METODY OBLICZANIA POLA POWIERZCHNI. OBLICZANIE OBJĘTOŚCI

SYMULOWANEJ ZAPORY

Wyznaczanie pól wybranych obiektów terenowych stanowi jedno z ważniejszych zadań geodezyjnych i jest stosowane przede wszystkim podczas prac związanych z ewidencją gruntów. Pola powierzchni wyrażamy najczęściej w hektarach z dokładnością do 1m2 ( 0,0001 ha) i podobnie jak odległość i kąty redukujemy je do poziomu, a zatem pola obiektów wyznaczane dla ewidencji gruntów nie są polami rzeczywistymi, lecz polami figur płaskich, które powstają go zrzutowaniu prostokątnym danego obiektu terenowego na płaszczyznę poziomą. Metoda wyznaczenia pola powierzchni przyjęta do konkretnego zadania zależy od celu i obiektu obliczenia, wymaganej dokładności, rodzaju posiadanych przyrządów, materiałów oraz dostępnych danych wyjściowych.

1. Metoda analityczna

Polega ona na określeniu pól obiektów na podstawie miar kątowych i liniowych uzyskanych w terenie lub współrzędnych obliczonych z tych miar. W licznych przypadkach figury, których pola należy obliczyć, mają nieskomplikowane kształty: trójkąta, kwadratu, prostokąta, równoległoboku, trapezu, dowolnego czworoboku. Pola figur o bardziej złożonym kształcie można też określić, dzieląc dany obiekt na pewną ilość figur prostych, po czym obliczyć ich pola, a następnie zsumować wyniki. Do obliczeń tych pól wykorzystuje się ogólnie znane wzory z geometrii elementarnej oraz ich modyfikacje przystosowane do danych wyjściowych uzyskiwanych z pomiarów geodezyjnych. Wielobok o n bokach można podzielić za pomocą przekątnych na n-2 trójkątów po czym zmierzyć elementy potrzebne do obliczenia ich pól (z reguły podstawy i wysokości). Pole wieloboku równa się sumie pól trójkątów, wchodzących w jego skład.

Można też obliczyć pole ze współrzędnych prostokątnych. Na podstawie współrzędnych X, Y wierzchołków wieloboku można obliczyć jego pole stosując wzory Gaussa – L`Huiliera. Wielobok, osie układu współrzędnych oraz linie rzutujące jego wierzchołki na osie x, y wyznaczają zgodnie z rysunkiem trapezy o podstawach równoległych do osi y. Pole wieloboku można rozpatrywać jako sumę pól trapezów zawierających fragment wieloboku, pomniejszoną o pola trapezów znajdujących się na zewnątrz wieloboku.

W oparciu o wzory trapezowe wyprowadza się wzory Gaussa:

Kontrolę obliczeń różnic współrzędnych zawartych w nawiasach wzorów stanowi zerowanie się sumy tych różnic, które spełniają w tym wypadku analogiczny warunek jak przyrosty współrzędnych w ciągu poligonowym zamkniętym.

Przykład:

PKT.	xi	yi	xi+1-xi-1	yi+1-yi-1	yi(xi+1-xi-1)	xi(yi+1-yi-1)
1	300,00	100,00	100,00	100,00	10000
2	200,00	300,00	-200,00	100,00		60000
3	100,00	200,00	100,00	-200,00	20000

∑=0 ∑=0 ∑=30000 ∑=60000 ∑=50000 ∑=20000

2P = 30 000

P = 15 000

P = 1ha 50ar 00m²

Wzory Gaussa są powszechnie stosowane do obliczania pól zarówno w ramach metody analitycznej jak i w metodzie graficznej. W pierwszym przypadku współrzędne wierzchołków wieloboku otrzymuje się z miar terenowych np. kątów i boków wieloboku, który następnie obliczamy jako ciąg poligonowy zamknięty, punktów przecięć prostych, domiarów prostokątnych lub biegunowych. W drugim przypadku współrzędne są uzyskiwane graficznie z mapy w ramach tzw. digitalizacji opartej o występowane na mapie elementy związane z układem współrzędnych.

1. Obliczanie pól metodą graficzną

Metoda polega na wyznaczeniu pola figury znajdującej się na mapie, na podstawie graficznego pomiaru elementów geometrycznych potrzebnych do obliczeń. Pomiary na mapie poprzedza najczęściej podział danego obiektu na proste figury geometryczne, przeważnie trójkąty, kwadraty, prostokąty lub trapezy. Elementy liniowe figur prostych mierzymy za pomocą cyrkla i podziałki transwersalnej, po czym obliczamy ich pola, a po ich podsumowaniu, uzyskujemy ostateczne pole figury wyjściowej. Najczęściej nie poprzestajemy na jednym obliczeniu, lecz dla kontroli powtarzamy pomiary pola obiektu, dzieląc go ponownie na inne figury proste.

Często do obliczenia pól bardzo dużych obiektów powierzchniowych korzystamy ze znajdującej się na mapie siatki kwadratów. Najpierw liczymy sumę powierzchni pełnych kwadratów, po czym sumujemy pola części niepełnych wyznaczonych przez linie siatki i dwukrotny podział wieloboku na trójkąty

obrys obiektu.

1. Metoda kombinowana

Polega na określeniu danego obiektu częściowo na podstawie elementów pomierzonych na mapie, częściowo zaś w oparciu o miary uzyskane z bezpośrednich pomiarów w terenie. Ze względów ekonomicznych i dokładnościowych dłuższe odcinki należy mierzyć na mapie, zaś krótsze w terenie. Wiadomo, że długość odcinka mierzona w terenie jest obarczona znacznie mniejszym błędem niż ta sama odległość uzyskana z pomiaru na mapie. Podczas obliczania pola tworzymy iloczyny miar terenowych i graficznych, a więc korzystniejsze jest pomnożenie małej wielkości obarczonej niewielkim błędem przez dużą liczbę, wyrażającą długość odcinka zmierzonego graficznie. Postępowanie odwrotne, prowadzące do wymnożenia błędu o znacznej wartości przez długość dużego odcinka, daje wyniki znacznie mniej dokładne. Za takim postępowaniem przemawiają też względy ekonomiczne: pomiar krótszego odcinka w terenie jest o wiele łatwiejszy niż odcinka długiego, natomiast przy pomiarach graficznych długość odcinka nie ma istotnego znaczenia.

Metoda kombinowana znajduje zastosowanie dla długich i wąskich figur, przeważnie działek, dla których mierzy się w terenie krótkie miary czołowe (czołówki): a,b,c,d stanowiące podstawy trójkątów natomiast ich wysokości h₁, h₂, h₃, h₄ określa się graficznie.

1. Metoda mechaniczna

Obliczanie pól metodą mechaniczną opiera się na wykorzystaniu przyrządów zwanych planimetrami wodzikowymi, spośród których do dziś używane są planimetry biegunowe. Pomiar rozpoczynamy od umieszczenia bieguna poza konturem figury, zaś całego planimetru na arkuszu mapy w taki sposób, aby kąt między ramionami: wodzącym i biegunowym był nieco większy niż 90º ( około 100º), zaś wodzik znajdował się w środku ciężkości figury. Po wciśnięciu igieł ciężarka z biegunem w podłoże rysunku, wybieramy lub zaznaczamy na obwodzie planimetrowanej figury punkt początkowy, dokładnie ustawiamy na nim wodzik i notujemy wyjściowy odczyt kółka całkującego n_1. Potem starannie obwodzimy cały kontur danej figury, przesuwając wodzik w prawo aż do jego ponownego naprowadzenia na punkt początkowy. W tym ustawieniu notujemy odczyt końcowy n₂. Po zmianie położenia bieguna wykonujemy drugie obwiedzenie figury, notując jak poprzednio odczyty kółka n_1, n₂. Pole P określone w oparciu o pojedyncze obwodzenie figury z biegunem na zewnątrz wyraża się wzorem:

P = C₁(n₂-n₁)

gdzie: C₁ – bezwzględna stała mnożna planimetru (dla skali 1:1)

Po wykonaniu dwóch lub więcej obwodzeń figury należy obliczyć średnią różnicę odczytów n_s­ ze wzoru:

gdzie: m – liczba obwodzeń danej figury

Pole P_m planimetrowanej figury obliczamy ze wzoru:

P_m = C₁·n_s

Jak wynika ze wzorów do uzyskania pola planimetrowanej figury niezbędna jest znajomość stałej C₁ zwanej stałą mnożną planimetru. Stała C₁ jest pewną powierzchnią wyrażoną w mm² lub cm² oznaczaną dużą literą C i nosi nazwę stałej mnożnej bezwzględnej, ponieważ nie uwzględnia skali mapy, na której odbywa się planimetrowanie. Pole P_m otrzymane jest rzeczywistym polem figury na rysunku mapy. Dla otrzymania pole tej figury w terenie P_t trzeba uwzględnić skalę mapy (1:M) zastępując stałą bezwzględną C₁ – stałą względną c_1­.

P_t = c_1·n_s

Zależność pomiędzy obydwiema stałymi wyraża wzór, z którego wynika, że dla otrzymania stałej względnej c₁ trzeba stałą bezwzględną C₁ pomnożyć przez kwadrat mianownika skali mapy:

c₁ = C₁·M²

Przybliżoną wartość stałej c₁ można odczytać z tzw. Metryki planimetru, czyli tabelki umieszczonej przeważnie wewnątrz opakowania przyrządu. W tabelce tej podane są wartości stałych z zależności od długości ramienia wodzącego r i skali mapy. Dokładną wartość tej stałej należy jednak wyznaczyć samodzielnie, dokonując wielokrotnego obwodzenia figury o znanym polu.

1. Obliczenie objętośći symulowanej zapory:

Objętość symulowanej zapory wyznaczamy w następujący sposób. Za pomocą planimetru wyznaczamy pola odpowiednio kolejnych obszarów wyznaczonych przez poziomice o tej samej wartości.