1. Przyczyny nieliniowości.

a) nieliniowość geometryczna (wynikająca z uwzględnienia konfiguracji początkowej i końcowej):

- duże przemieszczenia (wtedy liczyć efekty II rzędu)

- wpływ siły podłużnej na sztywność elementu

- wpływ deformacji na wartości sił wewnętrznych

- skończone odkształcenia i deformacje,

- skończone obroty,

- stateczność (wyboczenie),

- obciążenia wstępne.

b) nieliniowość materiałowe (sigma-epsylon, ze względu na przyjęty materiał – zakładamy, że jest on liniowy, a tak naprawdę nie jest jak stal czy beton):

- plastyczność, uszkodzenie materiału i mechanizmy zniszczenia,

- zależność właściwości materiałów od temperatury, zmiennych stanu oraz zmiennych zależnych od rozwiązań

- model Prendtla (model uproszczony przyjmowany do liczenia konstr)

c)uwzględnienie tarcia:

d) uwzględnienie zmieniających się warunków brzegowych

Potrzeba przeprowadzania analizy nieliniowej wynika z:

- wykorzystywania coraz bardziej złożonych materiałów,

- realistycznego modelowania procesów poprzez uwzględnienie coraz to większej ilości zjawisk,

- zaawansowanej analizy dużych modeli zamiast modelowania poszczególnych jego części.

e) inne: *) konstr z cięgnami, odciągi np. maszty *) podpory o charakterystyce nieliniowej, węzły nieliniowe

2. Metody modelowania stężeń.

a) element kratowy – działają siły podłużne, czyli pret moze pracowac zaórwno na sciskanie jak i rozciąganie (sztywne, np. dwuteowniki, ceowniki)

b) pret wyłącznie rozciągany - pret przenosi tylko siły rozciągające (prety o dużej smukłości) (wiotkie, np. kątowniki lub rury)

c) kable - do kabla zakłada sie pierwotna siłe naciągu założoną za pomocy skrecenia kabla śruba rzymska

3. Różnica pomiędzy belką Bernoulli’ego i Timoshenki.

a) belka Bernoull’iego – przekroje płaskie pozostają płaskie po deformacji. Nie wzgl.. wpływu ścinania na ugięcie. Macierz 4x4; 1 wiersz: 12EI/l^3; 6EI/l^2; -12EI/l^3; 6EI/l^2; 2 wiersz 6EI/l^2; 4EI/l; -6EI/l^2; 2EI/l; 3 wiersz: -12EI/l^3; -6EI/l^2; 12EI/l^3; -6EI/l^2; 4 wiersz: 6EI/l^2; 2EI/l; -6EI/l^2; 4EI/l

b) belka Timoshenki – uwzględniamy wpływ ścinania na wartości ugięcia. Elem. Timoszenki może być używany do analizy nieliniowej. Dodatkowo w macierzy dochodzi współ alfa= 12EI/G*As*l^2;

Im mniejsza wartość α tym mniejsza różnica w wynikach (im krótsza belka i wyższa tym większe różnice w wynikach, różnica tylko w ugięciach!)

4. Element kratownicy płaskiej w analizie nieliniowej i liniowej wypisac wszelkie możliwe róznice.

a). rozwiązanie liniowe :

- zależność liniowa prawa Hooke’a,

- równania równowagi w odniesieniu do nie zdeformowanej postaci konstrukcji,

- $\overset{\overline{}}{K} \bullet \overset{\overline{}}{q} = \overset{\overline{}}{Q}$,

$\overset{\overline{}}{K} - liniowa\ macierz\ sztywnosci$

b). rozwiązanie nieliniowe:

- uwzględnia nieliniowość geometryczną,

- równania równowagi w odniesieniu do zdeformowanej postaci konstrukcji,

- rozwiązuje się iteracyjnie,

- $(\overset{\overline{}}{K} + {\overset{\overline{}}{K}}_{U} + {\overset{\overline{}}{K}}_{G}) \bullet \overset{\overline{}}{q} = \overset{\overline{}}{Q}$

$\overset{\overline{}}{K} - liniowa\ macierz\ sztywnosci$,

$\overset{\overline{}}{K_{U}} - macierz\ wstepnych\ odksztalcen\ (wplyw\ deformacji)$,

$\overset{\overline{}}{K_{G}} - macierz\ wstepnych\ naprezen\ (wplyw\ wplyw\ sil\ podluznych)$,

5. Modelowanie stropu.

I) oparcie na ścianach:

1) ściany murowane albo konstr prefabrykowane (jako płyta wolnopodparta),

2) konstrukcje monolityczne (sztywne połączenie – podpora sprężysta o sztywności k=4EI1/l1+ 4EI2/l2; dla sztywnych zbrojenie na podporze, k=3EI1/l1 + 3EI2/l2 dla przegubów, zbrojenie w przęsle

3) podciągi i żebrs

a) podciąg jako pręt:

- pręt o przekroju rzeczywistego podciągu, przekrój prostokątny o rzeczywistych wymiarach; zły wariant bo jest zaniżona sztywność podciągu

- j.w ale z offsetem (z elem. powłokowymi)

- przekrój prostokątny, bez offsetu, o zmodyfikowanych wymiarach lub zmodyfikowanym materiale (tak aby uzyskać rzeczywistą sztywność)

- pręt o przekroju teowym (pokrycie środka ciężkości, wariant polecany przez Starosolskiego)

b) podciąg jako pogrubienie płyty

c) podciąg jako element powłokowy (niezbyt dobre rozwiązanie-> zbyt duża grubość podciągu na element powłokowy

II) oparcie na słupach (prefabrykowany

1) podpora w jednym węźle (przewymiarowane zbrojenie nad podporą)

a) przegubowa podpora (obrót niezależny)

b) podpora sprężysta (przy konstr monolitycznych)

2) podpora w jednym punkcji + pogrubienie płyty (tworzy się osobny panel, z mocno dogęszczoną siatką)

3) oparcie pośrednie (bardzo sztywny elem pośredni)

4) słup jako powłoka (słup krzyż, dobrać gr t1, t2 aby sztywność była równa rzeczywistej sztywności dla przekroju słupa

6. Modelowanie przebiegu zniszczenia konstrukcji

a) możliwość uplastycznienia

b) duże przemieszczenie (+ewentualnie duże kąty obrotu)

c) praca podkrytyczna prętów

d) praca połączeń

e) efekty dynamiczne

Analiza liniowa materiał z którego wykonana jest konstr pracuje w sposób liniowy. Sigma –epsylon oraz epsylon- q (tu w rzeczywistości analiza jest nieliniowa ale póki przemieszczenia są małe możemy liczyć analizę liniową). Przy analizie liniowej można stosować zasadę superpozycji. Dla różnych ukł obciążeń kolejność przykładania nie ma znaczenia.

Analiza nieliniowa nie można stosować zasady superpozycji; kolejność przykładania obciążeń ma znaczenia; K_(q_)* q_= Q_

Metody rozwiązywania zagadnień nieliniowych:

1 ) metoda przyrostowa wprowadzamy obciążenie kolejnymi przyrostami, po każdym przyroście mamy przyrost przemieszczenia; 1) obliczamy macierz Ko_; 2) obciążamy 1 przystem obciążenia-> Ko_*deltaqo_ = deltaQo_-> deltaqo_ = deltadeltao 3) obl K1(q_), q-=deltaqo; powtarzamy to aż do momentu wprowadzenia całego obciążenia. Macierz sztywności określa nachylenie odcinków prostych; im bardziej podzielimy obciążenie tym bliżej krzywej będziemy; zalety: prostota algorytmu ; minus: niewielka efektywność; mała dokładność; dużo przyrostów -długotrwałość obliczeń

2) metoda Newtona-Raphsona wprowadzamy całość obciążenia, 1) obliczamy macierz sztywności konstr Ko_; Ko_*deltaqo_= Qcałk_ -> deltaqo_ dalej K1_*(q1_), q1_= deltaqo_ (aktualne wartości przemieszczeń); Q1_= K1_*q1_; 2) K1_*deltaq1_ = deltaQ1_ -> deltaq1_; warunek zatrzymania: deltaQi_ <= esylon_ (założona dokładność obliczeń)

3) zmodyfikowana metoda Newtona-Raphsona: obliczamy Ko_; Ko_* deltaqo_ = Qcałkw_; obl. K1_(q1_), q1_=deltaqo_; deltaQ1_= Qcałk-K1_* q1_; K_o* deltaq1_ = deltaQ1_ -> deltaq1_; warunek zatrzymania delta_Qi<= epsylon_

4) metoda mieszana

a) połączenie metody przyrostowej z metoda N-R

b) metoda przyrostowa + zmodyfikowana metoda N-R

5) metoda kontroli długości łuku

Nieliniowa macierz sztywności elem kratownicy płaskiej: kNL^L_= k^L_+ ku^L_+ Kg^L_; gdzie ku macierz wstępnych odkształceń; Kg macierz wstępnych naprężeń (macierz geometryczna); w analizie liniowej wszystkie równania są zapisywane do konstrukcji przed deformacją. W analizie nieliniowej (przemieszczenia są duże) wszystkie równania zapisujemy w odniesieniu do zdeformowanej konstrukcji

Modelowanie węzłów podatnych ramy: (geometria -> zwolnienia -> sprężyste; model nieliniowy ->algorytm DSC; Uwzgl. podatności węzłów w modelu obliczeniowym: a) wprowadzamy zastępczy moment bezwładności, który pozwala wzgl. podatność węzłów, tj. za pomocą zastępczych odcinków przywęzłowych o długości równej połowie wysokości przekroju słupa i zastępczym momencie bezwładności Ij: Ij= Sj,s*hc/2E (metoda stosowana w przypadku stosowania konwencjonalnych programów komputerowych) b) stosowanie charakterystyk nieliniowych, w przypadku stosowania zaawansowanych programów komp; Możliwe jest modelowanie liniowe stosowane w analizie sprężystej i wtedy a) gdy M<2/3 Mj,Rd to przyjmuje się w analizie sztywność liniową równą sztywności początkowej Sj=Sj,ini; b) gdy M>2/3 Mj,Rd to Sj=Sj,ini/eta; Zachowanie się węzłów konstr opisuje charakterystyka giętna, czyli zależność M-∅, gdzie M – moment działający na węzeł, ∅- przyrost kąta obrotu węzła

Modelowanie konstr z prętów cienkościennych: gr ścianki t<d/10; przy konstr cienkościennych obowiązuje prawo Hook’a, materiał pracuje liniowo, małe przemieszczenia; d^4teta/dx^4 * alfa^2*d^2teta/dx^2 = mx(x)/EIw; gdzie alfa=(G*Ix/EJw)^0,5; teta=ką skręcenia; Ix- moment bezwładności przy skręcaniu; Iw- wycinkowy moment bezwładności, mx(x) równ. Obciążenia momentem skręcającym; Siły wewnętrzne: Ms= G*Ix*dni/dx (moment czystego skręcania); B=-EIw* d^2mi/dx^2 (bimoment); Mw= -EIw* d^3mi/dx^3 (moment giętnoskrętny); Mx= Ms+Mw; tał,s,max= Ms*t/Is; sigma,w= B*w/Iw; tał,w= -Mw*Sw/Iw*t; deplanacja przekroju (przemieszczenie wzdłuż przekroju);analogia z elementarną teoria zginania – dla prętów cienkościennych; alfa jest małe (założenie), równanie skraca się do postaci: d^4teta/dx^4= mx(x)/EIw;