Ćwiczenie nr 0. Opracowanie danych pomiarowych

Cel ćwiczenia:

Zaznajomienie się z typowymi metodami opracowania danych pomiarowych przy wykorzystaniu wyników pomiarów dla wahadła prostego.

Wstęp

Wahadło matematyczne to ciało zawieszone na nierozciągliwej i nieważkiej lince, sznurku w punkcie przyłożenia znajdującym się nad środkiem ciężkości tego ciała. tak aby po odchyleniu ciała można było zaobserwować ruch po półkolu, w którym ciało wychyla się o kąt α. Prostota tego układu dobrze nadaje się na zapoznanie z podstawowymi metodami pomiarowymi. Interpretacja wyników opiera się na równaniu określającym okres drgań T jako funkcję długości wahadła l oraz przyspieszenia ziemskiego g:

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$$

Podnoszę obie strony do kwadratu i wyznaczam g:

$$T^{2} = \ 4\pi^{2} \bullet \ \frac{L}{g}$$

w1: $g = \frac{4\pi^{2} \bullet \ L}{T^{2}}$

Wzór ten jest słuszny, jeżeli wychylenie ciężarka z położenia równowagi jest małe.

Ponieważ wahadło nie jest wyposażone w kątomierz, to przed wykonaniem pomiaru obliczamy amplitudę A drgań jako iloczyn długości L i kąta 5 przeliczonego na miarę łukową. Mamy więc:

$$A = L \bullet \alpha = \ 0,513m \bullet \ \frac{5 \bullet \pi}{180} \approx \ 0,045\text{\ m}$$

A więc, aby kąt wychylenia wahadła mógł być uważany za mały (do 5 stopni) to wahadło należy odchylić o około 0,045m.

Wahadło umożliwia uzyskanie danych eksperymentalnych, na przykładzie których można poznać typowe metody ich opracowania, a to:

- odrzucanie wyników obarczonych błędem grubym

- ocena niepewności pomiaru typu A

- ocena niepewności pomiaru typu B

- prawo przenoszenia niepewności

- obliczanie niepewności rozszerzonej

- jej zastosowanie do oceny zgodności z wartością dokładną

- wykonywanie wykresów

- linearyzacja nieliniowych zależności funkcyjnych

- dopasowanie prostej do punktów doświadczalnych

Układ pomiarowy i przebieg ćwiczenia

W skład układu pomiarowego wchodzi: zestaw wahadła prostego, stoper, przymiar milimetrowy (linijka).

Przeprowadzamy pomiar okresu dla ustalonej długości wahadła. Przy użyciu przymiaru milimetrowego mierzymy długość wahadła rozumianą jako odległość od środka ciężarka do punktu zamocowania jego nici. Niepewność wzorcowania przymiaru to ∆L=0,5cm=0,005m. Niepewność standardowa typu B to:

w2:

Wprowadzamy wahadło w ruch drgający o amplitudzie kątowej nie przekraczającej pięciu stopni. Następnie mierzę czas k = 30 okresów drgań. Uruchamiamy i zatrzymujemy sekundomierz w tej samej fazie ruchu (maksymalne wychylenie w prawo), bez zatrzymywania wahadła. Pomiar ten powtarzamy dziesięciokrotnie.

Wyniki pomiarów

Wyniki pomiarów czasu t odpowiadającego k=30stu drganiom wahadła znajdują się w tabeli 1. Czas jednego drgania (okres) jest równy:

$$T_{i} = \frac{t}{k} = \frac{t}{30}$$

Tabela 1. Pomiar okresu drgań przy ustalonej długości wahadła

długość wahadła l = 51,3 cm= 0,513m

niepewność pomiaru u(l) = ± 0,0029m

Lp.	Liczba okresów k	Czas t dla k okresów [s]	Okres Ti=t/k [s]
1	30	43,01	1,434
2	30	42,83	1,428
3	30	43,06	1,435
4	30	41,69	1,390
5	30	43,01	1,434
6	30	43,31	1,444
7	30	42,82	1,427
8	30	43,32	1,444
9	30	42,96	1,432
10	30	43,17	1,439

Wykonujemy kilkanaście pojedynczych pomiarów k=30, zmieniając długość wahadła w zakresie od około 10cm do około 30cm. Wyniki zostały zawarte w Tabeli 2.

Tabela 2. Pomiar zależności okresu drgań od długości wahadła

Lp.	l [m]	k	t [s]	Ti [s]	Ti^2 [s^2]
1	0,102	30	18,75	0,625	0,391
2	0,102	30	18,85	0,628	0,395
3	0,151	30	23,05	0,768	0,590
4	0,151	30	23,39	0,780	0,608
5	0,198	30	26,71	0,890	0,793
6	0,198	30	26,67	0,889	0,790
7	0,248	30	30,07	1,002	1,005
8	0,299	30	32,91	1,097	1,203

Opracowanie wyników pomiaru

1. Oceń, czy wyniki pomiaru okresu nie zawierają błędów grubych. (Zwrócić uwagę na największą i najmniejszą wartość T_i w uzyskanym zestawie danych).

Jak możemy zauważyć z tabeli 1 wartości okresów są zbliżone do siebie i mieszczą się w granicach od 1,39s do 1,444s. Nie zauważamy żadnej wartości, która znacznie odbiegała by od innych wartości. Jedynie wynik najniższy 1,39s odbiega nieco od pozostałych i różnica między nim, a kolejnym (1,427s) wynosi 0,037s. Stąd mogę wywnioskować, iż wynik ten jest zaniżony w porównaniu do pozostałych wartości, a więc możemy go pominąć w dalszych obliczeniach. Jak widzimy nie jest to błąd gruby, gdyż dużo nie odbiega od pozostałych wyników, najprawdopodobniej różnica ta jest spowodowana spóźnioną reakcją osoby, która mierzyła czas lub tej która wprawiała w ruch wahadło.

Poniżej w tabeli 3 mamy wartości okresów T_i, które bierzemy pod uwagę przy dalszym opracowaniu, jak również wyliczenia które poczyniliśmy w dalszej części sprawozdania.

Lp.	Ti[s]	T [s]	Ti-T [s]	(Ti-T)^2	uA (T) [s]	uB (T) [s]	u(T)
1	1,434	1,435	-0,001	0,000001	0,0021	0,0039	0,0044
2	1,428		-0,007	0,000049
3	1,435		0,000	0,000000
4	1,434		-0,001	0,000001
5	1,444		0,009	0,000081
6	1,427		-0,008	0,000064
7	1,444		0,009	0,000081
8	1,432		-0,003	0,000009
9	1,439		0,004	0,000016
SUMA:	0,000302

2. Oblicz niepewność pomiaru okresu (typu A).

Mamy więc n=9 wartości Ti. Obliczamy ich wartość średnią:

$$T = \frac{\sum_{i}^{}\text{Ti}}{n} = \frac{1,434 + 1,428 + 1,435 + 1,434 + 1,444 + 1,427 + 1,444 + 1,432 + 1,439}{9}s = = 1,435s$$

Obliczamy niepewność standardową typu A wynikającą z rozrzutu wyników wokół wartości średniej. Pomocnicze obliczenia w tabelce 2. Mamy więc:

$$u_{A}\left( T \right) = \sqrt{\frac{\sum_{i}^{}{(T_{i} - T)}^{2}}{n*(n - 1)}} = \sqrt{\frac{0,000302}{9*(9 - 1)}}s \approx 0,0021s$$

Obliczmy również niepewność typu B związaną z dokładnością użytego przyrządu pomiarowego. Dokładność stopera to 0,01s, ale znacznie większy jest czas reakcji obserwatora, który włącza/wyłącza stoper. Wynosi on około 0,2s. A więc właśnie ten czas przyjmujemy za dokładność pomiaru stoperem ∆t=0,2s. Ponieważ mierzymy czas k=30 okresów drgań, stąd dokładność pomiaru okresu: ∆T=∆t/30=0,2s/30=0,0067s. Stąd niepewność typu B dla okresu jest równa:

$$u_{B}\left( T \right) = \frac{T}{\sqrt{}3} = \frac{0,0067s}{\sqrt{}3} \approx 0,0039s$$

Jak widzimy niepewności u_A(T) i u_B(T) są tego samego rzędu, czyli dają mniej więcej taki sam przyczynek do całkowitej niepewności pomiarowej okresu u(T), którą obliczamy uwzględniając oba te typy niepewności:

$$u(T) = \sqrt{{(u_{A}(T))}^{2} + \ {(u_{B}(T))}^{2}} = \ \sqrt{{0,00205}^{2} + \ {0,00387}^{2}} \approx 0,0044s\ $$

Otrzymaliśmy więc: T=1,435s i u(T)=0,0044s.

3. Oceń niepewność pomiaru długości wahadła (typu B).

Długość wahadła to L=0,513m. Niepewność wzorcowania przymiaru to ∆L=0,005m. Niepewność standardowa typu B to:

$$u(L) = \frac{L}{\sqrt{3}} = \ \frac{0,005m}{\sqrt{3}} \approx \ 0,0029m$$

4. Na podstawie uzyskanych wartości L i T oblicz przyspieszenie ziemskie.

Podstawiam wartości liczbowe długości wahadła L i okresu drgań T do w1:

$$g = \frac{4\pi^{2} \bullet \ L}{T^{2}} = \ \frac{4\pi^{2} \bullet \ 0,513m}{{1,43515}^{2}s^{2}} \approx \ 9,8329\frac{m}{s^{2}}$$

5. Oblicz niepewność złożoną u(g) przy pomocy prawa przenoszenia niepewności.

Niepewność obliczam z prawa przenoszenia niepewności standardowej:

$$u\left( g \right) = \ \sqrt{\left( \frac{\partial g}{\partial L} \right)^{2}u^{2}\left( L \right) + \ \left( \frac{\partial g}{\partial T} \right)^{2}u^{2}\left( T \right)} = \ \sqrt{\left( \frac{4\pi^{2}}{T^{2}} \right)^{2}u^{2}\left( L \right) + \left( - \frac{4\pi^{2}L}{T^{4}} \bullet 2T \right)^{2}u^{2}\left( T \right)} = = \ \sqrt{\left( \frac{4\pi^{2}}{T^{2}} \right)^{2}u^{2}\left( L \right) + \left( \frac{4\pi^{2}L}{T^{3}} \bullet 2 \right)^{2}u^{2}\left( T \right)} = \ \sqrt{\left( \frac{g}{L} \right)^{2}u^{2}\left( L \right) + \left( - \frac{2g}{T} \right)^{2}u^{2}\left( T \right)} = = \ g\sqrt{\frac{u^{2}\left( L \right)}{L^{2}} + \ \frac{4u^{2}\left( T \right)}{T^{2}}}$$

Zatem:

$$u(g) = \ 9,8329\frac{m}{s^{2}}\ \sqrt{0,000032 + 0,000038} \approx \ 0,082\frac{m}{s^{2}}$$

Otrzymaliśmy: u(g)=0,082m/s², g=9,83m/s², co zapisuję w sposób: g=9,83(08) m/s².

6. Oblicz niepewność rozszerzoną U(g).

Niech współczynnik rozszerzenia k=2. Obliczmy niepewność rozszerzoną:

$$U(g) = \ k \bullet \ u(g) = \ 2 \bullet \ 0,08\frac{m}{s^{2}}\ = 0,16\frac{m}{s^{2}}\ $$

Ostateczny wynik:

$$g = \ \left( 9,83 \pm 0,16 \right)\frac{m}{s^{2}}$$

7. Czy uzyskana wartość przyspieszenia ziemskiego jest zgodna, w granicach niepewności

rozszerzonej, z wartością tabelaryczną? Dla Krakowa g_t = 9,811 m/s².

Uzyskaliśmy za pomocą wahadła prostego wartość g=9,83$\frac{m}{s^{2}}\ $z niepewnością u(g)=0,16$\frac{m}{s^{2}}$. Wartość tabelaryczna dla Krakowa wynosi g_t=9,811$\frac{m}{s^{2}}$. Obliczamy różnicę:

$$g - g_{t} = 9,83\frac{m}{s^{2}} - 9,811\frac{m}{s^{2}} = 0,019\frac{m}{s^{2}}$$

Ponieważ |g−g_t|<U(g) uznać trzeba, że zmierzone przyspieszenie ziemskie jest zgodne z wartością tabelaryczną. W celu sprawdzenia czy mamy zgodność w granicy niepewności pomiarowej U(g), przedstawmy wynik tablicowy g_t oraz doświadczalny g na osi liczbowej:

W celu porównania naszych dwóch wartości: doświadczalnej i tablicowej obliczymy jeszcze błąd względny:

$\frac{|g - g_{t}|}{g_{t}} \times 100\% = \frac{|9,83 - 9,811|}{9,811} \times 100\% \approx 0,19\%$

Błąd względny jest znikomy i wynosi 0,19%, a więc możemy przyjąć, że otrzymaliśmy bardzo dobrą zgodność z wartością tablicową i zgodnością w granicach niepewności pomiarowej.

8. Wykonaj wykres zależności okresu od długości wahadła T(l).

9. Wykonaj wykres zlinearyzowany T² w funkcji l. (Taka zależność wynika z podniesienia wzoru na okres (w1) do kwadratu.)

10. Do punktów doświadczalnych dopasuj prostą typu y = ax, czyli przechodzącą przez początek układu współrzędnych. W zależności od zalecenia prowadzących wykorzystać metodą graficzną, obliczenia ręczne metodą najmniejszych kwadratówów (wzory (1.26) i (1.27), względnie stosowną opcję w pracownianym programie komputerowym.

11. Z otrzymanej wartości współczynnika nachylenia $g = \frac{4*\pi^{2}}{a}$obliczyć wartość przyspieszenia ziemskiego.

Przekształcamy powyższy wzór, aby wyliczyć przyspieszenie i ostateczną postać wzoru mamy taką:

$$g = \frac{4*\pi^{2}}{a} = \frac{4*{3,14}^{2}}{4,056} = \frac{39,4384}{4,056} \approx 9,73\frac{m}{s^{2}}$$

12. Na podstawie uzyskanej z dopasowania niepewności u(a) obliczyć niepewność u(g).

R²= 0,9995

$$\frac{u\left( a \right)}{a} = \sqrt{\left( \frac{\frac{1}{R^{2}} - 1}{n - 2} \right)} = \sqrt{\left( \frac{\left( \frac{1}{{0,9995}^{2}} \right) - 1}{6} \right)} = 0,013$$

$$\frac{u\left( a \right)}{a} = 0,013*100\% = 1,3\%$$

Błąd względny g będzie taki sam jak błąd względny a (są one proporcjonalne), stąd :

$$\frac{u\left( g \right)}{g} = 1,3\%$$

więc:

$$u\left( g \right) = \frac{1,3*g}{100} = \frac{1,3*9,73}{100} = 0,13\left\lbrack \frac{m}{s^{2}} \right\rbrack$$

Wartość g obliczona z współczynnika kierunkowego prostej:

$$g = 9,73 \pm 0,13\lbrack\frac{m}{s^{2}}\rbrack$$

Wnioski:

W ćwiczeniu wykonaliśmy pomiar pośredni okresu T małych drgań wahadła matematycznego, dzięki czemu mogliśmy obliczyć przyspieszenie ziemskie. Następnie z prawa przenoszenia niepewności obliczyliśmy niepewność standardową przyspieszenia ziemskiego oraz niepewność rozszerzoną. Rachunek niepewności przeprowadziliśmy w oparciu o metodę typu A oraz metodę typu B, uwzględniając oba te typy niepewności.