Wiele "zjawisk fizycznych" zachodzących w obwodach elektrycznych, układach automatycznych itp. opisywanych jest przy pomocy równań bądź układów równań różniczkowo-całkowych; ogólnie: równań funkcyjnych bądź układów równań funkcyjnych.
Bywa, że rozwiązywanie takich zagadnień nie jest wcale rzeczą łatwą. Z pomocą w tych przypadkach "przychodzi" tzw. rachunek operatorowy.
I d e a r a c h u n k u o p e r a t o r o w e g o jest analogiczna do idei rachunku logarytmicznego.
Jak i kiedy wykorzystywano rachunek logarytmiczny?
Mianowicie: w czasach "przedkomputerowych" a nawet przed wynalezieniem najprostszych kalkulatorów, a więc dla wielu obecnie młodych ludzi, w "prehistorii", też umiano poradzić sobie z tak "skomplikowanymi" obliczeniami (na dodatnich liczbach rzeczywistych), jak np.
Oblicz wartość x jeśli .
Jak to robili??
Mieli do dyspozycji operację logarytmowania i przy pomocy tej operacji (oczywiście wykorzystując własności operacji logarytmowania) sprowadzali równość:
(*)
do równości: (**)
wykorzystując tzw. tablice logarytmów w których liczbom z równości (*) (numerusom)
"przyporządkowane" były logarytmy numerusów.
Wykonywali obliczenia i otrzymywali wynik:
Korzystają z tych samych tablic otrzymywali odpowiedź: .
Oczywiście, zabierało to więcej czasu niż obecnie gdy wystarczy "klepnięcie" w kilka klawiszy kalkulatora, ale przy okazji ćwiczono szare komórki (i nie były to komórki które teraz nosimy w kieszeni), a nie (jak obecnie) "palce wskazujące".
Ideę przedstawionego procesu obliczeń można przedstawić schematem:
W dalszej części poznamy pewien operator który posłuży do rozwiązywania problemów wspomnianych w pierwszych zdaniach wstępu. Jednym z operatorów jest operator Laplace'a nazywany również transformacją Laplace'a. Schemat "używania" tego i nie tylko tego operatora jest identyczny z przedstawionym powyżej. Dokładniej omówimy go za chwilę.
Przedtem jednak pewne pojęcia wstępne.
Funkcję , zmiennej rzeczywistej, (przyjmującą wartości rzeczywiste), nazywamy oryginałem laplasowskim lub krótko oryginałem, jeśli ma następujące własności:
, dla
jest ciągła lub ma co najwyżej skończoną liczbę punktów nieciągłości pierwszego rodzaju. Zwykle (ale nie zawsze jest to konieczne) przyjmuje się, że w każdym punkcie nieciągłości spełniona jest równość .
rośnie nie szybciej niż odpowiednio dobrana funkcja wykładnicza. Oznacza to, że istnieją takie liczby i , że dla wszystkich jest spełniona nierówność: . Funkcję spełniającą ten warunek nazywamy funkcją rzędu wykładniczego.
Funkcją Heaviside'a1 nazywamy funkcję określoną następująco:
Funkcję tę oznacza się również symbolem H (t) lub 1(t), i nazywana jest funkcją jednostkową lub funkcją skoku jednostkowego.
Teraz o czymś co jest i nie jest funkcją.
Rozważmy ciąg funkcji określonych "przepisami":
Zauważ, że funkcje są ciągłe oraz, że, dla każdego . Ponadto:
1) dla granica ciągu wartości funkcji tzn. , zaś dla , granica ciągu wartości funkcji tzn. . Zatem "funkcja graniczna" ciągu ma "przepis":
a więc jest raczej "pseudofunkcją" gdyż nie jest liczbą.
2) Oczywiście , zatem naturalnym jest przyjąć, że .
Opisana powyżej "pseudofunkcja" nazywana jest dystrybucją 2. Dokładniej: to dystrybucja spełniająca warunki: oraz .
Dystrybucja jest rozszerzeniem pojęcia funkcji rzeczywistej.
Uwaga: Jeśli widzisz jakąś "sprzeczność" w określeniu 2 lub "nieprzystawalność" do fizycznej rzeczywistości, to tradycyjnie zapraszam do odwiedzenie dodatku DDD. str. 21
Można zdefiniować również jako granicę ciągu funkcji opisanych "przepisem": ,
Zauważ, że spełnia warunki oryginału określone w definicji 1. (zobacz str. 4)
Warto wiedzieć, że ciąg funkcji który "doprowadził" do dystrybucji nie jest jej definicją. Wiele ciągów funkcyjnych może aproksymować dystrybucję . Często używany jest (ze względów rachunkowych) ciąg funkcji:
W matematyce definiuje się również pochodną dystrybucyjną będącą rozszerzeniem pojęcia pochodnej funkcji rzeczywistej. Dowodzi się, że pochodną (pochodną dystrybucyjną) funkcji Heaviside'a jest czyli . (Chcesz wiedzieć jak? Zapraszam do DDD str. 21)
I d e a r a c h u n k u o p e r a t o r o w e g o
Ideę wstępnie przedstawiono w drugiej części wstępu. Schemat metody operatorowej przedstawia poniższy rysunek:
Jeśli poszukujemy oryginału spełniającego określone równanie i zadane warunki początkowe to, postępowanie można podzielić na trzy "etapy":
Ułożenie równania dla obrazu (tzn. "transformujemy" obustronnie dane równanie dla oryginału, wykorzystując tablice i własności L- transformat).
Wyznaczanie "obrazu" czyli transformaty szukanego oryginału (tzn. rozwiązujemy otrzymane " na mecie etapu pierwszego" równanie algebraiczne)
Wyznaczanie oryginału (tzn. stosując metody wyznaczania transformat odwrotnych oraz wykorzystując tablice i własności L- transformat znajdujemy oryginał).
Pojęcia użyte w powyższym opisie idei rachunku operatorowego zostały zdefiniowane (częściowo) w Definicji 1. Pozostałe już na następnej stronie.
Potem, pierwszy krok czyli "przeniesienie" zagadnienia różniczkowego z przestrzeni oryginałów (zazwyczaj zmiennej czasu t) do przestrzeni funkcji zmiennej zespolone, czyli do przestrzeni transformat.
Jeżeli jest oryginałem, to funkcję Lnazywamy transformatą Laplace'a funkcji i zwykle oznaczamy ją tzn. L .
Zmienna s jest zmienną zespoloną, czyli funkcja jest funkcją zmiennej zespolonej.
Należy nadmienić, że ma transformatę Laplace'a jeśli całka jest zbieżna. Dokładniej:
Jeżeli istnieje podzbiór Z zbioru liczb zespolonych taki, że całka jest zbieżna, to oryginał ma transformatę Laplace'a. (chcesz wiedzieć więcej na ten temat "skocz" do DDD str. 21
Wyznaczmy transformatę funkcji .
Rozwiązanie
L,
Pamiętajmy, że s jest zmienną zespoloną np. .
Zatem: ,
ponadto trzeba zauważyć, że moduł liczby zespolonej jest równy , zaś .
W konsekwencji więc .
Ostatecznie L dla spełniających warunek .
Wyznaczmy transformatę oryginału .
Oczywiście, domyślnie , ale ponieważ w definicji transformaty Laplace'a liczymy całkę w granicach od 0 do , więc zwykle nie będziemy pisać, że liczymy transformatę funkcji . (Dokładniej wyjaśni to przykład 3.)
Rozwiązanie
L.
.
rysunek 1 rysunek 2
Oryginał , czyli Oryginał, przesunięty
rysunek 3
Oryginał funkcji , przesuniętej czyli
W przypadku przedstawionym na rysunku1 można opuścić czynnik (jako domyślny) i napisać "przepis" na oryginał w postaci: .
W przypadku przedstawionym na rysunku 2 można opuścić czynnik (jako domyślny) i napisać "przepis" na oryginał w postaci: .
Natomiast w przypadku przedstawionym na rysunku 3 nie można opuścić czynnika i trzeba napisać "przepis" na oryginał w postaci: .
L
L
| Oryginał | Transformata L | |
|---|---|---|
| 1 | , | 1 |
| 2 | H (t), , | |
| 3 | ||
| 4 | ||
| 5 | ||
| 6 | ||
| 7 | ||
| 8 | ||
| 9 | ||
| 10 | ||
| 11 | ||
| 12 | ||
| 13 | ||
(o zmianie skali, lub o podobieństwie)
L L.
L L.
Wyznaczyć transformaty funkcji przedstawionych w przykładzie 3.
Rozwiązanie
1) Z tablic transformat Laplace'a odczytujemy transformatę funkcji :
L
2) W tym przypadku możemy wykorzystać twierdzenia 2 oraz wynik otrzymany przed chwilą. Mianowicie: transformata "przesuniętego" oryginału
(domyślnie ) jest następująca:
L.
3) W tym przypadku musimy postąpić tak:
Najpierw , a następnie wykorzystać własności (1) oraz (2) transformaty (zobacz str. 9) i otrzymamy:
L L L L.
W elektrotechnice i elektronice występują funkcje "tłumione" wykładniczo. Wyznaczanie transformat takich funkcji ułatwia następujące twierdzenie:
(o przesunięciu zespolonym)
L L
Czyli mnożenie oryginału przez funkcję wykładniczą "powoduje" przesunięcie transformaty.
Wyznaczyć transformatę funkcji .
Rozwiązanie:
Korzystając z wiersza 6 tabeli transformat (str. 10) mamy: L ,
z kolei stosując twierdzenie 3 otrzymujemy:
L . (porównaj z wierszem 8 tabeli transformat str. 10).
L L,
W szczególności:
L
L
L
L L
Wyznaczyć transformatę funkcji .
Rozwiązanie
Ponieważ , oraz L,
więc zgodnie z tezą twierdzenia: L.
L L
Wyznaczyć transformatę funkcji .
Rozwiązanie
Z tablic transformat mamy: L. Korzystając z twierdzenia 6, otrzymujemy:
L
.
Troszkę długie, ale gdyby trzeba wyznaczyć transformatę z definicji ( zobacz str. 8 ) na pewno będzie trudniej.
Niech będzie oryginałem okresowym o okresie T, tzn. okresowość dotyczy tylko dodatniej półosi Ot. (Np. piłokształtny przebieg prądowy lub przebieg prostokątny).
Transformatą funkcji okresowej o okresie T jest funkcja , gdzie jest transformatą funkcji . (Czyli jest funkcją rozważaną tylko w przedziale )
Wyznaczyć transformatę prostokątnego przebiegu prądowego danego "przepisem":
Rozwiązanie:
Wyznaczamy transformatę funkcji :
L
.
Zatem, zgodnie z twierdzeniem 6
Ponieważ jednak, po łatwych przekształceniach (wykorzystując wzory skróconego mnożenia, chi, chi, chi) mamy: ,
więc ostatecznie L.
Splotem dwóch funkcji i określonych i bezwzględnie całkowalnych w przedziale nazywamy funkcję określoną wzorem:
.
Splot ten nazywany jest splotem dwustronnym, z uwagi na granice całkowania.
Splot funkcji i oznacza się symbolem ,
W zastosowaniach ważny jest przypadek, gdy i są tożsamościowo równe zero w przedziale , czyli spełniają jeden z warunków oryginału. W przypadku oryginałów, ich splot "zawiera" poniższa definicja ("optycznie" różniąca się od definicji 3).
Splotem dwóch oryginałów i nazywamy funkcję określoną wzorem:
.
Jeśli funkcje są ciągłe to,
splot jest działaniem przemiennym tzn. .
splot jest działaniem łącznym tzn. .
splot jest działaniem rozdzielnym względem dodawania tzn.
Wyznaczyć splot oryginałów i
Rozwiązanie
.
Twierdzenie Borela3.
L L L,
czyli transformata splotu dwóch oryginałów równa się iloczynowi ich transformat.
Twierdzenie Borela jest szczególnie przydatne przy wyznaczaniu oryginałów, gdy dane są transformaty, czyli przy tzw. odwrotnej transformacie Laplace'a.
Trzeba tylko inaczej wyrazić to twierdzenie, mianowicie:
Jeśli i są oryginałami, zaś i są odpowiednio, transformatami tych oryginałów, to
L - 1
Drugi krok, czyli wyznaczenie "obrazu" tzn. rozwiązanie równania lub układu równań operatorowych nie wymaga specjalnego omówienia, gdyż równania te są znanymi równaniami algebraicznymi "liniowymi". W przypadku układu równań zwykle stosuje się metodę równania macierzowego.
Zatem krok trzeci tzn. "powrót" z rozwiązaniem do przestrzeni funkcji zależnych zwykle od zmiennej "czas" czy powrót do oryginałów.
Jeżeli jest transformatą nieznanego oryginału, to funkcję
L - 1
nazywamy odwrotną transformatą Laplace'a funkcji i zwykle oznaczamy ją tzn.
L - 1.
(wstępna)
Transformaty Laplace'a otrzymywane w wyniku stosowania rachunku operatorowego są funkcjami wymiernymi zmiennej s, tzn. mają postać: , gdzie są wielomianami odpowiednio stopnia k oraz n, przy czym (ten warunek oznacza, że funkcje są funkcjami wymiernymi właściwymi).
Metoda 1. Za pomocą twierdzenia Borela.
Wyznaczyć L - 1.
Rozwiązanie:
, czyli a .
Teraz korzystając z tablic transformat Laplace'a (str. 10) odczytujemy (w wierszach 2 i 4), że L - 1 oraz L - 1. Wreszcie, z równości (13) mamy:
L - 1. Pozostaje tylko policzyć splot oryginałów (zob. str. 14)
.
Ostatecznie: L - 1.
Metoda 2. Za pomocą twierdzenia o transformacie całki.
Wyznaczyć transformatę odwrotną z przykładu 10.
Rozwiązanie:
Z twierdzenia o transformacie całki wynika, że L - 1 (zob. str. 12), zatem, po skorzystaniu z tablic transformat Laplace'a (str. 10) mamy:
L - 1.
Tutaj należy powiedzieć, że ta metoda jest możliwa do zastosowania gdy szukamy transformaty odwrotnej dla .
Teraz metody częściej stosowane.
Metoda 3. Rozkład na ułamki proste.
Wyznaczyć oryginał którego transformatą jest .
Rozwiązanie:
Rozkładamy "funkcję" na ułamki proste:
.
Zatem , skąd (porównując współczynniki przy odpowiadających potęgach wielomianów po lewej i prawej stronie otrzymanej tożsamości) mamy układ równań: z którego otrzymujemy: .
L - 1 L - 1.
Odpowiedź: L - 1.
Przed poznaniem kolejnej metody, kilka nowych pojęć:
Jeżeli funkcja zmiennej zespolonej jest w punkcie określona i, to punkt nazywamy zerem funkcji .
Jeżeli oraz dla i to punkt nazywamy k-krotnym zerem funkcji .
Jeżeli istnieje granica niewłaściwa , to punkt nazywamy biegunem funkcji zmiennej zespolonej .
Jeżeli jest biegunem funkcji i istnieje (k naturalne), to punkt jest biegunem k-krotnym.
Jeśli jest zerem (k-krotnym zerem) funkcji to jest biegunem (biegunem k-krotnym) funkcji .
Ponieważ interesują nas funkcje (zob. Uwagę 1 str. 16), a dokładniej bieguny funkcji , to warto zauważyć, że biegunami są zera funkcji (a właściwie wielomianu) . To dlaczego interesują nas bieguny funkcji zaraz się okaże.
Metoda 4. Metoda residuum.
Jeżeli jest biegunem jednokrotnym funkcji , to
Jeżeli jest biegunem k-krotnym funkcji , to
A teraz właściwie "wzór" będący kwintesencją metody residuum wyznaczania oryginału na podstawie jego transformaty Laplace'a
L - 1
Czas na przykłady
Wyznaczyć w obwodzie elektrycznym przedstawionym na rysunku i zasilanym napięciem .
Rozwiązanie:
Z drugiego prawa Kirchhoffa, mamy:
skąd, po użyciu L-transformaty wynika, że
,
czyli
,
więc
,
co, po uproszczeniu, daje:
.
Zapiszmy otrzymane równanie w innej postaci:
Korzystając z tablic (str. 10) oraz o przesunięciu oryginału (też str.10), otrzymujemy:
,
Ostatecznie, zaś:
.
"Pokuśmy" się jeszcze o wyznaczenie .
Dla , ,
zaś dla ,
.
Warto zauważyć, że:
napięcie u(t) jest "nieciągłe" (impulsowe).
prąd i(t) też jest "nieciągły" i przynajmniej teoretycznie nie zanika, chociaż już jest zerowe.
napięcie jest ciągłe i teoretycznie nie zanika.
Wszystkie te uwagi wynikają nie tyle z przedstawionych rysunków (które mogą być, i są przybliżone), co z "przepisów" na oraz wyliczonych powyżej i wyróżnionych kolorem.
Oczywiście, praktycznie po pewnym czasie wartości zarówno oraz są tak minimalne, że są "niewykrywalne". Jednak granice: i .
Dygresja: Na pytanie zadawane studentom: Dlaczego przy opisywaniu elementów schematu obwodu elektrycznego symboli:, innym razem zaś lub C; albo lub lub "krótko" L, ale w przypadku rezystora zawsze po prostu R? Poza stwierdzeniem "Tak się robi", nie otrzymywałem, zadowalających "laika" odpowiedzi. Czasem otrzymywałem odpowiedź: "Bo to w dziedzinie zespolonej albo czasu". Prośba o wyjaśnienie co to oznacza "w dziedzinie zespolonej" wywoływała na twarzy pytanego minę - "O co mu chodzi, przecież "wyryłem na blachę" i dobrze pamiętam!?"
Jeśli też zadajesz sobie podobne pytanie, skorzystaj z okazji i spróbuj na nie odpowiedzieć sam.
wyjaśnienie definicji dystrybucji
pochodna dystrybucyjna
pasy zbieżności całki Laplace'a