MAGNETOSTATYKA

Pole magnetyczne i jego własności

Przyjmuje się, że dodatni kierunek sił linii pola magnetycznego przebiega od bieguna N do S.

Prawo ampera

Siła magnetomotoryczna wektor H po obwodzie zamkniętym jest równa sumie prądów przechodzących przez powierzchnię wyznaczoną przez obwód. Jednostką natężenia pola magnetycznego jest 1 A/m.

Przenikalność magnetyczna - wielkość określająca zdolność materiału do zmiany indukcji magnetycznej pod wpływem natężenia pola magnetycznego.

Pole solenoidu

Solenoid stanowi przewodnik ukształtowany w postaci zwojów w przybliżeniu kołowych, przez które przepływa prąd elektryczny. Cechą charakterystyczną solenoidu, nawet luźno nawiniętego jest istnienie wewnątrz niego praktycznie jednorodnego pola magnetycznego. Kierunek wektora H wyznacza się zgodnie z regułą śruby prawoskrętnej.

Prawo Biota-Savarta pozwala określić w dowolnym punkcie przestrzeni indukcję pola magnetycznego, którego źródłem jest element przewodnika przez który płynie prąd.

Wektor indukcji magnetycznej

Jeżeli w polu magnetycznym umieścimy przewód o długości l, przez który przepływa prąd I, to stwierdzamy, że na ten przewód działa siłą F. Możemy zauważyć, że siła ta zależy od orientacji przewodu względem pola i jest zawsze prostopadła do przewodu i do zewnętrznego pola; jest maksymalna gdy pole i przewód są do siebie prostopadłe i praktycznie zanika, gdy pole i przewód są do siebie równoległe.

Dwa przewodniki z prądem – definicja Ampera

Jeżeli przez przewodnik nieskończenie długi przepływa prąd elektryczny, to wokół niego powstaje pole magnetyczne. Na podstawie prawa Ampera, dla linii zamkniętej – okręgu o promieniu r, otaczającego przewodnik z prądem I₁ mamy B(r) * 2πr = μ₀I₁ skąd otrzymujemy, że wartość wektora indukcji magnetycznej w odległości r od środka przewodu wynosi $B\left( r \right) = \frac{\mu_{0}I_{1}}{2\pi r}$

Jeżeli w odległości r od jednego przewodu z prądem I₁ znajduje się ustawiony równolegle drugi przewód nieskończenie długi, przez który przepływa prąd I₂, to na odcinek o długości l tego przewodu działa siła $\overrightarrow{F} = \overrightarrow{F_{12}} = I_{2}\overrightarrow{l}\text{\ x\ }\overrightarrow{B(r)} = I_{2}\text{lB}\left( r \right)*\overrightarrow{e_{r}}$

Jak widać jeśli prąd I₁ i I₂ płyną w tym samym kierunku, to przewodniki się przyciągają, jeżeli płyną przeciwnie to się odpychają.

Definicja Ampera: Jeżeli przez dwa równoległe, nieskończenie długie i nieskończenie cieńkie przewody, znajdujące się w odległości 1m, płyną jednakowe prądy, a siła oddziaływania na 1m przewodnika wynosci 2*10^-7N, to natężenie prądów w przewodnikach jest równe 1 amperowi.

Ruch cząsteczek naładowanych w polu magnetycznym

Na ładunek q poruszający się w polu magnetycznym o indukcji $\overrightarrow{B}$ działa siła $\overrightarrow{F} = q\overrightarrow{v}x\overrightarrow{B}$ jeżeli $\overrightarrow{v}\bot\overrightarrow{B}$ to na podstawie własności iloczynu wektorowego także zachodzą relacje $\overrightarrow{F}\bot\overrightarrow{B}\bot\overrightarrow{V}$. To oznacza, że siła $\overrightarrow{F}$ odgrywa rolę siły dośrodkowej i cząstka naładowana porusza się po okręgu o pewnym promieniu r.

Dipol magnetyczny

Zgodnie z wzorem $\overrightarrow{F} = I*\overrightarrow{l}x\overrightarrow{B}$ indukcji magnetycznej:

- na boki ramki o długości a działają dwie jednakowe siły, przeciwne skierowane wzdłuż osi z, które powodują statyczne rozciąganie lub ściskanie ramki

- na boki ramki o długości b (przy dowolnym jej skręceniu) działa para sił, które są jednakowe co do wartości i przeciwnie skierowane równoległe do osi x, zatem ich wypadkowa jest równa zeru.

Ramkę z prądem uważamy a dipol magnetyczny.

Typowym przykładem dipola magnetycznego jest solenoid.

INDUKCJA ELEKTROMAGNETYCZNA

Przewodnik poruszający się w polu magnetycznym

Siła elektrodynamiczna (magnetyczna) – siła, z jaką działa pole magnetyczne na przewód elektryczny, w którym płynie prąd.

Indukcja – wprowadzanie w jakiś stan, wzbudzenie jakiegoś zjawiska

SEM indukcji powstającej między końcami przewodnika jest równa ujemnej szybkości zmian strumienia magnetycznego zakreślonego przez poruszający się przewodnik w polu magnetycznym.

Indukcja elektromagnetyczna w obwodzie nieruchomym

Indukcja elektromagnetyczna – zjawisko powstania siły elektromotorycznej w przewodniku na skutek zmian strumienia pola magnetycznego. Zmiana ta może być spowodowana zmianami pola magnetycznego lub względnym ruchem przewodnika i źródła pola magnetycznego.

Prawo Faradaya indukcji elektromagnetycznej: w obwodzie znajdującym się w zmiennym polu magnetycznym indukuje się SEM indukcji równa ujemnej szybkości zmian, objętego przez obwód, strumienia magnetycznego wektora B.

Reguła Lenza: Prąd indukcyjny jest zawsze skierowany tak, aby przeciwdziałać przyczynie, która go wywołuje.

Zjawisko samoindukcji: jest to powstanie SEM indukcji w obwodzie pod wpływem zmian prądu w nim płynącego.

Z prawa Biota-Savarta wynika, że rozkład pola magnetycznego wytwarzanego przez obwód z prądem zależy wyłączenie od geometrii układu, a wartości wektora B są proporcjonalne do natężenia prądu płynącego w obwodzie. Oznacza to, że strumień magnetyczny wytwarzany przez obwód jest także proporcjonalny do I.

W przypadku długiego solenoidu możemy znaleźć jego indukcyjność biorąc pod uwagę, że:

- z prawa Ampera, indukcja magnetyczna jest równa B = μ₀ * nI

- strumień indukcji związany z pojedynczym zwojem wynosi ϕ_B = B * S

- strumień indukcji związany z całym solenoidem ψ = N * ϕ_B = nl * BS = μ₀n²lS * I

Indukcyjność solenoidu:$\mathbf{L =}\frac{\mathbf{\psi}}{\mathbf{I}}\mathbf{=}\mathbf{\mu}_{\mathbf{0}}\mathbf{n}^{\mathbf{2}}\mathbf{lS =}\mathbf{\mu}_{\mathbf{0}}\mathbf{n}^{\mathbf{2}}\mathbf{V}$ gdzie V jest objętością solenoidu

I prawo Maxwella

Stanowi uogólnienie prawa Ampera $\oint_{}^{}{\overrightarrow{B}d\overrightarrow{l} = \mu_{0}I}$

Każdemu prądowi elektrycznemu (przewodzonemu, konwekcyjnemu, przesunięcia) towarzyszy pole magnetyczne, przy czym siła magnetomotoryczna na obwodzie powierzchni S jest równa całkowitemu natężeniu prądu przepływającemu przez tę powierzchnię pomnożonemu przez przenikalność magnetyczną próżni ε₀

II prawo Maxwella

Stanowi uogólnienie prawa Faradaya indukcji elektromagnetycznej

$$\varepsilon_{\text{ind}} = - \frac{d}{\text{dt}}\oint_{S}^{}{\overrightarrow{B}d\overrightarrow{S}}$$

Dookoła obszarów, w których zachodzi zmiana strumienia wektora indukcji magnetycznej $\overrightarrow{\text{B\ }}$ powstaje wirowe pole elektryczne, przy czym SEM indukcji jest równa ujemnej szybkości zmian strumienia magnetycznego

ELEKTROSTATYKA

Ładunki i pola

Istnieją dwa rodzaje elektryczności:

- ładunki ujemne, otrzymywane prze pobieranie ebonitu

- ładunki dodatnie, otrzymywane przez pobieranie szkła

Obecnie przyjmuje się objaśnienie Maxwella, wg którego zachodzi tzw. „oddziaływanie bliskie”:

- ładunki wytwarzają wokół siebie pole elektryczne

- pole oddziałuje na dany ładunek, czego przejawem jest działanie siły.

Natężenie pola elektrycznego

Prawo Coulomba: Ładunek punktowy Q₁ działa na inny ładunek punktowy Q₂ siłą, opisaną wzorem: $\overrightarrow{F_{12}} = k\frac{Q_{1}Q_{2}}{r*r*r}*\overrightarrow{r}$

Przenikalność elektryczna próżni: jest jedną ze stałych fizycznych, a jej wartość została określona w układzie SI

Jeżeli we wzorze Coulomba potraktujemy ładunek Q₁ jako wytwarzający pole elektryczne, to siła działająca w danym punkcie pola na ładunek Q₂ jest do tego ładunku proporcjonalna

Wektor natężenia pola elektrycznego jest jednym z dwóch podstawowych wektorów pola elektrycznego i charakteryzuje je pod względem siłowym. Jednostka wektora E, zwykle używaną jest V/m.

Zjawisko indukcji elektrycznej

Na ładunki znajdujące się w polu elektrycznym działają siły, jeżeli te ładunki są ładunkami swobodnymi (np. elektrony w metalu, jony w elektrolitach i gazach) to mogą się one przemieszczać tak długo, aż zostanie osiągnięty nowy stan równowagi. Taki efekt przemieszczenia ładunków swobodnych nazywamy zjawiskiem indukcji elektrycznej.

Prawo Gaussa: strumień indukcji elektrycznej przez powierzchnię zamkniętą jest równy ładunkowi całkowitemu, zawartemu wewnątrz tej powierzchni Dla próżni zachodzi $\overrightarrow{D} = \varepsilon_{0}\overrightarrow{E}$, zatem prawo Gaussa można zapisać w równoważnej postaci $\oint_{S}^{}{\overrightarrow{E}d\overrightarrow{S}} = Q/\varepsilon_{0}$

Potencjał elektryczny

Pole elektryczne statyczne charakteryzuje się tym, że praca W_e nie zależy od drogi, po której jest ona wykonana; zależy wyłączenie od położenia punktów początkowego (A) i końcowego, (C) – jest polem potencjalnym i każdemu punktowi pola możemy przypisać istnienie pewnej energii potencjalnej, zgodnie ze wzorem W_e=E_p(A)-E_p(C)

Natężenie pola – ujemny gradient potencjału

Punkty o tym samym potencjale tworzą tzw. powierzchnię ekwipotencjalną, powierzchnia w polu potencjalnym, której wszystkie punkty mają jednakowy potencjał. Powierzchnie potencjalne określa się dla wszystkich pól potencjalnych np. pola elektrostatycznego, pola grawitacyjnego. Powierzchnie ekwipotencjalne są w każdym punkcie pola prostopadłe do wektora siły, czyli do linii natężenia pola.

Energia układu ładunków

Definiujemy ją poprzez pracę, jaką musiały by wykonać siły zewnętrzne, aby dany układ ładunków został utworzony lub zamiennie – jako praca sił elektrycznych, która prowadziła by do rozdzielenia układu na elementarne fragmenty nie oddziałujące na siebie (czyli znajdujące się w nieskończoności od siebie).

Jeżeli w pewnej części przestrzeni tworzymy układ czterech ładunków Q1,Q2,Q3,Q4 odpowiednio w punktach 1,2,3,4 to:

- sprowadzamy z ∞do punktu 1 ładunek Q1: ze względu na brak innych ładunków (brak na tym etapie pola elektrycznego) praca z tym związana W1=0

- sprowadzamy do punktu 2 ładunek Q2: odbywa się to w istniejącym już polu, wytworzonym przez Q1 – praca równa się W2

- sprowadzamy do punktu 3 ładunek Q3: przemieszczenie ładunku odbywa się w polu elektrycznym wytworzonym przez ładunki Q1 i Q2 – praca z tym związana wynosi W3

- sprowadzamy do punktu 4 ładunek Q4: praca z tym związana wynosi W4

Dipol elektryczny i jego pole

Dipol elektryczny to układ dwóch jednakowych ładunków różnoimiennych znajdujących się w pewnej odległości od siebie.

Wielkością charakteryzującą dipol jest wielkość wektorowa p_e nazywana elektrycznym momentem dipolowym i zdefiniowana wzorem $\overrightarrow{p_{e}} = Q*\overrightarrow{l}$ gdzie l – jest wektorem odległości między ładunkami, którego zwrot jest skierowany od ładunku ujemnego do dodatniego

Dipol elektryczny w zewnętrznym polu

Ładunek (monopol) q -> V(r) ~ l/r

Dipol: dwa jednakowe ładunki przeciwnego znaku, rozsunięte względem siebie V(r) ~ l/r²

Kwadrupol: rozsunięte względem siebie dwa przeciwne dipole V(r) ~ 1/r³

Oktupol: rozsunięte względem siebie dwa przeciwne kwadrupole V(r) ~ 1/r⁴

Multipole: tworzone wg reguły wyżej podanej

Polaryzacja dielektryków

Dielektryk (izolator) – substancja, która nie przewodzi prądu elektrycznego. Wielkością charakteryzującą własności elektryczne dielektryka jest jego względna przenikalność elektryczna, zwykle oznaczana symbolem ε.

Względną przenikalność elektryczną materiału definiujemy poprzez stosunek pojemności kondensatora z dielektrykiem i tego samego kondensatora próżniowego ε = C/C₀

Przykładowe wartości: próżnia 1,0; powietrze 1,00059; guma 2,5; szkło 11; alkohol etylowy 24, woda 81

Wyróżniamy dwa typy dielektryków:

a) dielektryki niepolarne – nie posiadają własnego momentu dipolowego (dla $\overrightarrow{E_{0}} = 0$ ich $\overrightarrow{p_{e}}\ ^{w} = 0$); dla $\overrightarrow{E_{0}} \neq 0$ powstaje indukowany $\overrightarrow{p_{e}}\ ^{\text{ind}}$, który jest równoległy do $\overrightarrow{E_{0}}$ i do niego proporcjonalny. Cechą charakterystyczną dielektryków niepolarnych jest brak zmian względnej przenikalności od temperatury tzn. ε(T) = const

b) dielektryki polarne – posiadają własny moment dipolowy (np. drobiny wody) ich $\overrightarrow{p_{e}}\ ^{w} \neq 0$; w zewnętrznym polu elektrycznym $\overrightarrow{E_{0}}\ $dla nich także zachodzi efekt indukcyjny oraz następuje częściowe ustawienie momentu własnego zgodnie z kierunkiem pola tak, że całkowity średni moment dipolowy można opisać wzorem $\overrightarrow{p_{e}}\ ^{\text{ind}} + \alpha*\overrightarrow{p_{e}}\ ^{w}$gdzie współczynnik α zależy od temperatury T i opisuje stopień uporządkowania drobin dielektryka polarnego. Względna przenikalność elektryczna takiego dielektryka zależy od temperatury tzn. ε(T) = var

Efektem makroskopowym – gdy dielektryk znajduje się w polu elektrycznym – jest pojawienie się przy jego granicznych powierzchniach – „efektywnych”, związanych (nie mogą istnieć niezależnie od siebie oraz przemieszczać się wewnątrz dielektryka) ładunków –Qp i –Qp zw. ładunkami polaryzacyjnymi.

Dielektryki – ogólnie dzielmy na niepolarne i polarne, w których indukowane momenty dipolowe zawsze praktycznie natychmiast znikają po usunięciu pola elektrycznego. W dielektrykach polarnych uporządkowanie momentów zwykle także znika w stosunkowo krótkim czasie.

Elektrety – dielektryki polarne, w których zanik uporządkowania dipoli zachodzić może bardzo wolno (mieszanina wosku z żywicą)

Piroelektryki – po szybkim podgrzaniu kryształu pojawia się moment dipolowy różny od zera

Piezoelektryk – występuje polaryzacja dielektryka pod wypływem naprężenia

Ferroelektryki – kryształy dielektryczne o strukturze domenowej

RUCH FALOWY

Rodzaje: a) poprzeczny – gdy ruch drobin ośrodka jest prostopadły do kierunku rozchodzenia się fali; b) podłużny – gdy drobiny ośrodka wykonują drgania w kierunku wyznaczonym przez prędkość rozchodzenia się fali; inne kwalifikacje: 1-, 2-, 3- wymiarowe, impuls falowy, skończony lub nieskończony periodyczny ciąg falowy

Ogólne równanie ruchu falowego: y = f(x-vt) opisujące ogólne zaburzenia falowe w układzie nieruchomym

Równanie płaskiej fali harmonicznej: y = y_msin(kx − ωt − φ) gdzie y_m- amplituta fali; k – liczba falowa (2π/λ), ω – częstość drgań (2π/T) λ - nosi nazwę długości fali, T – okres drgań

Długość fali jest to odległość między najbliższymi punktami znajdującymi się w tej samej fazie ruchu, λ = vT, gdzie T – okres drgań, v – prędkość

Prędkość fazowa to prędkość rozchodzenia się fali o określonej częstości ($v = v_{f} = \frac{\lambda}{T} = \frac{\omega}{k}$)

Fale stojące – rezonans akustyczny

Wyrażenie falę stojącą: $\xi\left( x,t \right) = \left\{ 2Acos\left( kx + \frac{\varphi_{2} - \varphi_{1}}{2} \right) \right\}*cos(\omega t + \frac{\varphi_{1} - \varphi_{2}}{2})$

W punktach x spełniających warunek kx = n * π (n=0, ±1.±2, ±3…) amplituda drgań osiąga wartość maksymalną – są to strzałki

W punktach x spełniających warunek $kx = \frac{2n + 1}{2}*\pi$ (n=0,±1.±2, ±3…) amplituda drgań spada do zera– są to węzły fali

Warunkiem powstania fali stojącej, aby fale nakładające się na siebie były falami spójnymi (tzn. miały te same częstości ω i stałą różnicę faz Δφ = φ₂ − φ₁). Zjawisko nakładania fal nazywamy interferencją.

Równanie falowe: $\frac{\partial^{2}y}{\partial x^{2}} - \frac{1}{v^{2}}*\frac{\partial^{2}y}{\partial t^{2}} = 0$

Równanie falowe w przypadku ogólnym (trójwymiarowym): $\nabla^{2}\psi - \frac{1}{v^{2}}\frac{\varphi^{2}\psi}{\varphi t^{2}} = 0$ gdzie $\nabla^{2}\psi = \frac{\varphi^{2}\psi}{\varphi x^{2}} + \frac{\varphi^{2}\psi}{\varphi y^{2}} + \frac{\varphi^{2}\psi}{\varphi z^{2}}$ jest laplasjanem funkcji ψ – wychylenia z położenia równowagi

Prędkość fazowa fali poprzecznej: $\mathbf{v =}\sqrt{\frac{\mathbf{\sigma}}{\mathbf{\rho}}}$

Prędkość fali podłużnej: $v = \sqrt{\frac{B}{\rho}}\ gdzie\ B = \ - \frac{\text{dp}}{dV/V}$ nosi nazwę objętości modułu sprężystości ciała, w którym rozchodzi się fala podłużna

Gęstość energii i natężenia fali

Całkowita gęstość energii chwilowej: w = w_k + w_p = ρω²A² * sin²(ωt − kx + φ)

Ilość energii przenoszona przez falę, przez daną powierzchnię w jednostce czasu, nosi nazwę strumienia energii fali i jest zdefiniowany wzorem: $\Phi = \frac{\text{dW}}{\text{dt}}$

Gęstość strumienia energii: $\overrightarrow{j} = \frac{d\Phi}{dS\bot}\overrightarrow{e_{v}} = \frac{\text{dW}}{dS\bot dt}\overrightarrow{e_{v}}$ gdzie $\overrightarrow{e_{v}}$ - jest wektorem jednostkowym prędkości fazowej fali

Uśredniony po czasie wektor $\overrightarrow{j}$ nosi nazwę natężenia fali i zwykle oznaczamy $\overrightarrow{I} = < w > \overrightarrow{v} = \frac{1}{2}\rho\omega^{2}A^{2}*\overrightarrow{v}$

Dyspersja fal

Za miarę dyspersji przyjmuje się szybkość zmian prędkości fazowej liczoną na jednostkowy przedział długości fali λ, czyli

$d\left( \lambda \right) = \frac{dv_{f}(\lambda)}{\text{dλ}}$, jest to współczynnik dyspersji lub po prostu dyspersja.

Może mieć różne wartości:

> 0 – dyspersja normalna, =0 – brak dyspersji, < 0 – dyspersja anomalna

Takie zaburzenie nosi nazwę paczki falowej lub inaczej grupy fal. Nazwa ta wynika stąd, że tego rodzaju zaburzenie otrzymuje się w wyniku złożenia (superpozycji) grupy fal sinusoidalnych, których długość fali zmienia się w sposób ciągły i wypełniają wąskie pasmo Δλ wokół średniej długości λ

Prędkość grupowa jest zdefiniowana wzorem: $v_{g} = \frac{\text{dω}}{\text{dk}}$

Związek między prędkością grupową i prędkością fazową paczki falowej:v_g(λ) = v_f(λ) − λ * d(λ)

Ruch harmoniczny prosty

Jest to ruch, który powtarza się w regularnych odstępach czasu, nazywamy ruchem okresowym, in. periodycznym. Szczególnie ważnym przypadkiem tego typu ruchu są drgania harmoniczne, w których zmiany wielkości fizycznej w funkcji czasu są opisywane za pomocą funkcji harmonicznej typu ”sinus”. Prostym przykładem drgań harmonicznych mogą być poziome (lub pionowe) drgania ciała zamocowanego do sprężyny. Opisujemy wzorem na równanie ruchu oscylatora harmonicznego prostego

Faza chwilowa ruchu

Częstotliwość

Okres

Energia w prostym ruchu harmonicznym

W rozpatrywanym wyżej modelu oscylatora harmonicznego składa się on z dwu elementów:

-sprężyny, z którą wiąże się energia potencjalna układu

-ciała o masie m, z którym związana jest energia kinetyczna

Energia całkowita

jak widać, nie zależy od położenia i od czasu. Ponieważ w ruchu harmonicznym

prostym amplituda drgań A jest stała, zatem całkowita energia mechaniczna jest

zachowana.

Dodawanie drgań, o różnych częstotliwościach, zachodzących w tym samym kierunku

1.gdy stosunek częstości jest liczbą wymierną

W pierwszym przypadku otrzymuje się drgania wynikowe periodyczne, o powtarzających się sekwencjach z okresem T równym najmniejszej wspólnej wielokrotności okresów drgań składowych T₁ i T₂

2. gdy jest liczbą niewymierną

W drugim przypadku, jeżeli stosunek częstości jest liczbą niewymierną, wynikiem nakładania się drgań harmonicznych są drgania nieperiodyczne o zmiennym kształcie w czasie.

Nakładanie się drgań, o tej samej częstości zachodzących w tym samym kierunku

Metoda wektorowa, inaczej nazywana metodą wskazową, w której wektor stanowi reprezentację drgania harmonicznego. // Zauważmy, że jeśli wektor (p. rys.) wiruje w płaszczyźnie {x,y} z częstością , to jego kąt nachylenia względem osi x, opisuje wzór a składową x – ową wektor .Więc jak widać, amplitudę drgań reprezentuje moduł wektora wzór , zaś chwilową fazę drgań - kąt nachylenia . Faza początkowa wzór: Własności te dotyczą także wektora wypadkowego, otrzymanego w wyniku sumowania wektorów, reprezentujących drgania składowe.

Drgania składowe

Składanie drgań prostopadłych – krzywe Lissajous

Gdy stosunek częstości jest liczbą wymierną punkt zakreśla krzywą, która jest linią zamkniętą, cyklicznie powtarzającą się. Takie linie noszą nazwę krzywych albo figur Lissajous. Jeżeli zaś stosunek częstości jest liczbą niewymierną, punkt przebiega po linii, która się nigdy nie zamyka.

Drgania składowe możemy zapisać: