(D)r rcz, nazywamy row, w którym wystÄ™puje niewiadoma funkcja 2 lub wiecej zmiennych i jej pochczastkrzedemrrcz nazywamy najwyzszyrzadpoch f-kcji niewiadomej wystÄ™pujÄ…cej w danym rrow-niurozwiÄ…zaniem lub caÅ‚kÄ… rrcz nazywamy każda funkcje o zmiennych niezależnych x1,x2...xn lub majÄ…ca odpowiednie poch. cz. w pewnym n-wymiarowym obszarze Ω⊂R^n, która po podstawieniu wraz z tymi poch do rownzmieniajÄ… w tożsamość w obszarze Ωrozw ogólnym rrcz nazywamy zwiÄ…zek funkcyjny okreÅ›lajÄ…cy cala klasÄ™ rozwiÄ…zaÅ„ (D): każde rrcz liniowe rzedu II rozwazane w obszarze Ω⊂R2 można zapisac : A11Uxx+2A12Uxy+A22Uyy+2A10Ux+2A20Uy+A00U=f gdzie Δ=A12^2-A11*A22 Δ>0-r typu hiperbolicznegoΔ<0-r typu eliptycznego Δ=0-r typu parabolicznego (D) podobieÅ„stwo macierzy macierz kwadratowa A nazywamy podobna do macierzy kwadratowej B jeżeli istnieje nieosobliwa macierz P taka, ze : B=P^-1*A*P Macierz P nazywamy macierza podobieÅ„stwa (D)macierz nieosobliwadet |P ≠0 -> posiada macierz odwrotna. (TW) podobieÅ„stwo macierzy Jeżeli macierz A jest podobna do macierzy B z macierzÄ… podobieÅ„stwa P to macierz B jest podobna do macierzy A zmacierza podobieÅ„stwa P1=P^-1 dowód: B=P^-1AP /// PB=PP^-1AP /// PB=EAP//PB=AP// PBP^-1=APP^-1 // A= PBP^-1 oraz P*P^-1=P^-1*P=E(D) macierz ortogonalna macierz kwadratowa i nieosobliwa A nazywamy ortogonalna jeżeli AA^T=E wÅ‚asnoÅ›ci macierzy ortogonalnych W.1 macierz A jest ortogonalna AT=A-1DowodzakÅ‚adamy : AAT=E wiÄ™c AA-1=A-1A=E // AAT= AA-1 // A-1AAt=A-1AA-1wiÄ™c AT=A-1 // AA-1=AAT=E W.2 jeżeli macierz jest ortogonalna to AAT=ATAdowód AT=A-1// AA-1=A-1A=E AAT=ATAW.3 jeżeli macierz A jest ortogonalna to det A=+/- 1 Dowod AAT=E//det (AAT=)detE//(przypomnienie:(det E=1 detA=detAT dla macierzy kwadratowych det (AB)=det A * det B)//det (AAT)=1//det(AAT)=detA*detAt=1 // (detA)2=1 //detA=+/-1 W.4 macierz Aij jest ortogonalna ∑aik*ajk=δij; ∑aki*akj=δijgdzie δij={ 1 dla i=j; 0 dla i≠jWzór 1 mówi ze w macierzy ortogonalnej suma kwadratówwyrazów dowolnego wiersza wynosi 1, suma iloczynów odpowiednich wyrazówdwóchróżnych wierszy wynosi 0.Przestrzenie dowolny wektor aEv2 możemy zawsze zapisać w postaci a=a1e1+a2e2 gdzie a1,a2- stale liczbowe zwane współrzÄ™dnymi wektora a w bazie B (D) baza ortonormalna jeżeli jej elementy sÄ… do siebie wzajemnie prostopadle i maja dÅ‚ugość 1. V2 -> e1 _|_ e2 i |e1|=|e2|=1 v3-> |e1|=|e2|=|e3|=1 wszystkie prostopadle uzasadnienie aEv2; a=a1e1+a2e2 B={e1,e2} Jak zmienia siÄ™ współrzÄ™dne wektora jeżeli zmienimy bazÄ™ ? B={ e1,e2,e3} B’={ e1’,e2’,e3’}; e1,e2,e3Ev3 ; e1’,e2’,e3’Ev3 ; e1’=p11’e1+p21’e2+p31’e3 e2=…; e3=…;([e1’ e2’ e3’] = [e1 e2 e3]P)(D) macierz przejscia P=[Pij’]=[p11’ p21’ p31’……] nazywamy macierzÄ…przejÅ›cia od bazy B do bazy B’ (TW) macierz przejÅ›ciaP od bazy ortonormalnej B do bazy ortonormalnej B’ jest zawsze macierzÄ… ortogonalna. Praktyka P-1=PT czyli [e1 e2 e3][x1 x2 x3]TB=[e1 e2 e3]P[x1’ x2’ x3’]TB(TW) ortogonalność bazy |e1|=|e2|=|e3|=1 |ei|=pierw(x2+y2+z2) oraz e1 ºe1’=0; e2 ºe2’=0; e3 ºe3’=0 (D) operacja liniowa A:v3->v3 nazywamy liniowa jeżeli jest ona: addytywna : /x1,..xnEVn\ A(x1+ x2)=A(x1)+A(x2) ; jednorodność/xnEVn\/αER\ A(αx)=αA(x) (D) operacja identycznoÅ›ciowa operacje E:V3->V3 nazywamy operacja jednostkowa identycznoÅ›ciowÄ… lub tożsamoÅ›ciowa gdy /xnEVn\ E(x)=x dziaÅ‚ania na operacjach liniowych A,B: V3->V3 i niech A,b – dowolne operacje liniowe suma: A+B:V3->V3 /xEV3\ (A+B)x=A(x)+B(x) iloczyn αA:V3->V3 /xEV3\ (αA)x=αA(x) Kazdej operacji liniowej w danej bazie B={e1, e2, e3} odpowiada macierz operacji, która bÄ™dziemy oznaczali symbolem AB. wyznaczanie macierzy operacji AB V3->V3 macierz stopnia 3; V2->V2 macierz stopnia 2;A(e1)=f1=α11e1+ α21e2+ α31e3; A(e2)…;A(e3)… AB=[αij]B=[ ]B Postać macierzowa [ ]=[ ] *[ ] -> [ ]=ABT[ ]wyznaczyć obraz wektora x przy operacji A?1) ze wzoru na operacje A mp. Y=A(x)=a(aºx); 2) wykorzystujÄ…cmacierzoperacji yB=AB*xB [ ]=AB[ ](TW)macierz podobieÅ„stwa danej operacji liniowej w różnych bazach odpowiadajÄ… zawsze macierze podobne. Jeżeli operacji liniowej A w bazie B odpowiada macierz tej operacji AB, natomiast w bazie B’ odpowiada macierz operacji AB’ i P jest macierzÄ…przejÅ›cia z bazy B do B’ to AB’=P-1ABP (TW) wÅ‚asnoÅ›ci operacji liniowych 1)jeżeli operacji liniowejA w bazie B odpowiada macierz AB, operacji liniowej B w bazie B odpowiada macierz BB, to operacji A+B w bazie B odpowiada macierz AB+BB 2) operacji αA w bazie B odpowiada macierz αAB 3) aby dodać dwie operacje do siebie wystarczy dodać macierze tych oepracji. 4) jeżeli chcemy przemnożyć operacje przez liczbÄ™ wystarczy przemnożyć macierz operacji przez liczbÄ™. (D)= wartość wÅ‚asnaLiczbÄ™ λ nazywamy wartoÅ›ciÄ… wÅ‚asna operacji liniowej A: Vn->Vnjeżeli istnieje niezerowy wektor x taki ze : A(x)=λxNiezerowy wektorX który speÅ‚niapowyższa równość nazywamy wektorem wÅ‚asnym operacji A odpowiadajÄ…cym wartoÅ›ci wÅ‚asnej λ interpretacja geometryczna wartoÅ›ci wÅ‚asnejA(x)=λx x≠0 λ>0 zwrot wektora λx zachowany; λ<0 - przeciwny(TW) wÅ‚asnoÅ›ci wektorówwÅ‚asnychjeżeli x jest wektorem wÅ‚asnym operacji liniowej A, to każdy wektor y=αx, α≠0 jest tez wektorem wÅ‚asnym tej operacji odpowiadajÄ…cym tej samej wartoÅ›ci wÅ‚asnej λ. Dowód A(x)=λx -> αA(x)=αλx (operacja jest liniowa)-> A(αx)=λαx ->A(y)=λy, y wektor wÅ‚asny dla wartoÅ›ciwÅ‚asnej λ danemu wektorowi wÅ‚asnemu, który odpowiada wartoÅ›ci wÅ‚asnej λ odpowiada nieskoÅ„czenie wiele wektorówwÅ‚asnych. ;wektory leża na prostej L- nazywamy ja kierunkiem wÅ‚asnym, odpowiada on danej wartoÅ›ci wlasnej. (TW) wÅ‚asnoÅ›ci wartoÅ›ci wÅ‚asnej) jeżeli danej wartoÅ›ci wÅ‚asnej λ odpowiadajÄ… wektory wlasne x1 oraz x2 (liniowo niezależne) to dowolny niezerowy wektor x=αx1+βx2, α,β stale, jest także wektorem wÅ‚asnym odpowiadajÄ…cym tej samej wartoÅ›ciwÅ‚asnej λ. Dowód A(x)=λx ; a(x)=A(αx1+βx2)=A(αx1)+A(βx2)= αA(x1)+ βA(x2)=λ(αx1+βx2)=λxwyznaczanie wartoÅ›ci wÅ‚asnych i wektorówwÅ‚asnych operacji liniowej (AB-λE)xB=0 (y=A(x) o yB=ABxB i A(x)=λx) równanie to ma niezerowe rozwiÄ…zanie gdy det (Ab- λE)xB=0 jest to równanie charakterystyczne operacji A lub macierzy AB. Pierwiastki tego równania bÄ™dÄ… wartoÅ›ciami wÅ‚asnymi operacji A. RozwiÄ…zania ukÅ‚adu równaÅ„(ABλE)[x1 x2 x3]=0 bÄ™dÄ… skÅ‚adowymi odpowiednich wektorówwÅ‚asnych. (D) operacja symetryczna i antysymetryczna) operacje A:V3-> V3 nazywamy: a) symetryczna /x,y\ yºA(x)=xºA(y); b)antysymetryczna /x,y\ yºA(x)=-xºA(y) (TW) macierz symetryczna Macierz A jest symetryczna gdy dla dowolnej ortogonalnej macierzy P, macierz B=P-1AP jest tez symetryczna. Dowód A –symetryczna A=AT; PT=P-1 ; BT=(P-1AP)T=PTAT(P-1)T=P-1AT(PT)T= P-1ATP=P-1AP=B <= B symetryczna czyli B=BTpokazać ze A=AT; P-1AP=P-1ATP -> A=ATwniosek jeżeli macierz AB danej operacji liniowej jest symetryczna w jednej bazie, to jest ona symetryczna we wszystkich bazach. (TW) wektory wÅ‚asne operacji symetrycznej odpowiadajÄ…ce rożnym wartoÅ›ciÄ… wÅ‚asnym sÄ… ortogonalne dowódA(x1)=λ1x1 ; A(x2)=λ2x2 ; λ1≠λ2 ; x2 ºA(x1)=x2º(λ1x1) =λ1(x1ºx2) ; x1ºA(x2)=λ2(x1ºx2) ; x2 ºA(x1)- x1ºA(x2)= λ1(x1ºx2)- λ2(x1ºx2) ; yºA(x) = x ºA(y) ; x2ºA(x1)- x1ºA(x2)=(λ1-λ2) (x1ºx2) ; 0=(λ1-λ2) (x1ºx2) ; x1ºx2=0 ;x1_|_x2(TW) prostopadÅ‚ość wektora i obrazu jeżeli x1 jest wektorem wÅ‚asnym operacji symetrycznej Ai x1 _|_x2 to A(x2)_|_x1dowód A- operacja symetryczna, x1 –wektor wlasny x1ºx2=0 ; x1 ºA(x2)=x2ºA(x1)=λ(x2ºx1)=0; (TW) wszystkie wartoÅ›ci wÅ‚asne operacji symetrycznej sÄ… liczbami rzeczywistymi. Dowód: det (Ab- λE)xB=0 AB[ α11 α12 ] =>| α11-λ α12 | = 0 ; (α11-λ)( α22-λ)- α122=0 ; λ2-( α11+ α22)λ+ α11 α22- α2=0 ;∆=( α11+ α22)2+4*1*( α11 α22- α122) ; ∆=( α11- α22)2+4 α122 zatem ∆>0 wiec pierwiastki musza być rzeczywiste (TW) każda operacja symetryczna A:V2->V2 (A:V3->V3) ma dwa (trzy) wzajemnie ortogonalne wektory wÅ‚asne. Dowód gdy A:V2->V2 Równanie charakterystyczne ma dwa pierwiastki rzeczywiste λ1 i λ2 (x1 i x2 – x1_|_x2 bo rożnym wartoÅ›ciom wÅ‚asnym przy operacji symetrycznej odpowiadajÄ… zawsze wektory wÅ‚asne ortogonalne) λ1 ≠λ2 ; λ1 = λ2 x1 wektor wÅ‚asny xÂ2≠0 taki ze x2_|_x1->A(x2)_|_x1 (TW) dla dowolnej operacji symetrycznej A:V3->V3 istnieje baza B’={e1,e2,e3} ortonormalna skÅ‚adajÄ…ca siÄ™ z wektorówwÅ‚asnych, której macierz operacji AB’ jest macierzÄ… diagonalna Dowód taka operacja ma 3 wartoÅ›ciwÅ‚asne rzeczywiste λ1, λ2, λ3 ; x1_|_x2 i x2_|_x3 i x1 _|_ x3 konstruujemy nowa bazÄ™: e1’=x1/|x1| , e2’=x2/|x2|, e3’=x3/|x3|; 1) e1’_|_e2’ i e2’_|_e3’ i e1’ _|_ e3’ ; 2) |e1’|=|e2’|=|e3’|=1 ; 3) e1’, e2’, e3’ wektory wÅ‚asne bo powstaÅ‚y z wektorówwÅ‚asnych y- wektor wÅ‚asny to αy tez wektor wÅ‚asny zatem 1/|x1|*x1 – wektor wÅ‚asny bo x1 tez wektor wÅ‚asny ; A(e1’) = λ1e1’= λ1e1’+0e2’+0e3’ ; A(e2’)=… ; A(e3’)=… (D) niezmiennik zmiany bazy każda wielkość zależna od operacji i od bazy a niezależna (niezmieniajÄ…ca siÄ™) przy zmianie bazy nazywamy niezmiennikiem zmiany bazy x=[x1 x2 x3]TB=[x1’ x2’ x3’]TB’ – współrzÄ™dne wektorów nie sÄ… niezmiennikami AB’=P-1ABP macierze operacji nie sÄ… niezmiennikami, dÅ‚ugość wektora przy zmianie bazy siÄ™ nie zmienie wiec jest niezmiennikiem: pierw (x12+x22+x32)= pierw (x1’2+x2’2+x3’2) Macierz operacji tożsamoÅ›ciowej jest niezmiennikiem EB=EB’=E wielomian charakterystyczny jest niezmiennikiem det ((AB’-λE)=det (P-1ABP-λE)= det[P-1(AB-λE)P]=detP-1det(AB-λE)detP=(detP)2det(AB-λE)det(AB-λE); α11+ α22+ α33=trAB->Å›lad macierzy ; detAB;
TENSORY tensor bezwładności masy punktowej, układu mas oraz masy rozłożonej w obszarze V. Punkt P(x1 ;x2;x3) w którym znajduje się masa punktowa m wykonuje ruch obrotowy z prędkością kontowa w wokół prostej l, która przechodzi przez początek układu współrzędnych i jest wyznaczona przez jednostkowy wektor a(|a|=1)(D) tensor bezwładności masy m. Operacje T określoną wzorem T(w)=m[(rºr)w-r(rºw)] nazywamy tensorem bezwładności masy punktowe m. Operacja T jest operacja liniowa. Można zatem wyznaczyć w bazie B={e1,e2,e3} macierz operacji. Wyznaczenie obrazówwektorów bazowych: T(e1)=m[(rºr)e1-r(rºe1)]=m[(x12+x22+ x32)e1- x12 e1-x1x2e2-x1x3e3]=m(x22+x32)e1-mx1x2e2-,x1x3e3 ; T(e2)= m[(rºr)e2-r(rºe2)]= -mx2x1e1+m(x12+x32)-mx2x3e3 ; T(e3)= -mx3x1e1-mx3x2e2+m(x12x22)e3 ; rºr= |r|2= x12+x22+ x32 ; r=x1e1+ x2e2+ x3e3 ; rºe1=(x1e1+x2e2+x3e3)ºe1=x1e1ºe1+0+0=x1 ; rºx1==(x1e1+x2e2+x3e3)ºx1=x12e1+x1x2e2+x1x3e3. Wnioski –macierz symetryczna, tensor bezwładności jest operacja symetryczna czyli jest reprezentowany przez macierz symetryczna,- wielkości na przekątnej to momenty bezwładności masy punktowej względem osi, -wielkości pod głównaprzekątna to momenty dewiacji względem odpowiednich płaszczyzn układu. Tensor bezwładności układu mas to suma tensorów bezwładności poszczególnych mas punktowych czyli TB=TB1 + TB2+ TB3… jeżeli masa jest rozłożona w obszarze V i jej gęstość w tym obszarze określoną jest wzorem φ(x1, x2, x3) to T(w) jest T(w)=∫φ(x1,  x2,  x3) [(rºr)w-r(rºw)]dx1 dx2 dx3Macierz tensora bezwładności jest taka sama jak dla masy punktowej, z ta różnica, ze zamiast m wstawiamy całkę gęstości. (D) moment bezwładności względem prostejwyrażenieIa=aºT(a) nazywamy momentem bezwładności względem prostej l przechodzącej przez początek układu współrzędnych i wyznaczonej przez jednostkowy wektor a(|a|=1) wniosek:Moment bezwładności względem prostej dla masy punktowej: Ia=m[|r|2-(rºa)2] interpretacja wartości własnych tensora bezwładności :Niecha –wektor własnyodpowiadający wartości własnej λ. Dodatkowo zakładamy, ze wektor własny jest jednostkowy |a|=1 czyli zachodzi związek T(a)=λa.; aT(a)=λ(aºa) ->Ia=(aºT(a))/|a|2 wniosek: wartości własne tensora bezwładności to momenty bezwładności względem prostych przechodzących przez początek układu współrzędnych i wyznaczonych przez jednostkowe wektory własne. (D)kwadryka tensora bezwładnościzbiórpunktów P(x1, x2, x3) o promieniu wodzącym x=[x1x2x3]TB i spełniających równaniexºT(x)=1 nazywamy kwadryga tensora bezwładności. Równaniekwadrygi można zapisać również w postaci macierzowej kwadrygą to powierzchnia drugiego stopnia. Wniosek: kwadryga tensora bezwładności służy do wyznaczania kierunków (przechodzących przez początek układu współrzędnych) względem których momenty bezwładności SA największe bądź najmniejsze (D) umowa sumacyjna Einsteina(D)op J: Ω-->R gdzie Ω jest dowolnym zbiorem, R-zb liczb rzeczy. nazywamy funkcjonałem (dziedzina jest Ω)(D)(silnego minimum(maximum)) mówimy ze funkcjonał J osiąga min (max) silne na krzywej ϕ, ϕ∈D jeżeli istnieje takie Ε>0, ze dla dowolnej krzywej ψ∈D i spełniającej warunek: maxϕ(x)-ψ(x)<E (x1≤xx2) Zachodzi nierówność J[ϕ(x)]≤J[ψ(x)] (MIN) dla MAX ≥(D)(słabego MIN (MAX) mówimy ze funkcjonał J osiąga MIN (MAX) słabe na krzywejϕ∈D, jeżeli istnieje takie E>0, ze dla dowolnej krzywej ψ∈D i spełniającej warunek(x1≤x≤x2) maxϕ(x)-ψ(x)+max ϕ’(x)-ψ’(x)≤E zachodzi nierówność: J[ϕ(x)]≤ J[ψ(x)] (MIN) (dla MAX ≥) wniosek: jeżeli dany funkcjonałosiąga na krzywej ϕ ekstremum silne to na tej samej krzywej osiąga ekstremum słabe, ale nie musi być na odwrót(D)podstawowy lemat rachunku wariacyjnego: jeżeli funkcja θ: <x1,x2>R jest ciągła i dla dowolnej funkcji h:<x1,x2>R klasy c1 na rozważanym przedziale i takiej ze h(x1)=h(x2)=0 spełniony jest warunek: ∫θ(x)h(x)dx=0 to funkcja θ(x)=0 dla x∈<x1,x2>TW warunek konieczny istnienia funkcjonału na to, aby funkcjonał J[y]=∫F(x,y,y’)dx y(x1)=y1; y(x2)=y2 określony na zb D, osiągał ekstremum na krzywej y=ϕ(x) jest aby krzywa spełniałarównanieFy(x,y,y’)-d/dx Fy’(x,y,y’)=0 zwane równaniem Eulera. Rozwiązaniem r-nia Eulera nazywamy EKSTREMALAMI. Wniosek: funkcji może osiągaćekstremum tylko na ektremali, na którejspełnionesą warunki : y(x1)=y1; y(x2)=y2 Funkcja Heviside’a:N(x,c)={ 0 dla x < c; 0, 5 dla x = c;  1 dla x > c  Def. Przekształcenie Laplace’a:Przekształcenie Laplace’a funkcji f(x) zmiennej rzeczywistej x nazywamy funkcję F(s) zmiennej zespolonej s określoną wzorem: F(s) = ∫0∞f(t)e−stdt Jeżeli całka istnieje, to funkcję nazywamy transformatą Laplace’a funkcji f(x) i oznaczali będziemy symbolem: F(s)=L[f(x)] Def. Klasy oryginałów: Mówimy, że funkcja f(x) przedziałami ciągła należy do klasy oryginałów gdy spełnia następujące warunki:1.f(x)=0, dla x<0 2. f(x)=0,5(f(x+)+ f(x-)) 3.Istnieją stałe M i α takie, że f(x)≤Meαx.