Politechnika Wrocławska Wydział Budownictwa Lądowego i Wodnego Zakład Budownictwa Ogólnego

ĆWICZENIE PROJEKTOWE Z PRZEDMIOTU

BUDOWNICTWO OGÓLNE

Obliczenia statyczne elementów więźby dachowej.

Wykonał: Mateusz Monczak

WIĘŹBA DACHOWA ROZPOROWA

Dane do projektowania:

- konstrukcja dachu: jętkowa z jedna podporą,

- rozstaw krokwi: 9,75m

- nachylenie połaci dachowych: 35°

- pokrycie dachu: dachówka ceramiczna (rozstaw łat – 0,34m)

- lokalizacja budynku: Elbląg

- obciążenie śniegiem: strefa III

- obciążenie wiatrem: strefa I

Więźba wykonana będzie z drewna sosnowego. δ_sosny=5,5kN/m³

Obliczenie łaty.

Zakładam łatę o wymiarach 45x65mm (pole przekroju: A=0,0029m) z drewna sosnowego C22.

Tabela przedstawia wartości obciążeń stałych:

Obciążenie	Wartość charakterystyczna [kN/m]	Współczynnik obciążenia γf[-]	Wartość obliczeniowa [kN/m]
Ciężar własny łaty 0,0029 · 5,5	0,0160	1,1	0,0176
Ciężar dachówki (wg producenta) 0,034 · 14 · 0,34	0,162	1,2	0,194
Razem	0,178		0,212

- obciążenie charakterystyczne q_k = 0,178 [kN/m]

- obciążenie obliczeniowe q = 0,212 [kN/m]

Obciążenia zmienne:

Obciążenie śniegiem:

Elbląg leży w 3 strefie obciążenia śniegiem. Kąt nachylenia połaci dachowych α = 35°.

Przyjęto γ_f = 1,4

- obciążenie charakterystyczne śniegiem Q_k = 1,1 [kN/m²]

- współczynnik kształtu dachu C = Q_k · C = $0,8 \bullet \left( \frac{60 - 35}{30} \right)$ = 0,67

- obciążenie charakterystyczne dachu S_k = 1,1 · 0,67 = 0,737 [kN/m²]

- obciążenie obliczeniowe dachu S = S_k · γ_f = 0,737 · 1,4 = 1,0318 [kN/m²]

Obciążenie wiatrem:

p_k = q_k · C_e · C · β

p = p_k · γ_f ; γ_f = 1,5

I strefa:

- charakterystyczne ciśnienie prędkości q_k = 0,25 kN/m²

- współczynnik ekspozycji C_e = 0,8 (teren B, wysokość < 20m)

- współczynnik aerodynamiczny C = 0,4

-współczynnik działania porywów wiatru β= 1,8

-charakterystyczne obciążenie wiatrem p_k = 0,25 kN/m² · 0,8 · 0,4 · 1,8 = 0,144 [kN/m²]

-obliczeniowe obciążenie wiatrem p = 0,144 kN/m² · 1,5 = 0,216 [kN/m²]

Obciążenie od człowieka z narzędziami:

P_k = 1,0 kN

P = P_k · γ_f = 1,0 kN · 1,2 = 1,2 [kN]

Obciążenia prostopadłe I równoległe:

Prostopadłe: Równoległe:

g = g · cosα g = g · sinα

S = S · cos²α S = S · sinα · cosα

p = p · ψ = p · 0,9 p = 0

(ψ – współczynnik jednoczesności obciążeń)

P = P · cosα P = P · sinα

α = 35°; sinα =0,57 cosα = 0,82

Tabela obciążeń na łatę:

Obciążenie	Wartość charakterystyczna [kN/m]	Wartość obliczeniowa [kN/m]	Wartości składowe prostopadłe	Wartości składowe Równoległe
			Char. [kN/m]	Obicz. [kN/m]
Ciężar własny + pokrycie	0,178	0,212	0,144	0,174
Śnieg	0,737	1,032	0,500	0,694
Wiatr	0,144	0,216	0,130	0,194
∑	1,059	1,46	0,774	1,062
Obciążęnie skupione [kN]	1,00	1,20	0,984	0,984

Obciążenia dzielimy na dwa warianty:

Wariant I: Ciężar własny i pokrycia oraz siła skupiona.

1. Siły prostopadłe

1. Siły równoległe

Wariant II: Ciężar własny, ciężar śniegu oraz ciężar od wiatru.

1. Siły prostopadłe

1. Siły równoległe

Sprawdzenie stanu granicznego nośności.

Obliczenie wskaźników wytrzymałości łaty 45x60mm:

W_y = $\frac{0,045\ \bullet {0,065}^{2}}{6} = 31,69\ \bullet 10^{- 6}\ m^{3}$

W_z = $\frac{0,065\ \bullet {0,045}^{2}}{6} = 21,94\ \bullet 10^{- 6}\ m^{3}$

Naprężenia obliczeniowe od zginania w stosunku do osi głównych:

$$\sigma_{m,y,d} = \ \frac{M_{y}}{W_{y}} = \ \frac{0,155}{31,69 \bullet \ 10^{- 6}} = 4891,13\ kPa = 4,89\ MPa$$

$$\sigma_{m,z,d} = \ \frac{M_{z}}{W_{z}} = \ \frac{0,133}{21,94 \bullet \ 10^{- 6}} = 6061,98\ kPa = 6,06\ MPa$$

Drewno klasy C22, f_m, y, k = 22, 0 MPa

Wilgotność 12 – 20 %, czyli 2-ga klasa użytkowania

Decydujące znaczenia ma obciążenie chwilowe czyli k_mod = 1,1

Współczynnik bezpieczeństwa – 1,3

$$f_{m,y,d} = \ f_{m,z,d} = \ \frac{k_{\text{mod}}\ \bullet \ f_{m,y,k}}{\gamma_{f}} = \ \frac{1,1\ \bullet 22,0}{1,3} = 18,61\ MPa$$

Przekrój ma wysokość mniejszą niż 150mm. Stosuję współczynnik k_h.

$$k_{h} = \ \left( \frac{150}{63} \right)^{0,2} = 1,19\ < 1,3$$

f′_m, y, d =  f′_m, y, d  •  k_h = 18, 61  • 1, 19 = 22, 15 MPa

Sprawdzenie stanu granicznego nośności dla przekrojów prostokątnych – k_m = 0,7

$$k_{m}\ \bullet \ \frac{\sigma_{m,y,d}}{{f'}_{m,y,d}} + \ \frac{\sigma_{m,z,d}}{{f'}_{m,z,d}} = 0,7\ \bullet \ \frac{4,89}{22,15} + \ \frac{6,06}{22,15} = 0,15 + 0,27 = 0,42\ \leq 1$$

$$\ \frac{\sigma_{m,y,d}}{{f'}_{m,y,d}} + \ k_{m}\ \bullet \ \frac{\sigma_{m,z,d}}{{f'}_{m,z,d}} = \ \frac{4,89}{22,15} + \ 0,7\ \bullet \ \frac{6,06}{22,15} = 0,22 + 0,19 = 0,41\ \leq 1$$

Warunek stanu granicznego nośności dla łaty został spełniony.

Sprawdzenie stanu granicznego użytkowalności:

$U_{net,fin} = \ \frac{l_{\text{eff}}}{150} = \ \frac{730}{150}$ = 4,87 mm

Wykres ugięcia od składowych prostopadłych od obciążenia:

1. Siłą skupioną

2. Ciężarem własnym

Wykres ugięcia od składowych równoległych od obciążenia:

1. Siłą skupioną

2. Ciężarem własnym

Programem komputerowym obliczono wartości poszczególnych ugięć, które przedstawiono w tabeli:

Obciążenie	kdef	Składowe prostopadłe	Składowe równoległe
		Uinst,y	Ufin,y
Ciężar własny Kl. obc. -stałe	0,8	0,08	0,1
Siła skupiona Kl. obc. krótkotrwałe	0	1,6	1,6
Ugięcie sumaryczne Ufin,y Ufin,z	1,7	1,2
Ugięcie całkowite $U_{\text{fin}} = \ \sqrt{{U^{2}}_{fin,y} + \ {U^{2}}_{fin,z}}$	2,08

U_fin = 2, 08  < U_net, fin = 4, 87

Warunek stanu granicznego użytkowalności dla łaty został spełniony.

Wariant II: Obciążenie ciężarem własnym i pokryciem oraz śniegiem i wiatrem

Wartości momentów zginających w wariancie II są mniejsze niż w wariancie I. Ponadto klasa trwania obciążenia jest inna i wartość k_mod wynosi 0,6 więc jest dużo mniejszy.

Nie ma potrzeby sprawdzać stanów granicznych dla wariantów II.

Obliczenie krokwi.

Przyjęto, że wiązar dachowy będzie wykonany z bali o grubości 70 mm. Przyjęto ocieplenie połaci dachowych wełną mineralną o grubości 150mm oraz szczelinę nad wełną 25mm. Potrzebna wysokość bala dla krokwi i jętki wynosi 175 mm.

Obciążenia:

Na jętkach zostanie wykonany strop ocieplony, a przestrzeń nad jętkami będzie dostępna przez wyłaz rewizyjny. Obciążenie zmienne technologiczne (charakterystyczne) należy przyjąć o wartości 0,5 kN/m².

Schemat statyczny wiązara jętkowego do obliczeń:

Węzły wiązara jętkowego:

Nr	X [m]	Y [m]
1	0,000	0,000
2	2,584	1,810
3	4,877	3,415
4	7,170	1,810
5	9,754	0,000
6	4,877	1,810

Pręty wiązara jętkowego:

Typy prętów:

00 – sztywno-sztywny

01 – sztywno-przegubowy

10 – przegubowo-sztywny

11 – przegubowo-przegubowy

22 – cięgno

Pręt	Typ	Węzły	Lx [m]	Ly [m]	L [m]	Red. EI	Przekrój
1	10	1 2	2,584	1,810	3,155	1,000	1 krokiew 175x70
2	01	2 3	2,293	1,605	2,799	1,000	1 krokiew 175x70
3	10	3 4	2,293	-1,605	2,799	1,000	1 krokiew 175x70
4	01	4 5	2,584	-1,810	3,155	1,000	1 krokiew 175x70
5	01	4 6	2,293	0,000	2,293	1,000	1 jętka 175x50
6	10	6 2	2,293	0,000	2,293	1,000	1 jętka 175x50

Obciążenia dla wiązara jętkowego:

Obciążenie	Wartość charakterystyczna [kN/m]	Współczynnik obciążenia γF [-]	Wartość obliczeniowa [kN/m]
A1. Ciężar własny dachu z uwzględnieniem ciężaru krokwi (nad jętka) g: ciężar łaty (0,016 · (100/34) · 0,730) ciężar własny dachówki (0,034 · 14 · 0,730) Ciężar własny krokwi (0,070 · 0,175 · 5,5) RAZEM:	0,034 0,347 0,067 gk = 0,448	1,1 1,2 1,1	0,037 0,416 0,074 gd = 0,527
A2. Ciężar własny dachu z uwzględnieniem ciężaru krokwi (pod jętka) g’ = g + g: ciężar łaty (0,016 · (100/34) · 0,730) ciężar własny dachówki (0,034 · 14 · 0,730) ciężar ocieplenia (150mm wełny mineralnej) (0,15 · 1,0 · 0,730) ciężar własny krokwi (0,070 · 0,175 · 5,5) ciężar płyt gipsowo-kartonowych na ruszcie (0,0125 · 12,0 · 0,730) RAZEM:	0,034 0,347 0,110 0,067 0,110 g’k = 0,668	1,1 1,2 1,2 1,1 1,2	0,037 0,416 0,132 0,074 0,132 g’d = 0,791
B. Śnieg (w przeliczeniu na połać) połać lewa Sk (C2) = Qk ·C2 = 0,9 · 0,8 · 0,9 · 0,730 połeć prawa Sk (C1) = Qk ·C1 =0,9 · 0,53 · 0,9 ·0,730 C. Wiatr (połać nawietrzna) pk1 = qk · Ce · C · β = =0,25 · 0,8 · 0,4· 1,8 · 0,730 · 0,9 (połać zawietrzna) pk2= 0,25 · 0,8 · (-0,4) · 1,8 · 0,73 · 0,9	Sk = 0,473 Sk = 0,314 pk1 =+ 0,095 pk2 = - 0,095	1,5 1,5 1,5 1,5	Sd = 0,710 Sd = 0,471 pd1 = + 0,143 pd2 = - 0,143
A3. Ciężar własny stropu ocieplonego g1: ciężar jętki (0,050 · 0,175 · 5,5) ciężar desek nad jętką (50% pow.) (0,025 · 0,5) · 5,5 · 0,730 ciężar ocieplenia (150mm wełna mineralna) (0,15 · 1,0 · 0,730) ciężar płyt gipsowo-kartonowych na ruszcie (0,0125 · 12,0 · 0,730) RAZEM:	0,048 0,050 0,110 0,110 gk1 = 0,318	1,1 1,2 1,2 1,2	0,053 0,060 0,132 0,132 gd1 = 0,377
D. Obciążenie użytkowe na jętce g2 =0,5 · 0,730	gk2 = 0,365	1,4	gd2 = 0,511

Przy liczeniu obciążenia od wiatru uwzględniono współczynnik jednoczesności obciążeń ψ₀ = 0,9

Wyznaczenie sił wewnętrznych.

Schemat obciążeń wiązara jętkowego:

Obliczenia statyczne wykonano za pomocą programu obliczeniowego RM-Win. Otrzymane wyniki:

1. Momenty

2. Siły tnące

3. Siły normalne

Wartości reakcji podporowych wiązara jętkowego:

Wartości reakcji podporowych:

Węzeł	H [kN]	V [kN]	Wypadkowa [kN]
1	6,193	6,129	8,71
5	6,841	5,505	5,81
6	0	2,058	2,058

Wymiarowanie krokwi.

Sprawdzenie stanu granicznego nośności.

Do obliczeń przyjmuję wartości obliczeniowe obciążeń.

Maksymalny moment zginający i odpowiadająca mu siła podłużna wynoszą:

M₄ = -1,455 kNm,

N₄ = - 7,087 kN (ściskanie).

Przyjęto przekrój krokwi 70x175 mm, dla którego:

A = b · h = 0,070 · 0,175 = 12,25 · 10^-3 m²

W_y = (b · h²)/6 = 357,3 · 10^-6 m³

Naprężenia obliczeniowe ściskające w kierunku równoległym do włókien, wynoszą:

σ_c,0,d = N₄/A = 7,087/12,25 · 10^-3 = 578,53 kPa = 0,58MPa

Naprężenia obliczeniowe od zginania w stosunku do osi głównych wynoszą:

σ_m,y,d = M₄/ W_y =1,455/357,3 · 10^-6= 4072 kPa = 4,07 MPa

σ_m,z,d = 0

Jest to przypadek zginania z osiową siłą ściskającą.

Przyjęto:

γ_M = 1,3

klasę drewna C22, dla której

wytrzymałość charakterystyczna na ściskanie wynosi: f_c,0,k = 20,0 MPa

wytrzymałość charakterystyczna na zginanie wynosi: f_m,y,k = 22,0 MPa

klasa użytkowania – 2.

Decydujące znaczenie ma obciążenie stałe, dlatego k_mod = 0,6

Wytrzymałość obliczeniowa:

f_c,0,d = $\frac{k\text{mod}\ \ fc,0,k\ \ }{\gamma M}$ = $\frac{0,6 \bullet 20,0}{1,3} = 9,23\ MPa$

f_m,y,d = $\frac{k\text{mod}\ \ fm,y,k\ \ }{\gamma M}$ = $\frac{0,6 \bullet 22,0}{1,3} = 10,15\ $MPa

Długość wyboczeniowa krokwi przy ściskaniu wynosi:

l_d = l_eff,c = 0,8 · l_cał = 0,8 · 5,954 = 4,76 m

Z tablic odczytano:

E_k = E_0,05 = 7700 MPa

G_mean = 720 MPa, E_0,mean =11500 MPa

λ_rel,m = $\sqrt{\ \frac{ld\ \bullet h \bullet fm,d}{\pi \bullet b\hat{}2 \bullet Ek}\ \sqrt{\frac{Eo,mean}{\text{Gmean}}}\text{\ \ \ \ \ }} = \ \sqrt{\frac{4,76 \bullet 0,175 \bullet 12,46}{3,14 \bullet 0,070\hat{}2 \bullet 7700}\sqrt{\frac{11500}{720}}}$ = $\sqrt{0,088 \bullet 3,997}$ = 0,593

k_crit = 1,56 – 0,75 · λ_rel,m = 1,12

Sprawdzenie warunku wg wzoru:

($\frac{\sigma c,0,d}{fc,0,d})$² + $\frac{\sigma m,y,d}{fm,y,d}$ + k_m · $\frac{\sigma m,z,d}{f,m,z,d}$ = $\left( \frac{0,58}{9,23} \right)^{2} + \frac{4,07}{10,15}$ +0 = 0,004 + 0,401 = 0,405 <1

Sprawdzenie warunku wg wzoru:

σ_m,y,d = 4,07 MPa ≤ k_crit · f_m,y,d = 1,12 · 10, 15 = 11,37 MPa

4,07 MPa   ≤  11,37 MPa

Warunek stanu granicznego nośności dla zaprojektowanej krokwi jest spełniony.

Sprawdzenie stanu granicznego użytkowalności.

Obliczenia wykonano w programie komputerowym RM-Win, uwzględniając wartości charakterystyczne obciążeń.

Graniczne przemieszczenie:

u_net,fin = L/300 = 3155/300 = 10,52 mm

Wykresy ugięć krokwi od obciążenia:

1. Ciężarem własnym

2. Śniegiem

3. Wiatrem

Wartości ugięcia krokwi:

Obciążenie	kdef	Składowe obciążenia
		uinst
Ciężar własny	0,8	1,7
Śnieg	0,25	2,8
Wiatr	0	4,6
Ugięcie sumaryczne	10,16

Zatem:

U_fin = 10,16 mm ≤ u_net,fin = 10,52 mm

Warunek stanu granicznego użytkowalności dla krokwi został spełniony.

Ostatecznie przyjmuję krokiew o wymiarach przekroju poprzecznego 70x175 mm.

Obliczenie jętki

Sprawdzenie stanu granicznego nośności:

Maksymalny moment zginający i odpowiadająca mu siła podłużna wynoszą:

M₆ = -0,564 kNm

N₆ = -5,475 kN (ściskanie)

Przyjęto jętkę o wymiarach 50x175

A = b · h = 0,050 · 0,175 = 0,009 m²

W_y = $\frac{{b\ \bullet h}^{2}}{6} = 255,2\ \bullet \ 10^{- 6}$ m³

Naprężanie obliczeniowe od ściskania w kierunku równoległym do włókien wynosi:

$\sigma_{c,0,d} = \ \frac{N_{5}}{A} = \ \frac{5,475}{9\ \bullet \ 10^{- 3}}$ = 608,3 kPa = 0,61 MPa

Naprężenie obliczeniowe od zginania w stosunku do osi głównych wynosi:

$\sigma_{m,y,d} = \ \frac{M}{W_{y}} = \ \frac{0,564}{255,2\ \bullet \ 10^{- 6}}$ =2210,0 kPa = 2,2 MPa

σ_m, z, d = 0

Jętka zostanie wykonana z takiego samego drewna co krokiew, więc wytrzymałość obliczeniowa drewna na ściskanie i zginanie jest taka sama jak w przypadku krokwi.

Sprawdzenie warunku stanu granicznego nośności:

$\left( \frac{\sigma_{c,0,d}}{f_{c,0,d}} \right)^{2} + \ \frac{\sigma_{m,y,d}}{f_{m,y,d}} + \ k_{m}\ \bullet \ \frac{\sigma_{m,z,d}}{f_{m,z,d}} = \ \left( \frac{0,61}{9,23} \right)^{2} + \ \frac{2,2}{10,15} + \ 0 = 0,0043 + 0,22 = 0,2243\ < \ 1$

Warunek stanu granicznego nośności dla jętki został spełniony.

Sprawdzenie stanu użytkowalności :

Obliczenia wykonano w programie komputerowym RM-WIN, uwzględniając wartości charakterystyczne obciążeń.

Na jętce wykonany jest strop otynkowany, dlatego:

u_net,fin = L/300 = 2293/300 = 7,64 mm

Wykresy ugięć jętki od obciążenia:

1. Ciężarem własnym

2. Użytkowego

Wartości ugięć przedstawiono w tabeli:

Obciążenie	kdef	Składowe obciążenia [mm]
		Uinst
Ciężar własny	0,8	0,3
Obciążenie użytkowe	0,8	0,3
Ugięcie sumaryczne	1,08

u_fin = 1,08 mm < u_net,fin = 7,64 mm

Warunek stanu granicznego użytkowalności dla krokwi został spełniony.

Obliczenie murłaty

Zakładam, że murłata mocowana będzie do wieńca śrubami co 1,46 m

Schemat statyczny murłaty:

Wykres momentów zginających:

Sprawdzenie stanu granicznego nośności.

Maksymalna wartość momentu jaki przenosi murłata:

M = -2,517 kNm

Przyjęto przekrój murłaty 150x150mm:

A = b · h = 0,150 · 0,150 = 22,5 · 10^-3 m²

W_z = $\frac{{b\ \bullet h}^{2}}{6} = 562,5\ \bullet \ 10^{- 6}$ m³

Naprężenie obliczeniowe od zginania w stosunku do osi głównych wynosi:

$\sigma_{m,z,d} = \ \frac{M}{W_{z}} = \ \frac{2,517}{562,5\ \bullet \ 10^{- 6}}$ = 4474,7 kPa = 4,5 MPa

Dla klasy drewna C22:

f_m,z,k = 22,0 MPa

k_mod = 0,6

γ_M = 1, 3

f_m,z,d = $\frac{k\text{mod}\ \ fm,z,k\ \ }{\gamma M}$ = $\frac{0,6 \bullet 22,0}{1,3} = 10,15$MPa

Sprawdzenie warunku granicznego nośności:

$k_{m}\ \bullet \ \ \frac{\sigma_{m,y,d}}{f_{m,y,d}}\ + \ \ \frac{\sigma_{m,z,d}}{f_{m,z,d}}\ =$ 0 + $\frac{4,5}{10,15} = 0,44\ \leq 1$

Warunek stanu granicznego nośności został spełniony.

Sprawdzenie stanu użytkowalności :

Wartość charakterystyczna reakcji wynosi: 15,706 kN

Ugięcia policzono w programie RM-WIN dla tej reakcji.

u_net,fin = L/300 = 1460/300 = 4,9 mm

U_inst = 0,7 mm

k_def = 0,8 mm

U_fin = 0,7 mm (1+ 0,8)= 1,26 mm

Wykres ugięć murłaty:

U_fin = 1,26 mm < u_net,fin = 4,9 mm

Warunek stanu granicznego użytkowalności został spełniony.