczony na podstawie próby losowej przedział, który z określonym prawdopodobieństwem pokrywa nieznaną wartość szacowanego parametru.

Poziom ufności – prawdopodobieństwo z jakim chcemy znaleźć granicę przedziału obejmującego wartość szacowanego parametru.

P=1-α

Poziom istotności – α – prawdopodobieństwo znalezienia się wartości szacowanego parametru poza przedziałem ufności.

Rozkład normalny – jeden z najważniejszych rozkładów prawdopodobieństwa. Odgrywa ważną rolę w statystycznym opisie zagadnień przyrodniczych, przemysłowych, medycznych, społecznych

Rozkład jednostajny ciągły - to ciągły rozkład prawdopodobieństwa, dla którego gęstość prawdopodobieństwa w przedziale od a do b jest stała i różna od zera, a poza nim równa zeru.

Rozkład jednostajny dyskretny - dyskretny rozkład prawdopodobieństwa w którym jednakowe prawdopodobieństwo przypisane jest do różnych liczb rzeczywistych , a inne liczby mają przypisane prawdopodobieństwo zero

ZADANIA:

Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że przy równoczesnym rzucie dwoma monetami 10 razy, 5 razy zostaną wyrzucone 2 orły:

n = 10; k = 5; prawdop. Orła = $\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}$ ale jest 2 orły w zadaniu → p = $\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\mathbf{*}\mathbf{\ }\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\mathbf{= \ }\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{4}}$; q = $\frac{\mathbf{3}}{\mathbf{4}}$

$$\mathbf{\text{Pn}}\left( \mathbf{k} \right)\mathbf{= \ }\left( \frac{\mathbf{n}}{\mathbf{k}} \right)\mathbf{*}\mathbf{\ }\mathbf{p}^{\mathbf{k}}\mathbf{*}{\mathbf{(}\mathbf{1 - p}\mathbf{)}}^{\mathbf{n - k}}$$

$$\mathbf{P}\mathbf{10}\left( \mathbf{5} \right)\mathbf{= \ }\left( \frac{\mathbf{10}}{\mathbf{5}} \right)\mathbf{*}\mathbf{\ }{\mathbf{\ }\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{4}}}^{\mathbf{5}}\mathbf{*}{\mathbf{(}\mathbf{1 -}\mathbf{\ }\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{4}}\mathbf{)}}^{\mathbf{10 - 5}}$$

$$\mathbf{P}\mathbf{10}\left( \mathbf{5} \right)\mathbf{= \ }{\mathbf{\ }\frac{\mathbf{10}\mathbf{!}}{\mathbf{5}\mathbf{!}\mathbf{*}\left( \mathbf{10 - 5} \right)\mathbf{!}}\mathbf{*}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{4}}}^{\mathbf{5}}\mathbf{*}\frac{\mathbf{3}}{\mathbf{4}}^{\mathbf{5}}$$

$$\mathbf{P}\mathbf{10}\left( \mathbf{5} \right)\mathbf{= \ }{\mathbf{\ }\frac{\mathbf{6*7*8*9*10}}{\mathbf{2*3*4*5}}\mathbf{*}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{4}}}^{\mathbf{5}}\mathbf{*}\frac{\mathbf{3}}{\mathbf{4}}^{\mathbf{5}}$$

P10(5)= 0,058

Oblicz prawdopodobieństwo tego, że na 5 rzutów kostką co najmniej 4 razy wypadnie liczba oczek nie większa niż 3.

P(A) = p = $\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{6}}$ + $\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{6}}$ + $\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{6}}$ = $\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}$

P(B) = $\mathbf{P}_{\mathbf{5}\mathbf{(}\mathbf{4}\mathbf{)}}\mathbf{+ \ }\mathbf{P}_{\mathbf{5}\left( \mathbf{5} \right)}\mathbf{= \ }\left( \frac{\mathbf{5}}{\mathbf{4}} \right)\mathbf{p}^{\mathbf{4}}\mathbf{q}\mathbf{+}\frac{\mathbf{5}}{\mathbf{5}}\mathbf{p}^{\mathbf{5}}\mathbf{=}\mathbf{5}\left( \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}} \right)^{\mathbf{4}}\left( \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}} \right)\mathbf{+}\left( \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}} \right)^{\mathbf{5}}\mathbf{= \ }\frac{\mathbf{3}}{\mathbf{16}}$

Obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję ciągłej zmiennej losowej X posiadającej równomierną gęstość prawdopodobieństwa w przedziale (a,b).

$$\mathbf{E}\left( \mathbf{X} \right)\mathbf{=}\int_{\mathbf{a}}^{\mathbf{b}}{\mathbf{\text{xp}}\left( \mathbf{x} \right)\mathbf{\text{dx}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{b - a}}\int_{\mathbf{a}}^{\mathbf{b}}\mathbf{\text{xdx}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{b - a}}\mathbf{*}\left. \ {\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\mathbf{x}}^{\mathbf{2}} \right|_{\mathbf{a}}^{\mathbf{b}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{b}^{\mathbf{2}}\mathbf{-}\mathbf{a}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{2}\mathbf{(}\mathbf{b - a}\mathbf{)}}\mathbf{= \ }\frac{\left( \mathbf{b}\mathbf{+}\mathbf{a} \right)\mathbf{(}\mathbf{b - a}\mathbf{)}}{\mathbf{2}\mathbf{(}\mathbf{b - a}\mathbf{)}}\mathbf{= \ }\frac{\mathbf{a}\mathbf{+}\mathbf{b}}{\mathbf{2}}$$

$$\mathbf{\text{Var}}\left( \mathbf{X} \right)\mathbf{=}\int_{\mathbf{a}}^{\mathbf{b}}{\mathbf{x}^{\mathbf{2}}\mathbf{p}\left( \mathbf{x} \right)\mathbf{dx -}\mathbf{\lbrack}{\mathbf{E}\mathbf{(}\mathbf{X}\mathbf{)\rbrack}}^{\mathbf{2}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{b - a}}\int_{\mathbf{a}}^{\mathbf{b}}{\mathbf{x}^{\mathbf{2}}\mathbf{dx -}}}{\mathbf{\ }\left( \frac{\mathbf{a}\mathbf{+}\mathbf{b}}{\mathbf{2}} \right)}^{\mathbf{2}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{b - a}}\mathbf{*}\left. \ {\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}\mathbf{x}}^{\mathbf{3}} \right|_{\mathbf{a}}^{\mathbf{b}}\mathbf{-}\frac{{\mathbf{(}\mathbf{a}\mathbf{+}\mathbf{b}\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{4}}\mathbf{\ =}\frac{\mathbf{b}^{\mathbf{3}}\mathbf{-}\mathbf{a}^{\mathbf{3}}}{\mathbf{3}\mathbf{(}\mathbf{b - a}\mathbf{)}}\mathbf{-}\frac{{\mathbf{(}\mathbf{a}\mathbf{+}\mathbf{b}\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{4}}\mathbf{= \ \ }\frac{{\mathbf{(}\mathbf{b - a}\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{12}}$$

Znaleźć wartość oczekiwaną, wariancję i odchylenie standardowe zmiennej losowej X, która jest zadana wartościami szeregu rozkładu:

xi	1	2	5
Pxi	0,3	0,5	0,2

Wartość oczekiwana:

E(X) = 1*0,3 + 2*0,5 + 5*0,2 = 2,3

Wartości kwadratu odchylenia:

[x₁ – E(X)]² = (1-2,3)² = 1,69

[x₂ – E(X)]² = (2-2,3)² = 0,09

[x₃ – E(X)]² = (5-2,3)² = 7,29

Szereg rozkładu kwadratu odchylenia:

[xi – E(X)]^2	1,69	0,09	7,29
P xi	0,3	0,5	0,2

Wariancja:

Var(X) = σ_x² = 1,69*0,3 + 0,09*0,5 + 7,29*0,2 = 2,01

Odpowiedź: E(X) = 2,3; σ_x² = 2,01; σ_x = 1,41