Zbiór liczb naturalnych N
N = {0, 1, 2, 3, ...}
Liczby pierwsze
Tak określamy każdą liczbę naturalną n większą od 1, której jedynymi dzielnikami są 1 i n.
Liczby złożone
Każdą liczbę naturalną n większą od 1 nazywamy złożoną, jeśli nie jest pierwsza.
Największy wspólny dzielnik
Największy wspólny dzielnik liczb a i b - NWD(a,b) - to największa liczba naturalna przez którą dzieli się bez reszty zarówno a jak i b.
Najmniejsza wspólna wielokrotność
Najmniejszą wspólną wielokrotnością dodatnich liczb naturalnych a i b - NWW(a,b) - nazywamy najmniejszą liczbę naturalna przez którą dzieli się bez reszty zarówno a jak i b.
Liczby względnie pierwsze
a i b są wzglednie pierwsze wtedy i tylko wtedy, gdy NWD(a,b)=1
Zbiór liczb całkowitych C
C = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
Podzielność liczb całkowitych
Liczba całkowita a jest podzielna przez liczbę całkowitą b wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka liczba całkowita k, że a=k*b
Cechy podzielności liczb całkowitych
| Liczba | Cecha |
|---|---|
| 2 | cyfrą jedności jest 0,2,4,6 lub 8 |
| 3 | suma cyfr liczby jest podzielna przez 3 |
| 4 | liczba utworzona z ostatnich dwóch cyfr podzielna przez 4 |
| 5 | cyfrą jedności jest 0 lub 5 |
| 6 | liczba podzielna przez 2 i 3 |
| 8 | liczba utworzona z trzech ostatnich cyfr podzielna przez 8 |
| 9 | suma cyfr podzielna przez 9 |
Liczbę całkowitą nazywamy parzystą wtedy i tylko wtedy, gdy jest podzielna przez 2; w przeciwnym wypadku liczba ta jest nieparzysta.
Liczba całkowita a przy dzieleniu przez liczbę całkowitą różną od zera b daje resztę r wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka liczba całkowita k, że:
a = k*b + r, gdzie 0 r < |b|
Zbiór liczb wymiernych W
Liczbę nazywamy wymierną wtedy i tylko wtedy, gdy można ją przedstawić w postaci ułamka zwykłego p/q, gdzie p jest liczbą całkowitą, a q liczbą całkowitą różną od zera.
Każdą liczbę wymierną można przedstawić w postaci ułamka dziesiętnego skończonego lub rozwinięcia dziesiętnego nieskończonego okresowego.
Zbiór liczb niewymiernych NW
Liczbę nazywamy niewymierną wtedy i tylko wtedy, gdy nie jest wymierna.
Każda liczba niewymierna posiada rozwinięcie dziesiętne nieskończone i nieokresowe.
Zbiór liczb rzeczywistych
Liczbą rzeczywistą nazywamy każdą liczbę wymierną lub niewymierną.
Własności działań w zbiorze liczb rzeczywistych
| a+b = b+a | przemienność dodawania |
|---|---|
| a*b = b*a | przemienność mnożenia |
| (a+b)+c = a+(b+c) | łączność dodawania |
| (a*b)*c = a*(b*c) | łączność mnożenia |
| a*(b+c) = a*b+a*c | rozdzielność mnożenia względem dodawania |
Przedziały liczbowe
Wartość bezwzględna liczby
Wartością bezwględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba, liczby ujemnej liczba do niej przeciwna:
Własności wartości bezwzględnej liczby
Dla dowolnych liczby x,y prawdziwe są zależności:
1. |x|0
2. |-x| = |x|
3. |x*y| = |x| * |y|
4. |x/y| = |x| / |y|
5. |x| = |y| wtedy i tylko wtedy, gdy x=y lub x=-y
6.
7. |x+y| |x|+|y| (nierówność trójkąta)
Interpretacja geometryczna wartości bezwzględnej liczby (a>0)